VII. Układy liniowe i zlinearyzowane

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "VII. Układy liniowe i zlinearyzowane"

Transkrypt

1 18. Układy liiowe i zliearyzowae Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji VII. Układy liiowe i zliearyzowae Podstawowe własości kład liiowego Opisae metody aalizy dyamiki kładów dotyczą prawie zawsze kładów liiowych. Ta różorodość metod jest wyikiem charakterystyczych własości kładów liiowych: 1º W kładach liiowych ma zastosowaie zasada sperpozycji, co sprawia, że rozwiązaie rówaia różiczkowego opisjącego dyamikę kład jest smą składowej swobodej i wymszoej. 2º Zaa postać rozwiązaia swobodego każdego liiowego kład dyamiki, a parametry tego rozwiązaia są wyzaczae a podstawie algebraiczego rówaia charakterystyczego. 3º Kryterim położeia pierwiastków rówaia charakterystyczego wystarcza do określeia stabilości kład liiowego. 4º Rozwiązaie swobode decydje o własościach dyamiczych kład liiowego. 5º Własości dyamicze kład liiowego ie zależą od wymszeia. 6º Odpowiedź a pochodą sygał rówa się pochodej odpowiedzi a te sygał. 7º Układ liiowy ma jede pkt rówowagi. 8º Stabilość lb iestabilość kład ie zależy od warków początkowych jeśli kład liiowy jest stabily to jest stabily globalie, a jeśli jest iestabily to rówież globalie. 9º Układy liiowe moża opisać za pomocą trasmitacji dzięki zastosowai przekształceia Laplace a / Forier a. Sprawdź własość 6º a przykładzie fkcji implsowej δ(, która jest pochodą fkcji skokowej 1(. Z której własości wyika, że reakcja kład ie zależy od pkt pracy? Jakie praktycze zaczeie może mieć pojęcie globalej stabilości? Własości dyamicze kładów liiowych zależą jedyie od ich biegów (składowej swobodej rozwiązaia). W kładach ieliiowych ie moża zastosować zasady sperpozycji, a tym samym ie podział rozwiązaia a składowe swobode i wymszoe. W efekcie bardzo trdo jest zaleźć rozwiązaie rówaia różiczkowego ieliiowego. Poza tym własości dyamicze, takie jak choćby stabilość, mogą zależeć od warków początkowych i od fkcji wymszającej a wejści. W kładach ieliiowych moża jedak w prosty sposób określić rówaie statycze (zerjąc pochode zmieych wejściowych i wyjściowych) i wyzaczyć pkt rówowagi kład dla daej wartości a wejści. Rówaia ieliiowe mogą mieć jedak więcej iż jede pkt rówowagi, jeśli rówaie statycze ma więcej iż jedo rozwiązaie, a przykład w przypadk kład 2 2 &( + ( = ( rówaie statycze = ma dwa pierwiastki = ±. Aalitycze metody badaia dyamiki kładów ieliiowych są bardzo ograiczoe i złożoe. Stosje się więc róże zabiegi aby sprowadzić problem do przypadk liiowego, czyli zliearyzować ( ). Taki zliearyzoway opis moża stosować (badać) w pewym ograiczoym zakresie zmia wielkości, a przykład w otoczei pkt rówowagi. Do badaia modeli liiowych i zliearyzowaych stosje się te same metody, jedak wioski z aalizy model zliearyzowaego są poprawe tylko w ograiczoym zakresie Założeia praszczające opis W modelach kostrowaych a potrzeby atomatyki problem ieliiowości rozwiązje się bardzo często dzięki zastosowai opisów przybliżoych. Modele te ie słżą do tworzeia wirtalej rzeczywistości, tylko do opisaia podstawowych zjawisk, zazwyczaj istotych z pkt widzeia sterowaia obiektem Liearyzacja statycza a przykładzie zbiorików Pierwszym sposobem proszczeia model jest przeaalizowaie warków kostrkcji i przezaczeia model w cel zdefiiowaia dopszczalych założeń. Praktyczie w każdym model występją założeia a temat stałych wartości określoych parametrów obiekt. Na przykład bardzo wiele parametrów zależy od temperatry 1, ale zakłada się, że temperatra badaego kład jest praktyczie iezmiea lb że jej wpływ jest pomijaly w porówai z iymi zjawiskami, które są przedmiotem badań. i 1 p. parametry elektrycze, gęstość, ciepło właściwe, wymiary geometrycze patrz p. [3/r.5 11] ! RĘKOPIS PWr

2 Typowym sposobem proszczeia jest też zastosowaie w kostrkcji model zamiast fkcji ieliiowej jej liiowego przybliżeia metodą sieczej lb styczej (Rys. VII-1) ( ). Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Rys. VII-1. Liiowe przybliżeie fkcji Modele zbiorików ze swobodym wypływem są ieliiowe ale moża go prościć liearyzjąc wzór a swobody wypływ ( ) a przykład metodą sieczej (Rys. VII-2) miimaly wypływ cieczy f wy wyosi zero, a maksymaly ma miejsce przy maksymalej wysokości cieczy h ma, która wyika z wysokości ścia zbiorika (są to jedocześie atrale ograiczeia zastosowaia model). Zliearyzoway model ma postać: f wy A w 2 gh Ah& ( = f we ( ah( (VII-1) gdzie współczyik a wyika z rówości: ah h (VII-2) ah = A h ma Rys. VII-2. Liearyzacja swobodego wypływ ma w 2gh ma Dokładość model zależy od pkt pracy wyzaczoego przez aktaly poziom cieczy w zbiorik. Model zliearyzoway moża przetworzyć do postaci czło iercyjego ( ). Dokłade modele kaskad, p. (I-56), (I-58), (I-59), są ieliiowe, więc oprócz wyzaczeia pkt rówowagi, trdo je aalizować łatwiej przeprowadzić badaia symlacyje ( ). Możliwa jest jedak aaliza modeli zliearyzowaych i sformłowaie przybliżoych wiosków. Wartości wszystkich parametrów powyższych modeli moża wyzaczyć a podstawie wymiarów geometryczych Modele z parametrem zamiast zmieej - obiekty cieple Stały przypływ Pompa z reglacja przepływ, Modele ieliiowe Aaliza kładów ieliiowych Przyczyy ieliiowości obiektów Liiowe modele dyamiki moża aalizować dokładie i różymi metodami. Natomiast dokłada aaliza dyamiki kładów ieliiowych jest zaczie trdiejsza a często wręcz iemożliwa, poieważ ie moża podzielić problem a prostsze podzadaia (ie moża stosować zasady sperpozycji), rzadko zae jest rozwiązaie ieliiowych rówań różiczkowych a własości kład zależą i od pkt pracy, i od wymszeia. Tymczasem rzeczywiste obiekty są zawsze ieliiowe i 1, choćby ze względ a fizycze ograiczeia sygałów, wyikające a przykład z wymiarów geometryczych czy warków bezpieczeństwa (Rys. VII-3). ma mi mi ma Rys. VII-3. Ograiczoa liiowość sygałów ma mi mi ma Rys. VII-4. Nasyceie - ieliowość ieróżiczkowala Nieliiowości rzeczywistych obiektów (procesów) mogą mieć zarówo charakter fkcji różiczkowalych (p. fkcje potęgowe, wymiere), jak i fkcji ieróżiczkowaych (p. asyceie Rys. VII-4). Fkcje ieróżiczkowale są często wykorzystywae w badaiach symlacyjych ( ), atomiast w badaiach aalityczych ika się ich (ograicza się aalizę do liiowego zakres zależości sygałów). i 1 Patrz: kłady ieliiowe, p. [3/r.5.1] ! RĘKOPIS PWr

3 Liearyzacja dyamicza Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Ogóla metoda postępowaia w przypadk modeli ieliiowych ale różiczkowalych polega a wykoai liearyzacji dyamiczej w pkcie rówowagi kład i 1. Zakładając, że ieliiowy model ma postać: ( ) ( m) f (, & (,..., (, (, & (,..., ( = (VII-3) ( ) to metoda polega a rozwiięci fkcji f(,) w szereg Taylora, ograiczei tego rozwiięcia do elemetów liiowych i przesięci kład współrzędych do pkt rówowagi f(, ): ( ) ( ) ( + & ( ( + ( + & ( ( = (VII-4 ( ) ( ) & & ) gdzie:,...,,... są parametrami zliearyzowaego model wyzaczoymi jako & & wartości pochodych fkcji f po zmieych, i ich pochodych, obliczoe w pkcie rówowagi (, ). Iterpretacja liearyzacji dyamiczej f(,) (Rys. VII-5) pokazje, że przybliżeie model polega a wyzaczei prostej f(, ) styczej do fkcji f(,) w pkcie rówowagi to właśie ta prosta jest zliearyzowaym modelem zapisaym w przesiętym kładzie współrzędych f(, Rys. VII-5. Liearyzacja dyamicza w pkcie rówowagi ) Poprawość wiosków a temat własości dyamiczych (p. stabilości/iestabilości) ieliiowego kład, wyprowadzoe a podstawie badaia zliearyzowaego model zależą od dokładości przybliżoego model, a przykład obowiązją tylko w pewym otoczei pktów rówowagi Badaia symlacyje Zasady Ograiczoe możliwości aalityczego badaia kładów ieliiowych powodją, że często wykorzystje się badaia symlacyje. Modele w postaci rówań różiczkowych liiowych i ieliiowych są wprowadzae do programów symlacyjych wedłg tych samych zasad ( ). Rówaia liiowe mają dodatkowe możliwości defiiowaia modeli oparte a macierzowych rówaiach sta i trasmitacjach. Różice w badaiach dyamiki modeli liiowych i ieliiowych polegają a zakresie badań własości kład ieliiowego powiy być zbadae w różych pktach pracy i dla różych parametrów wymszeń. Ostroża powia być też iterpretacja wiosków badaia symlacyje pokazją wyik dla kokretych wartości parametrów i zmieych. Uogólieie tych wyików staowi oddziele zadaie Defiiowaie modeli w plik fkcyjym Defiicja model w plik fkcyjym wymaga przedstawieia go w postaci kład rówań pierwszego rzęd ( ), a przykład w przypadk model va der Pola: 2 & 1 = 2 && ( = c( 1 ) & 2 (VII-5) & 2 = c( 1 ) 2 1 Baday model ależy zapisać w plik fkcyjym, zgodie z zasadami kostrkcji takich plików w daym programie symlacyjym (Tab. IV-3). Tab. VII-1. Przykład fkcji defiijącej model dyamiki Matlab Scilab Octave fctio[prim] = vdp(t, ) global c; prim = [(2);... c*(1-(1)^2)*(2)-(1)]; fctio[prim] = vdp(t, ) global c; prim(1) = (2); prim(2)=c*(1-(1)^2)*(2) - (1); edfctio i 1 Patrz: liearyzacja dyamicza, p. [3/r.2.3.1] ! RĘKOPIS PWr

4 Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Zakładając, że vdp z odpowiedim rozszerzeiem jest azwą plik zawierającego model, rchomieie symlacji moża zrealizować w skrypcie (Tab. IV-4). Tab. VII-2. Przykład symlacji z wykorzystaiem fkcji defiijącej model dyamiki Matlab Scilab Octave global c c=1; ted=1; = [-2.5; 2.5]; [T,]=ode45('vdp',[ ted], ); plot( (:,1), (:,2) ) c=1; ted=1 ; = [-2.5; 2.5]; t = lispace(, ted,5); eec('vdp.sci'); [] = ode(,, t, vdp); plot( (1,:), (2,:) ) Portrety kładów ieliiowych Własości portretów kładów ieliiowych Portrety fazowe kładów ieliiowych mogą mieć jede lb więcej pktów rówowagi w zależości od rozwiązaia rówaia statyczego. Układ ieliiowy może być stabily/iestabily globale, ale jeśli kład ma więcej pktów rówowagi, to może być stabily w jedych a iestabily w iych pktach, i wówczas rozróżiamy stabilość/iestabilość lokalą i globalą (Rys. VII-6). Wyzaczeie portret fazowego kład ieliiowego w odpowiedio dżym otoczei pktów rówowagi możliwia określeie obszarów stabilych warków początkowych (obszarów stabilości). s s s s Rys. VII-6. Idee stabilości/iestabilości globalej/lokalej W pobliż pktów rówowagi portrety kładów ieliiowych ale różiczkowalych 1 są zbliżoe do liiowych wzorców (stabile/iestabile węzły, ogiska, siodła). To spostrzeżeie potwierdza możliwość aalizy stabilości kład ieliiowego w ograiczoym zakresie wokół pktów rówowagi za pomocą liearyzacji model w otoczei tych pktów ( ). W te sposób moża rówież zidetyfikować pkty rówowagi a portretach kładów ieliiowych Wyzaczaie portretów Eksperymetale wyzaczaie portret fazowego wymaga przemyślaego wybieraia warków początkowych i czas trwaia eksperymet (początk i dłgości trajektorii), tak aby moża było jedozaczie wioskować o globalej i lokalej stabilości badaego obiekt. Iformacje a o ilości pktów rówowagi czy o charakterze ieliiowości zaczie łatwiają zadaie ( ). Załóżmy, że przedstawioe poiżej portrety zawierają wszystkie charakterystycze trajektorie. Co moża powiedzieć o modelach, które mają takie portrety fazowe?... a) b) c) 1º Zazacz kierki trajektorii. 2º Ile pktów rówowagi ma model? Określ ich typ i stabilość. 3º Czy model jest liiowy? 4º Czy kład jest stabily globalie? Uzasadij. - 1 bez elemetów typ przekaźik, strefa ieczłości, ! RĘKOPIS PWr

5 Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji VIII. Podsmowaie metod badaia dyamki 2. Badaia doświadczale Wyzaczaie charakterystyki statyczej, odpowiedzi skokowej (implsowej), charakterystyki częstotliwościowej, portret fazowego jakiś rysek przedstawiający idee 21. Badaia aalitycze i symlacyje Podsmowaie metod badaia Model dyamiki obiekt moża zyskać przez modelowaie a podstawie praw fizyki lb a drodze eksperymet idetyfikacyjego. Róże sposoby kostrkcji model prowadzą do różych form matematyczych, ale istieje rówież wiele metod przekształcaia poszczególych form w ie (Rys. A-1). określeie graic obiekt (we, wy) i założeń Simlik (bloki I modelowaie (prawa fizyki, założeia) klasyfikacja rówaia różiczkowe (r.r.) kłady o parametrach skpioych idetyfikacja eksperymetala (obiekt stabily) charakt. czasowa charakt. częstotl. r.r. ieliiowe 1 r. -tego rzęd Matlab (M-pliki) r. sta liearyzacja pkty rów. =cost w p.rów. rozw.wielom. r.r. liiowe 1 r. -tego rzęd kryteria r. sta trasformata pkt rów. =cost Simlik (State-space) Cotrol (fkcja ss) trasmitacja pkt rów. =cost Simlik (Trasf.Fc) Cotrol (fkcja tf) pierw. rozw. swobode położ. pierw. stabilość obiekt Rys. A-1. Formy i przekształceia opis dyamiki obiektów Na schemacie zazaczoo jedyie ajczęściej stosowae przekształceia w szczególości te opisae w opracowai: przekształceie (liiowego/ieliiowego) rówaia -tego rzęd w kład rówań pierwszego rzęd ( ), przekształceie rówaia/kład rówań liiowych do trasmitacji ( ), liearyzacja rówaia/kład rówań ieliiowych ( ). Własości dyamiki obiekt ie zależą od formy model. Model może jedak ograiczać zakres badań, a przykład zastosowaie liiowego model do ieliiowego obiekt ( ), czy zastosowaie trasmitacji determijący zerowe warki początkowe ( ). Róże formy modeli są związae z różymi metodami aalizy własości obiekt, a przykład sposobem wyzaczaia rówaia charakterystyczego czy pkt rówowagi. Możliwe są też róże sposoby defiiowaia modeli w programach symlacyjych: - schematy rówań różiczkowych (liiowych/ieliiowych) kostrowae a bazie bloków całkjących, p. Matlab/Simlik: bloki It ( ), - kłady rówań sta (liiowe/ieliiowe) defiiowae w plikach fkcyjych, p. Matlab: M-pliki ( ) ! RĘKOPIS PWr

6 Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji - kłady rówań sta w postaci macierzowej (liiowe) wprowadzae przez specjalizowae bloki lb fkcje, p. Matlab/Simlik: bloki State-space, Matlab/Cotrol: fkcje ss ( ), - trasmitacje wprowadzae przez specjalizowae bloki lb fkcje - Matlab/Simlik: bloki Trasfer Fc, Matlab/Cotrol: fkcje tf oraz zpk ( ) Wybór model i metody badaia Programy symlacyje oferją róże sposoby defiiowaia i badaia modeli dyamiki kładów (przedstawioe w poprzedich rozdziałach). W ogólości wybór metody zależy od: założoego cel jak model będzie wykorzystyway, jakie zjawiska i własości będą badae, możliwości techiczych jakie fkcje są dostępe w wybraym/dostępym programie symlacyjym, miejętości badacza opaowaie różych metod daje możliwość wybraia metody optymalej (prostej, szybkiej, iwersalej, ) w daym przypadk. W szczególości podczas wybor metody względia się: typ model czy baday model jest liiowy ieliiowy (czy msi być ieliiowy), formę model czy pierwoty model ma postać rówań różiczkowych czy trasmitacji, czy moża/warto przekształcić go a ią formę, wybór zmieych wejściowych czy moża ograiczyć ilość wejść model przyjmjąc, że iektóre z ich mają zawsze stałe wartości (są więc parametrami model), sposób prezetacji wyików charakterystyki czasowe, wskaźiki obliczoe a ich podstawie, 22. Programy symlacyje O fkcjach, toolbo ach, iterfejsach Matlab/Simlik i ie programy Cotrol Narzędza modelowaia fizyczego (Simscape) Narzędzia Simscape możliwiają przygotowaie model bez zajomości rówań matematyczych opisjących obiekt. Następie moża przeprowadzić symlację w cel przetestowaia projektowaych systemów współpracjących z tym obiektem (p. sterowików, kładów przetwarzających sygały). Dzięki bibliotekom elemetów dotyczących kilk ajbardziej poplarych dome fizyczych, możliwe jest bdowaie złożoych systemów i przeprowadzaie testów bez koieczości bdowaia kosztowych prototypów. W trakcie webiarim omawiae będą przykłady bdowaia model prostego kład mechaiczego oraz rozszerzaia go o koleje elemety. Przedstawioe zostaie rówież zastosowaie języka skryptowego Simscape Lagage. Poadto prezetowae będą możliwości wykorzystaia Simscape do bdowy bardziej skomplikowaych systemów obejmjących astępjące domey: mechaiczą (Simscape Mltibody), hydraliczą (Simscape Flids), elektroiczą (Simscape Electroics), apędów pojazdów (Simscape Drivelie) oraz elektroeergetykę (Simscape Power Systems) Metody całkowaia meryczego (co jest pod spodem ) Najprostsze metody idea Co jeszcze Idetyfikacja a metody probalistycze (azewictwo) - 9 -! RĘKOPIS PWr

7 Wybrae pozycje z literatry Dodać krótką charakterystykę Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji 1. Amborski K., Marsak A., Teoria sterowaia w ćwiczeiach, WNT, Warszawa Close C.C., Frederick D.K., Newell J.C., Modelig ad aalysis of dyamic systems, Joh Wiley & Sos, Czemplik A., Modele dyamiki kładów fizyczych dla iżyierów, WNT, Warszawa Czemplik A., Praktycze wprowadzeie do opis, aalizy i symlacji dyamiki obiektów, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej (DBC), Wrocław Czemplik A., Scilab i Matlab podstawowe zastosowaia iżyierskie, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej (DBC), Wrocław Czemplik A., Metodologia symlacyjych badań dyamiki obiektów z zastosowaiem pakietów Matlab i Scilab, Fideise W., Techika reglacji atomatyczej, PWN, Warszawa Frakli G.F. i i., Feedback cotrol of dyamic systems, Pearso, Halawa J., Symlacja i kompterowe projektowaie dyamiki kładów sterowaia, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej, Wrocław Kaczorek T., Teoria kładów reglacji atomatyczej, WNT, Warszawa Krma K.J., Teoria reglacji, WNT, Warszawa Osowski S., Modelowaie i symlacja kładów i procesów dyamiczych, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa Żchowski A., Uproszczoe modele dyamiki. Wydawictwo Uczeliae Politechiki Szczecińskiej, Szczeci Ecyklopedia techiki Atomatyka, Poradik atomatyka,... i ie Pozycje z lat siedemdziesiątych moża zastąpić owszymi opracowaiami ale podae pozycje to klasyka dziedziy ! RĘKOPIS PWr

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

KADD Metoda najmniejszych kwadratów Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka Przykładowe pytaia a egzami dyplomowy dla kieruku Automatyka i obotyka Aktualizacja: 13.12.2016 r. Przedmiot: Matematyka 1 (Algebra liiowa) 1. Wiemy że struktura (Gh) jest grupą z elemetem eutralym e.

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Wstęp. Opisy sygnałów

Wykład 1. Wstęp. Opisy sygnałów Wykład 1. Wstęp. Opisy sygałów Godziy kosultacji Termi 0: 12.06.br. (środa) sala 22, budyek C-3, godzia 7 30-9 00 Termi 1: 27.06.br. (czwartek) sala 409, budyek B-4, godzia 7 30-9 00 Termi 2: 2.07.br.

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH

WYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h i k a P o z ańska ul. Jaa Pawła II 4 60-96 POZNAŃ (budyek Cetrum Mechatroiki, Biomechaiki i Naoiżerii) www.zmisp.mt.put.poza.pl tel. +48 6 66 3

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

x R, (1) Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci

x R, (1) Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci Metody rozwiązywaia rówań ieliiowyc i ic układów Rozwiązywaie rówań ieliiowyc Ogólie rówaie o jedej iewiadomej moża przedstawić w postaci 0 R gdzie jest wystarczająco regularą ukcją. Naszym celem ie jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5 Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

2. Schemat ideowy układu pomiarowego 1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D MODELOWANIE INŻYNIERSKIE r 46 ISSN 896-77X ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ MEODY PURC DLA ZAGADNIEŃ EORII SPRĘŻYSOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH D Egeisz Zieik a Krzysztof

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ZAGADNIENIA METODOLOGICZNE

PODSTAWOWE ZAGADNIENIA METODOLOGICZNE PODSTAWOWE ZAGADNIENIA METODOLOGICZNE. Wprowadzeie W ekoomii i aukach o zarządzaiu obserwuje się tedecję do ilościowego opisu zależości miedzy zjawiskami ekoomiczymi. Umożliwia to - zobiektywizowaie i

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizyczej i Fizykochemii Polimerów . BŁĄD A NIEPEWNOŚĆ. TYPY NIEPEWNOŚCI 3. POWIELANIE NIEPEWNOŚCI 4. NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA ZŁOŻONA W rok 995 grpa

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Modele i arzędzia optymalizacji w systemach iformatyczych zarządzaia Prof. dr hab. iż. Joaa Józefowska Istytut Iformatyki Orgaizacja zajęć 8 godzi wykładów prof. dr hab. iż. J. Józefowska www.cs.put.poza.pl/jjozefowska

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin, Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację

Bardziej szczegółowo

2.1. Studium przypadku 1

2.1. Studium przypadku 1 Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA POLA W STRUKTURZE NIEJEDNORODNEJ METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH

ANALIZA POLA W STRUKTURZE NIEJEDNORODNEJ METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Bartosz WALESKA AALZA POLA W STRKTRZE EJEDORODEJ METODĄ ELEMETÓW BRZEOWYC STRESZCZEE iiejszy artykł opisje metodę elemetów brzegowych w aalizie pola w strktrze iejedorodej. Zaprezetowao algorytm rozwiązywaia

Bardziej szczegółowo

STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY)

STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY) Boguslaw Radziszewski STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY) Wstęp.... Podstawowe defiicje teorii stabilości... 6.. O stabilości metod i modeli... 8.. Podstawowe defiicje stabilości.... Stabilość liiowych

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,, PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ELEKTRONICZNE

ELEMENTY ELEKTRONICZNE AKAEMA ÓRNCZO-HTNCZA M. TANŁAWA TAZCA W KRAKOWE Wydział formatyki, Elektroiki i Telekomuikacji Katedra Elektroiki ELEMENTY ELEKTRONCZNE dr iż. iotr ziurdzia paw. C-3, pokój 413; tel. 617-7-, piotr.dziurdzia@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

pitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej

pitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I) Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

Galwanometr lusterkowy, stabilizowany zasilacz prądu, płytka z oporami, stoper (wypożyczyć pod zastaw legitymacji w pok. 619).

Galwanometr lusterkowy, stabilizowany zasilacz prądu, płytka z oporami, stoper (wypożyczyć pod zastaw legitymacji w pok. 619). Ćwiczeie Nr 5 emat: Badaie drgań tłmioych cewki galwaometr lsterkowego I. LIERUR. R.Resick, D.Halliday Fizyka, t. I i II, PWN, W-wa.. Ćwiczeia laboratoryje z fizyki w politechice, praca zbiorowa pod red..rewaja,

Bardziej szczegółowo

Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. IV. Układy wielowymiarowe (MIMO)

Dynamika układów podstawy analizy i symulacji. IV. Układy wielowymiarowe (MIMO) 10. Układ równań różniczkowych 10.1. Wprowadzenie - układ równań stanu IV. Układy wielowymiarowe (MIMO 10.1.1. Obiekty SISO i MIMO Modele dynamiki układów analizowane w części III miały postać pojedynczego

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

MOTYWACJA. x x x e x x x , sin( ) 0, 4 tan ( ) 0

MOTYWACJA. x x x e x x x , sin( ) 0, 4 tan ( ) 0 WYKŁAD 4 PODSTAWOWE METODY PRZYBLIŻONEGO ROZWIĄZYWANIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH MOTYWACJA Wykład r 4 jest poświęcoy omówieiu elemetarych algorytmów wyzaczaia przybliżoych rozwiązań (pierwiastków)

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Numeryczny opis zjawiska zaniku

Numeryczny opis zjawiska zaniku FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,

Bardziej szczegółowo

OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO

OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO Politechika Gdańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjoare I st. iżyierskie, Eergetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechiki i Elektroiki Ćwiczeie r 1 OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO Obwód

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1). TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo