Bardzo silnie z poj ¾eciem populacji statystycznej zwiazane ¾ jest poj ¾ecie próby statystycznej.

Transkrypt

1 Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj eć statystycznych, poszczególne de nicje zostana wzbogacone o obrazowe przyk ady. Jednym z najistotniejszych poj eć jest populacja statystyczna. De nition Populacja statystyczna (zbiorowo sć generalna) jest to zbiór obiektów obj etych badaniem statystycznym, co do których formu uje si e wnioski statystyczne. Bardzo silnie z poj eciem populacji statystycznej zwiazane jest poj ecie próby statystycznej. De nition Próba statystyczna jest to zbiór obserwacji statystycznych wybranych z populacji statystycznej. Na próbie dokonywane sa bezpo srednie badania statystyczne a wyniki badań sa uogólniane na populacj e. Ju z z pobie znej analizy obu de nicji wynika, ze próba jest pewnym podzbiorem populacji. W tym miejscu mo ze pojawić si e pytania: Jaki sens ma badanie próby zamiast ca ej populacji? W jaki sposób dokonać wybory próby? Jaki jest zwiazek pomi edzy wynikami badań przeprowadzonych dla próby a oczekiwanymi wynikami dotyczacymi ca ej populacji? Zanim odpowiemy na te pytania spróbujmy podać kilka przyk adów ró znych populacji statystycznych oraz prób. Example 3 Rozwa zmy populacj e statystyczna, która stanowia wszyscy zyjacy ludzie na Ziemi. Jest to co prawda populacja skończona, ale nie jest mo zliwe zbadanie chocia zby wzrostu ca ej populacji ludzi. W zwiazku z tym chcac oszacować sredni wzrost ludzi nale za oby obliczyć srednia dla pewnego podzbioru wszystkich ludzi i na tej podstawie przybli zyć srednia wzrostu wszystkich ludzi. Oczywíscie wybór tego podzbioru (czyli próby) nie jest dowolny. Zastanówmy si e bowiem, czy wybranie jako próby cz onków polskiej dru zyny siatkarzy by oby uzasadnione, albo czy przyj ecie jako próba uczniów pewnej szko y by oby w a sciwe? Oba podane przyk ady w jasny sposób pokazuja, ze wybór próby statystycznej nie jest taki prosty, bowiem nie ka zdy podzbiór populacji jest reprezentatywny. Pojawia si e tutaj kolejny problem. W jaki sposób dokonać wyboru próby z populacji? Przy wyborze próby musimy mieć na uwadze cech e statystyczna (lub cechy statystyczne) jaka chcemy badać. Najcześciej stosuje sie prób e losowa, czyli ciag zmiennych losowych o takim samym rozk adzie jak rozk ad populacji. Example 4 Rozwa zmy teraz populacj e drzew w pewnym lesie mieszanym, interesujac a nas cecha b edzie wysoko sć drzew. Jakie próby mo zna wyró zníc w tej populacji?

2 Exercise 5 Odpowiedzieć na postawione powy zej pytania dotyczace zwiazków populacji oraz próby. Exercise Podać inne przyk ady populacji. De nition 7 Jednostka statystyczna jest to element zbiorowo sci statystycznej, który poddawany jest badaniom. De nition Cecha statystyczna jest to w a sciwo sć, która odznaczaja si e jednostki statystyczne i która podlega badaniu statystycznemu. Cechy statystyczne mo zna podzielić na: Jakościowe - niemierzalne, opisowe cechy statystyczne, określane s ownie. Porzadkowe - cechy opisane za pomoca skali liczbowej, ale te liczby wskazuj e jedynie na porzadek wed ug którego zosta y ustawione analizowane cechy. Ilościowe - cechy opisane za pomoca skali liczbowej, cz esto z wyró znionym zerem. Exercise 9 Opisać populacj e osób b ed acych na zaj eciach za pomoca kilku cech, jakiego rodzaju sa to cechy? Zmienne losowe ciag e i skokowe Pod poj eciem zmiennej losowej b edziemy rozumieć dowolna funkcje mierzalna. W teorii prawdopodobieństwa wyró znia si e dwa g ówne typy zmiennych losowych, mianowicie zmienne losowe ciag e i skokowe. Bez wdawania w szczegó owe rozwa zania, dla naszych potrzeb wystarczy stwierdzenie, ze zmienna losowa skokowa przyjmuje wartości w pewnym przeliczalnym zbiorze wartości, natomiast zmienna losowa ciag a przyjmuje wartości w zbiorze nieprzeliczalnym. Z poj eciem zmiennej losowej nierozerwalnie zwiazany jest jej rozk ad. De nition 0 Rozk ad zmiennej losowej jest to miara probabilistyczna okre slona na -ciele podzbiorów warto sci zmiennej losowej: Tak określona miara probabilistyczna pozwala przypisać prawdopodobieństwa poszczególnym zdarzeniom losowym. Rozk ad zmiennej losowej mo zna zadawać w ró zny sposób. Dla zmiennych losowych typu skokowego zazwyczaj zadaje si e poprzez podanie funkcji skoków prawdopodobieństwa. Funkcj e ta przyje o sie przedstawiać w przejrzystej formie tabelki. Example Funkcj e ta przyj e o si e przedstawiać w przejrzystej formie tabelki. Rozwa zmy zmienna losowa X oznaczajac a wyrzucona na kostce liczb e oczek, w tym przypadku funkcja skoku przyjmuje postać nast epujacej tabelki x i p i

3 Dla zmiennych losowych typu ciag ego podanie rozk ady za pomoca tak czytelnej tabelki jest niemo zliwe (pami etamy, ze przyjmuje on nieskończenie wiele wartości). Dlatego najcz eściej rozk ad zmiennej losowej zadaje si e za pomoca g estości prawdopodobieństwa. Cz esto rozwa zanym przyk adem zmiennej losowej typu skokowego jest zmienna losowa o rozk adzie jednostajnym (równomiernym), charakteryzuje si e ona tym, ze ka zda wartość liczbowa z pewnego przedzia u liczbowego (a; b) przyjmowana jest z równym prawdopodobieństwem, natomiast wartości spoza tego przedzia u nie sa przyjmowane. W takim przypadku g estość wyra za si e wzorem < b a dla x (a; b) f (x) = : 0 dla x = (a; b) : Innym sposobem zadania rozk adu jest podanie dystrybuanty rozk adu. Dystrybuant e zmiennej losowej rozwa za si e zarówno dla zmiennych losowych typu skokowego jak i zmiennych losowych typu ciag ego. De nition Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcj e rzeczywista jednoznacznie wyznaczajac a rozk ad prawdopodobieństwa, a wi ec zawierajac a wszystkie informacje o tym rozk adzie. Dystrybuant e zazwyczaj wyznacza si e z pomoca nast epujacego wzoru F X (t) = P (X < t) = P (X ( ; t)) : () Remark 3 W niektórych ksia zkach mo zna spotkać si e z nieco inna de nicja, mianowicie nierówno sć < zastapiona jest przez nierówno sć ; czyli F X (t) = P (X t) = P (X ( ; t]) () Remark 4 Je sli nie budzi to nieporozumień indeks dolny, mówiacy o tym jakiej zmiennej jest to dystrybuanta, mo zna pominać. Je sli w zadaniu mamy zadana tylko jedna zmienna losowa to smia o mo zna pominać indeks dolny. Remark 5 Ze wzgl edów praktycznych dystrybuant e zmiennej losowej wyznacza si e za pomoca nast epujacych pomocniczych wzorów X p i dla zmiennych typu skokowego >< x i<()t F X (t) = Z t : (3) f (x) dx dla zmiennych typu ciag ego >: Example Wyznaczymy dystrybuant e zmiennej losowej podanej w przyk adzie na dwa sposoby, w ten sposób b edziemy mogli porównać ró znice wynikajace z tych dwóch de nicji. Korzystajac ze wzoru () otrzymujemy nast epujacy wzór 3

4 dystrybuanty >< F X (x) = >: 0 dla x ( ; ] dla x (; ] dla x (; 3] 3 dla x (3; 4] 4 dla x (4; 5] 5 dla x (5; ] dla x (; ) : Natomiast po zastosowanie wzoru () otrzymujemy wzór funkcji 0 dla x ( ; ) >< F X (x) = >: dla x [; ) dla x [; 3) 3 dla x [3; 4) 4 dla x [4; 5) 5 dla x [5; ) dla x [; ) Jak atwo spostrzec jedyna ró znica polega, ze dystrybuanta jest lewostronnie lub prawostronnie ciag a. Example 7 Wyznaczanie dystrybuanty zmiennej losowej jest nieco trudniejsze i jak wiemy polega na obliczaniu ca ek oznaczonych z g esto sci. W dalszej cz e sci naszych rozwa zań nie b edziemy obliczać warto sci dystrybuant zmiennych losowych ciag ych. B edziemy natomiast stosunkowo cz esto korzystać z warto sci dystrybuant wybranych rozk adów zawartych w tablicach statystycznych. W zwiazku z tym, aby mieć czyste sumienie wyznaczymy dystrybuant e wybranego rozk adu. Rozwa zmy zmienna losowa o g esto sci ( 0 dla x ( ; 0) f (x) = e x dla x [0; ) wówczas korzystajac ze wzoru (3) otrzymujemy nast epujac a funkcj e >< F (x) = >: Z x Z x 0dt = 0 dla x ( ; 0) f (t) dt = e x dla x [0; ) 4 :

5 gdzie druga cze sć wzoru otrzymujemy w nast epujacy sposób Z x f (t) dt = Z 0 0dt + Z x 0 e t dt = 0 + e t j x 0 = e x : Analizujac powy zsze dwa przyk ady mo zemy atwo dostrzec pewna bardzo istotna w asność wszystkich dystrybuant. Mianowicie oraz lim F (x) = 0 x! lim F (x) = : x! Exercise Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Y o rozk adzie jednostajnym na odcinku (0; 5) : Exercise 9 Dana jest zmienna losowa X o funkcji skoków prawdopodobieństwa zadanej tabelka x i 0 3 p i wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej X: W statystyce dystrybuanta rozk adu próby zwana jest dystrybuanta empiryczna i jest blisko zwiazana z poj eciem rangi. W poni zszym przyk adzie poznamy praktyczny sposób wyznaczania dystrybuanty empirycznej. Example 0 Zbadano napi ecie pradu w kilku losowych chwilach czasu i otrzymano wyniki: 30, 3, 5,, 30, 33, 30, 30, 3, 35. Wyznaczyć dystrybuant e empiryczna. Rozwiazanie: W pierwszym kroku musimy wartości ustawić w sposób niemalejacy, mamy wówczas ; ; 30; 30; 30; 30; 3; 3; 33; 35: Nast epnie mo zemy przystapić do wyznaczania dystrybuanty empirycznej, przy czy pamietajmy, ze n = 0: >< F (x) = >: 0 dla x ( ; 5] 0 dla x (5; ] 0 dla x (; 30] 0 dla x (30; 3] 7 0 dla x (3; 3] 0 dla x (3; 33] 9 0 dla x (33; 35] dla x (35; ] : 5

6 Prześledźmy dok adniej w jaki sposób zosta a wyznaczona np. wartość F (33). Zauwa zmy, ze liczba obserwacji mniejszych od 33 wynosi i w zwiazku z tym F (33) = 0 = 4 5 : 3 Ćwiczenia do samodzielnego rozwiazania Exercise Rozwa zmy rzut dwiema symetrycznymi monetami. Niech X oznacza liczba wyrzuconych or ów. Podać rozk ad oraz dystrybuant e tak okre slonej zmiennej losowej. Exercise Zbadano ilo sć samochodów sprzedawanych przez pewien salon w ciagu kolejnych dni i otrzymano wyniki: 0; ; 7; ; ; 9 ; : Wyznaczyć dystrybuant e empiryczna. Exercise 3 Dana jest zmienna losowa Y o rozk adzie zadanym tabelka x i 0 4 p i : Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Y: Exercise 4 Dana jest zmienna losowa Z o g esto sci f (x) = x + dla x (0; ) 0 dla x = (0; ) : Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Z: 4 Zbiory cech statystycznych Szereg statystyczny to zbiór wartości liczbowych badanej cechy uporzadkowany wed ug określonych kryteriów. Rozró znimy kilka rodzaj szeregów statystycznych. W naszych rozwa zaniach skoncentrujemy si e na szeregach punktowych i przedzia owych. 4. Szereg rozdzielczy punktowy Jednym z mo zliwych sposobów reprezentacji danych jest szereg rozdzielczy punktowy. Jest on najcześciej podawany za pomoca tabeli, w której w jednym wierszu (lub kolumnie) podawane sa wartości cechy a w drugim wierszu (lub odpowiednio kolumnie) podawana jest liczba elementów przyjmujacych dana wartość. Rozwa zmy nast epujacy przyk ad.

7 Example 5 Zmierzono napi ecie pradu i otrzymano nast epujace wyniki: 7; 7; 7; 7; 7; ; ; ; ; ; ; ; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 30; 30; : : : ; 30; 3; 3; : : : ; 3 {z } {z } ; 3 razy razy 3; 3; 3; 3; 3; 33; 33: W powy zszym zestawie obserwacji nie wypisano wszystkich powtórzeń warto sci 30 oraz 3: Jest oczywiste, ze praca na takich danych bez zastosowania narz edzi komputerowych by aby bardzo zmudna. Zastosowanie arkusza excel i wprowadzenie tych wszystkich warto sci równie z nie nale za oby do najprzyjemniejszych. W takich w a snie przypadkach stosuje si e szeregi rozdzielcze punktowe. Dane dotyczace napi ecia pradu mo zna przedstawíc w nast epujacy sposób warto sć napi ecia liczba obserwacji lub równowa znie za pomoca analogicznej tabeli warto sć napi ecia liczba obserwacji

8 Poznaliśmy ju z wzory dla podstawowych miar przedstawionych za pomoca szeregu rozdzielczego punktowego. 4. Szereg rozdzielczy przedzia owy Na wst epie rozwa zań dotyczacych szeregów rozdzielczych przedzia owych musimy zauwa zyć, ze ten typ reprezentacji danych ma pewne minusy. Trzeba bowiem pamietać, ze stosujac szereg rozdzielczy przedzia owy zast epujemy dane dok adne pewnymi przybli zeniami w zwiazku z czym otrzymywane przez nas wartości miar nie pokrywaja si e idealnie z ich odpowiednikami liczonymi bezpośrednio dla danych niezgrupowanych. Ró znice te sa jednak zazwyczaj ma o istotne. Zastanówmy sie nastepnie, kiedy zastosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego jest uzasadnione. Po pierwsze wielkość próby, na której dokonywana jest analiza powinna być dość du za (nie ma sensu stosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego dla kilku obserwacji), ponadto rozstep z próby te z powinien być dostatecznie du zy. W podanym powy zej przyk adzie na szereg rozdzielczy punktowy zastosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego nie mia oby wi ekszego sensu. Pomimo tego, ze próba jest dość du za rozstep jest niewielki i wynosi zaledwie jednostek. Zanim podamy przyk ad szeregu rozdzielczego przedzia owego musimy przedstawić schemat, za pomoca którego jest on budowany. Pierwszym problem jest określenie ilości przedzia ów na jakie mamy podzielić dost epne dane. Przyj e o sie, ze liczba przedzia ów k p N, gdzie N oznacza liczebność próby. Nastepnie wyró zniamy element najmniejszy x min i najwiekszy x max w dostepnej zbiorowości. Kolejnym krokiem jest ustalenie rozpi etości przedzia u za pomoca wzoru h = x max k Ostatnim krokiem jest budowa przedzia ów. x min : Example Zbadano wzrost pewnej grupy studentów i otrzymano nast epujace dane: 55, 0,,,, 3, 4, 5, 5,,, 9, 70, 70, 7, 7, 7, 73, 74, 74, 75, 7, 77, 7, 79, 0,, 4, 5, 7,, 9, 90, 9, 9. W naszym przypadku N = 35 w zwiazku z tym przyjmujemy, ze k = : atwo 9 55 zauwa zamy, ze x min = 55; za s x max = 9 oraz h = = : Ostatecznie mo zemy nasze dane zebrać w szereg przedzia owy przedzia liczebno sć [55; ) [; 7) 7 [7; 73) [73; 79) 7 [79; 5) 4 [5; 9] 7

9 Exercise 7 Podane poni zej dane dotyczace czasu dojazdu do pracy (w minutach) przedstawíc w postaci szeregu rozdzielczego przedzia owego. Czasy dojazdu:, 9, 9, 0, 0,,,,, 4, 5, 5, 5,5,7, 7,, 9, 0, 0, 3, 3, 4, 5,, 7,, 9, 30, 3, 3, 3, 33,35, 40, 45, 50, 55, Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów W tym punkcie naszych rozwa zań przedstawimy praktyczne sposoby wyznaczania podstawowych miar statystycznych bez zastosowania komputerów. Mo ze sie bowiem tak zdarzyć, ze b eda Państwo musieli wyznaczyć podstawowe miary takie jak średnia, odchylenie standardowe, mediana czy te z dominanta i nie b eda mieli Państwo dost epu do niezb ednego oprogramowania. W takich przypadkach dobrze jest zastosować zaprezentowane poni zej metody. Example Za ó zmy, ze wyniki pewnego do swiadczenia reprezentuje poni zsza tabelka warto sć cechy (x i ) liczebno sć (n i ) Chcemy wyznaczyć podstawowe charakterystyki. W tym celu rozbudowujemy nasza tabelk e dodajac dodatkowe kolumny oraz jeden wiersz, w którym b edziemy zliczali sumy odpowiednich kolumn. Rozbudowana tabelka przyjmuje nast epujac a postać x i n i x i n i x i n i N i suma gdzie kolumna trzecia jest iloczynem kolumny pierwszej i drugiej, kolumna czwarta jest iloczynem kolumny pierwszej i trzeciej, natomiast ostatnia kolumna zawiera liczebno sci skumulowane, które powstaja z obliczania sum cz e sciowych drugiej kolumny do danego poziomu. Na podstawie powy zszych danych otrzymujemy 9

10 nast epujace wyniki S = X = kx x i n i i= kx x i n i i= kx i= n i = kx n i i= 0 X = = 3 4 ; 3 = 7 4 ; ponadto atwo stwierdzamy, ze dominanta wynosi D = (najwi eksza liczebno sć jest dla warto sci ) oraz mediana Me =, bowiem dla warto sci pierwszy raz liczebno sć skumulowana przekracza 40. W podobny sposób mo zna dokonać niezb ednych obliczeń dla szeregu rozdzielczego przedzia owego, jedyna ró znica jest dodanie kolumny zawierajacej środki przedzia ów. Rozwa zmy nast epujacy przyk ad. Example 9 Dla danych z przyk adu wyznaczyć podstawowe miary statystyki opisowej. Podobnie jak poprzednio rozbudowujemy nasza tabel e o dodatkowe kolumny i wiersz, przyjmuje wówczas ona nast epujac a postać przedzia liczebno sć (n i ) srodek przedzia u ( _x i ) _x i n i _x i n i N i 55+ [55; ) = [; 7) 7 = [7; 73) = [73; 79) 7 = [79; 5) 4 = [5; 9] 7 = suma Podobnie jak poprzednio wyznaczamy warto sć sredniej oraz wariancji S = X = = = Natomiast wyznaczenie mediany i dominanty wymaga troch e dodatkowych obliczeń i zastosowania wzorów (5) i () z poprzednich konspektów. Wszelkie niezb edne informacje sa jednak bezpo srednio dost epne w powy zszej tabeli. My wówczas Me = x Me + N k Me X i= n i n Me i Me = ; = 73; 43 0

11 n D n D 7 D = D = x D + i D = 7 + n D n D + n D n D = 70: 5 Liczby losowe (generatory liczb losowych, tablice liczb losowych) Istotnym zagadnieniem statystyki matematycznej jest generowanie liczb losowych, ma ono zastosowanie mi edzy innymi podczas wybierania próby losowej. W zwiazku z tym musimy przybli zyć sobie dost epne generatory liczb losowych. Skupimy si e tutaj na generatorach zaimplementowych w arkuszu Excel oraz na tablicach liczb losowych. W internecie mo zna znaleźć wiele tablic liczb losowych, jednak dobór w aściwych tablic mo ze nastr eczać du ze problemy. Znacznie wygodniejszym sposobem jest wygenerowanie liczb losowych spe niajacych nasze wymagania. W tym celu wykorzystamy dostepna w programie Excel funkcje "LOS()", która zwraca nam liczb e pseudolosowa pobrana ze zmiennej o rozk adzie jednostajnym na przedziale (0,). Innymi s owy otrzymujemy liczb e (pseudolosowa) z przedzia u (0,). Pojawia si e tutaj naturalne pytanie w jaki sposób uzyskać liczby losowe z innych podzbiorów liczb rzeczywistych. Jest to mo zliwe poprzez odpowiednie przekszta cenie wyniku danej funkcji, dla przyk adu formu a zwraca nam naturalne liczby losowe ze zbioru f; ; : : : ; 0g : Istotna wada generatora zastosowanego w programie Excel jest fakt, ze liczby sa pobierane z rozk adu równomiernego. Czasami chcemy, aby próba by a pobierana zgodnie z innym rozk adem, wtedy mamy dwa wyjścia. Jedno z nich polega na umiej etnym z o zeniu funkcji kwantyli z adanego rozk adu z funkcja LOS(). Drugi sposób polega na skorzystaniu z innych dost epnych w internecie generatorów liczb losowych. Exercise 30 Napisać formu e pozwalajac a otrzymać jako wynik ca kowite liczby losowe ze zbioru f 5; 4; : : : ; ; 3g : Rozk ad normalny Jednym z najwa zniejszych rozk adów rozwa zanych w statystyce matematycznej jest rozk ad normalny (rozk ad Gaussa). W celu dok adnego określenia rozk adu nale zy podać średnia () oraz odchylenie standardowe (). Przyje o sie pisać w skrócie N (; ) lub N ; : Gestość rozk adu normalnego wyra za sie wzorem! f (x) = p (x ) exp :

12 Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; ), wartości dystrybuanty tego rozk adu zosta y stablicowane i sa stosowane w wielu badaniach statystycznych. Poni zszy rysunek przedstawia kilka przyk adowych g estości Jedna z wielu w asności rozk adu normalnego jest jego symetryczność wzgl edem średniej, w szczególności dla g estości standardowego rozk adu normalnego zachodzi w asność f (x) = f ( x) : Dystrybuant e standardowego rozk adu normalnego zazwyczaj oznacza sie przez (x) : Istotna umiejetnościa jest w aściwe odczytywanie wartości z tablic rozk adu normalnego.. Tablice standardowego rozk adu normalnego Nale zy zauwa zyć, ze zarówno w internecie jak te z w ró znych pozycjach ksia zkowych mo zna odnaleźć tablice dystrybuanty rozk adu normalnego. Tablice te jednak moga ró znić sie miedzy soba dok adnościa, jak równie z ogólnym sposobem reprezentacji danych. W jednym z najbardziej popularnych podr eczników do statystyki W. Krysicki, J. Bartos, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

13 matematyczna w zadaniach tablice te przyjmuja nastepujac a postać 3

14 Dla przyk adu odczytajmy z tablic (:3) : W tym celu postepujemy w sposób zaprezentowany na poni zszym rysunku i otrzymujemy wynik (:3) = 0:907: Jeśli natomiast naszym zadaniem jest wyznaczenie punktu x 0 dla którego np. (x 0 ) = 0:4 postepujemy w nieco inny sposób. W gaszczu wartości odszukujemy najbli zszej 0:4 i odczytujemy jej wspó rz edne jak na rysunku poni zej otrzymujemy zatem odpowiedź x 0 = 0:3: Example 3 Za ó zmy, ze zmienna losowa X ma standardowy rozk ad normalny N (0; ) : Obliczmy korzystajac z tablic standardowego rozk adu P (X < ) = () = 0:43 P (X 0:5) = P (X < 0:5) = (0:5) = 0:95 = 0:305 P (X < 0:) = ( 0:) = (0:) = 0:5793 = 0:407 P ( 0:7 < X < 0:3) = (0:3) ( 0:7) = (0:3) + (0:7) = = 0:79 + 0:750 = 0:3359 W powy zszych przyk adach wykorzystaliśmy podstawowe w asności wszystkich dystrybuant oraz faktu, ze dla standardowego rozk adu normalnego ( a) = (a) : Nale zy w tym miejscu jeszcze zanotować, ze dla zmiennych losowych typu ciag ego o dystrybuancie F b ed acej funkcja ciag a prawdziwe sa nastepujace wzory P (X < a) = F X (a) ; (4) 4

15 P (X a) = F X (a) ; (5) P (X = a) = 0; () P (X > a) = P (X a) = F X (a) ; (7) P (X a) = P (X < a) = F X (a) ; () P (a < X < b) = F X (b) F X (a) : W ostatnim wzorze ka zda z nierówności < mo zna zastapić przez nierówność :. Zastosowanie programu Excel do wyznaczania wartości rozk adu normalnego W programie Excel ma do dyspozycji 4 funkcje zwiazane z rozk adem normalnym. Pierwsza z nich jest funkcja ROZK AD.NORMALNY Jako parametry tej funkcji podajemy cztery wartości. Pierwsza z nich "X" oznacza wartość dla której chcemy obliczyć wartość funkcji, "Średnia" oznacza średnia rozk adu, natomiast "Odchylenie_std" oznacza odchylenie standardowe : Ostatnia zmienna "Skumulowany" ma wartość logiczna prawda jeśli chcemy obliczyć wartość dystrybuanty w punkcie, natomiast wartość fa sz jeśli chcemy obliczyć wartość g estości w punkcie. 5

16 Kolejna funkcja dzia aj ac a niejako w sposób odwrotny jest funkcja ROZK AD.NORMALNY.ODW Zmienne średnia oraz odchylenie standardowe maja to samo znaczenie co w poprzedniej funkcji, natomiast zmienna "Prawdopodobieństwo" oznacza wartość prawdopodobieństwa. Innymi s owy jako wynik otrzymamy taki punkt x 0 dla którego P (X < x 0 ) = p; gdzie X ma rozk ad normalny ze średnia i odchyleniem standardowym podanym jako parametry funkcji oraz wartościa p podana jako parametr "Prawdopodobieństwo". Oprócz omówionych powy zej funkcji dost epne sa jeszcze dwie funkcje pozwalajace wyznaczać odpowiednie wartości dla standardowego rozk adu normalnego N (0; ) :