W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego

Transkrypt

1 W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego 2. Miary niezawodności charakterystyki liczbowe i funkcyjne 3. Rozkłady zmiennych losowych stosowane w opisie niezawodności elementów 1

2 Model niezawodnościowy elementu nienaprawialnego Element zaczyna pracę w chwili i po pewnym czasie zwanym czasem życia (life time) ulega uszkodzeniu. Nie rozważamy co się dzieje z elementem po uszkodzeniu. Czas życia potraktujemy jako dodatnią, ciągłą zmienną losową T określamy w ten sposób model niezawodnościowy elementu nienaprawialnego. czas życia e zmienna losowa T uszkodzenie czas W dalszej części postawimy pytania: 1. Jakie miary charakteryzujące losowy charakter czasu życia wygodnie użyć, inne niż dystrybuanta F(t), czy gęstość f(t)? (rozważymy tu miary funkcyjne i miary liczbowe) 2. Jakich rozkładów zmiennych losowych użyć do modelowania czasu życia? 3. Jak wyznaczyć charakterystyki niezawodnościowe (funkcyjne, liczbowe) na podstawie wyników eksperymentu? 2

3 Funkcyjne i liczbowe charakterystyki niezawodności elementu Założenie: modelem czasu życia elementu jest dodatnia zmienna losowa T (F()=) o dystrybuancie F(t) i gęstości f(t) Określimy charakterystyki niezawodności: 1. Funkcja niezawodności (Reliability function) 2. Funkcja intensywności uszkodzeń 3. Średni czas życia (mean life time, mean time to failure, MTTF) Funkcja niezawodności (Reliability function) Funkcja niezawodności R(t) podaje prawdopodobieństwo zdarzenia, że element przeżyje chwilę t: R t = P T t Własność wynika z prawdopodobieństwa zdarzenia dopełniającego: R t = P T t = 1 P T < t = 1 F t 3

4 Funkcja intensywności uszkodzeń (hazard function, failure rate, mortality rate, ) Funkcja intensywności uszkodzeń (t) jest zdefiniowana jako granica (o ile istnieje) prawdopodobieństwa warunkowego, że uszkodzenie nastąpi w przedziale (t, t+ ], pod warunkiem, że nie nastąpiło do chwili t: 1 λ t = lim P t < T t + T > t Δ chwila t uszkodzenie czas zmienna losowa T przedział czasu o długości Δ Własności (t) λ t = f(t) 1 F(t) λ t = R (t) R(t) R t = e t λ u du Jeśli (t) =, wtedy: R t = e λt To jest funkcja niezawodności dla rozkładu wykładniczego rozkład bez pamięci ( (t) = - nie zależy od t). chwila t uszkodzenie czas zmienna losowa T przedział czasu o długości Δ 4

5 W praktyce funkcja intensywności uszkodzeń dla wielu obiektów technicznych ma przebieg pokazany na rysunku λ(t) docieranie normalna eksploatacja starzenie t Krzywa wannowa (Bathtub curve) Szczególna rola rozkładu wykładniczego Rozkład wykładniczy opisany jest przy pomocy dystrybuanty (dla >): (dla t>, F(t)= dla t ) F t = 1 e λt Wyznaczamy (t) dla rozkładu wykładniczego: λ t = R t R t = e λt e λt = λe λt e λt = λ Funkcja intensywności uszkodzeń dla rozkładu wykładniczego jest funkcją stałą. 5

6 Szczególna rola rozkładu wykładniczego Rozważamy problem: element o czasie życia opisanym rozkładem wykładniczym przepracował czas t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie działał jeszcze przez czas? P T t + τ T > t) = P(T t + τ) P(T > t) = R(t + τ) R(t) Dla rozkładu wykładniczego: P T t + τ T > t) = e λ(t+τ) e λt = e λτ = R(τ) Prawdopodobieństwo to zależy jedynie od długości przedziału a nie jego położenia na osi czasu. Własność braku pamięci rozkładu wykładniczego. Średni czas życia (mean life time, mean time to failure, MTTF) Nie zawsze jest potrzebne wyrażanie niezawodności przy pomocy funkcji. Czasem wystarczy bardziej zagregowany opis w postaci liczby. Średni czas życia określamy jako wartość średnią (oczekiwaną) zmiennej losowej T: T FF = E T = tf t dt Własność: T FF = R t dt 6

7 Przykład Dla rozkładu wykładniczego (F t = 1 e λt ) : T FF = R t dt = e λt dt = 1 1 λ e λt = λ Rozkłady zmiennych losowych stosowane w opisie niezawodności elementu Rozkład wykładniczy dystrybuanta: F t = 1 e λt gęstość rozkładu: f t = λe λt (dla t ) λ > - parametr rozkładu średni czas życia: T FF = 1 λ wariancja: Var(T) = 1 λ 2 własność braku pamięci 7

8 Rozkład wykładniczy dla =1 gęstość dystrybuanta funkcja intensywności uszkodzeń Rozkład wykładniczy dla różnych =.5, 1, 2 8

9 Rozkład Weibulla dystrybuanta: F t = 1 e (λt)β gęstość rozkładu: f t = λβ λt β 1 e (λt)β (dla t>, F()=) > 1 to parametr skali λ > parametr kształtu ( =1 rozkład wykładniczy) średni czas życia: T FF = Γ 1+1 β λ Rozkład Weibulla dla = 1 i różnych wartości 9

10 Rozkład Weibulla dla = 1 i różnych wartości <1 hazard maleje >1 rośnie (dla =2 rośnie liniowo) Rozkład Weibulla dla scale = 1 = 2 i różnych wartości λ 1 to czas, po którym uszkodzi się % elementów λ e 1

11 Rozkład gamma gęstość rozkładu:f t = λβ Γ(β) tβ 1 e λt (dla t>, F()=) > 1 to parametr skali λ > parametr kształtu ( =1 rozkład wykładniczy) średni czas życia: T FF = β λ Rozkład Erlanga dla =n=2,3, (suma n zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym) Rozkład gamma dla scale = 1 =.5 i różnych wartości λ 11

12 Rozkład gamma dla scale = 1 =.5 i różnych wartości λ Funkcja intensywności uszkodzeń dąży monotonicznie do λ Rozkład normalny gęstość rozkładu: f t = 1 e(t μ)2 2σ 2 2πσ dla t R R średnia > odchylenie standardowe średni czas życia: T FF = Var(T) = 2 12

13 Rozkład normalny dla = 2 i różnych wartości (sd) Rozkład normalny dla = 2 i różnych wartości (sd) 13

14 Narzędzia do rysowania funkcji rozkładów w systemie R R Project for Statistical Computing Funkcje dla rozkładu Weibulla: dweibull gęstość pweibull dystrybuanta rweibull wartość losowa z rozkładu qweibull kwantyl z rozkładu Inne rozkłady: [dprq]exp, norm, lnorm, gamma, unif, Narzędzia do rysowania funkcji rozkładów w systemie R Przykład rysujemy funkcje rozkładu Weibulla dweibull(x, shape, scale) Parametr kształtu = p Parametr skali = 1/ Przykład programu w języku R: 14