Wynik pomiaru jako zmienna losowa

Transkrypt

1 Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej losowej Postawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkład jednorodny Rozkład Gaussa Generacja liczb losowych metodami numerycznymi Rozkład jednorodny Testowanie jakości generatorów liczb losowych 1

2 Pomiar jako zmienna losowa W każdym procesie pomiaru występują trzy podstawowe elementy: Obiekt mierzony Procedura pomiarowa Urządzenie pomiarowe Proces pomiaru jest dobrze przemyślaną procedurą. Niepewność takiego pomiaru określona jest przez czynniki, które w danych warunkach stanowią granice możliwości pomiarowych i jako takie nie mogą być wyeliminowane, czy skorygowane. Niepewność wyniku takiego pomiaru jest zmienną losową. Jej analizę przeprowadzamy metodami statystycznymi. 2

3 Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa Teoria rachunku prawdopodobieństwa opiera się na następujących aksjomatach: (a) Każdemu zdarzeniu A odpowiada liczba nieujemna zwana jego prawdopodobieństwem P A 0 (b) Zdarzenie E ma prawdopodobieństwo równe jedności PE=1 (c) Jeśli zdarzenia A i B są zdarzeniami wykluczającymi się (wyłączającymi się) nazwajem, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A lub B jest równe P A B=PAPB 3

4 Wnioski z aksjomatów Z aksjomatów teorii prawdopodobieństwa wynikają następujące zależności: Oraz P AP A=1 0 PA 1 Aksjomat dodawania prawdopodobieństw niezleżnych można uogólnić na dowolnie dużo prawdopodobieństw niezależnych: P A B C...=PAPBPC... Prawdopodobieństwo warunkowe definiujemy jako P B A= PAB P A czyli P AB=P A P B A 4

5 Zmienne losowe Zdarzeniu losowemu (wynikowi pomiaru obarczonemu błędmi statystycznymi) przypisujemy wartość będącą zmienną losową. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego A można zdefiniować jako: P A= lim N czyli ilość zajść zdarzenia A wśród wszystkich zdarzeń Dla opisu zmiennych losowych wprowadzamy pojęcie dystrybuanty: czyli prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia X<x n A N F x=p X x 5

6 Własności dystrybuanty Własności dystrybuanty wynikają z aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa: lim lim F x= N N P X x=1, Jest to funkcja niemalejąca. Jeśli jest funkcją ciągłą, to wówczas definiujemy: f x= lim N F x= lim N P X x=0 df x =F ' x dx czyli funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Określa ono prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia (x<x<x+dx). Przy jej pomocy można wyrazić prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartości z przedziału (a,b): P a X b= a b f x dx 6

7 Własności gęstości prawdopodobieństwa Gęstość prawd. jest odpowiednio znormalizowana Definiujemy też wartość oczekiwaną (przeciętną średnią) rozkładu: x=e {x}= x f xdx Rozkład pewnej zmiennej y, będącej funkcją x: y=h(x) również jest zmienną losową, dla której można określić gęstość prawdopodobieństwa i dystrybunatę: f y= f H x, f x dx=1 Wartość oczekiwana y definiujemy jako: H 1 y F y= H 1 f H xdx y=e {H x }= H x f x dx 7

8 Momenty W analizie statystycznej używa się powszechnie tzw. momentów rozkładów. Są to wartości oczekiwane funkcji zmiennej losowej postaci: Momentem rzędu l nazywamy wartość oczekiwaną Jeśli za c przyjmiemy wartość oczekiwaną rozkładu, otrzymamy tzw. moment centralny Momenty centralne rzędu zerowego i pierwszego można obliczyć od razu: 0 =1, H X = X c l l = E { X c l } l =E { X x l } 1 =E { X x }=E { X } x=0 8

9 Wariancja Moment centralny rzędu 2 nazywany jest wariancją 2 = 2 x=var x=e { X x 2 } Ma on fundamentalne znaczenie w analizie niepewności pomiarowych. Gdy wyniki pomiarów traktujemy jak zmienną losową, to moment ten jest wartością przeciętną różnic pomiedzy wynikami poszczególnych pomiarów a wartością oczekiwaną (odpowiadającą wartości rzeczywistej). Moment ten jest określony wzorem: 2 x= X x 2 f x dx Pierwiastek z wariancji to odchylenie standardowe = 2 x 9

10 Współczynnik skośności Odchylenie standardowe jest podstawową wielkością chrakteryzującą rozrzut wyników pomiarów wokół wartości przeciętnej. Często jest ono po prostu utożsamiane z niepewnością pomiaru (przypadkową). Trzeci moment jest miarą asymetrii rozkładu. Jest on nazywany skośnością. 3 =E { X x 3 } Częściej stosujemy współczynnik asymetrii: = 3 / 3 Dla rozkładów symetrycznych jest on równy zeru. 10

11 Własności wariancji Można łatwo pokazać, że dla momentów zachodzą następujące zależności: E {c x }=ce {x } 2 cx=c 2 2 x Stąd można wyprowadzić ważny wzór na obliczanie wariancji: 2 x=e { x x 2 }=E { x 2 2 x xx 2 2 }=E { x 2 } 2 x E {x }x 2 =E {x 2 } E {x } 2 Rozpatrzmy funkcję postaci: Ma ona wartość oczekiwaną i wariancję: E {u }= 1 x E {x x }=0, 2 u= x x x Jest to tzw. rozkład standardowy u= 1 2 x E { x x2 }= 2 x 2 x =1 11

12 Inne charakterystyki rozkładów Wartością modalną rozkładu xm nazywamy wartość zmiennej losowej spełniającą warunek: P x= x m =max Rozkład może mieć kilka wartości modalnych. Dla rozkładów o gęstości prawdopodobieństwa z pierwszą i drugą pochodną, znajdujemy je przez: d dx f x=0, d 2 dx f x0 2 Mediana rozkładu jest zdefiniowana jako: F x 0,5 =P xx 0,5 =0,5 Dzieli ona zakres zmienności x na dwa obszary jednakowo prawdopodobne 12

13 Kwantyle Definicję wartości modalnej można uogólnić: F x 0,25 =P xx 0,25 =0,25, Te wartości nazywane są odpowiednio górnym i dolnym kwantylem. Ogólnie można zdefiniować, kwantyle xq: Na wykresie kwantyl może być odczytany jako wartość na osi x odpowiadająca wartości q na osi y. Inaczej mówiąc kwantyl jest funkcją odwrotną do dystrybuanty. x q F x q = F x 0,75 =P xx 0,75 =0,75 f xdx=q x 0,75 x 0,5 13

14 Rozkłady dyskretne Często wynik pomiaru może przyjmować tylko określone wartości np. liczba zarejestrowanych cząstek. W takim przypadku stosujemy rozkłady dyskretne. Uwaga: to że rozkłdy te nie są analityczne (np. nie są ciągłe) nie oznacza, że nie istnieją! Są one całkowicie poprawne i można je analizować. Gęstość prawdopodobieństwa jest wtedy najczęściej przedstawiana w postaci zbioru par (wynik, prawdopodobieństwo). Np. dla rzutu kością sześcienną mamy: f 1=1/6 f 2=1/6 f 3=1/6 f 4=1/6 f 5=1/6 f 6=1/6 14

15 Uwagi o gęstości prawdopodobieństwa Warunek normalizacji piszemy jako: i f i=1 Zauważmy, że dla napisania gęstości prawdopodobieństwa, nie jest konieczne, aby i miało wartości liczbowe! Może to być np. kolor lub rodzaj cząstki elementarnej, lub każda inna wielkość, której nie wyraża się liczbą. Widzimy więc, że pojęcie gęstości prawdopodobieństwa jest bardziej pierwotne, niż np. dystrybuanta. Jednak aby prowadzić dalsze rozważania zakładamy, że każdej wartości i (jeśli nie jest ona liczbą), została taka liczba przypisana 15

16 Dystrybuanta dyskretna Przy takim założeniu można zdefiniować dystrybuantę: F x= i x f i widzimy, że dystrybuanta jest funkcją określoną dla dowolnego x, ale nie jest funkcją ciągłą. 16

17 Momenty rozkładów dyskretnych Podobnie można zdefiniować momeny i wartości oczekiwane rozkładów dyskretnych. Należy jednak pamiętać, że wielkości te nie zawsze mają sens fizyczny. Np. nie ma sensu fizycznego mówienie o średnim rodzaju cząstki, ale można już mówić o wartości oczekiwanej rzutu kością sześcienną. Prosta zasada mówi, że jeżeli wartości i nie są liczbami, to najczęściej momenty i wartości oczekiwane rozkładu nie mają sensu fizycznego. x=e {x }= x x f x E { H x}= x H x f x 2 = 2 x=var x=e { X x 2 }= x x x 2 f x 17

18 Zbadajmy rozkład typu: f x=c,dla a xb, Rozkład jednostajny Uwzględniamy warunek normalizacyjny f x=0, dla xa xb b 1 f x dx=c a dx=cb a=1, stąd c= b a Dystrybuanta rozkładu wynosi: F x= a x dx b a = x a b a,dla a xb ; F x=0, dla xa ; F x=1,dla x b Wartość średnią obliczamy jako: x= 1 x 1 b a a x dx= 2 A wariancja to 1 b a b2 a 2 = ba 2 2 x= 1 b a x a x dx 2 ba 2 = 1 2 b a 1 3 b3 a 3 ba2 = b a2 18

19 Rozkład Cauchy'ego Na płaszczyźnie (x,y) w punkcie (0,-1) znajduje się armata ustawiona pod losowym kątem t do osi y. Poszukujemy rozkładu punktów, w których tor lotu pocisku przetnie oś x. Rozkład kąta jest jednostajny. Dokonujemy zamiany zmiennych: f x= 1, Obliczamy wartość średnią: x= 1 d =arc tg x dx = 1 1x, 2 xdx 1 x 2=0 gx= d dx f = 1 1 1x 2 19

20 Wariancja rozkładu Cauchy'ego Obliczamy też wariancję rozkładu Cauchy'ego 2 x= 1 x 2 dx 1 x 2= 1 ( x arctg x x= x= = 2 Otrzymujemy nieskończoną wariancję. Mówimy, że wariancja rozkładu Cauchy'ego nie istnieje (nie jest określona) W takich wypadkach szerokość rozkładu charakteryzujemy przez tzw. wielkość FWHM (function width at half maximum), czyli odległość pomiędzy punktem maksymalnym a puknktem, gdzie funkcja osiąga połowę tej wartości: FWHM =x max x h, gdzie f x h = 1 2 f x max lim x arctg x x 20

21 Własności rozkładu Gaussa Rozkład Gaussa jest zdefiniowany jako: f x= 1 2 exp x a2 2 2 Dystrybuanty funkcji Gaussa nie da się zapisać analitycznie Dystrybuanta Gęstość prawdopodobieństwa KADD Pomiary w eksperymentach fizycznych 21

22 Własności rozkładu Gaussa Można obliczyć momenty rozkładu Gaussa E {X }=x= 1 x 2 2 e 2 xdx={ y=x } 2 dy=dx = 1 y 2 2 e 2 y dy= 2 Liczymy również wartość oczekiwaną kwadratu E { X 2 }= 1 x 2 ={ 2 e 2 x 2dx y=x } 2 dy=dx = 1 y 2 2 e 2 y 2 dy 2 = 1 y 2 y 2 e 2 2 y 2 2 e = 1 2 ( 2 3 Erf Oraz wariancję 2 x=e {x 2 } E {x } 2 = = 2 y2 2 x x 2 2 e x 2 = 2 2 KADD Pomiary w eksperymentach fizycznych 22