2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 13

Transkrypt

1 Spis treści Podstaoe struktury algebraiczne Grupa, pierścień, ciało Grupy permutacji 4 3 Pierścień ielomianó, algorytm Euklidesa, najiększy spólny dzielnik 6 4 Zadania 7 Rachunek macierzoy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wproadzenie teoretyczne Zadania 3 3 Wyznacznik macierzy opracoanie dra Piotra Rzonsoskiego 3 3 Teoria 3 3 Zadania 33 4 Przestrzeń linioa, linioa kombinacja ektoró, baza przestrzeni linioej (opracoano na podstaie BG Elementy algebry linioej t I ) 4 4 Wproadzenie teoretyczne 4 4 Zadania 44 5 Macierz przekształcenia linioego, artości łasne, ektory łasne 5 5 Wproadzenie teoretyczne 5 5 Macierz przekształcenia linioego 5 5 Wektory łasne, artości łasne i przestrzenie łasne 5 5 Zadania 5

2 Podstaoe struktury algebraiczne Grupa, pierścień, ciało Definicja Działaniem enętrznym ( skrócie będziemy móić działaniem) zbiorze X nazyać będziemy każdą funkcję X X X Definicja Niech F i A będą niepustymi zbiorami Doolne odzoroanie : działaniem zenętrznym zbiorze A ze zbiorem operatoró F F A A nazyamy Definicja 3 Grupą nazyamy zbiór G z działaniem : G G G, dla którego spełnione są następujące arunki: G Dla doolnych a, b, c G : (a b) c = a (b c) (łączność) G Istnieje element e G (nazyany elementem neutralnym grupy) taki, że: dla każdego a G : e a = a e = a G3 Dla każdego a G istnieje element b G (nazyany elementem odrotnym do a) taki, że: a b = b a = e Definicja 4 Grupą przemienną (lub abeloą) nazyamy zbiór G z działaniem : G G G, spełniającym arunki G G3 z poyższej definicji oraz arunek: G4 dla doolnych a, b G : a b = b a Fakt Niech G będzie grupą Element neutralny grupy G jest tylko jeden Dla każdego elementu a G element odrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy go symbolem a 3 Dla każdego a G mamy: ( a ) = a 4 Dla doolnych a, b G zachodzi róność: (ab) = b a Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia ( ) będziemy oznaczać poprzez, natomiast dla dodaania (+) poprzez Definicja 5 Niepusty podzbiór H grupy (G, ) nazyamy podgrupą grupy G, gdy (H, ) jest grupą Definicja 6 Pierścieniem nazyamy zbiór R z doma działaniami: z dodaaniem + : R R R i z mnożeniem : R R R, dla których są spełnione następujące arunki: P (R, +) jest grupą abeloą P Dla doolnych a, b, c R : (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia) P3 Dla doolnych a, b, c R : (rozdzielność mnożenia zględem dodaania) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c

3 Jeśli ponadto R {} oraz istnieje element neutralny mnożenia e R taki, że: to móimy, że R jest pierścieniem z jedynką Jeśli mnożenie pierścieniu R jest przemienne, tzn: to móimy, że R jest pierścieniem przemiennym dla każdego a R : a e = e a = a, dla każdego a, b R : a b = b a, Definicja 7 Ciałem nazyamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej da elementy) raz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką C Zbiór K = K \ {} z mnożeniem jest grupą Definicja 8 Niech (A, + A ) oraz (B, + B ) będą grupami Móimy, że odzoroanie f : A B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b A: f (a + A b) = f (a) + B f (b) Niech teraz (A, + A, A) oraz (B, + B, B) będą pierścieniami Móimy, że odzoroanie f : A B jest homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b A: Warto zauażyć, że przypadku, gdy: f (a + A b) = f (a) + B f (b) f (a A b) = f (a) B f (b) (A, + A ) oraz (B, + B ) są grupami i f : A B jest homomorfizmem grup, to: f ( A ) = B (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są doolnymi pierścieniami i f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to: f ( A ) = B 3 (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są doolnymi pierścieniami z jedynką i f : A B jest homomorfizmem tych pierścieni, to: f ( A ) = B, f ( A ) = B Jądrem homomorfizmu f : A B, jest zbiór: Ker f = {a A : f (a) = B } Obrazem homomorfizmu f : A B jest zbiór: Im f = {b B, a A : f (a) = b} 3

4 Grupy permutacji Definicja 9 Niech f : X Y (a) Móimy, że f jest suriekcją (odzoroaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y Y, istnieje x X taki, że: y = f (x) (b) Móimy, że f jest iniekcją (odzoroaniem różnoartościoym), gdy dla doolnych x, x X zachodzi następująca implikacja: lub rónoażna implikacja: x x f (x ) f (x ) f (x ) = f (x ) x = x (c) Móimy, że f jest bijekcją, gdy jest zaróno iniekcją jak i suriekcją Niech: f : X Y g : Y Z Złożeniem funkcji f i g nazyamy funkcję h := g f : X Z określoną następująco: dla każdego x X : h (x) := (g f) (x) = g (f (x)) Czyli mamy następującą sytuację: f X Y Z g Zauażmy, że ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne Niech np f, g : R R, dla doolnego x R dane zorami: Wóczas dla doolnego x R mamy: g f f (x) = x g (x) = x (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x ) = x (g f) (x) = g (f (x)) = g (x) = 4x Tierdzenie Niech X będzie doolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem szystkich bijekcji zbioru X (tzn Bij (X) = {f : X X; f jest bijekcją}) Zbiór Bij (X) raz ze składaniem funkcji torzy grupę Nas interesoać będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementó Definicja Niech X będzie doolnym zbiorem n-elementoym Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy S n i nazyamy grupą permutacji zbioru n-elementoego Elementy grupy S n nazyamy permutacjami Zauażmy, że doolny zbiór n elementoy możemy utożsamić ze zbiorem {,, 3,, n}, niech ięc X = {,, 3,, n} Wóczas doolną permutację σ S n możemy zapisać: ( ) 3 n σ = σ () σ () σ (3) σ (n) Elementem neutralnym grupy S n jest permutacja identycznościoa: ( ) 3 n Id = 3 n Elementem odrotnym do σ jest: σ = ( ) σ () σ () σ (3) σ (n) 3 n 4

5 Definicja Permutację σ S n nazyamy cyklem długości k, gdy istnieje k elementoy podzbiór {a, a,, a k } zbioru X taki, że: σ (a ) = a, σ (a ) = a 3,, σ (a k ) = a k, σ (a k ) = a oraz σ (a) = a dla a / {a, a,, a k } Przyjmujemy, że permutacja identycznościoa jest cyklem długości jeden Zauażmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobó Definicja Da cykle (a, a,, a j ), (b, b,, b k ) nazyamy cyklami rozłącznymi, gdy zbiory {a, a,, a j }, {b, b,, b k } są rozłączne Tierdzenie Każdą permutację można przedstaić postaci iloczynu parami rozłącznych cykli Przedstaienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli Definicja 3 Cykl długości nazyamy transpozycją Tierdzenie 3 Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji To przedstaienie nie jest jednoznaczne Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tej samej parzystości (tzn obie są parzyste lub obie są nieparzyste) W rozkładzie permutacji identycznościoej na transpozycje ystępuje zasze parzysta ich ilość Poniższa róność określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji: (a, a, a 3,, a k, a k ) = (a, a k ) (a, a k ) (a, a 3 ) (a, a ) Definicja 4 Znakiem permutacji σ nazyamy liczbę sgn σ = ( ) r, gdzie r jest liczbą czynnikó rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji Jeśli sgn σ =, to permutację σ nazyamy parzystą Jeśli sgn σ =, to permutację σ nazyamy nieparzystą Definicja 5 Niech dana będzie permutacja: ( ) 3 s t n σ = σ () σ () σ (3) σ (s) σ (t) σ (n) Móimy, że liczby s, t torzą inersję, gdy: Np Liczba 6 torzy 5 inersji Liczba 4 torzy 3 inersji Liczba torzy inersji Liczba 3 torzy inersji Liczba 7 torzy inersji Liczba 5 torzy inersji Liczba torzy inersji σ = s < t oraz σ (s) > σ (t) ( ) Liczba szystkich inersji permutacji σ ynosi = 3 Istnieje rónoażna definicja parzystości permutacji: Definicja 6 (rónoażna definicji 4) Permutację σ S n nazyamy parzystą, gdy dla n > liczba inersji σ jest parzysta lub σ S Permutację σ S n, n > nazyamy nieparzystą, gdy liczba inersji σ jest nieparzysta 5

6 3 Pierścień ielomianó, algorytm Euklidesa, najiększy spólny dzielnik Anna Iaszkieicz-Rudoszańska, Wstęp do algebry i teorii liczb, Wyd Naukoe UAM: Pierścień ielomianó, str 5-3 Pierścień liczb całkoitych (Podzielność Z, NWD, NWW, algorytm Euklidesa), str 5-63 Definicja 7 Móimy, że liczba n dzieli liczbę a, co zapisujemy n a tedy i tylko tedy, gdy istnieje liczba k Z taka, że a = kn Definicja 8 Liczbą naturalną d nazyamy najiększym spólnym dzielnikiem liczb a, a,, a m, gdy i {,,, m} : d a i oraz c N : c a c a c a m = c d Piszemy óczas d = (a, a,, a m ) Definicja 9 Liczbą naturalną nazyamy najmniejszą spólną ielokrotnością różnych od zera liczb a, a,, a m, gdy i {,,, m} : a i oraz c N : a c a c a m c = c Piszemy óczas = [a, a,, a m ] Gdy i {,,, m} : a i =, to = [a, a,, a m ] = Tierdzenie 4 Niech R będzie dziedziną całkoitości Niech f, g R[x] oraz spółczynnik przy najyższej potędze x ielomianie g będzie odracalny Istnieje tedy dokładnie jedna para ielomianó q, r A[x], taka że: f = gq + r oraz deg r < deg g Definicja Niech f, g K[x], gdzie K jest doolnym ciałem Niech f lub g Najiększym spólnym dzielnikiem ielomianó f i g nazyamy ielomian unormoany h K[x], spełniający następujące arunki: h g oraz h f, dla każdego h K[x] takiego, że h f i h g zachodzi: h h Piszemy tedy h = (f, g) Definicja Jeśli (f, g) =, to ielomiany f, g nazyamy zględnie pierszymi Definicja Element a R nazyamy pieriastkiem ielomianu f R[x], gdy f(a) = Tierdzenie 5 (Bézouta) Element a R jest pieriastkiem ielomianu f R[x] tedy i tylko tedy, gdy (x a) f Tierdzenie 6 Niech n N Wielomian n-tego stopnia o spółczynnikach z dziedziny całkoitości ma co najyżej n pieriastkó tym pierścieniu Tierdzenie 7 Niech f = a n x n + + a x + a Z[x] Jeśli ułamek nieskracalny p q ielomianu f, to p a oraz q a n jest pieriastkiem Tierdzenie 8 (Zasadnicze tierdzenie algebry) Każdy ielomian f C[x] stopnia dodatniego ma ciele C pieriastek Wniosek 8 Każdy ielomian f C[x] stopnia n N ma ciele C dokładnie n pieriastkó, licząc z krotnościami Tierdzenie 9 Każdy ielomian rzeczyisty nieparzystego stopnia ma pieriastek R 6

7 4 Zadania Zadanie Wykonaj następujące działania: a 4 + ciele Z 5, b ciele Z 7, c ( + 3 ) + 3 ciele Z 5, Roziązanie: a 4 + = 4 + = + = 3 d + ciele Z 3, e (5 4 ) pierśc Z 6, f 6 3 ( 4 + ) ciele Z, g ( ciele C) ( +i)( 5i) 4i 3 b = = 6 c ( + 3 ) + 3 = 3 ( + ) = = 4 d + = + = + = e (5 4 ) = (5 + 4) = 3 = f 6 3 ( 4 + ) = + 8(3 + 6) = = + 6 = 8 Zadanie Zbuduj tabelkę działania S 3 Roziązanie: σ σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ σ σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ σ σ 3 σ σ 6 σ 4 σ 5 σ 3 σ 3 σ σ σ 5 σ 6 σ 4 σ 4 σ 4 σ 5 σ 6 σ σ σ 3 σ 5 σ 5 σ 6 σ 4 σ 3 σ σ σ 6 σ 6 σ 4 σ 5 σ σ 3 σ gdzie: σ = ( 3 3 ), σ = ( 3 3 ), σ 3 = ( 3 3 ), σ 4 = ( 3 3 ), σ 5 = ( 3 3 ), σ 6 = ( 3 3 ) Zadanie 3 Niech σ = ( ), τ = ( ) Oblicz: στ, τσ, σ τσ, τ σ 3 Roziązanie: στ = ( ) τσ = ( ) σ τσ = ( ) τ σ = ( ) σ = σ = ( ), τ = ( ), τ = ( ) Zadanie 4 Zapisz poniższe permutacje postaci duierszoej: a σ = (,, 4, 6), σ S 7, b τ = (3, 5, 4), τ S 5 4 Roziązanie: a σ = (,, 4, 6) = ( ) b τ = (3, 5, 4) = ( ) Zadanie 5 Roziąż rónania: 7

8 a (, )x = (, 3)(, 4) grupie S 4, b ( ) x ( ) = ( ) grupie S 5, c ( 3 3 ) x ( 3 3 ) = ( 3 3 ) grupie S 3, d x ( ) = ( ) grupie S 5 5 Roziązanie: a (, )x = (, 3)(, 4) x = (, 4,, 3) b ( ) x ( ) = ( ) x = ( ) c ( 3 3 ) x ( 3 3 ) = ( 3 3 ) x = ( 3 3 ), d x ( ) = ( ) x = ( ) Zadanie 6 Daną permutację σ S przedsta postaci iloczynu transpozycji Określ znak i parzystość permutacji σ a σ = ( ) c σ = ( b σ = ( ) d σ = ( Roziązanie: ) ) a σ = ( ) = (, 6, 3,, 7, 9, 4, 8,, 5) = (, 5)(, )(, 8)(, 4)(, 9)(, 7)(, )(, 3)(, 6) sgn σ = ( ) 9 = σ jest permutacją nieparzystą b σ = ( ) = (, 3, 6)(4, 8, 5,, 9, 7) = (, 6)(, 3)(4, 7)(4, 9)(4, )(4, 5)(4, 8) sgn σ = ( ) 7 = σ jest permutacją nieparzystą c σ = ( ) = (,, )(4, 5)(6, 8, 7, 9) = (, )(, )(4, 5)(6, 9)(6, 7)(6, 8) sgn σ = ( ) 6 = σ jest permutacją parzystą d σ = ( ) = (, 3, 4)(6,, 8, 9, 7) = (, 4)(, 3)(6, 7)(6, 9)(6, 8)(6, ) sgn σ = ( ) 6 = σ jest permutacją parzystą Zadanie 7 Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: a (, 95), b (8, 8), c (36, 6, 9), d (, 68, 8), e (3, 4, 7, 5), f [, 95], g [8, 8], h [36, 6, 9], i [, 68, 8], j [3, 4, 7, 5] Zadanie 8 Przy pomocy algorytmu Euklidesa yznacz: (4, 35), (8, 5), (345, 664), (, 765), (48, 684), (89, 7, 689), (359, 737, 943) 8 Roziązanie: (4, 35) = 7: 35 = = 7 + (8, 5) = 36: 5 = = = 36 + (345, 664) = 3: 664 = = = =

9 (, 765) = : = = = = = 8 + (48, 684) = 4: 684 = = = = = + 6 = = (89, 7, 689) = (89, (7, 689)) = 3: (7, 689) = 3: 7 = = (89, 3) = 3, bo 89 = 63 3 (359, 737, 943) = ((359, 737), 943) = 3: (359, 737) = 6: (6, 943) = 3: 359 = = = = = = Zadanie 9 Wyznacz element odrotny do liczby: a 35 Z 37 b 5 Z 57 c 637 Z 734 d 633 Z Roziązanie: a 35 Z = = 7 + = 35 7 = 35 (37 35) 7 = (mod 37) 35 = 8 b 5 Z = = = 6 + = 7 6 = 7 (5 7 7) = = 5 + 8(57 5) = = (mod 57) 5 = c 637 Z = = = = = = 35 + = 7 35 = 7 (6 7) = = 3(77 6) 6 = = (46 77) = = 3 (637 46) 5 46 = = ( ) = (mod 734) 637 = 49 9

10 d 633 Z = = = = 6 + = 7 6 = 7 ( 5 7) = 6 7 = 6(633 6 ) = = ( ) = (mod 734) 633 = 3 Zadanie Oblicz f + g, f g: a f = 5X ( + i) X + i, g = ix + 3 i pierścieniu C[X], b f = 3X + X + 4, g = X + 3X + 3 pierścieniu Z 5 [X], c f = X 4 + 3, g = ( X 4 + ) pierścieniu Z[X] Roziązanie: a f + g = 5X X + 3, f g = 5iX 3 + (66 7i)X (8 + i)x + + 3i b f + g = 4X +, f g = X 4 + X 3 + c f + g =, f g = 4X 8 8X 4 3 Zadanie Wykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 4 9X 3 + 3X 6X + 3 przez X 5 Z[X] b X 4 + X 3 + X + 3X + 3 przez 3X + X + 4 Z 5 [X] c X 5 + 4X 4 + 3X + przez X 3 + X + 4 Z 5 [X] d X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X + 5X + Z [X] Roziązanie: a X 4 9X 3 + 3X 6X + 3 = (X 3 4X + 3X )(X 5) + 8 b X 4 + X 3 + X + 3X + 3 = (4X + 4X + )(3X + X + 4) c X 5 + 4X 4 + 3X + = (3X + X + )(X 3 + X + 4) + 4X + X + 3 d X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 = (8X + 6X + 8)(3X 3 + 7X + 5X + ) + 5X + X + 8 Zadanie Stosując metodę Hornera ykonaj następujące dzielenia z resztą: a X 5 + X 4 + 5X przez X + Z[X] b 3X 5 + 7X 4 5X 3 4X X 4 przez X + Z[X] c X 4 + 5X 3 + X + 4X + 3 przez X + Z 7 [X] d X 4 + 3X + przez X + 4 Z 5 [X] Roziązanie: a X 5 + X 4 + 5X = (X 4 + X 3 + 4X 4X + 4)(X + ) b 3X 5 + 7X 4 5X 3 4X X 4 = (3X 4 + X 3 7X )(X + ) c X 4 + 5X 3 + X + 4X + 3 = (X 3 + 3X + 3X + 5)(X + )

11 d X 4 + 3X + = (X 3 = X + X + 4)(X + 4) + 3 4

12 Rachunek macierzoy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wproadzenie teoretyczne Definicja Móimy, że macierz A jest postaci zredukoanej, gdy spełnione są następujące arunki: Począszy od penego iersza szystkie następne iersze macierzy składają się z samych zer Poyżej tego iersza nie ma ierszy złożonych z samych zer W każdym niezeroym ierszu pierszy od leej niezeroy yraz jest róny Ten niezeroy yraz będziemy nazyać jedynką iodącą iersza 3 Jeśli da sąsiednie iersze nie są złożone z samych zer, to iodąca jedynka yższego iersza znajduje się na leo od iodącej jedynki niższego iersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zaierająca iodącą jedynkę ma pozostałe yrazy róne, to móimy, że macierz A jest postaci całkoicie zredukoanej Definicja Następujące operacje ykonyane na ierszach macierzy, nazyać będziemy operacjami elementarnymi: OE Zamiana miejscami dóch ierszy OE Pomnożenie iersza przez niezeroy element ciała K OE3 Dodanie do danego iersza ielokrotności innego iersza Definicja 3 Rzędem macierzy A nazyamy liczbę iodących jedynek doolnej postaci zredukoanej macierzy A Fakt Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Tierdzenie (Kroneckera-Capellego) Niech [A b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu rónań linioych Wóczas ten układ ma roziązanie tedy i tylko tedy, gdy: rz[a b] = rz A Ponadto, jeśli układ rónań linioych o n nieiadomych ma roziązanie, to jego roziązanie zależy od s = n rz A parametró Tierdzenie Jeśli A M n,n (K), to następujące arunki są rónoażne: A jest macierzą odracalną, postać całkoicie zredukoana macierzy A jest macierzą identycznościoą I n, 3 rz A = n, 4 det A, 5 dla każdego b K n układ rónań linioych AX = b ma dokładnie jedno roziązanie, 6 jednorodny układ rónań linioych AX = θ n ma tylko jedno roziązanie: x = x = = x n =

13 Zadania Zadanie Określ czy zbiór (A, ) jest grupą, grupą abeloą: a a b = a + b, a, b A, gdzie A = Z b a b = a+b, a, b A, gdzie A = Q c a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = (, ) d a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = [, ) e a b = a + b 5, a, b A, gdzie A = Z f a b = 5 log 5 a+log 5 b, a, b A, gdzie A = R + g a b = 3 log 3 a log 3 b, a, b A, gdzie A = R + h (a, a ) (b, b ) = (a b, a b + a b ), (a, a ), (b, b ) A, gdzie A = (R \ {}) R Roziązanie: a a b = a + b, a, b A, gdzie A = Z Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P Zatem: L = (a b) c = (a + b ) c = (a + b ) + c = a 4 + b + a b a b + c P = a (b c) = a (b + c ) = a + b + c L P Czyli działanie nie jest łączne, ięc (A, ) nie jest grupą b a b = a+b, a, b A, gdzie A = Q Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P Zatem: L = (a b) c = a + b P = a (b c) = a b + c c = L P Czyli działanie nie jest łączne, ięc (A, ) nie jest grupą c a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = (, ) a+b + c = a + b + c 4 = a + b+c = a + b + c 4 Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P L = (a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc P = a (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Zatem: Czyli działanie jest łączne L = P 3

14 Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego a, b A zachodzi: Niech a, b A Czyli działanie jest przemienne a b = b a a b = a + b + ab = b + a + ba = b a Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje e A taki, że dla każdego a A zachodzi: a e = a = e a Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a e = a a + e + ae = a e(a + ) = e = lub a = / A Stąd otrzymaliśmy e = Czyli działanie posiada element neutralny Spradzamy, czy dla każdego elementu a A istnieje element odrotny a A taki, że: a a = }{{} = a a =e Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a a = a + a + aa = a (a + ) = a, a +, bo / A a = a a + Czyli każdy element zbioru A posiada element odrotny Zatem (A, ) jest grupą abeloą d a b = a + b + ab, a, b A, gdzie A = [, ) Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A Zatem: Czyli działanie jest łączne (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P L = (a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc P = a (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc L = P Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego a, b A zachodzi: Niech a, b A Czyli działanie jest przemienne a b = b a a b = a + b + ab = b + a + ba = b a 4

15 Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje e A taki, że dla każdego a A zachodzi: a e = a = e a Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a e = a a + e + ae = a e(a + ) = e = lub a = Stąd otrzymaliśmy e = Czyli działanie posiada element neutralny Spradzamy, czy dla każdego elementu a A istnieje element odrotny a A taki, że: a a = }{{} = a a =e Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a a = a + a + aa = a (a + ) = a, dla a =, otrzymujemy = sprzeczność Czyli nie każdy element zbioru A posiada element odrotny Zatem (A, ) nie jest grupą e a b = a + b 5, a, b A, gdzie A = Z Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P Zatem: Czyli działanie jest łączne L = (a b) c = (a + b 5) c = a + b 5 + c 5 = a + b + c P = a (b c) = a (b + c 5) = a + b + c 5 5 = a + b + c L = P Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego a, b A zachodzi: Niech a, b A Czyli działanie jest przemienne a b = b a a b = a + b 5 = b + a 5 = b a Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje e A taki, że dla każdego a A zachodzi: a e = a = e a Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a e = a a + e 5 = a e = 5 Stąd otrzymaliśmy e = 5 Czyli działanie posiada element neutralny 5

16 Spradzamy, czy dla każdego elementu a A istnieje element odrotny a A taki, że: a a = }{{} 5 = a a =e Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a a = 5 a + a 5 = 5 a = a + Czyli każdy element zbioru A posiada element odrotny Zatem (A, ) jest grupą abeloą f a b = 5 log 5 a+log 5 b, a, b A, gdzie A = R + Zauażmy, że a b = 5 log 5 a+log 5 b = 5 log 5 a 5 log 5 b = a b Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A Zatem: Czyli działanie jest łączne (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P L = (a b) c = ab c = abc P = a (b c) = a bc = abc L = P Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego a, b A zachodzi: Niech a, b A Czyli działanie jest przemienne a b = b a a b = ab = ba = b a Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje e A taki, że dla każdego a A zachodzi: a e = a = e a Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a e = a ae = a a(e ) = e = lub a = / A Stąd otrzymaliśmy e = Czyli działanie posiada element neutralny Spradzamy, czy dla każdego elementu a A istnieje element odrotny a A taki, że: a a = }{{} = a a =e Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a a = aa = a = a a, bo / A Czyli każdy element zbioru A posiada element odrotny 6

17 Zatem (A, ) jest grupą abeloą g a b = 3 log 3 a log 3 b, a, b A, gdzie A = R + Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego a, b, c A zachodzi: Niech a, b, c A Zatem: (a b) c = a (b c) }{{}}{{} L P L = (a b) c = 3 log 3 a log 3 b c = 3 log 3 3log 3 a log 3 b log 3 c = 3 log 3 a log 3 b log 3 c P = a (b c) = a 3 log 3 b log 3 c = 3 log 3 a log 3 3log 3 b log 3 c = 3 log 3 a log 3 b log 3 c Czyli działanie jest łączne L = P Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego a, b A zachodzi: Niech a, b A Czyli działanie jest przemienne a b = b a a b = 3 log 3 a log 3 b = 3 log 3 b log 3 a = b a Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje e A taki, że dla każdego a A zachodzi: a e = a = e a Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a e = a 3 log 3 a log 3 e = a log 3 a log 3 e = log 3 a log 3 a(log 3 e ) = log 3 a = lub log 3 e = a = lub e = 3 Stąd otrzymaliśmy e = 3 Czyli działanie posiada element neutralny Spradzamy, czy dla każdego elementu a A istnieje element odrotny a A taki, że: a a = }{{} 3 = a a =e Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech a A a a = 3 3 log 3 a log 3 a = 3 log 3 a log 3 a =, dla a =, mamy log 3 a = i otrzymujemy = sprzeczność Czyli nie każdy element zbioru A posiada element odrotny Zatem (A, ) nie jest grupą h (a, a ) (b, b ) = (a b, a b + a b ), (x, x ) A, dla x = a, b, gdzie A = (R \ {}) R Spradzamy, czy działanie jest łączne, tzn czy dla każdego (a, a ), (b, b ), (c, c ) A zachodzi: ((a, a ) (b, b )) (c, c ) = (a, a ) ((b, b ) (c, c )) }{{}}{{} L P 7

18 Niech (a, a ), (b, b ), (c, c ) A L = ((a, a ) (b, b )) (c, c ) = (a b, a b + a b ) (c, c ) = (a b c, a b c + c a b + c a b ) P = (a, a ) ((b, b ) (c, c )) = (a, a ) (b c, b c + b c ) = (a b c, a b c + a b c + a b c ) Zatem: Czyli działanie jest łączne L = P Spradzamy, czy działanie jest przemienne, tzn czy dla każdego (a, a ), (b, b ) A zachodzi: Niech (a, a ), (b, b ) A (a, a ) (b, b ) = (b, b ) (a, a ) (a, a ) (b, b ) = (a b, a b + a b ) = (b a, b a + b a ) = (b, b ) (a, a ) Czyli działanie jest przemienne Spradzamy, czy istnieje element neutralny, tzn czy istnieje (e, e ) A taki, że dla każdego (a, a ) A zachodzi: (a, a ) (e, e ) = (a, a ) = (e, e ) (a, a ) Jednak poyżej już pokazaliśmy, że działanie jest przemienne, zatem ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech (a, a ) A (a, a ) (e, e ) = (a, a ) (a e, a e + a e ) = (a, a ) Stąd otrzymujemy układ rónań: { a e = a a (e ) = a = / R \ {} lub e = a e + a e = a a e = a = / R \ {} lub e = Stąd otrzymaliśmy (e, e ) = (, ) Czyli działanie posiada element neutralny Spradzamy, czy dla każdego elementu (a, a ) A istnieje element odrotny (a, a ) A taki, że: (a, a ) (a, a ) = (, ) = (a }{{}, a ) (a, a ) =(e,e ) Jednak tak jak poyżej, ystarczy spradzić tylko jeden z arunkó Niech (a, a ) A (a, a ) (a, a ) = (, ) (a a, a a + a a ) = (, ) Stąd otrzymujemy układ rónań: { a a =, ponieaż a, ięc a = a a a + a a = a a + a a = a = a a Czyli każdy element zbioru A posiada element odrotny Zatem (A, ) jest grupą abeloą Zadanie Niech: A = 3, B = 3, C =, D =, E =, 3 Oblicz: A + 3I, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA T ) T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE α R Roziązanie: 8

19 4 A + 3I = A = D + D = (B + D T ) T = D + B T = AA T = (AA T ) T = A T A = C T C = [ 4 ] 4 6 CC T = BDD T = CC T A = α α αb = 3α α α α α α 5 6 ADBE = C T AE = [ 5 ] Zadanie 3 Wyznacz macierz hermitosko-sprzężoną A do macierzy A: + 3i i i a A = + 3i b A = i i Macierz, z którego podpunktu jest macierzą hermitoską, a z którego jest macierzą antyhermitoską 3 Roziązanie: + 3i i 3i i a A = + 3i, A = 3i A = A macierz antyhermitoska i i b i i A =, A i = A = A i macierz hermitoska Zadanie 4 Zinterpretuj operacje na ektorach płaszczyzny (R ) (translacja o ektor T = [ Tx T y ], skaloanie, obrót zględem środka układu spółrzędnych) jako operacje na odpoiednich macierzach 4 Roziązanie: Translacja o ektor Skaloanie: [ Tx T y ] : [ x = y] x = y [ x y ] + Tx T y s x s y 9

20 Obrót leo o kąt α zględem początku układu spółrzędnych Zauażmy, że { x = r cos β y = r sin β Więc spółrzędne punktu P = (x, y) są następujące: { x = r cos(β + α) = r(cos β cos α sin β sin α) = x cos α y sin α y = r sin(β + α) = r(sin β cos α + cos β sin α) = x sin α + y cos α Macierzoo możemy to zapisać następująco: [ x y] = cos α sin α x sin α cos α y Zadanie 5 Znajdź postacie zredukoane i rzędy następujących macierzy: a A = 4, c C = 3 4, 3 b B =, 5 3 4, 5 4 5, d D = Roziązanie: a A = =+ 5 3= = rz A = 3, b B =, 5 3 4, , 5 3 4, 5 = = 5 3= = rz B = 3,

21 c C = 4 = 4= =3 4= = 3 3 4= rz C = 4, d D = = = 3 7, 4= =3+ 3 4= = = = 4 4 rz D = 4 Zadanie 6 Znajdź postacie całkoicie zredukoane i rzędy następujących macierzy: 4 b B = 4 a A = 3, 4 6 Roziązanie: a A = 3 3= = 5 4= 4, 6= = = = 5+ 3, 6= 6 3 5= 5 4 6= = 6 5 = + 5 4= 4+ 5 = = 3 = 3 rz A = 5,

22 4 4 b B = 4 = 3 3= 3 4 = = + rz B = 3 5 Zadanie 7 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: 3m + 7 m + m a A = c C = + 9m 5 m + 6m + 5 6m 5 m m + 8m m + 5m m + 5 m + m m + m m m b B = 5m + 3m + 3m 3 6m + 5 4m d D = m m + m m + m m m m m 5m m 5m m 7 Roziązanie: [ 3m + 7 m + a A = = 3m + 7 m m 5 m 9 6 3m + 7 m + [ ] 6 9 = (3m+7) 6 9 3m + 7 m + 9 (m 4) 6 m = 4 A 9 rz A = m 4 A = 9 m 4 [ 6 9 ] rz A = m + 5 m + m m + 5 m + m b B = 5m + 3m + 3m = m m + m 3 6m + 5 4m + m 3= 3 3 m m 5 m = B rz B = m B = m m + 5 m + m m + 3= m 3 m m = B 7 rz B = m + 5 m + m m B 3= m 3 m + rz B = 3 c [ ] m C = + 9m 5 m + 6m + 5 m + 5 m + 5 m + 8m m + 5m (m + 5)(m ) m(m + 5) m = 5 C rz C = m 5 C = m+5 m = C = m+5 [ ] [ (m ) m rz C = ] (m ) m + ] = 9

23 m C = m rz C = d Wiemy, że rząd macierzy danej jest róny rzędoi macierzy transponoanej, czyli rz D = rz D T m + m m 5m D T = m m + m m m m m 5m = 3 = 4 m m m 5m 3=3 m 4= 4 m m m 5m m m m m m m m m m m m 3= 3 m 4= 4 m m 5m 3=3 m4 5m m 3 4 m m m m m m 5m m m = D T rz D = m D T 3= m 3 4= m 4 5 m m = 5 D T rz D = 3 m 5 D T 4= 5 m 4 rz D = 4 Zadanie 8 W zależności od parametru m przeanalizuj liczbę roziązań układu rónań: x x x 3 = x + 3x + x 3 = x + mx mx 3 = 8 Roziązanie: A b = 3 3 = m m m m 3= 3 m m m m m + m 3 Po identycznych operacjach otrzymamy: A m + m = rz A =, rz [ A b ] = 3 układ sprzeczny, brak roziązań m rz A = 3, rz [ A b ] = 3 układ ma jedno roziązanie Zadanie 9 (przykład 6, str 53, BG tom ) Roziąż układ rónań ciele liczb rzeczyistych oraz Z 5 x + 4x + 6x 3 = 8 4x + 5x + 6x 3 = 4 x + 7x + x 3 = 4 3

24 9 Roziązanie: = = = = = Otrzymaliśmy układ sprzeczny ciele liczb rzeczyistych Kontynuujmy ięc roziązyanie Z = 4 Zatem: x = 4 x 3 = 4 + 3x 3 Mamy zatem następujące roziązania (x, x, x 3 ): a x = 4 (4 + 3x 3 ) 3x 3 = x 3 3x 3 = + x 3 x = + t x = 4 + 3t x 3 = t, t Z 5 (, 4, ), (,, ), (3,, ), (4, 3, 3), (,, 4) Zadanie Roziąż (metodą Gaussa) następujące układy rónań ciele liczb rzeczyistych: b c x + 3x + 5x 3 = x + 7x + 9x 3 = 3x + 8x + 7x 3 = 7 x + 5x + x 3 = 5x + 9x + 7x 3 = 3 x 8x + 7x 3 = x + x x 3 = 4 3x + 5x x 3 = 9 4x + 5x x 3 = 7 Roziązanie: d e f x + 3x + x 3 + 4x 4 = 3x + x + x 3 + x 4 = 5x + x + x 3 + 8x 4 = 4 7x + 3x 3 + 5x 4 = x + x + x 3 = x + 4x + 3x 3 = 6 3x + 4x + 4x 3 = 8 5x 6x 3x 3 = 8 x + 4x + x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x + 3x + x 3 + x 4 + 5x 5 = x + 7x + 5x 3 x 4 3x 5 = 4 a b = 5 3=3+ 5 3= = = 53 3 = 3 3 = + 3 Zatem: x = x = 3 x 3 = = 3 5 = = =

25 c d e f Układ sprzeczny = 3 3 3=3 3 3 = = = 3 Zatem: x = t x = 3 + t x 3 = t, = = 3 5, 4= =3 7 4= = Układ sprzeczny = 3= 3 3, 4= = = 3 = + 3, 4= Zatem: t R 4 3=3+ 4 4= = = 3= x = 4 x = 5 x 3 = = 3 = = = = 3 Zatem: x = 7 + s 5t u x = 3 s + t + u x 3 = s x 4 = t x 5 = u, s, t, u R Zadanie Roziąż układ rónań: x + y + z = 5 a x + y = 6 ciele Z 3, b 5x + y + 4z = x + y + 3z = x + y + z = 4x + 3y + z = 3 ciele Z 5, 5

26 c d x + y + 3z = 4 3x + 4y + z = 4 x + 3y + z = x + y + z = x + 4y + z = 3 3x + y + 4z = 3 ciele Z 5, ciele Z 5, e f x + y + 4z = 4 3x + y + z = x + 3y + 3z = x + 3y + 5z = 6 4x + 6y + 3z = 6x + 5y + 4z = 5 ciele Z 5, ciele Z 7 Roziązanie: a 6 = 6 9 3= = = =83 6 = 3 = 5 5 = b c d e Zatem: x = y = z = = 3 = = =4 3 3 = = 4 Zatem: x = y = 4 z = = 3 3 = 4 4 3= = Układ sprzeczny 4 3 = 3 3 3=3 3 3 = = = Zatem: x = 4 + t y = + 3t z = t, t Z =3 = 4 3 =4 3 3 =, 3= = = 3 3=33 = 3 =

27 f Zatem: x = y = z = = = = = = + 3 = 3 = 4 3 Zatem: x = 5 y = 3 z = 4 Zadanie Znajdź macierze odrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: A = , B = 3 3, C = 3, D = Roziązanie: [ A I ] = = =3 4 3= = = = = +3 3 I A Zatem A = [ B I ] = =+3 4= = = =3+3 4= = = = = 3+ 4, = = + 3 = = I B ] 7

28 Zatem B = [ C I ] 4 = =+3 4 3= = 3 3= = 3 =+3 = = [ I C ] Zatem C = 6 4 [ D I ] 3 3 = 4 = =3 3 3 rz D = D nie istnieje Zadanie 3 Roziąż układ rónań linioych AX = b, znajdując macierz odrotną do macierzy spółczynnikó, gdzie: a A =, b =, b A = 6, b = 3 Roziązanie: a AX = b X = A b, (jeśli A istnieje) A I = 3=3 = 3 = I A X = = b AX = b X = A b, (jeśli A istnieje) A I = = = 3= 3+, 4= 4 = 3 = + 3, 4=

29 = = 4 = = [ I A ] X = =

30 3 Wyznacznik macierzy opracoanie dra Piotra Rzonsoskiego 3 Teoria Definicja 3 Wyznacznik macierzy kadratoej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej Jeżeli A = [a] M, (K), to det A = a Załóżmy, że został zdefinioany yznacznik macierzy kadratoej o n ierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n,n (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po ykreśleniu z A i-tego iersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( ) i+j det M ij Element A ij ciała K nazyamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach yznacznik macierzy A definiujemy za pomocą yrażenia det A = a A + a A + + a n A n Tierdzenie 3 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące zory: det A = a i A i + a i A i + + a in A in dla każdego i n, det A = a j A j + a j A j + + a nj A nj dla każdego j n Definicja 3 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o spółrzędnych a ij K Wóczas móimy, że A jest macierzą: dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = dla i < j, górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = dla i > j, 3 przekątnioą(diagonalną), jeżeli a ij = dla i j Własności 3 (Wyznacznika) Niech a a a n a a a n A = M n,n(k) a n a n a nn Jeżeli macierz A ma iersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = Dla każdego c K i dla każdego j n mamy a ca j a n a ca j a n det = c det A a n ca n a nn Taka sama łasność zachodzi przy mnożeniu doolnego iersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a b j a n a b j a n B = a n b n a nn a a j + b j a n a a j + b j a n C = a n a nj + b n a nn to det C = det A + det B Taka sama łasność zachodzi dla ierszy macierzy 3

31 4 Jeżeli macierz A ma die identyczne kolumny (odpoiednio iersze), to det A = 5 Zamiana miejscami dóch kolumn (ierszy) macierzy pooduje, że znak yznacznika zmienia się na przeciny 6 Jeżeli jedna kolumna (iersz) macierzy A jest ielokrotnością innej kolumny (odpoiednio - iersza), to det A = 7 Jeżeli do jednej kolumny (iersza) macierzy A dodamy ielokrotność innej kolumny (odpoiednio iersza), to yznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące róności: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ() b σ() b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ() b σ() b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementoego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Tierdzenie 3 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B Definicja 33 Dla macierzy kadratoej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A A A n A D A A A n = A n A n A nn tzn A D jest macierzą kadratoą, która na przecięciu i-tego iersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Tierdzenie 33 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący zór: Mamy następujący układ rónań: A = det A AD a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m (3) Tierdzenie 34 Jeżeli det A, to układ rónań (3) ma dokładnie jedno roziązanie, które jest dane za pomocą zoró x i = det A x i det A, dla i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną yrazó olnych układu (3) 3

32 Definicja 34 Móimy, że macierz A jest postaci zredukoanej, gdy spełnione są następujące arunki: Począszy od penego iersza szystkie następne iersze macierzy składają się z samych zer Poyżej tego iersza nie ma ierszy złożonych z samych zer W każdym niezeroym ierszu pierszy od leej niezeroy yraz jest róny Ten niezeroy yraz będziemy nazyać jedynką iodącą iersza 3 Jeśli da sąsiednie iersze nie są złożone z samych zer, to iodąca jedynka yższego iersza znajduje się na leo od iodącej jedynki niższego iersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zaierająca iodącą jedynkę ma pozostałe yrazy róne, to móimy, że macierz A jest postaci całkoicie zredukoanej Definicja 35 Następujące operacje ykonyane na ierszach macierzy, nazyać będziemy operacjami elementarnymi: OE Zamiana miejscami dóch ierszy OE Pomnożenie iersza przez niezeroy element ciała K OE3 Dodanie do danego iersza ielokrotności innego iersza Definicja 36 Rzędem macierzy A nazyamy liczbę iodących jedynek doolnej postaci zredukoanej macierzy A Fakt 3 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Definicja 37 Wyznacznik macierzy kadratoej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej Jeżeli A = [a] M, (K), to det A = a Załóżmy, że został zdefinioany yznacznik macierzy kadratoej o n ierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n,n (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po ykreśleniu z A i-tego iersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( ) i+j det M ij Element A ij ciała K nazyamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach yznacznik macierzy A definiujemy za pomocą yrażenia det A = a A + a A + + a n A n Tierdzenie 35 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące zory: det A = a i A i + a i A i + + a in A in dla każdego i n, det A = a j A j + a j A j + + a nj A nj dla każdego j n Własności 3 (Wyznacznika) Niech A = [a ij ] M n,n (K) Jeżeli macierz A ma iersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = Dla każdego c K i dla każdego j n mamy a ca j a n a ca j a n det = c det A a n ca n a nn Taka sama łasność zachodzi przy mnożeniu doolnego iersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierz A ma die identyczne kolumny (odpoiednio iersze), to det A = 4 Zamiana miejscami dóch kolumn (ierszy) macierzy pooduje, że znak yznacznika zmienia się na przeciny 3

33 5 Jeżeli jedna kolumna (iersz) macierzy A jest ielokrotnością innej kolumny (odpoiednio - iersza), to det A = 6 Jeżeli do jednej kolumny (iersza) macierzy A dodamy ielokrotność innej kolumny (odpoiednio iersza), to yznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 7 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące róności: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ() b σ() b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ() b σ() b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementoego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Tierdzenie 36 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to det(ab) = det A det B 3 Zadania Zadanie 3 Obliczyć następujące yznaczniki: a 3, b 3, c Roziązanie: a Policzymy ten yznacznik najpier prost z definicji, a następnie korzystając z różnych łasności yznacznika 3 = ( )+ 3 + ( )+ ( ) + ( )+3 3 = = ( ) + 3 det [ ] + ( ) + det [ ] + ( ) + det [ ] + ( ) + det [ ] + + ( ) + det [ ] + ( ) + 3 det [ ] = = = 3 = + 3 ========= 3 = ( )+3 3 = ( + 3) =, b k =k k 3 ======== 3 = ( ) + 3 = +3 ========== = = ( ) +3 ( ) = (3 5) =, c 3 = ( ) = ( )+ 3 3 = 3 Zadanie 3 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca 3 Roziązanie: 33

34 c c a, c R, A M n (R), det A = a Niech C M n (R), C = c det(c A) = det(ca) = det C det A = c n det A = c n a Zadanie 33 Oblicz yznaczniki: a b c d e f g h Roziązanie: a 345 = ( 5) 3 = b 5 = ========= k =k +k 4 3 ================ 4 5 k 3=k 3+k, k 4=k 4+k = ( ) ========= 3= = ( ) = ( 35) = c = ========= 4 4 = ( ) k =k k 3 ======== = 3 ( ) = ( + 3) = d k =k k ========== k 3=k 3 k ========== k 3=k 3 k ========== = = = e = ========= = ( ) = 8 9 = 34

35 f g h = = = = = = 3 ========== k 4=k 4 3k 7 ========= = ( ) =================== = 3 3= 3, 4= = ( ) = ( ) = = ( 49) = 49 35

36 Definicja 38 Dla macierzy kadratoej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A A A n A D A A A n = A n A n A nn tzn A D jest macierzą kadratoą, która na przecięciu i-tego iersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Tierdzenie 37 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący zór: A = det A AD Zadanie 34 Oblicz macierze odrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): a A = 4 5 d D = b B = cos α sin α 3 e E = sin α cos α 3 c C = Roziązanie: 7 9 a A =, det A = 4 5 A = ( ) + det [ 5 ] = 5 A = ( ) + det [ 4 ] = 4 A = ( ) + det [ 9 ] = 9 A = ( ) + det [ 7 ] = 7 A D 5 9 = 4 7 A = det A AD = = b B = 4 3, det B = 3 B = ( ) + 3 = ( ) + 3 = ( ) 3+ 3 B = ( ) + 3 = ( ) = ( ) 3+ 4 B 3 = ( ) = ( ) = ( ) B D = B = det B BD = 7 5 =

37 3 c C = 3 3, 4 det C = C = ( ) + = ( ) + 3 = ( ) 3+ 3 C = ( ) = ( ) = ( ) C 3 = ( ) = ( ) = ( ) C D = C = det C CD = 6 6 = d D = 5 5 4, det D = D = ( ) = ( ) = ( ) D = ( ) = ( ) = ( ) D 3 = ( ) = ( ) = ( ) D D = D = det D DD = 3 3 = cos α sin α e E =, det E = sin α cos α E = cos α = cos α, E = sin α cos α 3 = sin α = sin α E = sin α cos α = cos α sin α sin α cos α 3 = cos α sin α = E 3 = sin α = sin α, E 3 = cos α sin α 33 = cos α cos α sin α E D = sin α cos α E = cos α sin α det E ED = sin α cos α Zadanie 35 Roziąż rónania: 5 x x a 3 = 3 x x 4 37

38 b c [ 3 8 x = x ] x x x 3 x x x = x 3 x 3 x Roziązanie: 5 a 3 b c Niech A = x x = x x det A =, A 3 = [ 3 8 x = x ] Niech A = x x = A x x 3 5 Zatem: 3 = det A =, A = [ x x ] = A x x x 3 x x x = x 3 x 3 x Zatem: 3 = = 4 = 3 5 Niech A = 3 3 det A =, A = 6 4 Zatem: 4 5 x x x 3 x x x 3 = A = = 3 x 3 x 3 x Mamy następujący układ rónań: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m (3) Tierdzenie 38 Jeżeli det A, to układ rónań (3) ma dokładnie jedno roziązanie, które jest dane za pomocą zoró x i = det A x i det A, dla i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną yrazó olnych układu (3) Zadanie 36 Za pomocą zoró Cramera roziąż następujący układ rónań nad ciałem R: a { 4x 7x = 3 5x 6x = 4 b x x + x 3 = 3x 4x + 5x 3 = 5 4x 5x + 9x 3 = 8 38

39 c x + 3x + 4x 3 = x + 4x + 7x 3 = 4x + 9x + x 3 = 5 36 Roziązanie: a A =, A 5 6 x =, A 4 6 x = 5 4 det A =, det A x =, det A x = Zatem: { x = x = b A = 3 4 5, A x = 5 4 5, A x = 3 5 5, A x3 = det A = 3, det A x =, det A x =, det A x3 = Zatem: x = 3 x = 3 x 3 = c A = 4 7, A x = 4 7, A x = 7, A x3 = det A = 7, det A x =, det A x =, det A x3 = Zatem: x = 7 x = 7 x 3 = 7 39

40 4 Przestrzeń linioa, linioa kombinacja ektoró, baza przestrzeni linioej (opracoano na podstaie BG Elementy algebry linioej t I ) 4 Wproadzenie teoretyczne Definicja 4 Zbiór V z yróżnionym elementem θ = θ V V oraz z doma działaniami: + : V V V dodaania elementó V, : K V V mnożenia elementó V przez elementy K, nazyamy przestrzenią linioą nad ciałem K (lub przestrzenią ektoroą nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące arunki: (V, +, θ) jest grupą abeloą z elementem neutralnym θ, α (v + ) = α v + α, (α + β) v = α v + β v, 3 α (β v) = (αβ) v, 4 v = v Róności z dodpunktó 4 zachodzą dla szystkich v, V oraz α, β K Elementy przestrzeni linioej nazyamy ektorami Elementy ciała K nazyamy skalarami Definicja 4 Układem ektoró przestrzeni linioej V o skaźnikach ze zbioru T nazyamy każdą funkcję v : T V Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t Układ ektoró będziemy zapisyać postaci (v t ) t T Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K Niech będzie dany układ ektoró S = (v, v,, v m ) z V oraz układ skalaró (α, α,, α m ) z K Wektor: v = α v + α v + + α m v m = m α i v i nazyamy kombinacją linioą ektoró układu S Skalary α i nazyamy spółczynnikami tej kombinacji Linioą kombinację ektoró można zdefinioać dla doolnego układu ektoró S = (v t ) t T, gdzie T jest penym niekoniecznie skończonym zbiorem skaźnikó Należy jednak pamiętać, że po to, aby yrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = dla praie szystkich t T t T 3 Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K Niech S = (v t ) t T będzie penym układem ektoró z V Weźmy układ skalaró (α t ) t T t T K, taki że α t = dla praie szystkich t T Wektor: i= v = t T α t v t nazyamy kombinacją linioą ektoró układu S Skalary α t nazyamy spółczynnikami tej kombinacji 4 Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K Móimy, że ektory układu S = (v, v,, v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy ektor v V jest kombinacją linioą ektoró v i, dla i =,,, m Oznacza to, że każdy ektor v V można zapisać postaci: dla penych skalaró α, α,, α m K v = α v + α v + + α m v m 4

41 5 Niech będzie dany układ ektoró (v, v,, v m ) z przestrzeni V Wtedy zbiór szystkich kombinacji linioych: L(v, v,, v m ) = {α v + α v + + α m v m : α, α,, α m K} ektoró v, v,, v m nazya się połoką linioą układu ektoró (v, v,, v m ) 6 Niech v, v,, v m V będą ektorami przestrzeni linioej V nad ciałem K Móimy, że te ektory są linioo niezależne, gdy z róności: ynika, że szystkie spółczynniki są róne zero: α v + α v + + α m v m = θ V α = α = = α m = Móimy, że ektory v, v,, v m V są linioo zależne, gdy nie są linioo niezależne Tierdzenie 4 Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K Niech S = (v, v,, v m ) będzie penym układem ektoró z V Niech będzie dany układ ektoró S = (v i, v i,, v ik ), gdzie v ij dla j k są penymi ektorami układu S oraz liczby i, i,, i k są parami różne Wóczas: Jeśli ektory z S są linioo zależne, to jeden z nich jest kombinacją linioą pozostałych Jeśli θ V jest jednym z ektoró układu S, to układ S jest linioo zależny 3 Jeśli ektory układu S są linioo niezależne, to ektory układu S są linioo niezależne 4 Jeśli ektory układu S są linioo zależne, to ektory układu S są linioo zależne Tierdzenie 4 Jeśli v, v,, v n K m oraz n > m, to ektory v, v,, v n są linioo zależne Wniosek 4 Każdy skończony układ linioo niezależnych ektoró K n składa się co najyżej z n ektoró Kolumny macierzy A M m,n (K) są ektorami linioo zależnymi K m tedy i tylko tedy, gdy rónanie macierzoe: AX = θ m ma niezeroe roziązanie ze zględu na X Tierdzenie 43 Niech v, v,, v n K n będą penymi ektorami Niech: A = [ v v v n ] Mn (K) będzie macierzą, której kolumnami są ektory v, v,, v n Wtedy następujące arunki są rónoażne: Wektory v, v,, v n są linioo niezależne Układ rónań linioych AX = θ n ma tylko jedno roziązanie K n 3 det A Tierdzenie 44 Niech S = (v, v,, v n ) będzie układem linioo niezależnym przestrzeni K n Wtedy każdy ektor K n jest kombinacją linioą ektoró z układu S, tzn S rozpina przestrzeń K n Definicja 43 Niech funkcje f i (x), i =,,, n mają pochodne do rzędu n łącznie na przedziale (a, b) Wyznacznik postaci: f (x) f (x) f n (x) f (x) f (x) f n(x) W (x) = f (n ) (x) f (n ) (x) f n (n ) (x) nazyamy yznacznikiem Wrońskiego lub rońskianem dla funkcji f, f,, f n punkcie x (a, b) 4

42 Tierdzenie 45 Jeśli funkcje f, f,, f n są linioo zależne na przedziale (a, b), to ich rońskian jest tożsamościoo róny zeru Wniosek 45 Jeśli dla penego x (a, b), W (x ), to funkcje f, f,, f n są linioo niezależne Definicja 44 Układ ektoró S = (v t ) t T przestrzeni V nazyamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące arunki: Układ S jest linioo niezależny Układ S rozpina przestrzeń V, tzn V = L(S) W szczególności, jeśli skończony układ ektoró S = (v, v,, v n ) jest bazą przestrzeni V, to móimy, że V ma bazę skończoną Definicja 45 Niech dane będą da układy ektoró S = (v t ) t T oraz S = ( t ) t T przestrzeni V Móimy, że układ S zaiera układ S, gdy T T oraz t = v t dla każdego t T Zaieranie układó zapisujemy S S Tierdzenie 46 Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem ektoró V Wtedy następujące arunki są rónoażne: Układ S jest bazą przestrzeni V Każdy ektor v V da się jednoznacznie zapisać postaci kombinacji linioej ektoró: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są praie szystkie róne zero 3 S jest maksymalnym układem linioo niezależnym V ze zględu na relację zaierania układó 4 S jest minimalnym układem ze zględu na relację zaierania układó, które rozpinają przestrzeń V Definicja 46 Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni linioej V oraz niech v V Układ skalaró (α t ) t T taki, że α t = dla praie szystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazyamy spółrzędnymi ektora v zględem bazy S i oznaczamy symbolem v S W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v, v,, v n ) oraz: v = α v + α v + + α n v n, to spółrzędne ektora v V zględem bazy S zapisujemy jako ektor z K n następujący sposób: α α v S = α n Tierdzenie 47 Niech S = (v, v,, v n ) oraz S = ( t ) t T będą bazami przestrzeni linioej V Wóczas baza S też jest skończona i składa się z n ektoró Definicja 47 Niech V będzie przestrzenią linioą nad ciałem K Jeśli V ma skończoną bazę S, to móimy, że V jest przestrzenią skończenie ymiaroą Liczbę elementó bazy S przestrzeni skończenie ymiaroej V nazyamy ymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V 3 Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to móimy, że jest nieskończenie ymiaroa Wniosek 47 Niech dim K V = n Jeśli S = (v, v,, v m ) jest linioo niezależnym układem ektoró V, to m n Jeśli S = (v, v,, v n ) jest linioo niezależnym układem ektoró V, to S jest bazą przestrzeni V 4