Pierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski
|
|
|
- Nadzieja Urban
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Pierwiastki aproksymatywne niecharakterystyczne S. Brzostowski
2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. 2
3 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R.
4 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R. Wielomian moniczny g 2 R[Y ] spe lniaj acy, warunek deg Y (f g l ) < k k=l jest zwany pierwiastkiem aproksymatywnym l-ego stopnia z f. B, edziemy go oznaczac przez l p f.
5 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian moniczny zmiennej Y stopnia k; l 2 N - dzielnik k taki, _ze 1=l 2 R. Wielomian moniczny g 2 R[Y ] spe lniaj acy, warunek deg Y (f g l ) < k k=l jest zwany pierwiastkiem aproksymatywnym l-ego stopnia z f. B, edziemy go oznaczac przez l p f. Twierdzenie p 1. Przy powy_zszych za lo_zeniach l-ty pierwiastek aproksymatywny l f z f istnieje i jest wyznaczony jednoznacznie.
6 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l 3
7 3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia
8 3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k
9 3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k k p f = Y + a 1 k,
10 3 Przyk lad 1. Dla f = Y k + a 1 Y k k=l + ::: + a k k=l gdy_z p l f = Y k=l + a 1 l, ( l p f) l = (Y k=l + a 1 l )l = Y l +a 1 Y k k=l +sk ladniki ni _zszego stopnia Dla f = Y k + a 1 Y k 1 + ::: + a k p k a 1 f = Y + p 1 f = f. k,
11 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y
12 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, 4
13 4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 3Y + 2,
14 4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2,
15 4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2, Ponadto f = (Y 2 + 2Y 1) Y Y 2 7Y + 13
16 4 Dla f = Y 6 + 6Y 5 + 9Y 4 + 6Y Y 2 Y + 12 mamy f = ((Y + 1) 3 3Y + 2) 2 + Y 2 Y + 3, a wi, ec p 2 f = (Y + 1) 3 p 6 f = (Y + 1). 3Y + 2, Ponadto f = (Y 2 + 2Y 1) Y Y 2 7Y + 13 czyli p 3 f = (Y 2 + 2Y 1).
17 Ci, agi charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. 5
18 5 Ci agi, charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. Za lo_zenia Podstawowe. f = Y k + a 1 (X)Y k 1 + ::: + a k - nierozk ladalny i moniczny element K ((X)) [Y ] ; K = K; char K = 0, deg Y f = k.
19 5 Ci agi, charakterystyczne i twierdzenie Abhankara i Moha. Za lo_zenia Podstawowe. f = Y k + a 1 (X)Y k 1 + ::: + a k - nierozk ladalny i moniczny element K ((X)) [Y ] ; K = K; char K = 0, deg Y f = k. Na mocy twierdzenia Newtona, f t k ; Y = Y "2U k (K) (Y y ("t)) dla pewnego y (t) 2 K ((t)) ; y (t) = X j2z y j t j (przez U k (K) oznaczamy zbior f" 2 K : " k = 1g).
20 6 Nast, epnie, niech m = (m 0 ; : : : ; m h ) - charakterystyka f,
21 6 Nast, epnie, niech m = (m 0 ; : : : ; m h ) - charakterystyka f, d = (d 1 ; : : : ; d h+1 ); gdzie d h+1 = 1, - malej acy, ci ag, podzielnikow liczby k okreslony wzorami d i = gcd(m 0 ; : : : ; m i 1 ) dla 1 6 i 6 h + 1, tzn. w szczegolnosci k = d 1 < d 2 < ::: < d h+1 = 1:
22 7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i
23 7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1;
24 7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1; k lad ac, n i = d i d i+1 ; dla 1 6 i 6 h. n = (n 1 ; :::; n h );
25 7 Okreslamy rownie_z nast epuj, ace, pochodne ci agi, charakterystyczne: s = (s 0 ; : : : ; s h+1 ); k lad ac, s 0 := m 0, s i := m 1 d 1 + P (m j m j 1 ) d j ; dla 1 6 i 6 h; oraz s h+1 := +1; 26j6i r = (r 0 ; : : : ; r h+1 ); k lad ac, r 0 := m 0, r i := s i d i ; dla 1 6 i 6 h; oraz r h+1 := +1; k lad ac, n i = d i d i+1 ; dla 1 6 i 6 h. n = (n 1 ; :::; n h ); p Przy powy_zszych oznaczeniach b edziemy, mowic, _ze l f jest " charakterystyczny" b adz, _ze jest charakterystycznego stopnia", jesli " l = d j przy pewnym j 2 f1; :::; h + 1g:
26 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b, ed, a spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 8
27 8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ],
28 8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ], 2. jesli 2 6 i 6 h + 1 to dla dowolnego pierwiastka Puiseux z(t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 Uk (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i,
29 8 Twierdzenie 2. [Abhyankar-Moh] Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest charakterystyczny, tzn. l = di przy pewnym 1 6 i 6 h + 1, wtedy: 1. lp f jest nierozk ladalnym elementem pierscienia K ((X)) [Y ], 2. jesli 2 6 i 6 h + 1 to dla dowolnego pierwiastka Puiseux z(t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 Uk (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i, 3. p l ord t f t k ; y (t) = r i.
30 Wyniki i przyk lady. 9
31 9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy:
32 9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady),
33 9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady), 2. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k > m i,
34 9 Wyniki i przyk lady. Twierdzenie 3. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Jesli lp f jest niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g, to przyjmuj ac, i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g, mamy: 1. punkt 1. twierdzenia 2 nie jest prawdziwy (poni_zej podamy stosowne przyk lady), 2. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k > m i, 3. p l ord t f t k ; y (t) d i > r i l.
35 10
36 11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja
37 11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e,
38 11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e, Mo_zna sprawdzic, _ze dla l = 2, lp f = Y 24 + ::: rozszczepia si e, na trzy nierozk ladalne czynniki nad C ((X)) [Y ]: f = f 1 f 2 f 3,
39 11 (Nie)rozk ladalnosc niecharakterystycznych pierwiastkw aproksymatywnych Przyk lad 2. X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - parametryzacja f = Y 48 +a 1 (X)Y 47 +:::+a 48 (X) 2 C ((X)) [Y ] - nierozk ladalny i moniczny wielomian wi a_z, acy, t a, parametryzacj e, Mo_zna sprawdzic, _ze dla l = 2, lp f = Y 24 + ::: rozszczepia si e, na trzy nierozk ladalne czynniki nad C ((X)) [Y ]: f = f 1 f 2 f 3, przy czym ka_zdy z nich ma pierwiastek Puiseux postaci t 3=4 + t 1=8 + o t 1=8 + sk ladniki wy _zszego rz edu:,
40 12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja
41 12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si, e byc bardzo " regularny", gdy_z tutaj d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1)
42 12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si, e byc bardzo " regularny", gdy_z tutaj d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6,
43 12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si e, byc bardzo regularny", gdy_z tutaj " d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6, a wi ec, mo_zna o niego uzupe lnic wyjsciowy ci ag, d bez zmiany innych wyrazow tego ci agu,, a pomimo to w lasnosc nierozk ladalnosci si e, nie zachowuje.
44 12 Ci ag, dalszy przyk ladu... X = t 48 ; Y = t 36 + t 6 + t 5 - rozwa_zana parametryzacja Obserwacja: dzielnik l = 2 wydaje si e, byc bardzo regularny", gdy_z tutaj " d = (d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 ) = (48; 12; 6; 1) czyli d 4 = 1j2jd 3 = 6, a wi ec, mo_zna o niego uzupe lnic wyjsciowy ci ag, d bez zmiany innych wyrazow tego ci agu,, a pomimo to w lasnosc nierozk ladalnosci si e, nie zachowuje. Zauwa_zmy jednak, _ze nie mo_zna uzupe lnic" tej parametryzacji w taki " sposob, by uzyskac ci ag, podzielnikow charakterystycznych postaci d 0 = (48; 12; 6; 2; 1).
45 13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja
46 13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji
47 13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji l = 3
48 13 Przyk lad 3. Latwo jest rownie_z podac przyk lady id ace, w przeciwnym kierunku. X = t 18 ; Y = t 12 + t 2 + t 1 - parametryzacja f = Y 18 + ::: - minimalny wielomian moniczny tej parametryzacji l = 3 Mamy p l inco t f t 6 ; t 4 + Ut = 9U 2 6, co oznacza, _ze l p f jest nierozk ladalny.
49 14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to:
50 14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to: 2 0. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i,
51 14 p Twierdzenie 4. Niech b ed, a, spe lnione Za lo_zenia Podstawowe. Niech l f b edzie, niecharakterystyczny, tzn. l jest liczb a, naturaln a, tak a,, _ze ljk, l =2 fd 1 ; :::; d h+1 g. Przyjmijmy i := maxf1 6 j 6 h + 1 : ljd j g. Jesli l > d i+1, to: 2 0. dla ka_zdego pierwiastka Puiseux z (t) wielomianu l p f (t; Y ) istnieje " 2 U k (K) taki, _ze ord t y ("t) z t k = m i, 3 0. p l ord t f t k ; y (t) d i = r i l.
52 15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione.
53 15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ).
54 15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu.
55 15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu. Wobec y(t) = t 12 + at 3 + bt 18, mamy w konsekwencji info t y (t) z 1 t 18 = a (1 p 6=2)t 3 :
56 15 Przyk lad 4. Niech X = t 18, Y = t 12 + at 3 + bt 1 ; gdzie a; b s a, zmiennymi nad C, i niech l = 2. Wtedy l = 2 < d i+1 = 3, wi ec, za lo_zenie twierdzenia 4 nie jest spe lnione. Pomimo tego p l inco t f t 6 ; t 4 + Zt 1 = 27=2 Z( 2Z 2 + 3a 2 ). Wnioskujemy, _ze l p f ma dwa niesprz, e_zone pierwiastki Puiseux. Jeden z nich jest bardzo ciekawej postaci: z 1 (t) = t 2=3 + p 6=2 a t 1=6 + sk ladniki wy _zszego rzedu. Wobec y(t) = t 12 + at 3 + bt 18, mamy w konsekwencji info t y (t) z 1 t 18 = a (1 p 6=2)t 3 : Ponadto mamy tak_ze ord t lp f t 18 ; y (t) = r 2 d 2 l = 81, dla ka_zdego niezerowego a.
57 16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4?
58 16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k?
59 16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k? Problem 3. Jak przeniesc powy_zsze rezultaty na przypadek rozk ladalnego wielomianu f?
60 16 Problemy Problem 1. Czy mo_zna opuscic za lo_zenie l > d i+1 w twierdzeniu 4? Problem 2. Jesli lp f jest rozk ladalny w K ((X)) [Y ], to czy stopnie jego czynnikow dziel a, k? Problem 3. Jak przeniesc powy_zsze rezultaty na przypadek rozk ladalnego wielomianu f? Problem 4. Czy dla dowolnego rozk ladalnego f 2 K ((X)) [Y ] istnieje nierozk ladalny F 2 K ((X)) [Y ] taki, _ze lp F = f dla pewnej liczby naturalnej lj deg Y F?
61 17 Literatura [A] Abhyankar, S. S. Expansion Techniques in Algebraic Geometry, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, [A-M 1] Abhyankar, S. S. & Moh, T. T. Newton-Puiseux expansion and generalized Tschirnhausen transformation I, II, J. reine angew. Math. 260, and 261, (1973). [A-M 2] Abhyankar, S. S. & Moh, T. T. Embeddings of the Line in the Plane, J. reine angew. Math. 276, (1975). [G-P] Gwozdziewicz, J., P loski, A. On the approximate roots of polynomials, Annales Polonici Mathematici LX.3, (1995) [M] Moh, T. T. On the Concept of Approximate Roots for Algebra, Journal of Algebra 65, (1980).
62 18 [P1] P loski, A. Pierwiastki aproksymatywne wielomianow wed lug S. S. Abhyankara i T. T. Moha, Materia ly XIV Konferencji Szkoleniowej z Teorii Zagadnien Ekstremalnych, Wyd. U L., Lodz, (1993). [P2] P loski, A. Twierdzenia podstawowe o pierwiastkach aproksymatywnych wielomianow, Materia ly XV Konferencji Szkoleniowej z Analizy i Geometrii Zespolonej, Wyd. U L., Lodz, (1994). [S] Sathaye, A. Generalized Newton-Puiseux Expansions and Abhyankar-Moh Semigroup Theorem, Invent. math. 74, (1983).
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Grupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Dowód twierdzenia Abhyankara i Moha według Richmana
Dowód twierdzenia Abhyankara i Moha według Richmana Andrzej Nowicki Universytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Lipiec
(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Dziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN
RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN Arkadiusz P loski (Kielce) Pojecie rugownika należy do algebry klasycznej W ostatnich latach w zwiazku ze wzrostem znaczenia metod efektywnych algebry ukaza lo sie wiele
Liczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Normy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym
O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyki SGGW Wis a 2010 Plan referatu 1. Modele liniowe
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
System liczbowy binarny.
1 System liczbowy binarny. 0.1 Wstȩp Ogȯlna forma systemów pozycyjnych liczbowych ma postać wielomianu α n 1 ρ n 1 + α n 2 ρ n 2 + + α 2 ρ 2 + α 1 ρ + α 0, (1) gdzie liczbȩ naturaln a ρ 2 nazywamy podstaw
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017
i MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS 02-892 WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY Warszawa pażdziernik 2017 ii Contents 0.1 Wstȩp............................... 1 0.2
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Opercja modulo a b( mod c) MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 2018 1 1 Projekt pi aty
Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Udowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Równania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej
Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy
Wersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Testowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
FUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą