OPTYMALNE POSTÊPOWANIE W PROBLEMIE SEKWENCYJNEJ SELEKCJI: PRAKTYKA I TEORIA

Transkrypt

1 DECYZJE nr 5 czerwiec 2006 OPTYMALE POSTÊPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI: PRAKTYKA I TEORIA Krzyszof Szajowski * Poliechnika Wroc³awska Sreszczenie: Analizowana jes modyfikacja problemu sekwencyjnego wyboru najlepszego obieku Selekcjoner obserwuje rangi względne obieków, kórych prawdziwe warości są losowe, niezależne o rozkładzie jednosajnym na [0, 1] Zadaniem selekcjonera jes wybór jednego obieku w chwili obserwacji Orzymana wypłaa o prawdziwa warość wybranego obieku pomniejszona o pewien kosz, odzwierciedlający kosz decyzji Podejście używane do sworzenia modelu maemaycznego oraz wyznaczenia sraegii opymalnej polega na zasosowaniu meody opymalnego zarzymania do ciągu wypła, kóre są warościami w innych zadaniach opymalnego zarzymania Obserwowane wielkości losowe worzą łańcuch Markowa, a opymalne sraegie wyznaczane są meodą indukcji wsecznej Zbadano asympoyczne zachowanie rozwiązań ze skończonym horyzonem czasowym Przedsawione zagadnienia są dyskusją problemu poruszonego przez Beardena (2006) i analizowanego przez Auora w pracy Szajowskiego (2006) Słowa kluczowe: decyzje w warunkach niepewności, kosz decyzji, łańcuch Markowa, reguła zarzymania 1 Wprowadzenie Tyle jes w każdym poznaniu nauki, ile jes w nim maemayki 1 Jeden ze znanych problemów decyzyjnych można sformułować nasępująco: dyrekor pewnej firmy ma zamiar zarudnić nową sekrearkę a ogłoszony konkurs zgłosiło się kandydaek, jednak nic prócz danych porzebnych do przesłania zaproszenia na rozmowę nie wolno im było podawać Kandydaki mają zgłaszać się w siedzibie firmy pojedynczo, co oznacza, że wiedza na ema ich kwalifikacji jes dosępna w chwili rozmowy ocenia- * Poliechnika Wrocławska, Insyu Maemayki i Informayki, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław, KrzyszofSzajowski@pwrwrocpl 1 Karol Fryderyk Gauss ( ) DECYZJE R 5/

2 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI jącej lub po jej zakończeniu Zaem kwalifikacje kandydaki można porównać jedynie z wcześniej ocenianymi Dyrekor ma możliwość zarudnienia kandydaki jedynie zaraz po zakończeniu rozmowy ie ma możliwości powracania do odrzuconych kandydaek Celem jes wybór najlepszej kandydaki, a właściwie wskazanie sraegii, kóra maksymalizuje szansę na wybór najlepszej Model maemayczny ego problemu powsał po jego sformułowaniu w arykule Marina Gardnera zamieszczonym w Scienific American w 1960 roku (Gardner 1960a, b) Sformułowanie problemu pokrewnego można znaleźć u Cayley a (1875) Gilber i Moseller (1966) przeprowadzili dyskusję kilkunasu modyfikacji problemu podając ich rozwiązania Jednak większość ych rozwiązań nie jes precyzyjna Dopiero dalsze prace, sprowadzające problem do sekwencyjnej obserwacji zmiennych losowych i zadania opymalnego zarzymania ych obserwacji, dały ścisłe uzasadnienie rozwiązania Podsawy ej meody wraz z licznymi przykładami opisuje Baroszyński (1974) Konsrukcja opymalnej sraegii korzysa z programowania dynamicznego i indukcji wsecznej iemal jednocześnie z analizą maemayczną problemu opymalnego sekwencyjnego wyboru analizowano przydaność ych rezulaów do modelowania zachowań osób podejmujących decyzje w podobnych okolicznościach Z jednej srony, należało przeprowadzić badania empiryczne nad posępowaniem decydenów nieświadomych rezulaów orzymanych przez maemayków Z drugiej zaś, jeśli obserwacje nie powierdzą zgodności, należy wykryć czynniki odpowiedzialne za niedoskonałość eorii i model maemayczny zmodyfikować Opis wyników eksperymenalnych znaleźć można u Seale a i Rapopora (1997, 2000) Ujmując ogólnie i nieprecyzyjnie, opublikowane wyniki badań eksperymenalych pokazują, iż decydenci nie zachowują się zgodnie z opymalnymi regułami wyprowadzonymi w modelach maemaycznych Zwykle sraegia opymalna polega na zbieraniu informacji o populacji przez pewien czas, a nasępnie zaakcepowaniu pierwszego obieku lepszego od wcześniej obserwowanych Różnica między opymalnym posępowaniem a posępowaniem decydena polega na ym, że en osani skraca czas zbierania informacji o populacji iezależnie od uzyskanych wyników eksperymenalnych, zanim jeszcze maeriał empiryczny zosał zebrany, podsawowy model eoreyczny był modyfikowany przez osłabienie różnych założeń Jednakże, wprowadzone do ej pory modyfikacje i zmiany w modelu podsawowym nie dają wyjaśnienia wyników eksperymenów Można więc uznać, że jeszcze mamy za mało maemayki w modelowaniu różnych aspeków ego problemu decyzyjnego wpływu wcześniejszych eksperymenów, użyeczności wybranego obieku w porównaniu z koszem decyzji, perspekywy czasowej Analizowano więc cel, jaki sawia sobie podejmujący decyzję Będzie, być może, usaysfakcjonowany, gdy orzyma jeden z k najlepszych obieków (myślimy uaj zwykle o dość małej liczbie k) Opymalną sraegię przy ak posawionym celu wyznaczył 30 DECYZJE R 5/2006

3 Krzyszof Szajowski Gusejn-Zade (1966) Przy analizie maemaycznej ej modyfikacji okazało się, że srukura rozwiązania jes bardzo prosa i przejrzysa Decyzję o akcepacji podejmujemy na podsawie pozycji kandydaki wśród doychczas analizowanych (zn jej relaywnej rangi) W opymalnym posępowaniu, przez pewien czas obserwujemy kandydaki, jednak decyzję o akcepacji podejmujemy dopiero wedy, gdy liczba sprawdzonych kandydaek przekroczy pewien próg Opymalny próg zależy od relaywnej rangi kandydaki Przyjmując, że najlepsza kandydaka ma rangę 1, progi e rosną wraz z relaywną rangą Ta własność opymalnego posępowania jes dość inuicyjna Im bliżej wyczerpania kandydaek, ym niższą jakością jeseśmy skłonni się zadowolić Jeśli celem będzie jednak wybór np drugiej co do oceny kandydaki, o cechy opymalnej sraegii nie są już akie oczywise (parz Szajowski, 1982) W ym okresie badań swierdzono również, że zwykle isnieje możliwość powrou do wcześniej analizowanych obieków, choć może okazać się, iż ineresująca nas kandydaka jes już niedosępna Takie eoreyczne modyfikacje modelu podsawowego wprowadzili Yang (1974) oraz Smih i Deely (1975) Przydaność ego maemaycznego podejścia do modelowania zachowań sraegicznych w syuacjach akich jak zakup samochodu, zarudnienie pracownika czy poszukiwanie lokalu do wynajęcia widzieli liczni auorzy (parz Corbin, 1980) Empiryczne badania prowadzone przez Seale a i Rapopora (1997, 2000) pokazują, że podejmowane w prakyce decyzje nie są zgodne z opymalnymi sraegiami maemaycznych modeli Podejmowane są próby innego spojrzenia na sekwencyjny problem wyboru w celu konsrukcji bardziej adekwanego modelu maemaycznego Wyniki eksperymenów przeprowadzonych przez Seale a i Rapopora (1997) wskazują na endencję do obniżania progów decyzyjnych Oznacza o, że decydenci mają endencję do przedwczesnego akcepowania kandydaek Bearden (2006) modelując zachowanie przy zakupie samochodu czy domu proponuje zasosować model problemu najlepszego wyboru do podjęcia decyzji, jednak wypłaę uzależnić od prawdziwej warości obieku danej przez warości zmiennej losowej X j, gdzie X j są niezależnymi, o ym samym rozkładzie jednosajnym na [0, 1] Wówczas przy wyborze najlepszego obieku sraegia opymalna polega na przepuszczeniu d 1 kandydaek i zarzymanie się na obserwacji j d, kóra jes relaywnie najlepsza, o ile aka pojawi się, lub w chwili Próg d o lub Z maemaycznego punku widzenia ciekawe jes zachowanie asympoyczne progu d Miarą może być frakcja obserwacji przepuszczanych przed próbą akcepacji kandydaa, kóra w ym przypadku dąży do zera W klasycznym problemie wyboru najlepszego warianu, gdy celem jes maksymalizacja prawdopodobieńswa, udział przepuszczanych obserwacji wynosi e -1 Ta znaczna zmiana w asympoycznej warości progu idzie w kierunku zgodnym z eksperymenami, jednak nie prowadzi do próby wyjaśnienia czynników, znajdujących odzwierciedlenie w mo- DECYZJE R 5/

4 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI delu maemaycznym, decydujących o akiej endencji w pojmowaniu opymalnego posępowania przez decydenów Pewnym wyjaśnieniem jes dopuszczenie różnych rozkładów obserwowanych wiekości X j Badanie akie przeprowadziła Samuel-Cahn (2005) Badane są rzy różne rodziny rozkładów, należących do rzech różnych obszarów przyciągania dla maksimów ciągów zmiennych losowych Różne rozkłady mogą modelować różne endencje w posrzeganiu warości badanych obieków Inne podejścia będą zaprezenowane w ej pracy Uzależnia się uaj wypłaę od prawdziwej warości obserwowanych zmiennych i dodakowo włączony jes indywidualny kosz decydena podjęcia decyzji o wyborze obieku ie jes o kosz obserwacji, ak jak o pojmują Baroszyński i Govindarajulu (1978) (parz akże Yeo, (1998)) Wprowadzając aki kosz decyzji orzymujemy inny niż u Beardena (2006) udział obieków przepuszczanych bez próby zaakcepowania Isona różnica polega na ym, że asympoyczny udział jes funkcją wprowadzonego koszu decyzji i jes wielkością większą od 0 i mniejszą od e -1 Dobór ego parameru jes możliwy meodami saysycznymi Wydaje się, że może en paramer charakeryzować różne grupy decydenów (kobiey, dzieci, z wykszałceniem na różnym poziomie czy eż z różnym doświadczeniem zawodowym) Przedsawiony model maemayczny posiłkuje się odpowiednio skonsruowanym łańcuchem Markowa, jak sugerują o w swojej pracy Dynkin i Juszkiewicz (1970) i wykorzysują Szajowski (1982) oraz Suchwałko i Szajowski (2002) Ten fragmen modelowania zagadnienia jes zawary w sekcji 2, rozwiązanie opymalne w ramach ego modelu jes przedsawione w sekcji 3 wraz z badaniem asympoycznych własności rozwiązania i warości problemu Pewne wnioski i porównania znajdują się w sekcji osaniej, gdzie również są odsyłacze do lieraury mogącej sanowić uzupełnienie przedsawionych zagadnień decyzyjnych O modelowaniu maemaycznym psychologicznych problemów podejmowania decyzji w warunkach niepewności rakuje monografia Kozieleckiego (1975) 2 Maemayczny model problemu decyzyjnego Załóżmy, że selekcjoner obserwuje ciąg kandydaek, kórych warość jes realizacją ciągu zmiennych losowych niezależnych {X 1,X 2,,X } o rozkładzie jednosajnym na E = [0, 1] Dokładne warości nie są dosępne, a jedynie relaywne rangi R k = # (1 i k : X i X k } Dla maemaycznej ścisłości zakładamy, iż wszyskie rozparywane wielkości losowe są zdefiniowane na usalonej przesrzeni probabilisycznej (Ω, F, P) Obserwacja re- 32 DECYZJE R 5/2006

5 Krzyszof Szajowski laywnych rang R k, k = 1,2,,, daje ciąg σ-ciał F k = σ {R 1,R 2,,R k }, k T = {1,2,,} 1 Można pokazać, że zmienne losowe R k są niezależne i mają rozkład P (R k = i) = k iech M będzie zbiorem momenów Markowa względem rodziny σ-ciał { F oraz q: T S E R + k } k = 1 będzie funkcją wypłay Określimy warość problemu opymalizacji (1) v = sup Εq(, R, X ) Celem jes wyznaczenie * M ak, aby Eq(*,R *,X * ) = v M Ponieważ { q ( n, R n, X n)} n= 1 nie jes ciągiem zgodnym z filracją F n, zasosujemy echnikę sprowadzenia do równoważnego sraegicznie problemu z wypłaami zgodnymi przez zasosowanie warunkowej warości oczekiwanej Z własności warości oczekiwanej mamy gdzie E q(, R, X ) q(, R, X ) dp = E g~ (, R ) = r = 1 { = r} (2) g~ ( r, R ) =E [ q( r, R, X r r r ) F ] F r dla r = 1,2,, a zbiorze {ω : R r = s} mamy zaem g ~ ( r, =E [ q( r, R, X ) R s ] r r r = Założenie 1 W dalszej części rozważań zakładamy, iż selekcjoner wybiera spośród relaywnie najlepszych kandydaek Sąd funkcja g ~ ( r, l ) zdefiniowana w (2) jes równa 0 przy l > 1 i dodania dla l = 1 Oznacza o, że selekcjoner może wybrać pożądany obiek jedynie w chwilach r z R r = 1 Oznaczmy h ( r) = g~ ( r,1) Z każdą decyzją selekcjonera związane jes ryzyko Odczucia co do poziomu ryzyka są różne dla różnych decydenów W decyzjach sekwencyjnych, gdy syuacja zmienia sie dynamicznie, poczucie ponoszenia ryzyka pojawia się w losowym momencie ξ Rozkład ej zmiennej odzwierciedla obawy o rafność wyboru momenu akcepacji obieku DECYZJE R 5/

6 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI Założenie 2 Zakładamy, że ξ ma rozkład jednosajny na {0,1,,} Uwaga 21 Jeśli przyjmiemy, że kosz decyzji czy eż miara sresu związanego z decyzją akcepacji obieku jes c, o en kosz pojawia się również, jeśli odłożymy decyzję o akcepacji obieku Ten odłożony kosz decyzji jes procesem, kóry można opisać jako C ( ) = ci{ ξ }, gdzie I {ξ } jes równe 1 gdy ξ i 0 poza ym W oparciu o obserwowane relaywne rangi i zakładając, że nie było akcepacji obieku przed chwilą k, mamy + 1 (3) c( k, ) = E [ C( ) F k ] = c k + 1 Przyjęy model jes konsekwencją założenia, że obawa o o, iż podejmiemy błędną decyzję akcepacji dzisiaj jes większa niż obawa o ewenualną akcepację przyszłych kandydaek (im później wybieramy relaywnie najlepszą, ym szansa na wysąpienie kolejnego kandydaa, lepszego od wybranego jes mniejsza) Założenie 3 Celem selekcjonera jes zmaksymalizowanie oczekiwanej warości wybranego obieku i jednoczesne zminimalizowanie koszu podjęej decyzji Biorąc o pod uwagę funkcja (4) q (, R, X ) = g c ( X C( )) I{ R = 1} ( R ) gdy <, (, R, X ) = X c poza ym Sała c jes paramerem, kóry odzwierciedla kosz wyboru lub inaczej jes miarą sresu związanego z procesem akcepacji obieku przy sekwencyjnym wyborze Ponieważ X r są niezależnymi zmiennymi losowymi o ym samym rozkładzie jednosajnym na [0, 1], orzymujemy g~ ( r,, R ) = E [ g c c (, R, X + 1 ) Fr ] = c I + 1 r + 1 { R = 1} ( R ) (parz Resnick, 1987) ~ Oznaczmy h ( r, = g~ ( r, s,1) Określmy W 0 = (1,Y 1 ) = (1,1), γ = inf {r > γ 1 : Y r = 1} (inf ( = )) oraz W = γ, Y ) ( γ Jeśli γ =, o przyjmujemy W = (, ) W jes łańcuchem Markowa o prawdopodobieńswach przejścia 34 DECYZJE R 5/2006

7 Krzyszof Szajowski (5) { 1/s p(r, = P{W + 1 = (s,1) W = (r,1)} = gdy r = 1, s = 2, r r s(s / s(s 1) 1), gdy 1 < r < s, 0 gdy r s lub r = 1, s 2 1 s, + oraz p(, ) = 1, p(r, ) = iech i niech M ~ 1 a = p( r, G = σ{ W1, W2,, W } s r 1 będzie zbiorem momenów zarzymania względem { G } = 1 Ponieważ γ jes rosnący, ~ ~ o możemy określić = { σ M : γ > r} M r+ 1 σ P (r,1) ( ) jes miarą probabilisyczną związaną z łańcuchem Markowa W, gdy san począkowy łańcucha o (r,1) i E (r,1) ( ) jes warością oczekiwaną względem P (r,1) ( ) Z (5) widać, że prawdopodobieńswa przejścia zależą od momenów r, w kórych pojawiają się obieky o relaywnej randze R r = 1 Biorąc pod uwagę posać funkcji wypłay g~ c ( r,, R ) należy rozparywać dwuwymiarowy łańcuch Markowa Oznaczmy Z : Ω T T łańcuch Markowa o prawdopodobieńswach przejścia w jednym kroku: i (6a) P( Z + 1 = ( s, j) Z = ( s, i)) = gdy s < i < j, j( j 1) (6b) P ( Z + 1 = ( k, i) Z = ( s, i)) = s k( k 1) gdy s < k < i i 0 poza ym Wprowadzamy operaory w oparciu o (6) i (5) dla s > r (7a) ~ 1 ~ ~ 1 s 1 s (, ) (, ) ( 1) (, ) 1, 1 ( 1) 2 1 ( 1) Th r s = E = + r s h Z h r j c j= s+ j j j= s+ j j (7b) Th( r) 1 1 ~ 1 r r ( 1) (, ) 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) = E = + rh W h r j c j = r + j j j = r + j j DECYZJE R 5/

8 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI 3 Koszy decyzji w problemie najlepszego wyboru losowej warości wybieranego obieku iech = { M : r } oraz v ( r) = sup Eg (, R, X ) asępujący M r algorym pozwala na wyznaczenie warości rozważanego problemu opymalnego wyboru v iech r M r c (8) v ( ) = Eg (, R, X ) = E( X ) c c i dla r < ~ (9a) w ( r, max{ h ( r,, Tw ( r, }, (9b) v ( r) max{ h( r), Tv ( r)} Zbiór sanów definiujący opymalną regułę zarzymania (10) Γ = {( r, : h( r, w ( r,, r < s} {( r, )}, r = = gdzie r T W klasie akich zbiorów zarzymania mamy rozwiązanie obcięego problemu Z wykorzysaniem ych rozwiązań definiujemy opymalną regułę zarzymania Mamy eż zależność, iż v = v (1) Lema 31 W rozważanym problemie z funkcją wypłay (4) oraz c [0,½), isnieje k 0 akie, że dla r k 0 opymalna reguła zarzymania * w jes posaci zn zbiór sanów definiujący opymalną regułę zarzymania ma posać Γr = {( r, : s r, Yr = 1} {( r, )} k s Uwaga 32 Załóżmy, że s > k > k 0 Wyznaczmy granice y oraz x przy Orzymujemy wówczas h( y, x) = lim x 1 h( y, x) = x xc lim Th( k, 1 cx c log ( x) k s = y, x, 2 1 y 1 y * = inf { s r: Ys = 1}, M r ~ 1 x h ( k, = 1 c, 1 k s y, x, y 36 DECYZJE R 5/2006

9 Krzyszof Szajowski 1 Dla c [0,½) równanie log( y ) = ( y 1)(1 + ) ma pierwiasek α (0,1) Jeśli x y α, 2c o h( y, x) h( y, x) Opymalną regułę zarzymania * możemy zaem opisać nasępująco: należy zaakcepować obiek w chwili r, kórego relaywna ranga Y r = 1, chyba, że v (r) > h(r) Twierdzenie 33 Dla każdego c [0,½) isnieje k 0 akie, że i v = v (k 0 1) Γ = { r : r k0, Yr = 1} { } Tabela 1 Opymalne sraegie oraz oczekiwane opymalne wypłay zgodnie z Twierdzeniem 33 i 34 Kosz decyzji c = 0 c = 0,1 c = 0, /20 = 0, /600 0, /15 0, /15 0, , , /40 = 0, , , , , , , , , [0, ] 0,9 [0, ] 0,8 iech liczba obieków dąży do nieskończoności Jeśli kosz 0 < c < ½ jes dodani, o oczekiwana warość problemu jes mniejsza niż 1, a asympoyczna warość progu jes większa od 0 Twierdzenie 34 iech c [0,½) Wówczas mamy (11) 1 cα lim v = 1 c ( c + ) α log( α) k0 2 1 α α, i α jes jednoznacznie określone jako jedyne rozwiazanie równania w (0,1) 1 log( x) = (1 + )( x 1) 2c 4 Uwagi końcowe Włączenie do modelu koszu decyzji dało paramer mierzący poziom obaw selekcjonera w momencie akcepowania kandydaa, iż jego decyzja jes przedwczesna Można sobie również wyobrazić działanie decyzyjne selekcjonera, gdy jego sposób obserwacji polega na sprawdzeniu, czy analizowany obiek ma prawdziwą warość powyżej czy eż poniżej pewnego poziomu W ym przypadku warość progu deerminuje ocze- DECYZJE R 5/

10 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI kiwaną liczbę obserwacji do chwili selekcji (parz Porosiński i Szajowski, 2000) Taki sposób częściowej obserwacji jes ławo sosować w prakyce i jes o nauralne zachowanie wielu handlowców ie akcepują oni ceny poniżej pewnego poziomu Chmielecka i Porosiński (2005) analizują maemayczne podobieńswo sraegii opymalnych w różnych modelach decyzyjnych związanych z sekwencyjną obserwacją ciągu zmiennych losowych modelujących jakość selekcjonowanych obieków Tema en jes przedmioem zaineresowania wielu maemayków i zbieżność opymalnych sraegii w różnych modelach powinna być również przedmioem zaineresowania specjalisów od psychologicznej eorii decyzji W wielu rzeczywisych syuacjach zbliżonych do rozparywanego modelu selekcjoner waha się zby długo i odkłada decyzje o akcepacji odrzucając relaywnie pierwsze obieky Wyglada na o, że jes pełen obaw, iż uraci bardzo dobre możliwości Model maemayczny dla akiego decydena mógłby bazować na wielokryerialnym podejściu jak u Gnedina (2005), Fergusona (1992), Samuelsa i Cholosa (1986), a osanio u Sakaguchi ego i Szajowskiego (2000) oraz Beardena e al (2005) W modelu analizowanym przez Sakaguchi ego i Szajowskiego (2000) jedna ze zmiennych opisujących obieky związana jes z warością lub rangą obieku, druga zaś mierzy nieokreślone ryzyko decyzji odczuwane przez selekcjonera Porzebne jes zbadanie jak powinny być określone składowe wekora opisującego obieky do zadania selekcji prowadzonej przez decydena o bliżej zdefiniowanym poczuciu lęku i odpowiedzialności za podejmowane decyzje Biorąc o pod uwagę, porzebne są eoreyczne rozważania w celu sfomułowania rozszerzeń problemu wyboru najlepszego obieku Bibliografia Baroszyński, R, 1974 Reguły zarzymywania Wiadom Ma 18, Baroszyński, R, Govindarajulu, Z, 1978 The secreary problem wih inerview cos Sankhya, Ser B 40, Bearden, J, 2006 A new secreary problem wih rank-based selecion and cardinal payoffs J Mah Psychology 50, Bearden, J, Murphy, RO, Rapopor, A, 2005 A muli-aribue exension of he secreary problem: Theory and experimens J Mah Psychology 49, Cayley, A, 1875 Mahemaical quesions wih heir soluions The Educaional Times 23, Chmielecka, A, Porosiński, Z, 2005 Maemayka w ochronie zdrowia ludzkiego, czyli jak unikać sresu związanego z koniecznością podejmowania decyzji problem najlepszego wyboru w ujęciu sekwencyjnym, [w]: Zagadnienia inerdyscyplinarne w inżynierii ochrony środowiska, I Konferencja aukowa Dokoranów, Szklarska Poręba, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Wrocławskiej, DECYZJE R 5/2006

11 Krzyszof Szajowski Corbin, RM, 1980 The secreary problem as a model of choice J Mah Psychol 21, 1-29 Dynkin, E, Juszkiewicz, A, 1970 Twierdzenia i problemy procesów Markowa Biblioeka aukowa Inżyniera, PW Warszawa Ferguson, TS, 1992 Bes-choice problems wih dependen crieria, [w:] Ferguson, TS, Samuels, SM (Ed, Sraegies for Sequenial Search and Selecion in Real Time, Proceedings of he AMS-IMS-SIAM Join Summer Research Conferences held June 21-27, 1990 Vol 125 of Conemporary Mahemaics American Mahemaica Sociey, Providence, Rhode Island, Universiy of Massachuses a Amhers, Gardner, M, 1960 a Mahemaical games Scienific American 202 (1), Gardner, M, 1960 b Mahemaical games Scienific American 202 (3), Gilber, J, Moseller, F, 1966 Recognizing he maximum of a sequence J Amer Sais Assoc 1 (313), Gnedin, A, 1981 Mulicrierial problem of opimum sopping of he selecion process Auom Remoe Conrol 42, Gusejn-Zade, S, 1966 Zadacha vybora i opimal'noe pravilo osanovki posledovael'nosi nezavisimykh ispyanij Teor Veroyan Primen 11, Przekład ang: The problem of choice and he opimal rule for a sequence of independen rials, TheorProbabAppl 11, Kozielecki, J, 1975 Psychologiczna eoria decyzji, Pańswowe Wydawnicwo aukowe, Warszawa 1975 Porosiński, Z, Szajowski, K, 2000 Full-informaion bes choice problem wih random saring poin Mah Jap 52 (1), Resnick, SI, 1987 Exreme values, regular variaion, and poin processes Applied Probabiliy, Vol 4, ew York ec: Springer-Verlag XII, 320 p; DM Sakaguchi, M, Szajowski, K, 2000 Mixed-ype secreary problems on sequences of bivariae random variables Mah Jap 51 (1), Samuel-Cahn, E, Ocober 2005 When should you sop and wha do you ge? Some secreary problems Discussion Paper 407, Deparmen of Saisics, The Hebrew Universiy of Jerusalem, Jerusalem 91905, Israel; hp://raiohujiacil/dp/dp407pdf Samuels, SM, Cholos, B, 1986 A muliple crieria opimal selecion problem, [w:] Ryzin, JV (Ed), Adapive saisical procedures and relaed opics Proceedings of he Symposium on Adapive Saisical Procedures and Relaed Topics, held a Brookhaven aional Laboraory, czerwiec 1985 r 8 w IMS Lec oes Monogr Ser Insiue of Mahemaical Saisics, Beachwood, OH 44122, USA, Seale, D, Rapopor, A, 1997 Sequenial decision making wih relaive ranks: An experimenal nvesigaion of he ''secreary problem'' Organizaional Behaviour and Human Decision Processes 69, Seale, D, Rapopor, A, 2000 Opimal sopping behavior wih relaive ranks: The secreary problem wih unknown populaion size J Behavioral Decision Making 13, DECYZJE R 5/

12 OPTYMALE POSTĘPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI Smih, M, Deely, J, 1975 A secreary problem wih finie memory J Amer Sa Assoc 70, Suchwałko, A, Szajowski, K, 2002 on sandard, no informaion secreary problems Sci Mah Japonicae 56, Szajowski, K, 1982 Opymalny wybór obieku o a-ej randze Maem Sos 19, Szajowski, K, kwiecień 2006 A rank-based selecion wih cardinal payoffs and a cos of choice Preprin I-18/2006, Insyu Maemayki i Informayki, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław; hp://neymanimpwrwrocpl/~szajow/publ2002/pdf/ranksop06pdf Yang, M, 1974 Recognizing he maximum of a random sequence based on he relaive rank wih he backward soliciaion J Appl Prob 11, Yeo, GF, 1998 Inerview coss in he secreary problem Aus ZJ Sa 40 (2), DECYZJE R 5/2006