Wykład 4. Zmienne losowe i ich rozkłady

Transkrypt

1 Wstęp do probabilistyi i statystyi Wyład. Zmienne losowe i ich rozłady dr hab.inż. Katarzyna Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletronii, WIET AGH Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

2 Plan: Pojęcie zmiennej losowej Ilościowy opis zmiennych losowych Przyładowe rozłady zmiennych losowych Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

3 Pojęcie zmiennej losowej Zmienna losowa jest to funcja X, tóra przypisuje liczbę rzeczywistą x danemu wyniowi esperymentu losowego. Ω { e, e, X : Ω R X( e ) x i i } K R Przyłady: ) Rzut monetą: zdarzeniu orzeł przypisujemy ; zdarzeniu resza przypisujemy 0. ) Analog. losowanie wyrobów: zdarzeniu bra (wadliwy) - 0, dobry 3) Rzut ostą wyrzucenie, itd ) Odcine [a, b] na osi liczbowej wybór puntu o współrzędnej x przypisujemy np. wartość x ; wartość sin (3x+7) itp. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

4 Zmienna losowa dysretna Gdy wartości zmiennej losowej X są izolowanymi puntami na osi liczbowej (obejmują sończony przedział wartości) Rzut monetą Błędy przy transmisji Wadliwe ułady z linii producyjnej. Ilość połączeń przychodzących w ciągu 5 minut ciągła Gdy wartości zmiennej losowej stanowią wszystie punty odcina (obejmują przedział liczb rzeczywistych) Natężenie prądu w przewodniu Temperatura Ciśnienie Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

5 Ilościowy opis zmiennych losowych Rozład zmiennej losowej lub rozład prawdopodobieństwa (tylo dla zmiennych dysretnych) Funcja gęstości prawdopodobieństwa (tylo dla zmiennych ciągłych) Dystrybuanta (funcja rozładu dla zmiennych dysretnych i ciągłych) Wielości charateryzujące (wartość oczeiwana, wariancja, wantyle, itp.) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

6 Rozład zmiennej losowej Rozładem zmiennej losowej (rozładem prawdopodobieństwa dla zmiennych dysretnych) nazywamy zbiór par (x i,p i ) gdzie x i jest wartością zmiennej losowej X a p i jest prawdopodobieństwem, że zmienna losowa X przyjmuje wartość x i Przyład. Rozład prawdopodobieństwa dla jednorotnego rzutu monetą. Zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu orła przypisujemy x ; zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu reszi x 0. Zatem: x p( X ) p( x ) x 0 p( X 0) p( x) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 6

7 Rozład zmiennej losowej Przyład. cd Rozład prawdopodobieństwa dla jednorotnego rzutu monetą jest następującym zbiorem par: { (, ), (0, )} p(x),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0,3 0, 0, 0,0 prawdopodob. zdarzenia 0,0 0,5,0 Zmienna losowa jest w tym przypadu soowa (dysretna) a jej rozład jest też soowy (dysretny). X Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 7

8 Funcja gęstości prawdopodobieństwa Funcję gęstości prawdopodobieństwa wprowadza się dla zmiennych ciągłych; ma ona związe z prawdopodobieństwem: f ( x) dx P( x X < x + dx) Własności funcji gęstości prawdopodobieństwa:. f ( x) 0 +. f ( x) jest unormowana f ( x) dx 3. f(x) ma wymiar /x Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 8

9 Funcja gęstości prawdopodobieństwa Z definicji funcji gęstości prawdopodobieństwa f(x) wynia pratyczny sposób obliczania prawdopodobieństwa, że wartość zmiennej losowej znajduje się w przedziale [a,b]: P ( a < X < b) f ( x) dx b a Nie ma sensu pytać, jaie jest prawdopodobieństwo, że xa Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 9

10 Funcja gęstości prawdopodobieństwa Przyład. Oznaczmy przez X zmienną losową ciągłą, tóra opisuje natężenie prądu w cienim przewodzie miedzianym (w jednostach ma). Załóżmy, że zares X wynosi [0, 0 ma] i funcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana jest jao f(x)0,05 w tym przedziale. Oblicz prawdopodobieństwo, że zmierzone natężenie prądu jest mniejsze niż 0 ma. 0,0 0,08 gestosc prawdop. 0,06 f(x) 0,0 0 f ( x) dx 0,05 P( 0 X < 0) dx Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 0 0,5 0,0 0, X

11 Ilościowy opis zmiennych losowych Dystrybuantą (funcja rozładu, ang. cumulative distribution function CDF) F(x) nazywamy prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x (co najwyżej daną wartość) Przyład. cd F( x 0) P( X 0) F( x ) P( X ) F( x) P( X x) Dystrybuanta dla rzutu monetą: Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

12 Własności dystrybuanty. 0 F ( x). F ( ) 3. F ( + ) 0. x y F ( x) F ( y) Jest funcją niemalejącą 5. F(x) nie posiada wymiaru 6. f ( x) df ( x) dx Związe gęstości prawdopodobieństwa z dystrybuantą (dla zmiennej ciągłej) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

13 Dystrybuanta dla zmiennej dysretnej F ( x) P( X x) f ( x ) x x f (x i ) rozład prawdopodobieństwa Przyład.3 Na podstawie następujących wartości dystrybuanty F(x) znajdź funcję rozładu prawdopodobieństwa f(x) F ( x) 0 dla 0, 0,7 x dla dla dla < 0 x x x < < 0 Na podstawie rysunu, jedynymi puntami dla tórych f(x) 0 są -, 0,. f ( ) 0, 0 0, f ( 0) 0,7 0, 0, 5 f ( ),0 0,7 0, 3 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3 i i

14 Dystrybuanta dla zmiennej ciągłej t F ( t) P( X t) f ( u) du Dystrybuanta zmiennej ciągłej jest niemalejącą funcją ciągłą a oblicza się ją jao pole pod wyresem funcji gęstości prawdopodobieństwa. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

15 Numeryczne miary opisowe MIARY (parametry) OPISOWE Położenia Kwantyle (np. mediana) Moda Rozproszenia Wariancja (Odchylenie standardowe) Rozstęp Wartość oczeiwana (średnia, nadzieja matematyczna) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

16 Charaterystyi rozładu prawdopodobieństwa Fratyl (wantyl) x q jest to wartość zmiennej losowej, dla tórej dystrybuanta przyjmuje wartość q. F( x ) P( X x ) f ( u) du q q Najczęściej stosowanym wantylem jest mediana czyli x 0.5. W przyładzie 3. natężenie prądu 0 ma jest medianą rozładu. Przyład. Dla dysretnego rozładu esperymentalnego o wyniach: 9,,,,,, 3, 5, 6, 7 mediana wynosi bo jest wartość środowa uporządowanego zbioru wartości (albo średnia arytmetyczna dwóch środowych wielości). x q q Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 6

17 Charaterystyi rozładu prawdopodobieństwa Moda (wartość modalna) jest to taa wartość zmiennej losowej, dla tórej rozład prawdopodobieństwa (lub funcja gęstości prawdopodobieństwa) osiąga masimum. Rozłady jednomodalne mają jedną modę (wielomodalne więcej niż jedną) W przyładzie. dla dysretnego rozładu esperymentalnego o wyniach: 9,,,,,, 3, 5, 6, 7 moda wynosi bo jest wartość, tóra pojawia się najczęściej w zbiorze wyniów. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 7

18 Średnia arytmetyczna: Wartość średnia x i - elementy zbioru n elementowego (nieoniecznie różne): x n n i W przyładzie. dla dysretnego rozładu esperymentalnego o wyniach: 9,,,,,, 3, 5, 6, 7 wartość średnia wynosi,7. x i Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 8

19 Średnia arytmetyczna Jeżeli wiele elementów ma w zbiorze tę samą wartość, to dzielimy zbiór na lasy zawierające identyczne elementy o liczebnościach n : Przyład.5 x n f 0, 0,0357,3 0,9, 0,07 3, 8 0,857 6, 0,9 7,5 3 0,07 9,3 0,0357, 0,07, 0,07 5, 0,0357 Razem 8 x x f + x f 0, 0,0 +,3 0, + + 5, 0,0 x 5, x Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 9 x p n n n n x p gdzie: f, p liczba las ( p n) Warune normalizacji f x n f n

20 Charaterystyi rozładu prawdopodobieństwa Moment rozładu rzędu względem puntu x 0 m ( x ) ( xi x0) p( x 0 i i ) dla zmiennych dysretnych m ( x 0) ( x x0) f ( x) dx dla zmiennych ciągłych Najważniejszymi momentami są te, tóre są liczone względem początu uładu współrzędnych czyli względem x 0 0 (m ) oraz momenty liczone względem X 0 m tj. względem pierwszego momentu względem początu uładu współrzędnych (m nazywamy wartością oczeiwaną, wartością średnią lub nadzieją matematyczną) to są momenty centralne µ. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 0

21 Charaterystyi rozładu prawdopodobieństwa Wartość oczeiwana oznaczana jao: m, E(X), µ,, x xˆ E( X ) i x i p i dla zmiennych dysretnych E( X ) x f ( x) dx dla zmiennych ciągłych E(X) jest współrzędną puntu, tóry byłby środiem masy rozładu prawdopodobieństwa (lub pola pod funcją gęstości prawdopodobieństwa f(x)) gdyby p i tratować ja masy (lub odpowiednio f(x) ja fizyczną gęstość). Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

22 Własności E(X) E(X) jest operatorem liniowym co oznacza, że:. E( Ci X i ) CiE( X i ) co prowadzi w onsewencji do: i E(C) C E(CX) CE(X) E(X +X )E(X )+E(X ). Dla niezależnych zmiennych X, X, X n E( X i ) E( X i ) i Waruniem oniecznym i wystarczającym by zmienne były niezależne jest f ( X, X,..., X n) f( X) f( X )... Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład i i ( X n n f )

23 Własności E(X) 3. Dla funcji zmiennej X; Y Y(X) wartość oczeiwana E(Y) może być znaleziona przy pomocy rozładu zmiennej X bez onieczności szuania rozładu f(y) E ( Y ) y( xi ) p dla zmiennych dysretnych i i E( Y ) y( x) f ( x) dx dla zmiennych ciągłych Można zauważyć, że dowolny moment m (x 0 ) może być potratowany jao wartość oczeiwana funcji Y(X)(X-x 0 ) m ( x0) ( x x0) f ( x) dx E(( x x0) ) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

24 Charaterystyi rozładu prawdopodobieństwa Wariancja (dyspersja) oznaczana jao: σ (X), var(x), V(X), D(X). Pierwiaste z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym σ(x) σ ( X ) i pi ( x E( X i )) dla zmiennych dysretnych σ ( X ) f ( x)( x E( X ) dx dla zmiennych ciągłych Wariancja (lub odchylenie standardowe) jest miarą rozrzutu zmiennej losowej woół wartości oczeiwanej. W analizie danych doświadczalnych utożsamiamy wartość oczeiwaną pomiarów wyonanych w obecności błędów przypadowych z wartością rzeczywistą mierzonej wielości. Miarą błędu przypadowego jest odchylenie standardowe bo ono oreśla rozrzut wyniów woół wartości rzeczywistej. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

25 Własności σ (X) Wariancję można obliczyć stosując wartości oczeiwane:. σ ( X ) E( X ) E ( X ) co prowadzi w onsewencji do: σ (C) 0 σ (CX) C σ (X) σ (C X+C ) C σ (X). Dla niezależnych zmiennych X, X, X n σ ( C X ) C σ i ( X i i i i ) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

26 Nierówność Czebyszewa Interpretacja wariancji wynia z nierówności Czebyszewa: Twierdzenie: P a ( X E( X ) a. σ ( X )) Prawdopodobieństwo odchylenia wartości zmiennej losowej od oczeiwanej E(X) o a-rotną wartość odchylenia standardowego jest mniejsze bądź równe /a Twierdzenie to jest słuszne dla wszystich rozładów, tóre mają wariancję a zatem i wartość oczeiwaną. Liczba a jest dowolną, dodatnią liczbą rzeczywistą. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 6

27 Wariancja jao miara rozproszenia DUŻE ROZPROSZENIE MNIEJSZE ROZPROSZENIE Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 7

28 Rozstęp jao miara rozproszenia ROZSTĘP x max -x min Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 8

29 Pratyczne sposoby obliczania wariancji Wariancja z próby (n-elementowej): s n i n i x średnia ( x x) Wariancja z populacji (N-elementowej): μ σ średnia z N N i populacji ( x μ) i ( oczeiwana ) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 9

30 Pratyczne sposoby obliczania odchylenia standardowego Odchylenie standardowe próby (lub: błąd standardowy): s n n ( x ) i x i Odchylenie standardowe (populacji): σ N N i ( x ) i μ Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 30

31 Przyładowe rozłady dla dysretnej zmiennej losowej Rozład dwupuntowy (zero-jedynowy), np. rzut monetą wylosowanie reszi (brau orła, porażi) x0, wylosowanie orła (dobrego wyrobu, sucesu) x, p - prawdopodobieństwo sucesu, jego rozład: x i 0 p i -p p Dwumianowy (ang.binomial, Bernoulliego) n n p p ( p), 0,, K, n gdzie 0<p<; X{0,,, } - liczba sucesów w losowaniu n-rotnym ze zwracaniem dla jest to rozład dwupuntowy Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

32 Rozład dwumianowy (Bernoulliego) - założenia Esperyment losowy słada się z n prób Bernoulliego, taich że:. Każda próba jest niezależna od innych.. Każda próba może mieć tylo dwa wynii: suces i porażę (binarne!). 3. Prawdopodobieństwo sucesu wynosi p i jest wartością stałą. Pytamy o prawdopodobieństwo p zdarzenia, że zmienna losowa X będzie równa ilości otrzymanych -sucesów przy n próbach. n n p p ( p), 0,, K, n Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

33 Trójąt Pascala Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład n n n! )! (! n n n W rozładzie występuje symbol n n n b a n b a + 0 ) ( dwumian Newtona

34 Trójąt Pascala n 0 n n n 3 n n 5 n 6 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

35 Rozład Bernoulliego Przyład.6 Prawdopodobieństwo, że w danym załadzie producyjnym dzienne zużycie wody nie przeroczy pewnego ustalonego poziomu wynosi p3/. Monitorujemy zużycie wody w załadzie przez 6 dni. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 6 dni obserwacji, zużycie nie przeroczy ustalonego poziomu odpowiednio w 0,,,, 6 dniach. Tutaj sucesem jest odpowiednie zużycie wody w jednym dniu. Dane: 3 p q N 6 0,, K,6 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 35

36 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 6 ) ( ) 0 ( 0 P P P P P P P Do rozwiązania zadania wyorzystujemy właściwości dwumianu Newtona i trójąt Pascala. Rozład Bernoulliego

37 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład (0) (6) (0) (5) (0) () 0.3 (0) (3) (0) () 0.00 (0) () (0) P P P P P P P P P P P P P Rozład Bernoulliego

38 Rozład Bernoulliego 0, 0,35 0,356 0,3 0,97 0,5 P() 0, 0,5 0,3 0,78 0, 0,05 0 0,033 0,000 0, Najwięsze prawdopodobieństwo uzysujemy dla 5 co oznacza, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że poziom wody w załadzie w ciągu 5 dni nie przeroczy ustalonego poziomu dziennego jest najwięsze. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 38

39 Rozład Bernoulliego Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 39

40 Rozład Bernoulliego Wartość oczeiwana w rozładzie Bernoulliego E ( X ) μ np Wariancja w rozładzie Bernoulliego V ( X ) σ np( p) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 0

41 Przyład.7 Błędy w transmisji bitów Przy przesyłaniu informacji przez anał cyfrowej transmisji zdarzają się błędy pojedynczych bitów. Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że pojedynczy bit dotrze do onsumenta z błędem wynosi p0, (i chociaż obietywnie nie jest to suces, to tutaj p nazwiemy prawdopodobieństwem sucesu) Załóżmy, że olejne aty transmisji są niezależne. Niech X oznacza zmienną losową, tórej wartości są równe ilości bitów przesłanych z błędem, w sewencji olejnych bitów. Oznaczmy E błąd bitu,obrabłędu. Wyni transmisji OEOE oznacza, że drugi i czwarty bit są błędne, X; olejność nie jest istotna czyli EEOO też odpowiada X Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

42 Przyład.7 cd Błędy w transmisji bitów Zdarzenie opisane zmienną losową X to zbiór następujących wyniów: {EEOO, EOEO, EOOE, OEEO, OEOE, OOEE} Jaie jest prawdopodobieństwo P(X) zdarzenia, że dwa bity w sewencji czterech zostaną przesłane z błędem? Zdarzenia są niezależne więc P(EEOO)P(E)P(E)P(O)P(O)(0,) (0,9) 0,008 Zdarzenia są wzajemnie wyluczające i mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia więc P(X)6 P(EEOO) 6 (0,) (0,9) 6 (0,008)0.086 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

43 Błędy w transmisji bitów Przyład.7 cd! ()!! 6 A zatem P(X)6 (0,) (0,9) dane jest rozładem Bernoulliego P( X x) x p x ( p) x, x 0,,,3,, p 0, P(X 0) 0,656 P(X ) 0,96 P(X ) 0,086 P(X 3) 0,0036 P(X ) 0,000 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 3

44 Rozład Poissona Posłużmy się przyładem.7 transmisji n bitów przez anał cyfrowy. Niech zmienna losowa X będzie przyjmowała wartości równe ilości bitów przesłanych z błędem. Jeżeli prawdopodobieństwo p zdarzenia przesłania błędnego bitu jest stałe i olejne aty transmisji są niezależne, to X ma rozład dwumianowy (Bernoulliego). Wprowadźmy parametr λpn (E(X) dla tego rozładu równa się λ) P( X x) n x p x ( p) n x n λ x n x λ n Załóżmy, że n wzrasta a p maleje ta, że λpn pozostaje stałe. Rozład przechodzi w rozład Poissona. n x Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład

45 Rozład Poissona Załóżmy, że n wzrasta a p maleje ta, że λpn pozostaje stałe. Rozład przechodzi w rozład Poissona. lim n P( X x) lim n n x λ n x λ n n x e x λ x! λ Ze względu na to, że liczba przesyłanych bitów zmierza do niesończoności, liczba błędów może być równa dowolnej nieujemnej liczbie całowitej. Zares możliwych wartości X sięga od 0 do Rozład Poissona stosujemy pod pewnymi warunami dla zmiennej losowej X, tóra jest równa liczbie zdarzeń (zliczeń) w danym przedziale (przy podziale na podprzedziały) w esperymencie losowym zwanym procesem Poissona. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

46 Proces Poissona Załóżmy, że dany przedział liczb rzeczywistych może być podzielony na podprzedziały o małej długości taiej że:. Prawdopodobieństwo więcej niż jednego zliczenia w tym podprzedziale jest równe zero.. Prawdopodobieństwo jednego zliczenia w podprzedziale jest taie samo dla wszystich podprzedziałów i proporcjonalne do jego długości 3. Zliczanie w ażdym podprzedziale jest niezależne od innych podprzedziałów Esperyment losowy tóre spełnia te waruni nazywamy procesem Poissona. Zmienną losową X tóra jest równa liczbie zliczeń w przedziale nazywamy zmienną losową Poissona. Funcja gęstości prawdopodobieństwa f(x) jest zależna od parametru λ λ x e λ f ( x), gdzie x 0,,,K x! Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 6

47 Rozład Poissona Przyład.8 Podczas inspecji cieniego miedzianego przewodnia stwierdzono występowanie uszodzeń. Oznaczmy przez X zmienną losową równą liczbie uszodzeń (zliczeń) nadługości L przewodnia i załóżmy, że średnia liczba uszodzeń na całej długości wynosi λ. Należy znaleźć funcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej X. Dzielimy długość L (ila milimetrów) na n podprzedziałów o bardzo małej długości np. mirometr. prawdopodobieństwo, że na tym podprzedziale wystąpi więcej niż jedno uszodzenie, jest zaniedbywalnie małe Założenie, że uszodzenia są losowe pozwala przyjąć, że na ażdym podprzedziale prawdopodobieństwo uszodzenia jest taie samo i wynosi p Załadamy, niezależność zdarzeń na podprzedziałach Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 7

48 Rozład Poissona Przyład.8 Można w tym przyładzie zatem modelować rozład zmiennej losowej X rozładem dwumianowym: E ( X ) λ np czyli p λ n Prawdopodobieństwo, że podprzedział zawiera wadę wynosi λ/n i gdy n jest bardzo duże, p jest bardzo małe. Rozład uszodzeń to rozład Poissona. Prawdopodobieństwo, że podprzedział zawiera wadę wynosi λ/n i gdy n jest bardzo duże, p jest bardzo małe. Rozład uszodzeń to rozład Poissona. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 8

49 Rozład Poissona Rozład Poissona to jeden z nielicznych rozładów, w tórym wartość oczeiwana jest równa wariancji: E ( X ) np λ Z wariancji w rozładzie Bernoulliego V ( X ) σ np( p) przy dużym n i małym p, otrzymujemy V ( X ) σ lim ( np np ) np λ n, p 0 czyli wariancję w rozładzie Poissona. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 9

50 Rozład Poissona Rozład Poissona ma wiele zastosowań zwłaszcza w esperymentach fizyi jądrowej i atomowej, np. rozpadach jąder atomowych, atach emisji cząste, itp. Przedział, o tórym mówiliśmy może być przedziałem czasu (często), wyciniem powierzchni, elementem objętości. Rozład może być stosowany do systemów z dużą liczbą możliwych zdarzeń, z tórych ażde jest bardzo rzadie (prawo rzadich zdarzeń). Przyłady zdarzeń, tóre mogą być modelowane rozładem Poissona: Historyczne liczba zabitych przez opnięcie onia ażdego rou w orpusie awalerii w Prusach (W.Bortiewicz ) Liczba połączeń telefonicznych przychodzących do centrali na minutę Liczna mutacji w danym odcinu DNA po espozycji na pewną dawę promieniowania Odsete omóre, tóre zostaną zaażone dla danej liczebności zaażeń W eletronice szum Poissona (śrutowy); ziarnistość przy powięszaniu fotografii, zastosowania moleularne Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 50

51 Rozład Poissona 0, 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład lambda lambda5 lambda0 x Funcja rozładu Bernoulliego n50; p0,0 Poissona: λ 0,36 0,368 0,37 0,368 0,86 0,8 0,06 0,06 0,0 0,05 0,003 0,003 0,000 0,00 Rozład dysretny o niesończonej liczbie wartości (x- dowolna liczba całowita x 0. Dla dużych n rozład Bernoulliego upodabnia się do rozładu Poissona 5

52 Rozład normalny (Gaussa) ROZKŁAD GRANICZNY (rozład normalny) Najczęściej spotyanym rozładem zmiennej losowej jest rozład normalny (zwany rozładem Gaussa). Centralne twierdzenie graniczne sformułowane po raz pierwszy w 733 r. przez de Moivre a. Jeżeli powtarzamy wielorotnie esperyment losowy, rozład zmiennej losowej, będącej średnią (lub sumą) wszystich wyniów zmierza do rozładu normalnego przy bardzo dużej liczbie powtórzeń esperymentu. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

53 Rozład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X charateryzująca się funcją gęstości prawdopodobieństwa f(x) daną wzorem: ( x μ f ( x) exp, gdzie - < x σ π σ < + nazywana jest zmienną o rozładzie normalnym i tylo dwóch parametrach < μ < +, σ > Można poazać, że wartość oczeiwana E(X)μ a wariancja V(X)σ Używa się zapisu N(μ,σ) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 53

54 Rozład normalny (Gaussa) Wartość oczeiwana, położenie masimum gęstości prawdopodobieństwa (moda) i mediana porywają się (xμ). Rozład jest symetryczny (rzywa Gaussa rzywa dzwonowa). Wariancja jest miarą szeroości rozładu. Punty o współrzędnych x+σ i x- σ są puntami przegięcia. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 5

55 Rozład normalny (Gaussa) Rozład normalny jest rozładem błędów przypadowych i wyniów wielu esperymentów fizycznych. Miarą błędu pomiaru jest odchylenie standardowe σ. Pomiar o więszym σ charateryzuje się więszym rozrzutem wyniów woół wartości średniej a zatem mniejszą precyzją. Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 55

56 Standardowy rozład normalny Zmienna losowa Z charateryzująca się funcją gęstości prawdopodobieństwa N(z) daną wzorem: z N( z) exp, gdzie - < z π < + nazywana jest zmienną standaryzowaną tj. o standardowym rozładzie normalnym N(0,) E( Z) 0, V ( Z) Definicja zmiennej standardowej Z X μ σ Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 56

57 Standardowy rozład normalny KORZYŚCI STANDARYZACJI: Stwarza możliwość tablicowania funcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty dla N(0,). Można stworzyć zmienną o rozładzie N(µ,σ) przez prostą transformację X σ*z+µ Przez standaryzację sprowadzamy wszystie wartości oryginalnej zmiennej losowej do obszaru w pobliżu zera a jednostą jest odchylenie standardowe. Dzięi temu można porównywać rozłady wielości różniące się znacznie położeniem centrum i salą wartości Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 57

58 Obliczanie prawdopodobieństwa w rozładzie Gaussa Φ(x) 68.% pow. x (-σ, + σ) (-σ, + σ) (-3σ, + 3σ) P(μ-σ <X< μ+σ) 0,687 (ooło /3 wyniów), P(μ-σ <X< μ+σ) 0,955 P(μ-σ <X< μ+σ) 0,9973 (prawie wszystie) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 58

59 Przyład.9 Seria wyniów (próba) x,x,.x n obarczonych niepewnością przypadową jest duża gdy 30<n 00. W próbie taiej wynii się powtarzają: n jest liczbą pomiarów, w tórych wystąpił wyni x, n /n jest częstością występowania wyniu x n n /n 5, 0,0 5,3 0,0 5, 0,0 5,5 0,03 5,6 7 0,075 5,7 0 0,06 5,8 0,9 5,9 6 0,70 6,0 3 0,38 6, 0,8 6, 6 0,06 6,3 0,03 6, 3 0,03 6,5 0,0 Suma 9 Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 59

60 Opracowanie serii pomiarów bezpośrednich dużej próby Średnia arytmetyczna estymator wartości oczeiwanej x n x x 5,9 i n Histogram Estymator odchylenia standardowego ( x) x i σ n 6 0 5, 5, 5,6 5,8 6,0 6, 6, Tworzymy zmienną standardową Z o σ0, x 5,9 0, z i i ( xi x) wartościach z u(x) i x W tablicach szuamy wartości N(0,) dla zmiennej Z; porównujemy z histogramem n(n ) Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 60

61 Centralne twierdzenie graniczne intuicyjne sformułowanie dla wielu zmiennych losowych Zmienna Z będąca standaryzowaną sumą niezależnych zmiennych losowych będzie miała standardowy rozład normalny gdy liczba sładniów w sumie dąży do niesończoności oraz w sumie nie występują zmienne o wariancjach dominujących w stosunu do reszty sładniów. To twierdzenie powoduje, że rozład normalny jest wyróżnionym rozładem Wstęp do probabilistyi i statystyi. wyład 6