Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B

Transkrypt

1 Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3B, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie wzajemne w aksonometrii Przyk lad 1 Wyznaczyć obszar cienia rzuconego na bry lȩ domu 1 ( budynek z dachem dwuspadowym ) przez bry lȩ budynku wysokiego ( wieżowca ) przy oświetleniu s lonecznym (Rys. 3B-01). Promień świetlny określony jest przez K (K a, K a xy). Rys. 3B-01: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a) usytuowanie kierunku świat la s lonecznego wzglȩdem budynków (cdn) 1 Tu, i w innych miejscach, przyk ladowe figury (bry ly) przypominaj a obiekty budowlane. St ad zapisujemy je w cudzys lowiu. Dla uproszczenia zapisu czȩsto cudzys lów bȩdziemy pomijać a bry ly dom, wieżowiec, wieża nazywać wprost domem, wieżowcem, wież a. Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii Rys. 3B-02: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a1) promienie świat la s lonecznego przechodz ace przez dwa skrajne wierzcho lki wieżowca i ich punkty przebicia ścian budynku. Ściany budynku s a pionoworzutuj ace wzglȩdem p laszczyzny terenu (w uk ladzie aksonometrycznym wzglȩdem p laszczyzny Oxy) (cdn) Rys. 3B-03: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a2) promienie świat la s lonecznego przechodz ace przez dwa s asiednie punkty należ ace do tych krawȩdzi dachu wieżowca, których cienie ulegn a za lamaniu i ich punkty przebicia ścian budynku (cdn) Jak już wiemy, w rzucie aksonometrycznym, każdy obiekt geometryczny reprezentowany jest przez swój rzut aksonometryczny oraz rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego na jedn a

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii 3 Rys. 3B-04: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a3) pe lny cień na ścianach niskiego budynku czȩści krawȩdzi dachu wieżowca (cdn) Rys. 3B-05: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a4): promień przechodz acy przez kolejny wierzcho lek dachu. Znajdujemy przekrój pionowy domu p laszczyzn a przechodz ac a przez krawȩdź pionow a wieżowca z p laszczyzn uk ladu wspó lrzȩdnych. Zwykle jest to p laszczyzna Oxy. Jest to równocześnie p laszczyzna pozioma, p laszczyzna podstawy obiektu. St ad również kierunek oświetlenia (świat la s lonecznego) K zadajemy poprzez dwa punkty niew laściwe: K a, K a xy. Wtedy rzut aksonometryczny kierunku (K a ) mówi nam o nachyleniu kierunku oświetlenia K do p laszczyzny

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii Rys. 3B-06: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a5): znajdujemy punkt wspólny promienia świetlnego z przekrojem domu p laszczyzn a przechodz ac a przez krawȩdź pionow a wieżowca Rys. 3B-07: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a6): l aczymy pozosta le punkty cienia rzuconego na ściany i dach budynku podstawy (tzw. k at wysokości), zaś rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego (K a xy ) wskazuje na k at kierunku oświetlenia z obranym kierunkiem na p laszczyźnie podstawy (tzw. azymut). K atem wysokości nazywamy k at jaki tworzy kierunek oświetlenia z p laszczyzn a podstawy

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii 5 Rys. 3B-08: Cień wzajemny budynków przy oświetleniu s lonecznym: a7): kreskujemy cień rzucony na p laszczyznȩ terenu i na ściany i dach budynku (terenu). Azymutem nazywamy k at jaki tworzy kierunek oświetlenia z przyjȩtym na p laszczyźnie podstawy kierunkiem (w praktyce kierunkiem pó lnoc-po ludnie). Konstrukcja cienia jednego obiektu (budynku) rzuconego na inny obiekt (np. budynek) jest wielokrotnym powtórzeniem konstrukcji punktu przebicia p laszczyzny prost a. Cień rzucony przez dany obiekt na siebie lub na inny obiekt nazywać bȩdziemy cieniem wzajemnym. Przedstawione przyk lady ilustruj a kolejno: cień wzajemny obiektu na inny obiekt (cień wysokiego budynku na dom) oraz cień rzucony na siebie (cień) komina. Konstrukcjȩ cienia polega na poprowadzeniu prostych (promieni) przez punkty wierzcho lkowe szkieletu bry ly pamiȩtaj ac o konieczności konstruowania dwu prostych: rzutu aksonometrycznego (prostej równoleg lej do kierunku K a ) i rzutu aksonometrycznego rzutu prostok atnego (prostej równoleg lej do kierunku K a xy). Nastȩpnie znajdujemy punkty przebicia otrzymanych prostych (promieni świetlnych) z p laszczyznami drugiej bry ly jeśli znajduje siȩ ona w graniastos lupie (walcu) świat la 2. Graniastos lup taki zwykle określamy intuicyjnie. Algorytm znajdowania cienia w przypadku, gdy graniastos lup (walec) cienia jest figur a wypuk l a jest, o czym już mówiliśmy, stosunkowo prosty 3. Ważny jest bowiem brzeg tego graniastos lupa (ściany i krawȩdzie boczne graniastos lupa). W przypadku bry ly o reprezentacji szkieletowej graniastos lup taki wyznacza skończona, zwykle niewielka, liczba wierzcho lków. W takim przypadku (Rys. 3B-01) cień wyznaczony bȩdzie przez sześć krawȩdzi graniastos lupa cienia pochodz acych przez trzy górne wierzcho lki wieżowca i trzy dolne. Przy czym 2 W przypadku oświetlenia punktowego jest to powierzchnia ostros lupa lub stożka. Przy czym pojȩcie ostros lupa lub stożka, podobnie zreszt a jak graniastos lupa lub walca rozumiemy tu bardzo ogólnie. Dok ladniej, jest to bowiem powierzchnia stożkowa lub walcowa, gdzie krzyw a kieruj ac a jest dowolna krzywa, na przyk lad wielolinia w AutoCAdzie. W szczególności może to być wiȩc powierzchnia z lożona z fragmentów na przyk lad walca eliptycznego i graniastos lupa. 3 W grafice komputerowej znane s a algorytmy wyznaczania tzw. pow loki wypuk lej zbioru punktów. A w laśnie tak a pow lokȩ stanowi cień figury (bry ly) wypuk lej

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii dolne wierzcho lki w konstrukcji nie odegraj a tu wiȩkszej roli 4. Wystarczy zatem zanaleźć puknty przebicia trzech promieni świetlnych (Rys. 3B-05). Najpierw konstruujemy dwa pierwsze (Rys. 3B-02). Te przecinaj a pionowe ściany bry ly domu. W celu wyznaczenia ich konstruujemy linie pionowe wychodz ace z punktów przeciȩcia rzutów aksonometrycznych prostok atnych rzutów promieni z krawȩdziami podstawy bry ly domu. W podobny sposób znajdujemy cienie (na pionowych ścianach domu ) dwóch dowolnie wybranych punkktów pośrednich górnych krawȩdzi wieżowca (Rys.3B-03). L acz ac odpowiednie punkty (cienie) znajdujemy pe lne krawȩdzie cienia na ścianach pionowych domu. Nastȩpnie znajdujemy punkt przebicia promienia wychodz acego z kolejnego wierzcho lka z dachem domu. W tym celu znajdujemy wcześniej przekrój domu p laszczyzn a pionow a przechodz ac a przez promień (Rys. 3B-05, 3B-06). Punkt wspólny tego promienia z otrzymanym przekrojem stanowi cień wierzcho lka wieżowca na dachu domu (Rys.3B-06). Zauważmy, że jeden punkt cienia na dachu wystarczy do skonstruowania pe lnego cienia wzajemnego (Rys. 3B-07), który nastȩpnie kreskujemy (Rys. 3B-08). Przyk lad 2 Wyznaczyć cień komina rzucony na dach domu (Rys. 3B-09a). Promień świetlny określony jest przez K (K a, K a xy ). Rys. 3B-09: Cień komina na dach budynku: a) dana bry la budynku i kierunek oświetlenia K (K a, Kxy a ); a1) promień świetlny jednego z punktów (rzut aksonometryczny i rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego); a2) przekrój bry ly domku p laszczyzn a przechodz ac a przez promień i prostopad l a do p laszczyzny Oxy, w tym krawȩdź z po laci a dachu; a3) punkt przebicia po laci promieniem (cień pierwszego punktu); a4) rozpoczȩta konstrukcja cienia drugiego punktu (cdn) Konstrukcja cienia komina na dach bry ly domu jest, podobnie jak w przyk ladzie 1, wielokrotnym powtórzeniem konstrukcji punktu przebicia p laszczyzny prost a (po laci dachowej promieniem świetlnym) w aksonometrii. Tu nie przeciȩć ze ścianami pionowymi i wszystkie 4 Jest kwesti a umowy, czy obszar podstawy bry ly wieżowca wchodzi w sk lad cienia bry ly czy też nie

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii 7 Rys. 3B-10: Cień komina na dach budynku (cd): a5) cień punktu drugiego; a6 a8) cień punktu pośredniego (cdn) Rys. 3B-11: Cień komina na dach budynku (cd): a9 a10) cienie punktu pierwszego i pośredniego wyznaczaj a odcinek, który przed lużamy do kalenicy otrzymuj ac; a11) punkt za lamania cienia; a12) rozpoczynamy znajdowania cienia czwartego punktu (cdn) punkty przebicia dotycz a p laszczyzn w ogólnym po lożeniu. Konstrukcja każdego punktu wymaga znalezienia przekroju po laci dachowej domu (Rys. 3B-09a2) 5. Prowadzimy 5 W praktyce wystarczy znaleźć fragment przekroju (Rys. 3B-09a2)

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii Rys. 3B-12: Cień komina na dach budynku (cd): a13 a14) cień punktu czwartego (cdn) Rys. 3B-13: Cień komina na dach budynku (cd): istotne elementy w powiȩkszeniu promień przez wierzcho lek komina, tj. dwie proste: rzut aksonometryczny promienia oraz na p laszczyźnie podstawy Oxy rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego (Rys. 3B-09a1). Znajdujemy fragment przekroju domu p laszczyzn a pionow a przechodz ac a przez poprowadzony promień (Rys. 3B-09a2) oraz punkt przebicia po laci dachowej (Rys. 3B-09a3). W konstrukcji szczególn a uwagȩ należy zwrócić na konieczność wyznaczenia cienia punktu pośredniego (Rys. 3B-10). Cień punktu poŕedniego na odcinku w szkieletowej reprezentacji bry ly wyznaczamy

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3B, cienie wzajemne w aksonometrii 9 zawsze wtedy, gdy cień odcinka ulega za lamaniu (Rys. 3B-04,3B-05,3B-10). Cień wierzcho lka i cień punktu pośredniego wyznaczaj a na danej p laszczyźnie prostoliniowy fragment za lamanego cienia odcinka (Rys. 3B-04,3B-11). Przyk lad 3 Wyznaczyć cień komina rzucony na dach (Rys. 3B-14b). Promień świetlny określony jest przez punkt komina i jego cień na po laci dachowej. Rys. 3B-14: Cień komina na dach budynku (cd): znajdowanie kierunku oświetlenia, gdy znany jest cień wybranego punktu. Oświetlenie równoleg le może być zadane poprzez określenie (wskazanie) punktu i jego cienia. Sposób wyznaczenia kierunku oświetlenia w aksonometrii przy takich danych zosta l przedstawiony na rysunku 3B-14. Literatura [1] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [2] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa 1990 [3] A. Pikoń: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyższe. Wydawnictwo HE- LION. Gliwice 1991, 1992, 1994, [4] S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.