Wyk ady z algorytmów genetycznych Cz¾eść 2: Model algorytmu genetycznego przy dowolnej reprezentacji rozwi azań ¾
|
|
- Robert Rosiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk ady z algorytmów genetycznych Cz¾eść 2: Model algorytmu genetycznego przy dowolnej reprezentacji rozwi azań ¾ Marcin Studniarski Wydzia Matematyki i Informatyki Uniwersytetu ódzkiego Algorytm RHS i jego w asności Algorytm RHS (Random Heuristic Search poszukiwanie losowe heurystyczne) jest określony przez populacj ¾e poczatkow ¾ a¾ P 0 oraz regu ¾e przej scia, która dla danej populacji P i wyznacza nowa¾ populacj¾e P i+. Iterujac ¾, otrzymujemy ciag ¾ populacji: P 0! P! P 2! ::: Ka zda populacja sk ada si ¾e ze skończonej ilości osobników b ¾ed acych ¾ elementami ustalonego zbioru skończonego, zwanego przestrzenia¾ poszukiwań. Populacje sa¾ multizbiorami, co oznacza, ze te same osobniki moga¾ wyst ¾epować wielokrotnie w danej populacji. Aby formalnie opisać dowoln a¾ populacj ¾e P jako obiekt matematyczny, za ó zmy, ze = fc 0 ; c ; :::; c n g. Liczb ¾e n nazywamy rozmiarem przestrzeni poszukiwań. Niech K f0; ; :::; n g b ¾edzie podzbiorem z o zonym z indeksów osobników, które sa¾ reprezentowane w populacji P. Przypuśćmy, ze osobnik c i wyst¾epuje v i 2 N razy w populacji P (i 2 K). Wówczas populacj¾e P mo zemy zde niować jako zbiór par uporzadkowanych ¾ P = f(c i ; v i ) : i 2 Kg : Rozmiarem populacji P nazywamy liczb ¾e r := X i2k Zadanie 2. Wykazać, ze ilo sć ró znych populacji o rozmiarze r, jakie mo zna utworzyć z elementów przestrzeni poszukiwań o rozmiarze n, wynosi n + r : r v i :
2 Przedstawiony powy zej model osobnika i populacji mo zna uprościć, identy kuj ac ¾ z podzbiorem liczb ca kowitych = f0; ; :::; n g. Wówczas populacja mo ze być reprezentowana jako wektor cz ¾esto sci v = (v 0 ; v ; :::; v n ) T ; () gdzie v i jest liczba¾ egzemplarzy osobnika i 2 w populacji (liczba ta wynosi zero, jeśli i-ty osobnik w populacji nie wyst ¾epuje). Zauwa zmy, ze taka reprezentacja populacji zawiera w sobie informacj ¾e o jej rozmiarze, który wynosi Xn r = v i : (2) W dalszych rozwa zaniach b ¾edzie przydatna ogólniejsza reprezentacja populacji, która nie jest uzale zniona od konkretnego rozmiaru. Mianowicie przyjmujemy, ze populacja jest opisana przez wektor p = (p 0 ; p ; :::; p n ) T ; (3) gdzie p i jest proporcja, ¾ w jakiej osobnik i 2 jest reprezentowany w populacji. Wspó rz ¾edne wektora p musza ¾zatem być nieujemne i sumować si¾e do, co oznacza, ze wektory populacji sa¾ elementami zbioru ( ) Xn := x 2 R n : x i 0 (8i); x i = : (4) Jeśli dany jest rozmiar populacji r, to zale zność mi ¾edzy wektorami () i (3) jest dana wzorem v = rp. Zbiór (4) jest sympleksem w przestrzeni R n. Jednak nie wszystkie punkty tego sympleksu odpowiadaja¾ skończonym populacjom. Dla ustalonego r 2 N, wszystkie populacje rozmiaru r tworza¾ nast¾epuj acy ¾ podzbiór sympleksu : ( ) r Xr n = Xn x 2 R n : x i 2 N [ f0g (8i); x i = r : r Zde niujemy teraz odwzorowanie G :! zwane heurystyka ¾[6] lub operatorem generacyjnym [4], w nast ¾epuj acy ¾ sposób: dla danego wektora p 2 opisujacego ¾ aktualn a¾ populacj ¾e, wartość G(p) jest 2
3 wektorem wyznaczajacym ¾ rozk ad prawdopodobieństwa, z którego losowana jest próba r-elementowa tworz aca ¾ nast ¾epn a¾ populacj ¾e. Zatem i-ta wspó rz ¾edna G(p) i wektora G(p) jest prawdopodobieństwem wylosowania osobnika i 2 do nowej populacji (w ka zdym z r niezale znych losowań ze zwracaniem). Regu ¾e przejścia nazywamy dopuszczalna, ¾ je zeli jest z o zeniem heurystyki G z losowaniem próby w wy zej opisany sposób: (p) = próba(g(p)) dla p 2 : Oczywiście tak zde niowana regu a przejścia jest niedeterministyczna, tzn. stosujac ¾ ja¾ wielokrotnie do tego samego wektora p, otrzymujemy na ogó ró zne wyniki. Twierdzenie Dla dowolnej populacji p o rozmiarze r prawdopodobieństwo, ze nast ¾epn a¾ populacja ¾(równie z o rozmiarze r) jest q, wynosi r! (G(p) j ) rq j (rq j )! Dowód. Poniewa z populacje o rozmiarze r sa¾ elementami zbioru r Xr n, mo zemy za o zyć, ze q = v dla pewnego wektora v o wspó rz¾ednych b ¾ed acych ¾ r nieujemnymi liczbami ca kowitymi, spe niaj acymi ¾ warunek (2). Aby wektor q zosta wybrany jako nast¾epna populacja, wynikiem v 0 losowań spośród wszystkich r losowań musi być (osobnik o numerze) 0, wynikiem v losowań musi być, itd. Prawdopodobieństwo wylosowania j-tego osobnika w pojedynczym losowaniu wynosi G(p) j. Obliczymy teraz prawdopodobieństwo wybrania wektora q w wyniku r niezale znych losowań. Poni zsze rozumowanie jest uogólnieniem schematu Bernoulliego (por. [2, str. 49]) na przypadek, gdy zamiast dwóch mo zliwych wyników ka zdego doświadczenia ( sukces lub pora zka ) mamy n mo zliwych wyników (wylosowanie osobnika 0; ; :::; n ). Przestrzenia¾ zdarzeń elementarnych jest tutaj zbiór r = f! = (! 0 ;! ; :::;! r ) :! i 2 ; i = 0; ; :::; r g; gdzie! i oznacza wynik i-tego losowania. Prawdopodobieństwo otrzymania konkretnego ciagu ¾ wyników! wynosi Pr(f!g) = (G(p) j ) #j ; 3 :
4 gdzie #j oznacza liczb ¾e wspó rz¾ednych wektora! równych j. Niech S(q) r oznacza zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjajacych ¾ wylosowaniu populacji q, tzn. ( ) Xn S(q) :=! 2 r : #j = v j ; j = 0; ; :::; n ; v i = r : Zadanie 3. Wykazać, ze liczba elementów zbioru S(q) jest dana wzorem r r v0 r (v0 + ::: + v ::: n 3 ) r! = v 0 v v n 2 v 0!v!:::v n! : Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania populacji q wynosi Pr(S(q)) = X!2S(q) (G(p) j ) #j = X!2S(q) (G(p) j ) v j : (5) Zauwa zmy, ze (dla ustalonego q) wszystkie sk adniki sumy po prawej stronie wzoru (5) sa¾ jednakowe, poniewa z nie zale z a¾ od!. Zatem suma ta jest równa jednemu sk adnikowi pomno zonemu przez liczb ¾e elementów S(q): n r! Y Pr(S(q)) = (G(p) j ) v j (G(p) j ) v j = r! v 0!v!:::v n! v j! = r! (G(p) j ) rq j (rq j )! : 2 Algorytm RHS jako ańcuch Markowa Ciag ¾ zmiennych losowych fx t g t2n0 (gdzie N 0 := N [ f0g) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej (Z; F; Pr), o wartościach w przeliczalnym zbiorze S (przestrzeni stanów) nazywamy ańcuchem Markowa, je zeli dla ka zdego t 2 N i ka zdego ciagu ¾ s 0 ; s ; :::; s t 2 S spe niony jest warunek Pr (X t = s t j X t = s t ; :::; X = s ; X 0 = s 0 ) = Pr (X t = s t j X t = s t ) ; (6) o ile Pr(X t = s t ; :::; X = s ; X 0 = s 0 ) > 0 (por. [2, str. 264]). Macierz P = [p i;j ] i;j2s nazywamy macierza¾ stochastyczn a, ¾ je zeli wszystkie jej wyrazy sa¾ nieujemne oraz suma ka zdego wiersza wynosi : X p i;j 0 (8i; j 2 S), p i;j = (8i 2 S): 4 j2s
5 Macierz stochastyczn a¾ (t) = [ i;j (t)] i;j2s nazywamy macierza¾ przej scia ańcucha Markowa fx t g t2n0 w t-tym kroku, t, je zeli i;j (t) = Pr (X t = s j j X t = s i ) (7) dla wszystkich j 2 S oraz i takich, ze Pr(X t = s i ) > 0. Je zeli fx t g t2n0 jest ańcuchem Markowa, to rozk ad zmiennej losowej X 0 nazywamy rozk adem pocz atkowym. ¾ ańcuch Markowa nazywamy jednorodnym (w czasie), gdy istnieje macierz = [ i;j ] i;j2s b ¾ed aca ¾ dla ka zdego t jego macierza¾ przejścia w t-tym kroku. Powróćmy teraz do opisu algorytmu RHS przedstawionego w. Algorytm ten generuje ciag ¾ populacji ^p, (^p), 2 (^p); :::, (8) gdzie ^p jest ustalona¾ populacja¾ poczatkow ¾ a. ¾ Algorytm RHS mo zna uwa zać za ańcuch Markowa, gdzie zbiorem stanów jest r Xr n, a wartościami kolejnych zmiennych losowych (wektorów losowych) X 0, X, X 2,... sa¾ populacje (8). Poniewa z populacja poczatkowa ¾ jest ustalona, wi ¾ec mo zna przyjać, ¾ ze X 0 jest wektorem losowym przyjmujacym ¾ z prawdopodobieństwem pojedyncza¾ wartość ^p. Oznaczmy przez Pr (q j p) = Pr((p) = q) prawdopodobieństwo otrzymania populacji q w aktualnej iteracji algorytmu RHS pod warunkiem, ze poprzednia¾ populacja¾ jest p. Z Twierdzenia otrzymujemy Pr(q j p) = r! (G(p) j ) rq j (rq j )! : (9) Poniewa z powy zsze wyra zenie nie zale zy od numeru iteracji t, wnioskujemy stad, ¾ ze algorytm RHS jest jednorodnym ańcuchem Markowa ze sta ¾ a macierza¾ przejścia = [ p;q ] p;, gdzie S = r Xr n, a elementy p;q = Pr(q j p) sa¾ dane wzorem (9). 3 Wyznaczenie macierzy przejścia dla algorytmu genetycznego Obecnie wyznaczymy macierz przejścia dla algorytmu genetycznego, b ¾ed acego ¾ szczególnym przypadkiem algorytmu RHS. Za ó zmy, ze pojedyncza iteracja 5
6 algorytmu genetycznego sk ada si ¾e z trzech kolejno wykonywanych operacji: selekcji proporcjonalnej (zwanej inaczej ruletkowa), ¾ krzy zowania i mutacji. Rozwa zmy najpierw algorytm, który w ka zdej iteracji dokonuje jedynie selekcji. W procesie selekcji proporcjonalnej wykorzystywana jest funkcja przystosowania f :! R +. Funkcj¾e t¾e mo zemy rozwa zać jako wektor f = (f 0 ; f ; :::; f n ) 2 R n, którego wspó rz¾edne sa¾ dane wzorem f k := f(k). Przy za o zeniu, ze poprzednia¾ populacja¾ jest p, prawdopodobieństwo wylosowania osobnika i 2 przy pojedynczym uruchomieniu ko a ruletki wynosi G(p) i = Pr([i] j p) s = v i f i P n v jf j = p i f i P n p jf j ; (0) gdzie symbol [i] oznacza, ze wybieramy pojedynczego osobnika i, a nie ca ¾ a populacj ¾e, a dolny indeks s oznacza, ze mamy do czynienia z algorytmem genetycznym wykorzystuj acym ¾ jeden operator selekcj ¾e. Aby otrzymać ca ¾ a nowa¾ populacj ¾e, nale zy wylosować r-elementow a¾ prób ¾e z rozk adu prawdopodobieństwa (0). Prawdopodobieństwo wygenerowania populacji q w ten sposób wynosi na podstawie wzorów (9) i (0) Pr(q j p) s = r! (Pr([j] j p) s ) rq j : () (rq j )! Przejdźmy teraz do przypadku, gdy iteracja algorytmu genetycznego przebiega w dwóch etapach: najpierw selekcja, potem krzy zowanie. Oznaczmy przez c i;j;k prawdopodobieństwo, ze w wyniku krzy zowania osobnika i z osobnikiem j otrzymujemy osobnika k. Dok adny sposób realizacji krzy zowania pary osobników nie jest w tym opisie istotny zale zy on od reprezentacji osobnika i przyj ¾etego wariantu krzy zowania (np. jednopunktowe lub wielopunktowe). Poniewa z do niniejszego modelu potrzebny jest nam jeden potomek dla pary rodziców, przyjmujemy, ze jest on losowany z prawdopodobieństwem /2 spośród dwóch potomków wytworzonych przez dany wariant krzy zowania. Gwarantuje to spelnienie warunku c i;j;k = c j;i;k ; (2) poniewa z prawdopodobieństwo otrzymania osobnika k z pary rodziców (i; j) jest takie samo jak z pary (j; i), tj. przy zamianie rodziców rolami. Prawdopodobieństwo wygenerowania osobnika k przy poprzedniej populacji p po- 6
7 przez zastosowanie najpierw selekcji, a potem krzy zowania, wynosi Xn Xn Pr([k] j p) sc = c i;j;k Pr([i] j p) s Pr([j] j p) s : (3) Podobnie jak w przypadku wzoru (), otrzymujemy nast ¾epuj acy ¾ wzór na elementy macierzy przejścia: Pr(q j p) sc = r! (Pr([j] j p) sc ) rq j : (4) (rq j )! Rozwa zmy teraz sytuacj ¾e, gdy pojedyncza iteracja obejmuje wszystkie trzy etapy: selekcj ¾e, krzy zowanie i mutacj ¾e (w podanej kolejności). Za ó zmy, ze mutacja polega na zamianie jednego elementu przestrzeni poszukiwań na inny, z określonym prawdopodobieństwem. Oznaczmy przez u i;j prawdopodobieństwo, ze osobnik i 2 w wyniku mutacji zostanie zamieniony na osobnika j. Otrzymujemy w ten sposób macierz U = [u i;j ] i;j2 o wymiarach n n. Prawdopodobieństwo wygenerowania osobnika j 2 w wyniku kolejnego zastosowania trzech wymienionych operacji, wynosi (przy za o zeniu, ze poprzednia¾ populacja¾ jest p) Xn Pr([j] j p) scm = u ij Pr([i] j p) sc : (5) Elementy macierzy przejścia algorytmu genetycznego sa¾ zatem dane wzorem Pr(q j p) scm = r! (Pr([j] j p) scm ) rq j : (6) (rq j )! 4 Wyznaczenie heurystyki algorytmu genetycznego Podobnie jak w poprzednim rozdziale zak adamy, ze iteracja algorytmu genetycznego sk ada si ¾e z selekcji proporcjonalnej, krzy zowania i mutacji (wykonywanych w podanej kolejności). 7
8 !, otrzymujemy na pod- Rozwa zaj ac ¾ selekcj¾e jako operator F : stawie wzoru (0) F(p) = f T p (f 0p 0 ; f p ; :::; f n p n ) T = diag(f)p ; (7) f T p gdzie diag(f) jest macierza¾ diagonalna¾ o wyrazach na g ównej przekatnej ¾ b ¾ed acych ¾ kolejnymi wspó rz ¾ednymi wektora f. Opiszemy teraz dzia anie krzy zowania na wektor populacji. W tym celu zde niujemy operator C :! taki, ze k-ta wspó rz¾edna C(p) k wektora C(p) jest prawdopodobieństwem, ze osobnik k 2 zostanie utworzony w wyniku jednokrotnego wykonania operacji krzy zowania na populacji p. Operacja ta polega na wylosowaniu (ze zwracaniem) dwóch osobników i, j 2 (stanowi acych ¾ par ¾e rodziców) wed ug rozk adu prawdopodobieństwa p, a nast ¾epnie wykonaniu krzy zowania tych osobników w sposób opisany w 3, co daje w wyniku jednego potomka. Prawdopodobieństwo uzyskania w ten sposób osobnika k otrzymujemy przez zsumowanie prawdopodobieństw wszystkich mo zliwych zdarzeń prowadzacych ¾ do takiego wyniku: Xn Xn C(p) k = c i;j;k p i p j : (8) Dla ka zedgo k 2 zde niujmy macierz C k := [c i;j;k ] i;j2 ; (9) ktora na podstawie wzoru (2) jest symetryczna. Wówczas poszczególne wzory (8) dla ró znych osobników k mo zna po ¾ aczyć w jeden wzór zapisany w postaci macierzowej: C(p) = p T C 0 p; p T C p; :::; p T C n p T : (20) Przejdźmy teraz do opisu dzia ania mutacji. Odpowiedni operator U :! powinien mieć t¾e w asność, ze U(p) k jest prawdopodobieństwem wygenerowania osobnika k 2 w wyniku jednokrotnego wykonania operacji na populacji p Odbywa si¾e to poprzez wylosowanie osobnika i 2 z populacji wed ug rozkladu p, a nast ¾epnie poddanie go mutacji (której konkretny sposób wykonania nie jest tu istotny) w celu otrzymania innego osobnika. Uwzgledniajac ¾ wszystkie zdarzenia prowadzace ¾ do wyniku k, otrzymamy Xn U(p) k = p i u ik : (2) 8
9 Zatem w postaci macierzowej U(p) = (p T U) T = U T p: (22) Heurystyka algorytmu genetycznego jest z o zeniem trzech odwzorowań: G = U C F: (23) Zatem, uwzgl¾edniaj ac ¾ wzory (7), (20) i (22) i oznaczajac ¾ dla skrócenia D f := diag(f), otrzymujemy G(p) = U(C(F(p))) = U T C(F(p)) = U T F(p) T C 0 F(p); F(p) T C F(p); :::; F(p) T C n F(p) T = (f T p) 2 U T p T Df T C 0 D f p; p T Df T C D f p; :::; p T Df T C n D f p T (24) : 5 Kryteria zatrzymania algorytmu genetycznego Rozwa zamy ponownie algorytm RHS w ogólnej postaci. Za ó zmy, ze przestrzeń poszukiwań daje si ¾e przedstawić w postaci sumy dwóch roz ¾ acznych podzbiorów: = + [ ; + \ = ;: (25) Przyjmujemy, ze celem algorytmu RHS jest znalezienie jakiegokolwiek elementu zbioru +. Element i uwa zamy za znaleziony w iteracji t, je zeli aktualna populacja t (^p) zawiera przynajmniej jeden egzemplarz osobnika i, co jest równowa zne nierówności t (^p) i > 0. W szczególności jako zbiór + mo zemy przyjać ¾. zbiór elementów optymalnych: + = j 2 : f(j) = max f(i) ; (26) i2 2. zbiór elementów "-optymalnych dla pewnego " > 0: + = j 2 : f(j) max f(i) " : (27) i2 9
10 Niech S oznacza podzbiór zbioru stanów S = r Xr n z o zony z populacji nie zawierajacych ¾ zadnego elementu zbioru + : S := p 2 S : p i = 0; 8i 2 + : (28) Symbolem S + b ¾edziemy oznaczać zbiór pozosta ych populacji: S + := SnS. Populacje nale z ace ¾ do S + zawieraja¾ przynajmniej jeden egzemplarz jakiegoś osobnika nale z acego ¾ do +. Mo zemy zatem powiedzieć, ze element zbioru + zosta znaleziony w iteracji t, je zeli populacja wygenerowana w iteracji t nale zy do S +. W dalszym ciagu ¾ A t b ¾edzie oznaczać zdarzenie, ze w iteracji t nie znaleziono elementu + : A t := t (^p) 2 S : (29) Twierdzenie 2 [2, str. 38] Niech fh g 2 b ¾edzie rozbiciem zbioru zdarzeń elementarnych Z na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie. Dla dowolnych zdarzeń A i B, je sli Pr(B) > 0, to X Pr(A j B) = Pr(A j B \ H ) Pr(H j B): f:pr(b\h )>0g Nast¾epuj acy ¾ lemat podaje oszacowanie z góry prawdopodobieństwa, ze w ciagu ¾ t pierwszych iteracji nie znaleziono elementu zbioru +. Lemat 3 Za ó zmy, ze dla pewnej liczby 2 (0; ) zachodzi nierówno sć X p;q ; 8p 2 S: (30) Wówczas dla ka zdego t 2 N mamy Pr (A \ A 2 \ ::: \ A t ) t : (3) Dowód. Stosujemy indukcj ¾e ze wzgl ¾edu na t. Sprawdzimy najpierw, ze nierówność (3) zachodzi dla t =. Istotnie, z za o zenia (30) dla p = ^p otrzymujemy Pr(A ) = X Pr(q j ^p) = X ^p;q : Przypuśćmy teraz, ze (3) zachodzi dla t = s. Bez zmniejszenia ogólności mo zemy za o zyć, ze Pr (A \ A 2 \ ::: \ A s ) > 0; (32) 0
11 gdy z w przeciwnym przypadku warunek (3) jest automatycznie spe niony dla wszystkich t s. Uwzgl ¾edniaj ac ¾ (32), mamy z de nicji prawdopodobieństwa warunkowego i z za o zenia indukcyjnego Pr (A \ A 2 \ ::: \ A s \ A s+ ) = Pr(A \ A 2 \ ::: \ A s ) Pr(A s+ j A \ A 2 \ ::: \ A s ) s Pr(A s+ j A \ A 2 \ ::: \ A s ): (33) Niech fh sg 2 b ¾edzie rodzina¾ zdarzeń postaci H s := k (^p) = p ;k ; k = ; :::; s : (34) Inaczej mówiac, ¾ H s jest zdarzeniem, ze w ciagu ¾ s pierwszych iteracji wygenerowano nast ¾epuj acy ¾ ciag ¾ populacji: ^p; p ; ; :::; p ;s : (35) Poniewa z zbiór populacji S jest skończony, wi¾ec tak ze rodzina fh sg 2 jest skończona. Dla ró znych indeksów i 2, ciagi ¾ populacji (35) sa¾ ró zne, jeśli p ;k 6= p 2 ;k dla przynajmniej jednego k 2 f; :::; sg; wówczas H s 6= H s 2. Odrzucajac ¾ zdarzenia H s o zerowym prawdopodobieństwie, mo zemy za o zyć, ze Pr(H s ) > 0 dla ka zdego 2. Zatem rodzina zdarzeń (34) jest rozbiciem Z na roz ¾ aczne zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie. Z twierdzenia 2 otrzymujemy = Pr(A s+ j A \ A 2 \ ::: \ A s ) (36) X Pr(A s+ j A \ ::: \ A s \ H) s Pr(H s j A \ ::: \ A s ): f:pr(a \:::\A s\h s)>0g Jeśli Pr(A \ ::: \ A s \ H s) > 0, to A \ ::: \ A s \ H s 6= ;. Stad ¾ i z de nicji odpowiednich zbiorów (równości (29) i (34)) wynika, ze p ; ; :::; p ;s 2 S i w konsekwencji H s A \ ::: \ A s. Zatem A \ ::: \ A s \ H s = H: s (37) Z równości (36) i (37) otrzymujemy = Pr(A s+ j A \ A 2 \ ::: \ A s ) X f:pr(a \:::\A s\h s )>0g Pr(A s+ j H s ) Pr(H s j A \ ::: \ A s ): (38)
12 Zajmiemy si¾e teraz oszacowaniem wyra zenia Pr(A s+ j H s ). Z de nicji ańcucha Markowa (równość (6)) oraz z za o zenia (30) wynika, ze Pr(A s+ j H) s = Pr( s+ (^p) 2 S j k (^p) = p ;k ; k = ; :::; s) = X Pr( s+ (^p) = q j k (^p) = p ;k ; k = ; :::; s) = X Pr( s+ (^p) = q j s (^p) = p ;s ) = X p;s ;q : (39) Z warunków (38) i (39) dostajemy Pr(A s+ j A \ A 2 \ ::: \ A s ) X Pr(H s j A \ ::: \ A s ) = ; (40) f:pr(a \:::\A s\h s)>0g gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze rodzina fh s : Pr(A \ ::: \ A s \ H s) > 0g jest rozbiciem A \:::\A s na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie. ¾ aczac ¾ nierówności (33) i (40), otrzymujemy Pr (A \ A 2 \ ::: \ A s \ A s+ ) s+ ; co kończy dowód indukcyjny nierówności (3). Korzystajac ¾ z lematu 3, mo zna atwo oszacować z do u prawdopodobieństwo, ze w ciagu ¾ t pierwszych iteracji zosta znaleziony element +. Istotnie, oznaczmy przez B t zdarzenie, ze w iteracji t znaleziono element + : B t := ZnA t := t (^p) 2 S + : (4) Z wzorów (3) i (4) wynika, ze przy za o zeniach lematu 3 Pr (B [ ::: [ B t ) = Pr((ZnA ) [ ::: [ (ZnA t )) = Pr(Zn(A \ ::: \ A t )) = Pr(A \ ::: \ A t ) t : (42) Zajmiemy si ¾e teraz oszacowaniem prawdopodobieństwa znalezienia poszukiwanego elementu przez algorytm genetyczny. 2
13 Twierdzenie 4 Rozwa zamy ogólny model algorytmu genetycznego opisany w 3, b ¾ed acy ¾ szczególnym przypadkiem algorytmu RHS,w którym losowanie próby (p) polega na kolejnym wykonaniu operacji selekcji, krzy zowania i mutacji. Za ó zmy, ze zbiór poszukiwanych elementów + ma postać + = fj ; j 2 ; :::; j m g; (43) gdzie ilo sć poszukiwanych rozwiazań ¾ m jest ograniczona z do u przez pewna¾ znana¾ liczb ¾e naturalna ¾ m. Za ó zmy ponadto, ze istnieje liczba 2 (0; =n] spe niaj aca ¾ warunek u i;j ; 8i; j 2 : (44) Wówczas prawdopodobieństwo znalezienia elementu zbioru + w ciagu ¾ pierwszych t iteracji jest równe co najmniej ( m) rt : (45) Dowód. Wyka zemy, ze spe nione sa¾ za o zenia lematu 3 przy = ( m) r. Lewa¾ stron¾e warunku (30) mo zna zapisać w postaci X p;q = X Pr(q j p) scm = Pr(S j p) scm = Pr([ ] j p) scm r = Pr([ + ] j p) scm r ; (46) gdzie Pr(S j p) scm oznacza prawdopodobieństwo wygenerowania populacji nale z acej ¾ do S z populacji p poprzez zastosowanie heurystyki algorytmu genetycznego G danej wzorem (23), a nast ¾epnie wylosowanie r-elementowej próby z rozk adu prawdopodobieństwa G(p). Natomiast Pr([ ] j p) scm oznacza prawdopodobieństwo wygenerowania osobnika nale z acego ¾ do z populacji p poprzez jednokrotne wykonanie operacji selekcji, krzy zowania i mutacji (co odpowiada wylosowaniu próby jednoelementowej z rozk adu G(p)). Trzecia równość w (46) wynika z niezale zności r zmiennych losowych tworza- ¾ cych prób ¾e r-elementow a. ¾ Z warunków (5) i (44) wynika, ze dla dowolnych p 2 S i j 2 Xn Pr([j] j p) scm Pr([i] j p) sc = ; (47) 3
14 gdzie końcowa rowność wynika stad, ¾ ze sumujemy prawdopodobieństwa roz- ¾ acznych zdarzeń, które w sumie stanowia¾ zdarzenie pewne. Z (43) i (47) otrzymujemy mx mx Pr([ + ] j p) scm = Pr([j l ] j p) scm = m m: (48) l= Teraz z warunków (46) i (48) wynika nierówność X p;q ( m) r : Stad ¾ na podstawie lematu 3 mamy dla ka zdego t 2 N l= Pr (A \ ::: \ A t ) ( m) rt : Zatem, korzystajac ¾ z (42), prawdopodobieństwo znalezienia elementu zbioru + w ciagu ¾ pierwszych t iteracji mo zna oszacować nast ¾epuj aco: ¾ Pr (B [ ::: [ B t ) = Pr(A \ ::: \ A t ) ( m) rt ; (49) co kończy dowód twierdzenia. Wniosek 5 Dla dowolnej liczby 2 (0; ) oznaczmy przez t min () najmniejsza¾ liczb ¾e iteracji gwarantuj ac ¾a¾ znalezienie elementu zbioru + z prawdopodobieństwem. Wówczas ln( ) t min () ; (50) r ln( m) gdzie dxe oznacza najmniejsza¾ liczb ¾e ca kowit a¾ wi ¾eksz a¾ lub równa¾ x. Dowód. Wybieraj ac ¾ liczb ¾e iteracji t spe niaj ac ¾ a¾ nierówność ( m) rt ; (5) mamy zagwarantowane znalezienie elementu zbioru + z prawdopodobieństwem równym co najmniej. Nierówność (5) jest równowa zna nierówności t ln( ) r ln( m) : (52) Dla ka zdej liczby naturalnej t spe niaj acej ¾ (5) (a wi¾ec tak ze (52)) zachodzi nierówność t min () t. Zatem t min () musi spe niać tak ze nierówność (50), co nale za o wykazać. 4
15 6 Przypadek kodowania o dowolnej liczebności alfabetu B ¾edziemy teraz rozwa zać model algorytmu genetycznego opisany w pracy [3], w którym osobniki reprezentowane sa¾ jako ańcuchy symboli z pewnego alfabetu. Bez zmniejszenia ogólności mo zna zak adać, ze symbolami tymi sa¾ elementy zbioru liczb ca kowitych modulo c: Z c := f0; ; :::; c g; (53) gdzie c 2. Dla dowolnych a; b 2 Z c de niujemy operator dodawania modulo c nast ¾epuj aco: ¾ a b := (a + b) mod c: (54) Ka zdy element a 2 Z c posiada dok adnie jeden element odwrotny wzgl¾edem dzia ania, który oznaczamy a. Dla uproszczenia zapisu u zywamy oznaczenia a b := a ( b): (55) Zakladamy, ze przestrzeń poszukiwań algorytmu genetycznego jest zbiorem wszystkich ańcuchów o d ugości ` z o zonych z elementów zbioru Z c ( ańcuch rozumiemy jako skończony ciag ¾ elementów). Dzia ania i mo zemy w naturalny sposób rozszerzyć na zbiór, wykonuj ac ¾ je na odpowiednich wspó rz ¾ednych. Zadanie 4. Wykazać, ze (Z c ; ) jest grupa. ¾ Zak adamy dalej, ze operacja mutacji w tym modelu algorytmu genetycznego dzia a w nast ¾epuj acy ¾ sposób: najpierw losowana jest maska mutacji m 2, a nast ¾epnie wybrany osobnik y 2 jest zamieniany na y m. Liczb ¾e 2 [0; =2) nazywamy wska znikiem mutacji, je zeli wyznacza ona rozk ad prawdopodobieństwa ^ 2 w nast ¾epuj acy ¾ sposób: n(m) ^ m := ( )` n(m) ; (56) c gdzie n(m) jest liczba¾ niezerowych elementów (cyfr) ańcucha m. We wzorze (56) liczba ^ m jest prawdopodobieństwem wyboru ańcucha m jako maski mutacji, n(m) jest ilościa¾ wspó rz ¾ednych wektora y podlegajacych ¾ mutacji (tj. zamianie na jedna¾ z pozosta ych c cyfr, co odbywa si¾e przez dodanie modulo c odpowiedniej niezerowej wspó rz ¾ednej maski), a ` n(m) jest ilościa¾ wspó rz ¾ednych wektora y nie podlegajacych ¾ mutacji. 5
16 Zadanie 5. Wykazać, ze prawdopodobieństwo zamiany osobnika i 2 w wyniku tak określonej mutacji na osobnika j wynosi (por. [5, str. 474]) n(j i) u i;j = j i = ( )` n(j i) : (57) c Wniosek 6 Przy za o zeniach wniosku 5, je sli elementy macierzy U dane sa¾ wzorem (57), wówczas 2 3 t min () ln( ) ` 6r ln m 7 : (58) c, sk ad ¾ po prostych przeksz- Dowód. Poniewa z 2 [0; =2), wi¾ec c c ta ceniach otrzymujemy Stad ¾ i z (57) otrzymujemy c : (59) u i;j c ` : Przyjmujac ¾ := c ` widzimy, ze spe nione sa¾ za o zenia twierdzenia 4. Nierówność (58) wynika zatem z (50). Uwaga. Wniosek 6 dla m = pokrywa si¾e z wynikiem uzyskanym w [] dla przypadku, gdy zachodzi nierówność (59). Dla m > wynik uzyskany tutaj jest istotnie lepszy. References [] D. Greenhalgh, S. Marshall, Convergence criteria for genetic algorithms, SIAM Journal on Computing 30 (2000), [2] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wst ¾ep do teorii prawdopodobieństwa, Wydanie II, Script, Warszawa, 200. [3] G.J. Koehler, S. Bhattacharya, M.D. Vose, General cardinality genetic algorithms, Evolutionary Computation 5 (998),
17 [4] C.R. Reeves, J.E. Rowe, Genetic Algorithms Principles and Perspectives: A Guide to GA Theory, Kluwer, Boston, [5] J.E. Rowe, M.D. Vose, A.H. Wright, Structural search spaces and genetic operators, Evolutionary Computation 2 (2004), [6] M.D. Vose, The Simple Genetic Algorithm: Foundations and Theory, MIT Press, Cambridge, Massachusetts,
Teoria algorytmów ewolucyjnych
Marcin Studniarski Teoria algorytmów ewolucyjnych Wyk ad dla doktorantów Semestr letni 0/3 Klasyczny algorytm genetyczny Rozwa zamy funkcj e określona na przestrzeni euklidesowej: f : R n! R. Za- ó zmy,
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowoO zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym
O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyki SGGW Wis a 2010 Plan referatu 1. Modele liniowe
Bardziej szczegółowoWyk ady z algorytmów genetycznych Cz¾eść 1: Podstawowe informacje o algorytmach. genetycznych.
Wyk ady z algorytmów genetycznych Cześć 1: Podstawowe informacje o algorytmach genetycznych Marcin Studniarski Wydzia Matematyki i Informatyki Uniwersytetu ódzkiego Uwagi. 1. Niniejszy skrypt nie obejmuje
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystyczne Podczas sprawdzania hipotez statystycznych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ na odrzuceniu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest ona prawdziwa,
Bardziej szczegółowo1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych,
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.04 - godziny konwersatorium autor Adam Kiersztyn Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowo1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Bardziej szczegółowo1 Regresja liniowa cz. I
Regresja liniowa cz. I. Model statystyczny Model statystyczny to zbiór za o zeń. Wprowadzamy model, który mo zliwie najlepiej opisuje ineresujacy ¾ nas fragment rzeczywistość. B ¾edy modelu wynikaja¾ z
Bardziej szczegółowo1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowo1 Miary asymetrii i koncentracji
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa
Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa Adam Kiersztyn 28 czerwca 20 Streszczenie W tej pracy przedstawimy najwa zniejsze rezultaty zawarte w przygotowywanej rozprawie
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowo1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Analiza wariancji Na wst¾epie zapoznamy
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowo1 Poj ¾ecie szeregu czasowego
Studia podyplomowe w zakresie przetwarzania, zarz¾adzania i statystycznej analizy danych Analiza szeregów czasowych 24.11.2013-2 godziny konwersatorium autor: Adam Kiersztyn 1 Poj ¾ecie szeregu czasowego
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci
56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹
Bardziej szczegółowoBardzo silnie z poj ¾eciem populacji statystycznej zwiazane ¾ jest poj ¾ecie próby statystycznej.
Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj eć statystycznych, poszczególne de nicje zostana wzbogacone o obrazowe przyk ady. Jednym z najistotniejszych poj eć jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoWyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II (semestr letni 2009/10) Wyk ady s ¾a udost ¾epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz ¾e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoSCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO
SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr zimowy 2017/18) Uwaga Niniejszy materia nie stanowi ca ości wyk adu i nie wystarcza do przygotowania
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoIV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH
IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH 4.1. Wprowadzenie Uk³ad równañ liniowych gdzie A oznacza dan¹ macierz o wymiarze n n, a b dany n-elementowy wektor, mo e byæ rozwi¹zany w skoñczonej liczbie kroków za pomoc¹
Bardziej szczegółowoALGORYTMY GENETYCZNE ćwiczenia
ćwiczenia Wykorzystaj algorytmy genetyczne do wyznaczenia minimum globalnego funkcji testowej: 1. Wylosuj dwuwymiarową tablicę 100x2 liczb 8-bitowych z zakresu [-100; +100] reprezentujących inicjalną populację
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowo1 Wieloczynnikowa analiza wariancji ciag ¾ dalszy
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Wielowymiarowa analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-03-18 08.20-12.30 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoSpis treści. 3 Geometria analityczna 20
Spis treści Arytmetyka liczb ca kowitych. Podzielność........................................ Liczby pierwsze...................................... Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki..........................
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć
Bardziej szczegółowoWyk ady z analizy portfelowej, cz¾eść II
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cześć II (semestr letni 2011/12) 1 Poj ecie krótkiej sprzeda zy Przyk ad 1. Inwestor I przewiduje, ze cena akcji spó ki A obecnie 100$ za sztuke pod koniec
Bardziej szczegółowo2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie
Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009
Algorytmy genetyczne Paweł Cieśla 8 stycznia 2009 Genetyka - nauka o dziedziczeniu cech pomiędzy pokoleniami. Geny są czynnikami, które decydują o wyglądzie, zachowaniu, rozmnażaniu każdego żywego organizmu.
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoProste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania.
Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania. Pawe J. Szab owski March 27 Pawe J. Szab owski () Wyk ad 1 March 27 1 / 17 Plan wyk adu: 1-3. Wst ¾ep i preliminaria- przyk ady szeregów czasowych.. Zagadnienie
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoZadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja)
Zadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja) Marcin Pietrzykowski mpietrzykowski@wi.zut.edu.pl wersja 1.0 1 Cel Celem zadania jest zapoznanie się z Algorytmami Genetycznymi w celu rozwiązywanie zadania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba
Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne I. Karcz-Dulęba Algorytmy klasyczne a algorytmy ewolucyjne Przeszukiwanie przestrzeni przez jeden punkt bazowy Przeszukiwanie przestrzeni przez zbiór punktów
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne
Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki, pojęć
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA
ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA Andrzej FRYSZKOWSKI SZCZECIN, 27 MARCA 2014 Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA 2014 1 / 25 BROSZURA OMG I (2005/2006) (opracowanie: Joanna
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoMarcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2018/19.
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2018/19 http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowogdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowow ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I
Prezentacja wspó nansowana przez Uni ¾e Europejsk ¾a w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowo6. Projektowanie składu chemicznego stali szybkotn cych o wymaganej twardo ci i odporno ci na p kanie
6. Projektowanie składu chemicznego stali szybkotn cych o wymaganej twardo ci i odporno ci na p kanie Do projektowania składu chemicznego stali szybkotn cych, które jest zadaniem optymalizacyjnym, wykorzystano
Bardziej szczegółowoRyzyko inwestycji nansowych
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr letni 2015/16) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja
Bardziej szczegółowoRyzyko inwestycji nansowych
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2012/13) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo