MODELOWANIE MECHANICZNEGO ZACHOWANIA CIECZY UŻYWANEJ W TŁUMIKACH DRGAŃ

Transkrypt

1 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 (/14, kwiecień-czerwiec 14, s Roman LEWANDOWSKI 1 Mieczysław SŁOWIK MODELOWANIE MECHANICZNEGO ZACHOWANIA CIECZY UŻYWANEJ W TŁUMIKACH DRGAŃ W pracy rozważa się możliwość zastosowania tzw. ułamkowych modeli reologicznych do opisu dynamicznego zachowania cieczy o bardzo dużej lepkości. Ciecz ta jest często stosowana w pasywnych tłumikach drgań. Bierze się pod uwagę ułamkowe modele reologiczne o trzech i czterech parametrach. Posłużono się rezultatami własnych badań w procedurze identyfikacji parametrów modeli. Dyskutuje się wpływ temperatury cieczy i wpływ amplitudy drgań na wartości parametrów modeli. Wykazano, że ułamkowy, trójparametrowy model Maxwella umożliwia wystarczająco dokładny opis dynamicznego zachowania rozpatrywanej cieczy. Słowa kluczowe: ciecz lepkosprężysta, badania eksperymentalne, ułamkowe modele reologiczne, identyfikacja parametrów 1. Wprowadzenie Ciecze o bardzo dużej lepkości są często stosowane do budowy lepkosprężystych, cieczowych tłumików drgań. Istnieje wiele typów takich tłumików. W firmie GERB zaprojektowano tłumik schematycznie pokazany na rys. 1. Jest on używany do redukcji drgań rurociągów i jako element układu izolacji sejsmicznej. Cylinder jest wypełniony żelem silikonowym; cieczą o bardzo dużej lepkości. Ruch tłoka powoduje odkształcenia cieczy i dyssypację energii. Innym typem tłumika cieczowego jest tzw. ściana tłumiąca, pokazana schematycznie na rys. 1. W tym rozwiązaniu funkcję tłoka pełni stalowa płyta poruszająca się w swej płaszczyźnie i zanurzona w wąskim stalowym kontenerze wypełnionym cieczą o dużej lepkości. Urządzenie to jest zwykle umieszczone na stropie budynku, przy czym płyta stalowa jest przymocowana do stropu górnej kondygna- 1 Autor do korespondencji/corresponding author: Roman Lewandowski, Politechnika Poznańska, Instytut Konstrukcji Budowlanych, Poznań, ul. Piotrowo 5, tel. ( , roman.lewandowski@put.poznan.pl Mieczysław Słowik, Politechnika Poznańska, Instytut Inżynierii Lądowej, Poznań, ul. Piotrowo 5, tel. ( , mieczyslaw.slowik@put.poznan.pl

2 8 R. Lewandowski, M. Słowik cji, a pojemnik do stropu dolnej kondygnacji. Względne ruchy obu stropów powodują ruch ściany tłumiącej względem kontenera, ścinanie cieczy i rozpraszanie energii. Lepkość cieczy powinna być bardzo duża, aby efekty tłumienia były znaczące. Właściwości cieczy używanych w tego typu tłumikach w istotny sposób zależą od częstości wymuszenia i temperatury cieczy. Właściwości tłumików cieczowych zazwyczaj określa się wykonując odpowiednie badania dynamiczne tłumików [1], a ich zachowanie opisuje się za pomocą różnorodnych modeli reologicznych [ - 4]. Podejście to wymaga wykonania żmudnych i kosztownych badań doświadczalnych, które należy wykonać dla każdego rodzaju tłumika. Zwykle badania te można przeprowadzić dla niskich częstości wymuszenia, a kontrola temperatury w trakcie badań jest bardzo utrudniona. Rys. 1. Schematyczne przedstawienie cieczowych tłumików drgań Fig. 1. Schematic view of fluids dampers W kilku pracach podjęto próbę numerycznego modelowania zachowania cieczowego tłumika drgań [5, 6]. To podejście stwarza możliwość ograniczenia zakresu badań doświadczalnych tłumików. Wymagana jest jednak znajomość właściwości cieczy używanych do wykonania omawianych tłumików. Badania cieczy o bardzo dużej lepkości, dla dużego zakresu częstości wymuszenia oraz precyzyjnie ustalonej temperatury cieczy można w standardowy sposób przeprowadzić przy użyciu reometru. Wyniki tak przeprowadzonych badań mogą być użyte w numerycznym modelu zachowania tłumika. Ciecze o bardzo dużej lepkości stosowane w tłumikach drgań, są tzw. cieczami nienewtonowskimi, a ich równania konstytutywne często zawierają pochodne ułamkowego rzędu [7, 8]. W pracy omawia się rezultaty badań cieczy o bardzo dużej lepkości, z użyciem reometru dynamicznego ścinania. Przedstawiono również wyniki identyfikacji modelu reologicznego i jego parametrów i na tej podstawie ustalono równanie konstytutywne badanej cieczy. Badaniom poddano ciecz o nazwie polydimethylsiloxane (C H 6 OSi często używaną do wykonania tłumików cieczowych.

3 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 83. Opis przeprowadzonych badań Badania omawianej cieczy zostały przeprowadzone w Laboratorium Badawczym Instytutu Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej w 11 roku. Badania wykonano za pomocą reometru dynamicznego ścinania DSR (ang. Dynamic Shear Rheometer typu Physica MCR 11 produkcji niemieckiej firmy Anton Paar Germany GmbH. Reometr DSR zastosowany w badaniach ma następujące parametry: zakres momentu obrotowego: od,5 Nm do 15 mnm; zakres prędkości obrotowej: od 1-4 min -1 do min -1, zakres częstości wymuszenia: od 1-4 Hz do 1 Hz. W badaniach wykorzystano układ pomiarowy składający się z dwóch metalowych płyt równoległych o średnicy = 5 mm. Próbki badanego materiału umieszczano w szczelinie pomiędzy dwiema płytami, której szerokość przyjmowano równą 1, mm. W napędzie układu pomiarowego zastosowane jest łożysko powietrzne, dzięki czemu zostały zminimalizowane opory tarcia podczas ruchu oscylacyjnego płyty ruchomej. Przeprowadzano badania cieczy w różnych temperaturach. Temperatura badanej cieczy była równa: C oraz 5 C i była utrzymywana z tolerancją ±,1 C. Ciecz pobudzano do ruchu oscylacyjnego, sinusoidalnie zmiennego wywołując przemieszczenia kątowe płyty ruchomej. Wykonano badania przyjmując różne amplitudy przemieszczeń kątowych płyty. Amplitudy te były równe:,1 mrad;,1 mrad; 1 mrad; 1 mrad; mrad oraz 1 mrad. Przy ustalonej temperaturze i zadanej amplitudzie wymuszenia wykonywano badania dla różnych częstotliwości wymuszenia wziętych z przedziału Hz. Reometr mierzy szereg wielkości fizycznych, z których najistotniejsze znaczenie dla dalszych rozważań mają: zespolony moduł ścinania G* oraz kąt przesunięcia fazowego. 3. Opis ułamkowych modeli reologicznych Istnieje szereg modeli reologicznych opisujących właściwości cieczy o dużej lepkości. Modele te można podzielić na klasyczne modele reologiczne i tzw. ułamkowe modele reologiczne [3, 4]. Tych ostatnich używa się do opisu właściwości omawianej cieczy. Analizowano możliwości użycia czterech ułamkowych modeli reologicznych: a trójparametrowego modelu Kelvina (K3, b trójparametrowego modelu Maxwella (M3, c czteroparametrowego modelu standardowego (S4 i d czteroparametrowego modelu Zenera (Z4. Schematy mechaniczne omawianych modeli pokazano na rys., na którym za pomocą rombu przedstawiono tzw. element sprężysto-tłumiący (the springpot element. Równanie konstytutywne tego elementu ma postać: ( t Dt ( t, (1

4 84 R. Lewandowski, M. Słowik a E b E c E E 1 d E 1 E Rys.. Schematyczne przedstawienie ułamkowych modeli reologicznych, a trójparametrowy model Kelvina (K3, b trójparametrowy model Maxwella (M3, c czteroparametrowy model standardowy (S4, d czteroparametrowy model Zenera (Z4 Fig.. Schematic view of fractional rheological models, a three-parameter Kelvin model (K3, b three-parameter Maxwell model (M3, c fourth-parameter standard model (S4, d fourth-parameter Zener model (Z4 gdzie (t jest naprężeniem ścinającym, (t odkształceniem postaciowym, jest lepkością dynamiczną. Symbol t oznacza czas, a symbol D t x(t pochodną ułamkową Riemanna-Liouville a rzędu, 1, zdefiniowaną w następujący sposób: t d x( t 1 d x(s D t x( t ds, ( dt (1 dt ( t s gdzie symbolem oznaczono funkcję specjalną gamma, (patrz [1]. Równania trójparametrowych modeli Kelvina i Maxwella mają odpowiednio postać: ( t E ( t E Dt ( t, ( t Dt ( t EDt ( t, (3 gdzie E jest modułem sprężystości, a / E. Zachowanie modeli czteroparametrowych jest opisane równaniem: ( t Dt ( t E ( t E Dt ( t, (4 W modelu standardowym E E1E /( E1 E, E E1, /( E 1 E, a w modelu Zenera E E 1 E, / E, E E1. Znaczenie symboli E 1 i E objaśniono na rys.. Ważnymi charakterystykami modeli reologicznych jest dynamiczny moduł sprężystości E ( i moduł rozpraszania energii E (. Moduły te wyznacza się zakładając, że zmiany naprężenia i odkształcenia w czasie opisują funkcje ( t exp( i t, ( t exp( i t, gdzie jest częstością drgań. Po wykonaniu stosownych przekształceń otrzymuje się następujące zależności:

5 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 85 E ( E E ( cos( / E ( E (, (5 1 ( cos( / ( E (, (6 1 ( E ( E ( cos( sin( / ( / w przypadku modeli czteroparametrowych oraz E ( E E( cos( /, E ( E( sin( /, (7 ( cos( / E ( E(, (8 1 ( cos( / ( sin( / E ( E(, (9 1 ( cos( / ( w przypadku odpowiednio trójparametrowego modelu Kelvina i Maxwella (patrz [4]. W zastosowanej procedurze identyfikacji parametrów modeli reologicznych istotna jest znajomość rozwiązania problemu drgań ustalonych cieczy. Stan ustalony drgań harmonicznie zmiennych cieczy opisywany jest równaniami (patrz [4]: ( t cos t sin t, ( t cos t sin t, (1 c s a zależności między współczynnikami c, s, c i s mają postać: c s c E ( c E ( s, s E c E ( s (, (11 4. Ogólny opis metody identyfikacji Zastosowano procedurę identyfikacji parametrów szczegółowo opisaną w [11]. Tutaj pokrótce omawia się sformułowanie problemu identyfikacji jako zadania optymalizacji. Zakłada się, że dysponuje się, dla zadanej amplitudy odkształceń i temperatury, ciągiem wartości modułów E ei ( i i E ei ( i wyznaczonych doświadczalnie dla zbioru częstości wymuszenia i ( ( i 1,,..., n. Parametry modeli reologicznych ( E, E, i w przypadku modeli czteroparametrowych oraz E, i w przypadku modeli trójparametrowych dobiera się tak, aby zminimalizować wartość funkcjonału o postaci: J n i 1 ( E ( E ( ( E ( E (, (1 ei i i i ei i i i przy ograniczeniach

6 86 R. Lewandowski, M. Słowik 1,, E, (13 E jeżeli rozpatruje się modele czteroparametrowe lub z ograniczeniami 1,, E, (14 jeżeli rozpatruje się modele trójparametrowe. Powyższe zadanie optymalizacji rozwiązano metodą roju cząstek (the particle swarm optimization method opisaną np. w pracach [11, 1]. Każde zadanie optymalizacji rozwiązywano 5 razy. W obliczeniach zastosowano rój liczący cząstek. Każda cząstka roju poszukiwała optymalnego zbioru parametrów identyfikacji zmieniając 5 razy swoje położenie. Jako rozwiązanie problemu przyjmowano najlepsze ze wszystkich otrzymanych położeń cząstek roju, tzn. takie położenie, dla którego wartość funkcjonału (1 była najmniejsza i równocześnie były spełnione ograniczenia (13 lub ( Wyniki identyfikacji Typowe wyniki identyfikacji przedstawiono na rys. 3 i 4, na których pokazano moduły E (rys. 3 i E (rys. 4 w zależności od częstotliwości wymuszenia. Na wspomnianych rysunkach wartości modułów E i E otrzymane z pomiarów zaznaczono krzyżykami (, wartości tych modułów wyznaczone za pomocą modeli reologicznych przy pomocy nie zaczernionych rombów (., model K3, nie zaczernionych trójkątów (, model M3, zaczernionych rombów (, model S4 i zaczernionych trójkątów (, model Z4. Wyniki doświadczalne dotyczą badania wykonanego w temperaturze C. Amplituda drgań skrętnych wynosiła 1 mrad, a dane doświadczalne otrzymano dla częstotliwości z przedziału od,3 Hz do 63, Hz. Widać, że trójparametrowy, ułamkowy model Kelvina nie opisuje poprawnie właściwości omawianej cieczy. Pozostałe modele opisują te właściwości w sposób zadawalający. Wobec tego w dalszej części pracy opisano wyniki identyfikacji uzyskane dla ułamkowych modeli Maxwella, standardowego i Zenera. Wartości parametrów tych modeli zestawiono w Tabeli 1. Z tego zestawienia wynika, że właściwości omawianej cieczy mogą być opisane za pomocą trójparametrowego, ułamkowego modelu Maxwella. Wartości lepkości dynamicznej ( lub we wszystkich modelach są zbliżone (maksymalne różnice około 3%, ponadto w modelu standardowym moduł sprężystości E, a w modelu Zenera E 1. Oznacza to, że modele czteroparametrowe redukują się do trójparametrowego modelu Maxwella. Różnice między wartościami modułów sprężystości E wynoszą około 8%. Wartości parametru (rzędu pochodnej ułamkowej różnią się od siebie o mniej niż 3%.

7 E'' [Pa] E' [Pa] Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy C 1 mrad częstotliwość [Hz] Rys. 3. Porównanie wyników identyfikacji zależność modułu E od częstotliwości wymuszenia, wyniki doświadczalne (+, model Kelvina (K3 (, model Maxwella M3 (, model standardowy S4 (, model Zenera Z4 ( Fig. 3. Comparison of identification results modulus E vs. Excitation frequency, experimental results (+, Kelvin model (K3 (, Maxwell model M3 (, standard model S4 (, Zener model Z4 ( 3 5 C 1 mrad częstotliwość [Hz] Rys. 4. Porównanie wyników identyfikacji zależność modułu E od częstotliwości wymuszenia, wyniki doświadczalne (, model Kelvina (K3 (, model Maxwella M3 (, model standardowy S4 (, model Zenera Z4 ( Fig. 4. Comparison of identification results modulus E vs. Excitation frequency, experimental results (, Kelvin model (K3 (, Maxwell model M3 (, standard model S4 (, Zener model Z4 (

8 88 R. Lewandowski, M. Słowik Tabela 1. Wartości stałych różnych modeli cieczy Table 1. Values of parameters of different models of fluids Model E lub E 1 [Pa] lub [ Pa s ] E [Pa] [-] Maxwella 85931, 6,9 -,75 Standardowy 9931, 19,4,,7369 Zenera, 67, ,4,731 W Tabeli zestawiono wartości parametrów modelu Maxwella oraz modelu standardowego dla trzech różnych amplitud drgań skrętnych reometru. Widać, że w analizowanym przedziale amplitud drgań wartości parametrów są w przybliżeniu stałe. Tabela. Zależność wartości parametrów od amplitudy drgań skrętnych reometru Table. Dependence of parameter values on amplitudes of torsion vibration of rheometer Amplituda [mrad] E [Pa] Model Maxwella [ Pa s ] [-] E 1 [Pa] E [Pa] Model standardowy [ Pa s ],1 8614,7 38,84, ,8 168,4 1999,,7595 1, 87876, 95,16, ,5 187,4 17,,735 1, 85931, 6,9, ,, 19,4,7369 W Tabeli 3 pokazano zmiany wartości parametrów modelu Maxwella w zależności od zmiany przedziału częstotliwości wymuszenia, dla którego wykonuje się badania eksperymentalne. Obliczenia wykonano dla drgań o amplitudzie 1 mrad wykonywanych w temperaturze C. Widać istotne różnice w wartościach parametrów modelu ułamkowego Maxwella. Oznacza to, że wyników identyfikacji nie można zbytnio rozszerzać poza przedział częstotliwości wymuszenia, dla którego wykonano badania doświadczalne. Podobne uwagi można znaleźć w opracowaniach dotyczących identyfikacji parametrów klasycznych modeli reologicznych. Na rys. 5 i 6 pokazano, w jaki sposób omawiane różnice wartości parametrów ułamkowego modelu Maxwella wpływają na przebieg funkcji E ( i E (. Na wspomnianych rysunkach linią ciągłą pokazano wartości modułów E ( i E ( otrzymane na podstawie wyników badań, linią kreskowaną krzywe E ( i E ( wyznaczone przy użyciu wartości parametrów modelu [-]

9 E' [Pa] Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 89 Tabela 3. Zależność wartości parametrów od przedziału częstotliwości wymuszenia Table 3. Dependence of parameter values on a range of excitation frequencies Przedział częstotliwości [Hz] Model Maxwella E [Pa] [ Pa s ] [-],3 63, 8614,7 38,8,7544,3 5, 7595, 199,,7676,3 43, 68786,9 1941,9,69,3 8, 648,8 1885,1,833,3, 596, 1843,.89,3 1, 445,7 1793,3,86,3 5, 3474,4 1781,8, C 1 mrad częstotliwość [Hz] Rys. 5. Przebieg funkcji E ( dla różnych wartości parametrów modelu Maxwella M3 Fig. 5. Course of function E ( for different values of parameters of the Maxwell model M3 Maxwella wziętych z pierwszego wiersza Tabeli 3, a linią kropkowaną krzywe E ( i E ( wyznaczone przy użyciu wartości parametrów wziętych z ostatniego wiersza Tabeli 3. Widać, że nie można stałych modelu wyznaczonych na

10 E'' [Pa] 9 R. Lewandowski, M. Słowik 3 5 C 1 mrad częstotliwość [Hz] E dla różnych wartości parametrów modelu Maxwella M3 Rys. 6. Przebieg funkcji ( Fig. 6. Course of function E ( for different values of parameters of the Maxwell model M3 podstawie badań wykonanych w małym przedziale częstotliwości wymuszenia używać do obliczania omawianych modułów poza tym przedziałem. Dotyczy to zwłaszcza modułu E (. Z wykresów pokazanych na rys. 7 i 8 wynika, że właściwości badanej cieczy w istotny sposób zależą od jej temperatury w trakcie badania. Na wspomnianych rysunkach linią ciągłą pokazano wyniki badań, a linią przerywaną wartości funkcji E ( lub E ( wynikające z ułamkowego modelu Maxwella. Wartości parametrów ułamkowego modelu Maxwella zestawiono, dla różnych temperatur w Tabeli 4. Widać, że zmiana temperatury ma największy wpływ na stałą, dynamiczny współczynnik lepkości. Zakres przeprowadzonych badań nie pozwala jednak na zaproponowanie modelu, który uwzględniałby wpływ temperatury badanej cieczy. Tabela 4. Zależność wartości parametrów od temperatury Table 4. Dependence of parameter values on temperature Temperatura [ C ] Model Maxwella E [Pa] [ Pa s ] [-], 8614,7 38,8,7544 5, 77141,4 16,3,7865

11 E'' [Pa] E' [Pa] Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy C 15 amplituda 1 mrad +5 C częstotliwość [Hz] Rys. 7. Zależność modułu E ( od częstotliwości dla różnych temperatur Fig. 7. Dependence of storage modulus E ( on frequency for different temperatures 3 5 amplituda 1 mrad + C C częstotliwość [Hz] E od częstotliwości dla różnych temperatur Rys. 8. Zależność modułu ( Fig. 8. Dependence of storage modulus E ( on frequency for different temperatures

12 9 R. Lewandowski, M. Słowik 6. Uwagi końcowe W pracy opisano wyniki badań eksperymentalnych cieczy o bardzo dużej lepkości używanej w pasywnych, cieczowych tłumikach drgań. Zaproponowano trójparametrowy, ułamkowy model reologiczny Maxwella do opisu dynamicznego zachowania omawianej cieczy. Wykazano, że model ten wystarczająco dokładnie opisuje właściwości cieczy o bardzo dużej lepkości dla dużego przedziału częstotliwości wymuszenia. Pokazano, ze stałe modelu w istotny sposób zależą od temperatury cieczy. Wykazano również, że wyniki identyfikacji stałych wystarczająco dobrze opisują zachowanie cieczy tylko w tym przedziale częstotliwości wymuszenia, dla którego dysponuje się danymi eksperymentalnymi. Podziękowania Część pracy wykonano w ramach programu badań sponsorowanego przez Narodowe Centrum Nauki (Projekt Nr 13/9/B/ST8/1733, prowadzonego w latach Literatura [1] T.T. Soong, G.F. Dargush, Passive energy dissipation systems in structural engineering, Chichester, Wiley [] N. Makris, M.C. Constantinou, Fractional-derivative Maxwell model for viscous dampers, Journal of Structural Engineering, 117, 78 74, [3] Park S.W., Analytical modeling of viscoelastic dampers for structural and vibration control, International Journal of Solids and Structures, 38, , 1. [4] R. Lewandowski, B. Chorążyczewski, Identification of the parameters of the Kelvin-Voigt and the Maxwell fractional models, used to modeling of viscoelastic dampers, Computers and Structures, 88, 1-17, 1. [5] C.Y. Hou, Fluids dynamics and behavior of nonlinear fluid dampers, Journal of Structural Engineering, 134, 56-63, 8. [6] C. Frings, J.C. De La Llera, Multiphysics modeling and experimental behavior of viscous damper, G. De Roeck, G. Degrande, G. Lambert, G. Muller eds. The 8 th International Conference on Structural Dynamics, (EURODYN 11, Leuven, Belgium, July 4-6, 11. [7] D. Tong, Y. Liu, Exact solutions for the unsteady rotational flow of non-newtonian fluid in an annular pipe, International Journal of Engineering Science, 43, 81 89, 5. [8] P. Yang, Y. Lam, K. Zhu Constitutive equation with fractional derivatives for the generalized UCM model, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 165, 88 97, 1.

13 Modelowanie mechanicznego zachowania cieczy 93 [9] Z. Osiński, Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa [1] I. Podlubny, Fractional differential equations. Academic Press, [11] R. Lewandowski, Identification of the parameters of the fractional rheological models of viscoelastic dampers using particle swarm optimization, Proceedings of the 19 th International Conference on Computer Methods in Mechanics, May 9-1, Warsaw, Poland, 11 [1] R.E. Perez, K. Behdinan, Particle swarm approach for structural design optimization, Computers and Structures, 85, , 7. MODELLING OF MECHANICAL BEHAVIOUR OF FLUID USED IN DAMPERS S u m m a r y In the paper the possibility of using the fractional rheological models to description of dynamic behavior of fluid of high viscosity is discussed. The considered high viscosity fluid is often used in the passive dampers. The fractional rheological models with three and fourth parameters are taken into account. The experimental data taken from our own experiments are used in the identification procedure. The influence of temperature of fluid and the influence of amplitude of vibration on values of model parameters are also presented and discussed. It was found that the fractional Maxwell model with three parameters is able to sufficiently well describe the dynamic behavior of considered fluid. Keywords: viscoelastic fluid, experimental study, fractional rheological models, parameters identification DOI:1.786/rb Przesłano do redakcji: r. Przyjęto do druku: r.