Marcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2018/19.

Transkrypt

1 Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2018/19

2 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym inwestowaniem w papiery wartościowe, g ównie w akcje. Analiza portfelowa ¾aczy w sobie elementy nauki o nansach, ekonomii zarz ¾adzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoria prawdopodobieństwa, metody numeryczne). Optymalizacji dokonuje si ¾e pod wzgl ¾edem dwóch kryteriów: zysku (maksymalizacja) i ryzyka (minimalizacja) jest to przyk ad optymalizacji wielokryterialnej (wektorowej). Portfel papierów wartościowych jest to zestaw papierów wartościowych, które posiada inwestor.

3 2 Historia analizy portfelowej Twórc ¾a analizy portfelowej by ekonomista amerykański Harry Markowitz. Rozwin ¾a on teori ¾e alokacji środków nansowych w warunkach niepewności, która zajmuje si ¾e optymalizowaniem inwestycji w zale zności od spodziewanego zysku i ryzyka. Pierwsz ¾a publikacj ¾a z tej dziedziny by a praca: H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1 (1952), W 1963 r. William Sharpe opublikowa teori ¾e modelu jednowskaźnikowego b ¾ed ¾ac ¾a uproszczeniem teorii Markowitza.

4 W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrod ¾e Nobla, g ównie za prace z analizy portfelowej. XXI wiek zastosowanie nowych teorii matematycznych rozwiazuj ¾acych problemy robust optimization ( solidna optymalizacja), inaczej uncertain optimization (optymalizacja w warunkach niepewności).

5 3 Cele analizy portfelowej Określenie charakterystyk papierów wartościowych (g ównie dotycz ¾acych zysku i ryzyka). Określenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk adu portfela papierów wartościowych (np. dobrze jest inwestować w akcje ró znych rm i to takie, które nie sa¾ dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje sie¾ zgodnych wahań ich kursów). Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmiany jego sk adu. (Z regu y inwestor nie pozbywa sie¾ posiadanego portfela, lecz zamierza dalej inwestować. Jednak, poniewa z zmieniaja¾ sie¾ warunki rynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo ze ju z nie być optymalny).

6 Analiza portfelowa mo ze te z dotyczyć optymalizacji portfela produkcyjnego (product portfolio optimization PPO). Metody s ¾a podobne, jak w przypadku portfela papierów wartościowych.

7 4 De nicje papieru wartościowego De nicja 1. Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument - nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rz ¾adowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz ¾eściej w postaci innego papieru wartościowego).

8 De nicja 2. Papier wartościowy to dokument lub zapis w systemie informatycznym na rachunku papierów wartościowych, który ucieleśnia prawa maj ¾atkowe w taki sposób, ze dane uprawnienia przys uguj ¾a osobie wskazanej jako uprawniona w treści dokumentu (choćby jako okaziciel), a przed o zenie go jest warunkiem koniecznym i wystarczaj ¾acym dla realizacji uprawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat ¾e uprawnień dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu dokumentu.

9 5 Rodzaje papierów wartościowych 5.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadcz ¾acy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

10 Akcje dziel ¾a si ¾e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

11 5.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzaj ¾acy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni ¾edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek. Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach.

12 Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat), średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat).

13 Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na pocz ¾atku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z ¾a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej.

14 6 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji, w szczególności inwestycji w papiery wartościowe. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (1) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

15 Przekszta caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag ¾ inwestycji nansowych w przedzia- ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym ¾ dla nastepnego ¾ okresu. Je zeli R i jest stopa¾ zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi R = ny i=1 (1 + R i ) 1: (3) Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n:

16 Zatem K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = K 0 n Y i=1 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wi ¾ec musi spe niać warunek (2), czyli K n = K 0 (1 + R): (5) Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3).

17 Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb ¾e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) i=1 nazywamy średni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nast ¾epuj ¾acy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych R, daje stop ¾e zysku R określon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny i=1 (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny i=1 (1 + R i ) 1:

18 Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 n nx i=1 R i ; (7) tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Dowód. Stosujemy znan ¾a nierówność pomi ¾edzy średni ¾a geometryczn ¾a i arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a 1 ; :::; a n : v u u Y t n n i=1 a i 1 n nx a i i=1 (równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i s ¾a równe).

19 Niech a i := 1 + R i, wówczas v uut Y n R = n i=1(1 + R i ) 1 1 n 0 = + n 1 nx R i A i=1 1 = 1 n nx i=1 nx (1 + R i ) 1 i=1 R i :

20 7 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: gdzie: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) R stopa procentowa (b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita pocz ¾atkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach).

21 W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita u m razy w ci ¾agu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast ¾epuj ¾acy wzór na wartość przysz ¾a sumy K 0 po n latach: K n = K R m mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz ¾estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K R 4 4n miesi ¾eczna: K n = K R 12 12n dzienna: K n = K R n

22 hipotetyczna ci ¾ag a : K n = K 0 lim m! R mn m! 3 m=r Rn = K 0 lim m!1 m=r = K 0 lim x Rn = K x!1 0 e x Rn ; gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost cz ¾estości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u.

23 8 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n; (10) gdzie K 0 nazywamy wartości ¾a bie z ¾ac ¾a (lub obecn ¾a) sumy pieni ¾edzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartości ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie z ¾acy). Stop ¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a. Interpretacja: wartość bie z ¾aca K 0 wskazuje, jak ¾a sum ¾e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sum ¾e równ ¾a K n.

24 9 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾agu roku) nale zy powi ¾ekszyć stop ¾e procentow ¾a R wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartości zwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K m R mn : St ¾ad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (11)

25 10 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane s ¾a dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego.

26 Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (12) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾a jest stopa zysku.

27 Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (12), otrzymujemy gdzie: P = nx i=1 C i (1 + R) i; (13) P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w pojedynczym okresie.

28 De nicja 1. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z ¾acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (13): 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cen ¾a rynkow ¾a papieru wartościowego w celu podj ¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyj ¾ać jako P cen ¾e rynkow ¾a papieru wartościowego i rozwi ¾azać równanie (13) wzgl ¾edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znaj ¾ac R, mo zna podj ¾ać decyzj ¾e o zakupie (np. porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

29 11 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj ¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosz ¾a C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosuj ¾ac (13), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: gdzie P = nx i=1 C (1 + R) i + M (1 + R) n; (14) P ni=1 C (1+R) i zdyskontowany przychód z odsetek, M (1+R) n zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.

30 W (14) wyst ¾epuj ¾a dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku obligacji (zwana tak ze stop ¾a rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

31 12 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up ywie n lat. Wówczas z (13) otrzymujemy P = nx i=1 D i (1 + R) i + P n (1 + R) n; (15)

32 gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a, P ni=1 D i (1+R) i zdyskontowany przychód z dywidend, P n (1+R) n zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji.

33 Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (15), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczn ¾a (o ile istnieje): P = lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i = 1 X i=1 Wzór (16) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. D i (1 + R) i: (16) Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (16) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1, i = 2; 3; ::: oraz < 1. Wówczas lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 nx i=1 A 1+R A i 1 (1 + R) i = D 1 1X i=1 A i 1 (1 + R) i; gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wi ¾ec zbie znym. A 1+R 2

34 2) We wzorze (16) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si ¾e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si ¾e dywidenda. Praktyczne zastosowanie wzoru (16). Dla wykorzystania tego wzoru niezb ¾edna jest znajomość dywidend otrzymywanych w przysz ości z tytu u posiadania akcji. Na podstawie badań empirycznych zosta y zaproponowane ró zne modele kszta towania si ¾e wartości dywidend.

35 12.1 Model sta ej wartości dywidendy Zak ada si ¾e, ze rma nie rozwija si ¾e, osi ¾aga sta ¾a (w przybli zeniu) wartość dochodów, a zatem wyp aca sta ¾a dywidend ¾e. Dla wyprowadzenia wzoru na wartość akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum ¾e nieskończonego szeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 2 ( 1; 1): 1X i=1 aq i 1 = a 1 q : (17) Podstawiaj ¾ac sta ¾a wartość D zamiast D i do (16), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (17) dla a = q = 1 1+R, otrzymamy P = D 1X i=1 1 (1 + R) i = D 1 W tym modelu stopa zysku akcji R = D P 1 1+R 1 1+R = D 1 1+R R 1+R = D R : (18) jest sta a i równa stopie dywidendy.

36 12.2 Model sta ego wzrostu dywidendy (model Gordona Shapiro) Zak ada si ¾e, ze rma rozwija si ¾e w sta ym tempie, a zatem wyst ¾epuje sta e roczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 < g < R. Jeśli wi ¾ec przez D 1 oznaczymy dywidend ¾e p acon ¾a w pierwszym roku, to dywidenda p acona w i-tym roku wyra za si ¾e wzorem D i = D 1 (1 + g) i 1 : Uwzgl ¾edniaj ¾ac powy zsze w (16), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (17) dla a = 1 1+R i q = 1+g 1+R, otrzymamy P = D 1 1 X i=1 (1 + g) i 1 (1 + R) i = D R 1+g 1+R 1+R R g 1+R = D 1 1 = D 1 R g : (19)

37 Jeśli chcemy wyznaczyć stop ¾e zysku akcji, to przekszta camy (19) do postaci R = D 1 P + g: Zatem stopa zysku akcji jest sum ¾a bie z ¾acej stopy dywidendy D 1 =P i tempa wzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si ¾e na podstawie danych z przesz ości, korzystaj ¾ac ze wzoru gdzie: g = r t r e ; r t wspó czynnik zatrzymania, tj. udzia zysku zatrzymanego (nie wyp aconego w formie dywidendy, a wi ¾ec przeznaczonego na rozwój) w ca ości zysku rmy, r e stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo zna j ¾a oszacować jako przeci ¾etn ¾a stop ¾e zwrotu z inwestycji dokonanych przez rm ¾e w przesz ości).

38 12.3 Model dwóch faz Model ten wynika z obserwacji, ze wiele rm w pocz ¾atkowym okresie istnienia rozwija si ¾e szybko, a po osi ¾agni ¾eciu dojrza ości rozwój jest wolniejszy. Zak ada si ¾e, ze: 1. przez N lat dywidenda rośnie w tempie g 1, 2. nast ¾epnie dywidenda rośnie zawsze w tempie g 2, gdzie g 2 < g 1.

39 12.4 Model trzech faz W modelu tym wyst ¾epuj ¾a nast ¾epuj ¾ace fazy rozwoju rmy: 1. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 1 przez N 1 lat, 2. wzrost dywidendy w zmiennym (malej ¾acym) tempie g 2 przez N 2 lat, 3. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 3 przez N 3 lat, przy czym g 3 < g 2 < g 1.

40 13 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z ¾a zdarzenia: pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). (zdarzenie

41 Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ A i A = i=1 i=1 P (A i ):

42 Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

43 W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to z równości = [ f!g oraz z warunków A2 i W2 wynika, ze X!2 P (f!g) = P [!2 1 f!ga = P () = 1: (20)

44 Przyk ad 1. Eksperci wskazali na 5 mo zliwych stanów gospodarki w ci ¾agu najbli zszego roku oraz na prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia: stan gospodarki skrót prawdopodobieństwo du zy rozwój DRO 0; 1 niewielki rozwój NRO 0; 3 stagnacja STA 0; 2 niewielka recesja NRE 0; 3 du za recesja DRE 0; 1 Jeśli przez oznaczymy zbiór wszystkich stanów gospodarki, to określona powy zsz ¾a tabelk ¾a funkcja prawdopodobieństwa P, po rozszerzeniu do wszystkich podzbiorów zbioru, spe nia warunki (A1) (A3). Dla dowolnego podzbioru, obliczamy prawdopodobieństwo odpowiedniego zdarzenia z w asności (W2). Na przyk ad, je zeli A = fdro; NROg, jest zdarzeniem, ze wyst ¾api rozwój, to P (A) = P (fdrog) + P (fnrog) = 0; 1 + 0; 3 = 0; 4:

45 14 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

46 Przyk ad 2. Ustalono, ze stopa zysku akcji A zale zy od stanu gospodarki w nast ¾epuj ¾acy sposób: stan gospodarki prawdop. wyst ¾apienia stopa zysku R A akcji A DRO 0; 1 20% NRO 0; 3 10% STA 0; 2 2% NRE 0; 3 5% DRE 0; 1 5% Wówczas funkcja R A :! 7! R A (!) jest zmienn ¾a losow ¾a. Zauwa zmy, ze mo ze ona przyjmować te same wartości dla ró znych zdarzeń elementarnych, np. R A (NRE) = R A (DRE) = 5%. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (21)

47 Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: (22) Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny. Za ó zmy, ze S = fx 1 ; :::; x n g i oznaczmy przez p i prawdopodobieństwo zdarzenia, ze zmienna losowa X przyjmuje wartość x i (i = 1; :::; n). Wówczas, przyjmuj ¾ac B = fx i g w (21), otrzymujemy P X (fx i g) = P (X = x i ) = p i ; (23) gdzie P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Ponadto z (22) i (23) wynika, ze nx i=1 p i = nx i=1 P X (fx i g) = P X (S) = 1: (24)

48 15 Ca ka wzgl ¾edem miary probabilistycznej Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Funkcj ¾e X :! R nazywamy funkcj ¾a prost ¾a, je zeli przyjmuje skończenie wiele wartości: X() = fx 1 ; :::; x n g. Tak ¾a funkcj ¾e mo zna zapisać jako X = nx k=1 x k 1 Fk ; gdzie F k := f! 2 : X(!) = x k g, zaś 1 Fk :! R jest funkcj ¾a określon ¾a wzorem 1 Fk (!) := ( 1 dla! 2 Fk ; 0 dla! 2 nf k :

49 Ca k ¾e z funkcji prostej de niujemy wzorem Z XdP := nx k=1 x k P (F k ): Niech X :! [0; 1) b ¾edzie funkcj ¾a F-mierzaln ¾a nieujemn ¾a (tzn. nieujemn ¾a zmienn ¾a losow ¾a). Wówczas ca k¾e z X wzgl ¾edem miary P de niujemy wzorem Z XdP := sup Z ZdP; gdzie kres górny jest brany po wszystkich funkcjach prostych Z :! R takich, ze Z X. W szczególności, R XdP mo ze przyjmować wartość 1. W dalszym ci ¾agu przyjmujemy umow¾e, ze 1 0 = 0 1 = 0. Niech X :! R b ¾edzie dowoln ¾a funkcj ¾a F-mierzaln ¾a. Oznaczmy X + := maxfx; 0g, X := maxf X; 0g = minfx; 0g:

50 Ca k ¾a z funkcji X wzgl ¾edem miary P nazywamy liczb ¾e (skończon ¾a lub nie) Z XdP := Z X + dp o ile przynajmniej jedna z ca ek R X+ dp, R X dp jest skończona. Mówimy, ze funkcja X jest ca kowalna, je zeli R jxj dp < 1. Z X dp; Ca k¾e z X po zbiorze A de niujemy nast ¾epuj ¾aco: Z XdP := Z A X1 A dp:

51 Twierdzenie 1 (w asności ca ki funkcji nieujemnej). (a) Je zeli 0 X Y, to R XdP R Y dp. (b) Je zeli X 0, A; B 2 F, A B, to R A XdP R B XdP. (c) Je zeli X 0, A 2 F, R A XdP = 0, to X = 0 p.n. (prawie na pewno) na A, tzn. P f! 2 : X(!) 6= 0g = 0.

52 16 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (25) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów. Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (26)

53 W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (27) De nicja (27) jest uogólnieniem de nicji (25). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (26) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

54 Ze wzoru (26) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 2. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (28)

55 17 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 17.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (29) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

56 Wzór (29) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). R i (30)

57 17.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (31) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

58 18 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (32) Wariancj ¾e mo zna inaczej zapisać nast ¾epuj ¾aco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (33) Dowód (33). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2.

59 Ze wzorów (32) i (25) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (34) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1.

60 Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (35) 19 Ryzyko papieru wartościowego Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

61 19.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (36) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (31). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

62 Przyk ad 3. Eksperci ocenili zachowania akcji A i B na podstawie ich notowań z przesz ości. Np. sprawdzono, ze w czasie silnej hossy na gie dzie wartość akcji A wzrasta a średnio o 40% w ci ¾agu miesi ¾aca, w czasie powolnego wzrostu ros a o 20%, itd. Analizuj ¾ac sytuacj ¾e na gie dzie, mo zna określić prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stanów (od silnej hossy do silnej bessy). sytuacja prawdop. prognozowana zmiana na gie dzie wyst ¾apienia akcja A akcja B silna hossa 0; 1 40% 12% powolny wzrost 0; 2 20% 6% stabilizacja 0; 4 5% 1% powolny spadek 0; 2 15% 5% silna bessa 0; 1 20% 8% oczekiwana stopa zysku 1% 1%

63 Oczekiwana stopa zysku dla akcji A i B jest taka sama. Patrz ¾ac na tabelk¾e mo zna jednak ocenić, ze inwestycja w akcj ¾e A jest bardziej ryzykowna. Rzeczywiście, jeśli skorzystamy z wzoru (36) do obliczenia wariancji obu akcji, a nast ¾epnie obliczymy ich odchylenia standardowe, to otrzymamy A 18; 3%; B 5; 7%:

64 19.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (37) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (30). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (31), a zatem (37) jest szczególnym przypadkiem (36), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

65 W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (38) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co wyjaśnimy dok adniej w dalszej cz ¾eści wyk adu. W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

66 20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (39) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

67 Twierdzenie 3. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny X i A = i=1 i=1 EX i : (40) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmuj ¾acych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g s ¾a borelowskie, wi ¾ec z (39) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J).

68 St ¾ad na podstawie (25) X j2j = X X i2i j2j 0 E(XY ) = X i2i = x i y j P (X = x i ; Y = y j ) x i y j P (X = x i )P (Y = y j X i2i x i P (X = x i ) X y j P (Y = y j ) A = EX EY. j2j

69 Twierdzenie 4. Przy za o zeniach Twierdzenia 3 zachodzi równo sć Var 0 1 X i A = i=1 nx i=1 Var X i : (41) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (33), (28), (40) i ponownie z (33), otrzymujemy Var(X + Y ) = E h (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y.

70 21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (42) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 2(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (43) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej.

71 Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystaj ¾ac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (44) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (45) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (46)

72 Z nierówności (44) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 3 i z równości (43) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (47)

73 Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (25) na wartość oczekiwan ¾a, mo zemy zapisać wzór (42) w postaci Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (48) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaj ¾a odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione.

74 W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (48), otrzymujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e: Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: Cov(R A ; R B ) := nx i=1 p i RA;i ER A RB;i ER B ; (49) R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

75 Korzystaj ¾ac ze wzorów (36), (46) i (49), otrzymujemy de nicj ¾e wspó czynnika korelacji akcji A i B: A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 p i RA;i ER A RB;i ER B = q Pni=1 p i (R A;i ER A ) 2q P (50) ni=1 p i (R B;i ER B ) 2: Jeśli korelacj ¾e określa si ¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określaj ¾ace kowariancj ¾e i wspó czynnik korelacji akcji A i B przyjmuj ¾a postać Cov(R A ; R B ) := 1 n nx i=1 RA;i ~R A RB;i ~R B ; (51)

76 gdzie ~R A, ~R B średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 RA;i ~R A RB;i ~R B = q Pni=1 (R A;i ~R A ) 2q P (52) ni=1 (R B;i ~R B ) 2: W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst ¾epuj ¾acy w (51) i (niejawnie) w (52) mo ze być zast ¾apiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji.

77 Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B s ¾a (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miar ¾a zale zności liniowej (por. wzór (45)), tj. miar ¾a skupiania si ¾e punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rz ¾ednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej.

78 23 Model wartości kapita u w czasie Rozwa zamy kapita K, którego wartość w momencie t oznaczamy przez K(t), przy czym czas jest wyra zony w latach. Kapita K mo zna zatem traktować jako funkcj ¾e K : R! R. Zak adamy, ze znana jest wartość K(t 0 ) kapita u K w momencie t 0, przy czym K(t 0 ) > 0. W celu aktualizacji wartości tego kapita u na dowolnie wybrany moment t A odleg y od t 0 o ca kowit ¾a ilość lat, mo zemy zastosować wzór (8) na obliczanie procentu sk adanego (jeśli t A > t 0 ) albo zasad ¾e dyskonta (10) (jeśli t A < t 0 ). Przy obecnych oznaczeniach daje to odpowiednio K(t A ) = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 > 0; (53) K(t A ) = K(t 0 ) (1 + R) t 0 t A = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 < 0: (54)

79 Wzory (53) i (54) mo zna uogólnić w ten sposób, ze dla dowolnego momentu czasowego t, bez wzgl ¾edu na to, czy jest on wcześniejszy czy późniejszy ni z t 0, wartość kapita u zaktualizowana na moment t wynosi K(t) = K(t 0 )(1 + R) t t 0, t 2 R: (55)

80 24 Estymatory nieobci ¾a zone Rozwa zamy model doświadczenia polegaj ¾acy na n-krotnej realizacji pewnego doświadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartościach rzeczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doświadczenia jest n-wymiarowy wektor losowy (X 1 ; :::; X n ), gdzie X 1 ; :::; X n s ¾a niezale znymi zmiennymi losowymi, z których ka zda ma taki sam rozk ad prawdopodobieństwa jak X. Taki wektor losowy (X 1 ; :::; X n ) nazywamy n-elementow ¾a prób ¾a losow ¾a (prost ¾a) zmiennej losowej X. Niech! 2 b ¾edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obserwujemy x 1 = X 1 (!); :::; x n = X n (!). Wówczas wektor (x 1 ; :::; x n ) nazywamy realizacj ¾a próby losowej (X 1 ; :::; X n ) odpowiadaj ¾ac ¾a zdarzeniu elementarnemu!.

81 Statystyk ¾a nazywamy ka zd ¾a funkcj ¾e rzeczywist ¾a U n = '(X 1 ; :::; X n ) wektora losowego (X 1 ; :::; X n ) stanowi ¾acego prób ¾e wyjściowej zmiennej losowej X. Statystyk ¾a nazywa si ¾e tak ze realizacj ¾e u n = '(x 1 ; :::; x n ) zmiennej losowej U n. Za ó zmy teraz, ze rozk ad zmiennej losowej X zale zy od parametru 2 R. Wówczas rozk ad danej statystyki U n na ogó tak ze zale zy od, pomimo tego, ze sama statystyka nie jest funkcj ¾a. Obserwacje statystyki U n mo zna zatem wykorzystać do wnioskowania o parametrze. Zmienn ¾a losow ¾a (statystyk¾e) U n = '(X 1 ; :::; X n ), której realizacj ¾e przyjmujemy jako ocen ¾e parametru, nazywamy estymatorem parametru. Estymator U n = '(X 1 ; :::; X n ) parametru nazywamy nieobci ¾a zonym, je zeli EU n = ; w przeciwnym przypadku estymator U n nazywamy obci ¾a zonym.

82 Statystyk ¾e X := 1 n nazywamy średni ¾a z próby, a statystyk¾e nx i=1 X i (56) wariancj ¾a z próby. S 2 := 1 n nx i=1 (X i X) 2 (57)

83 Stwierdzenie 3. Średnia z próby jest estymatorem nieobcia zonym ¾ warto sci oczekiwanej EX. Dowód. Korzystaj ¾ac z liniowości wartości oczekiwanej (wzór (28)) oraz z faktu, ze zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾a ten sam rozk ad (a wi ¾ec i wartość oczekiwan ¾a) co X, otrzymujemy E X = 1 n nx i=1 EX i = 1 nex = EX. (58) n

84 Stwierdzenie 4. Var X. Wariancja z próby jest estymatorem obcia zonym ¾ wariancji Dowód. Z de nicji S 2 = 1 nx i X) n i=1(x 2 = 1 nx (Xi 2 2X i X + X 2 ) n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 1 nx X i + 1 nx X 2 n i=1 n i=1 n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 2 + X 2 = 1 nx Xi 2 X 2 : n i=1 n i=1 St ¾ad, poniewa z X i maj ¾a ten sam rozk ad co X, otrzymujemy 0 E(S 2 ) = 1 n 1 nx Xi 2 i=1 A E( X 2 ) = E(X 2 ) E( X 2 ): (59)

85 Zgodnie z (33) i (58) mamy E(X 2 ) = Var X + (EX) 2 ; (60) E( X 2 ) = Var X + (E X) 2 = Var X + (EX) 2 : (61) Ponadto na mocy (56), w asności (b) wariancji oraz Twierdzenia 3 0 Var X = 1 n Ze wzorów (59) (62) dostajemy 1 nx X i i=1 E(S 2 ) = Var X Var X = A = 1 n 2 n Var X = 1 n 1 1 n Var X = n 1 n Var X. (62) Var X; co oznacza, ze S 2 jest estymatorem obci ¾a zonym parametru Var X.

86 Wniosek 1. Statystyka ^S 2 := n n 1 S2 = 1 n 1 nx i=1 jest estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji Var X. (X i X) 2 Powy zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (38) do prognozowania wariancji stopy zysku w przypadku ma ej liczby danych.

87 25 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (41)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 5. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi równo sć Var 0 1 nx X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (63)

88 Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (33), (28), ponownie z (33) oraz z (43), otrzymujemy = nx i=1 Var 0 1 X i i=1 A = E h E(X 2 i ) (EX i ) 2i + 2 = nx i=1 Var X i nx 4@ X i A 7 nx i=1 i=1 X 1i<jn X 1i<jn h E(Xi X j ) EX i Cov(X i ; X j ). 12 A EX i EX j i Wniosek 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje¾ i sa¾ parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (41).

89 26 Portfel dwóch akcji Niech P oznacza portfel, w którym udzia y akcji A i B wynosz ¾a odpowiednio u A i u B. Udzia y te rozumiemy w sensie wartościowym, a nie ilościowym, co ilustruje poni zszy przyk ad. Przyk ad 4. Inwestor posiada portfel, w sk ad którego wchodzi 10 akcji Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbudu wynosi 45 z 50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z 50 gr. Wobec tego udzia y tych akcji w portfelu wynosz ¾a: u A = 10 45; ; ; 5 t 0; 58; u B = 20 16; ; ; 5 t 0; 42:

90 Ogólnie, udzia y akcji w portfelu s ¾a liczbami z przedzia u [0; 1], które sumuj ¾a si ¾e do jedności. Jest to równowa zne warunkom: u A 0, u B 0, u A + u B = 1: (64) Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez R A i R B. Mog ¾a to być równie z średnie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie wcześniejszych notowań. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jest dana wzorem: ER P = E(u A R A + u B R B ) = u A ER A + u B ER B : (65) Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest średni ¾a wa zon ¾a oczekiwanych stóp zysku obu akcji, przy czym wagami s ¾a udzia y tych akcji w portfelu.

91 Korzystaj ¾ac z wzoru (63), mo zemy wyznaczyć wariancj ¾e (stopy zysku) portfela P : gdzie: Var R P = Var(u A R A ) + Var(u B R B ) + 2 Cov(u A R A ; u B R B ) = u 2 A Var(R A) + u 2 B Var(R B) + 2u A u B Cov(R A ; R B ); (66) Var(R A ), Var(R B ) wariancje odpowiednio akcji A i B, Cov(R A ; R B ) kowariancja akcji A i B.

92 Przechodz ¾ac do ryzyka opisanego za pomoc ¾a odchylenia standardowego, otrzymujemy z wzoru (66) q q P = Var R P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B A;B ; (67) gdzie: P odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P, A, B ryzyko odpowiednio akcji A i B, A;B wspó czynnik korelacji akcji A i B. Analizuj ¾ac wzory (65) i (67) widzimy, ze wartości ER P i P zale z ¾a od udzia ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku P ) od korelacji mi ¾edzy akcjami. Omówimy teraz ró zne przypadki w zale zności od wartości A;B.

93 26.1 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja dodatnia) Wzór (67) przyjmuje wówczas postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B q (u A A + u B B ) 2 = u A A + u B B : (68) Geometrycznie oznacza to na p aszczyźnie, gdzie portfelowi P odpowiada para ( P ; ER P ) ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le z ¾a na odcinku ¾acz ¾acym punkty ( A ; ER A ) i ( B ; ER B ). Jest to przypadek ma o interesuj ¾acy dla inwestora, poniewa z nie mo zna uzyskać ryzyka portfela mniejszego ni z minf A ; B g.

94 26.2 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja ujemna) Wzór (67) przyjmuje postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B 2u A u B A B q (u A A u B B ) 2 = ju A A u B B j : (69) Tutaj istnieje szansa na to, ze P < minf A ; B g. W szczególności, mo zna uzyskać wartość P = 0, jeśli u A A = u B B : (70) Uwzgl ¾edniaj ¾ac równość u A + u B = 1, czyli u A = 1 u B, otrzymujemy z (70) (1 u B ) A = u B B : Przekszta ćmy ten wzór w celu wyznaczenia u B : A u B A = u B B, A = u B ( A + B ):

95 St ¾ad u B = A A + B, u A = B A + B : (71) Zatem udzia y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku s ¾a dane wzorami (71). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi ER P = u A ER A + u B ER B = BER A + A ER B A + B : (72)

96 26.3 Przypadek A;B = 0 (brak korelacji) Wzór (67) przyjmuje postać P = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B : (73) Analiza wzoru (73) wykazuje, ze istnieje mo zliwość cz ¾eściowej redukcji ryzyka portfela w stosunku do ryzyka akcji wchodz ¾acych w jego sk ad. Aby znaleźć udzia y akcji tworz ¾ace portfel minimalnego ryzyka, nale zy rozwi ¾azać równanie d P du A = d du A q u 2 A 2 A + u2 B 2 B Mamy d P du A = 0 () u A 2 A 2 B + u A 2 B = 0 () = 0: (74) u A = 2 B 2 A +, st ¾ad u B = 2 B 2 A 2 A + : (75) 2 B

97 Minimalne ryzyko tego portfela osi ¾agane przy udzia ach określonych wzorami (75) wynosi, zgodnie z (73), v q u 2 A 2 B (2 A + 2 B ) P = t 4 B 2 A + 4 A 2 B ( 2 A + 2 B )2 = 2 A + 2 B Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi ER P = 2 B ER A + 2 A ER B 2 A + 2 B = q A B 2 A + : (76) 2 B : (77)

98 27 Korelacja graniczna Analizuj ¾ac wzór (67) określaj ¾acy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przypadku, mo zna postawić pytanie, dla jakich wartości A;B jest mo zliwe obni zenie ryzyka portfela poni zej minf A ; B g. Okazuje si ¾e, ze jest to mo zliwe dla wartości A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej: gr := min ( A ; ) B : (78) B A Stwierdzenie 5. Je sli A;B < gr, to istnieja¾ takie udzia y u A, u B, ze P < minf A ; B g. Je sli A;B gr, to minimalna¾ warto scia¾ P jest minf A ; B g.

99 W szczególności, jeśli ryzyko obu akcji jest jednakowe ( A = B ), to dowolna korelacja poza idealn ¾a dodatni ¾a (gdzie A;B = 1) powoduje obni zenie ryzyka portfela. 28 Zbiór portfeli dwóch akcji na p aszczyźnie Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcz ¾a si ¾e wewn ¾atrz trójk ¾ata, którego wierzcho kami s ¾a punkty A = ( A ; ER A ), B = ( B ; ER B ) i portfel zerowego ryzyka P 0 = (0; ER P0 ) (ten ostatni istnieje dla A;B = 1).

100 29 Portfel wielu akcji model Markowitza Oznaczmy: m liczba rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajduj ¾acych si ¾e w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaj ¾a sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ¾acznej wartości wszystkich akcji znajduj ¾acych si ¾e w tym portfelu.

101 W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba u j := n jp j P mi=1 n i p i, j = 1; :::; m: (79) Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; mx j=1 u j = 1 (80) (tzw. równanie bud zetowe).

102 Stwierdzenie 6. Weźmy dowolne liczby u j spe niajace ¾ (80). Wówczas istnieja¾ takie liczby nieujemne n 1 ; :::; n m, wyznaczone z dok adno scia¾ do proporcjonalno sci, ze spe nione sa¾ równo sci (79). Dowód. atwo sprawdzić, ze: (a) odwzorowanie (n 1 ; :::; n m ) 7! (n 1 p 1 ; :::; n m p m ) przekszta ca zbiór na siebie; R m + nf0g = f(n 1; :::; n m ) : n i 0, i = 1; :::; mgnf(0; :::; 0)g (b) odwzorowanie (y 1 ; :::; y m ) 7! y1 Pmi=1 y i ; :::; Pmi=1 y m y i przekszta ca zbiór R m + nf0g na zbiór n (u 1 ; :::; u m ) 2 R m + : P m j=1 u j = 1 o.

103 Z powy zszych w asności (a), (b) wynika istnienie liczb n 1 ; :::; n m spe niaj ¾acych równości (79). Dowód jednoznaczności: za ó zmy, ze u j = n jp j P mi=1 n i p i = ^n jp j P mi=1 ^n i p i, j = 1; :::; m: Wówczas ^n j = n j P mi=1 ^n i p i P mi=1 n i p i! = n j ; gdzie wspó czynnik proporcjonalności, niezale zny od j. Uwaga. W teorii mo zemy traktować liczby u j spe niaj ¾ace za o zenia Stwierdzenia 6 jako udzia y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuścimy mo zliwość posiadania przez inwestora dowolnych cz ¾eści tych akcji (za o zenie nieskończonej podzielności papierów wartościowych).

104 Zbiór P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, mx j=1 u j = 1 (81) nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rz ¾edna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu. 9 = ; Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe, R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku,

105 = ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita pocz ¾atkowy inwestora, K p;j := u j K p wartościowe, cz ¾eść kapita u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m.

106 Stop ¾e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a losow ¾a o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (82) K p W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b ¾edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := mx i=1 x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (83) Stwierdzenie 7. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (84)

107 Dowód. P mj=1 K k;j P mj=1 K p;j R(u) = K k K p = P K mj=1 p K p;j P mj=1 P K p;j (1 + R j ) mj=1 P K mj=1 p;j K p;j R j = P mj=1 = K p;j = K p P m j=1 u j R j K p P mj=1 u j = mx j=1 u j R j = hu; Ri. P mj=1 K p;j Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem ER(u) = E mx j=1 u j R j 1 A = mx j=1 u j j = hu; i : (85)

108 30 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (86) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (44).

109 Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest nieujemnie określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (87) Dowód. (a) wynika ze wzoru (42). (b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A23 7 5

110 = E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (88) Stosuj ¾ac cz ¾eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (84) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek 3. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = ucu T ; (89) gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ).

111 Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe q (u) = Var R(u): (90) Mówimy, ze macierz C jest dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (91) Uwaga. Cz ¾esto w literaturze macierz nieujemnie określon ¾a nazywa si ¾e macierz ¾a dodatnio okre slona. ¾ Wówczas macierz spe niaj ¾ac ¾a warunek (91) nazywa si ¾e macierz ¾a scísle dodatnio okre slona. ¾

112 Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¾ takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden. Dowód. Zaprzeczenie warunku (91) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (88) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (92) i=1 i=1 Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (92) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i.

113 Wniosek 4. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych. Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 X u i X i + A. i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajduj ¾acych si ¾e w portfelu mo zna usun ¾ać, zast ¾epuj ¾ac go kombinacj ¾a pozosta ych papierów wartościowych.