Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości"

Kajetan Skrzypczak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje Podstawowe funktory logiczne Wartościowanie formuł logicznych Prawo rachunku zadań; tautologia Reguła wnioskowania definicja i przykłady Dowód formalny Twierdzenie o podstawianiu Wykład Definicja i twierdzenie o kwadracie logicznym Metodologia dowodzenia twierdzeń matematycznych (i) dowód wprost (ii) dowód przez rozpatrzenie przypadków (iii) dowód a contrario (iv) dowód reductio ad absurdum 1.2 Rachunek predykatów Definicja zmiennej i funkcji zdaniowej Kwantyfikatory Prawo rachunku predykatów; przykłady reguł wnioskowania Przykład dowodu formuły z kwantyfikatorami 1

2 2 Wstęp do Teorii Mnogości 2.1 Aksjomatyka ZFC Podstawy Aksjomat ekstensjonalności Aksjomat zbioru pustego Wykład Twierdzenie o jedyności zbioru pustego Aksjomat pary Aksjomat wyróżniania Antynomia Russela Aksjomat regularności Aksjomat zbioru potęgowego Aksjomat sumy; suma mnogościowa rodziny zbiorów Definicja przekroju rodziny zbiorów Algebra zbiorów Własności działań (sumy mnogościowej i przekroju) oraz inkluzji (i) Prawo przemienności (ii) Prawo łączności (iii) Idempotentność (iv) Prawo rozdzielności (v) Prawo absorbcji (vi) Prawo przeniesienia inkluzji Twierdzenie o własnościach inkluzji Diagramy Venna Definicja różnicy mnogościowej zbiorów (vii) Prawa de Morgana Wykład 4 2

3 Zbiory nieskończone Definicja rodziny rozłącznej i selektora Aksjomat wyboru Aksjomat zbioru nieskończonego Konstrukcja liczb naturalnych (wg G.Peano) Twierdzenie o Indukcji Matematycznej Przykład dowodu indukcyjnego (G.Pólya) Definicja i własności rodziny indeksowanej Wykład 5 Produkt kartezjański Definicja pary uporządkowanej i iloczynu kartezjańskiego zbiorów Definicja rzutu i przekroju podzbioru produktu kartezjańskiego Własności rzutu i przekroju Interpretacja geometryczna produktu kartezjańskiego 2.2 Relacje Definicja relacji, relacji w zbiorze, relacji na zbiorze Definicja relacji odwrotnej i złożenia relacji Wykład Definicja (i) relacji przechodniej (ii) relacji zwrotnej (iii) relacji przeciwzwrotnej (iv) relacji symetrycznej (v) relacji przeciwsymetrycznej (vi) relacji antysymetrycznej Własności relacji (wyrażone w języku algebry zbiorów) 3

4 2.3 Funkcje Definicja; warunek konieczny dla funkcji Funkcje charakterystyczne Wykład Definicja pokrycia zbioru i rozbicia (partycji) zbioru Twierdzenie o rozszerzaniu funkcji (z dowodem) Dowód tego, że złożenie funkcji jest funkcją Definicja iniekcji, surjekcji i bijekcji Własności iniekcji, surjekcji, bijekcji i ich złożeń Dowód twierdzenia o własnościach Przypomnienie własności obrazu i przeciwobrazu Aksjomat wyboru (raz jeszcze) definicja z selektorem definicja z funkcją wyboru dowód równoważności obu definicji 2.4 Teoria Mocy Definicja równoliczności zbiorów Przykład N N N Wykład Przykład P(A) {0,1} A Definicja A B (w dwóch wersjach: iniektywnej i surjektywnej) Równoważność definicji A B przy założeniu AC Twierdzenie Cantora Lemat Banacha-Knastera (o punkcie stałym) Twierdzenie Cantora-Bernsteina Konstrukcja zbioru Cantora Wykład 9 4

5 2.5 Relacje równoważności Definicja relacji równoważności Definicja klasy abstrakcji Własności klas abstrakcji Wykład Zasada Abstrakcji 2.6 Relacje porządkujące Definicja izomorfizmu i relacji izomorficznych Definicja relacji porządkującej i porządku częściowego Przykład: porządek leksykograficzny Twierdzenie o izomorfizmie kanonicznym Interpretacja geometryczna diagram Hassego Definicja (i) elementu minimalnego (maksymalnego) (ii) elementu najmniejszego (największego) (iii) majoranty (minoranty) ograniczenia dolnego (górnego) (iv) infimum (supremum) kresu dolnego (górnego) Definicja (i) łańcucha i antyłańcucha (ii) przedziału, przedziału początkowego (iii) porządku liniowego (iv) porządku dobrego Twierdzenie o elementach wyróżnionych Wykład Główne twierdzenie aksjomatyki ZFC Twierdzenie Zermelo Lemat Kuratowskiego-Zorna Zasada Maksimum Hausdorffa (Maximum Principle) przypomnienie Aksjomatu Wyboru AC Twierdzenie o równoważności LMP KZ TZ AC 5

6 (i) dowód MP LKZ (ii) dowód LKZ TZ Wykład 12 (iii) dowód TZ AC (iv) lemat o f-wieży Wykład 14 (v) dowód AC MP zastosowanie LKZ do dowodu twierdzenia o istnieniu bazy dowód LKZ MP??? 6

Podobne dokumenty

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator