Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Transkrypt

1 Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek

2 Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która parze (i, j) przyporządkowuje dokładnie jeden element a ij, przy czym i = 1, 2,..., m, natomiast j = 1, 2,..., n. Tworzy się w ten sposób zbiór m n elementów umieszczonych w tablicy o m wierszach i n kolumnach. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n. A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Ogólnie dany element macierzy a ij może być np. liczbą rzeczywistą, liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania), wielomianem lub wektorem.

3 Czym jest macierz? Inny zapis A = [a ij ], gdzie: i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n A = [a ij ] [m n] = A [m n] [m n] - wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn) i - indeks numeracji wierszy j - indeks numeracji kolumn Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do macierzy rzeczywistych, tzn. dla których element a ij jest liczbą rzeczywistą.

4 Różne typy macierzy Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa Jeśli m n to macierz A nazywamy prostokątną. Jeśli m = n = N to macierz A nazywamy kwadratową (stopnia N). Przekątna główna macierzy kwadratowej A [n n] składa się z elementów a ii, gdzie i = 1, 2,..., n. Macierz kwadratowa A [n n], w której wszystkie elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą diagonalną (oznaczoną D). Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka macierz stanowi macierz jednostkową (oznaczoną I ). a a D [n n] =..... I [n n] = a nn D = diag(a ii ) I = [δ ij ] [n n], gdzie δ ij = δ ij symbol Kroneckera { 0 dla i j 1 dla i = j

5 Różne typy macierzy Macierz transponowana Macierz A T jest transponowana względem macierzy A, jeśli a ij = aji T (wiersze zamieniamy z kolumnami). a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n a 12 a 22 a m2 A [m n] = AT [n m] = a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn Właściwości macierzy transponowanej: ( 1 A T) T = A 2 (αa) T = αa T, α liczba rzeczywista 3 (A + B) T = A T + B T 4 (A B) T = B T A T

6 Różne typy macierzy Macierz symetryczna i antysymetryczna Jeśli dla macierzy kwadratowej A [n n] zachodzi związek A = A T to macierz A jest symetryczna. Jeśli dla macierzy kwadratowej A [n n] zachodzi związek A = A T to macierz A jest antysymetryczna (skośnie symetryczna). Przykład: Macierz symetryczna i antysymetryczna. Jeśli A jest macierzą kwadratową to: 1 A + A T jest macierzą symetryczną, 2 A A T jest macierzą antysymetryczną. Jeśli A jest dowolną macierzą prostokątną i S = A A T, to S jest macierzą symetryczną.

7 Różne typy macierzy Macierz trójkątna Macierzą trójkątną nazywamy macierz o postaci: l u 11 u 21 u 1n l 21 l u 22 u 2n L =..... U = l n1 l n2 l nn 0 0 u nn L jest macierzą dolnotrójkątną (trójkątną lewą). U jest macierzą górnotrójkątną (trójkątną prawą). Suma, iloczyn i odwrotność macierzy dolnotrójkątnych (górnotrójkątnych) tworzy ponownie macierz dolnotrójkątną (górnotrójkątną). Wystarczy, gdy wszystkie elementy przekątnej głównej macierzy trójkątnej są różne od 0 wówczas macierz ta jest nieosobliwa.

8 Równość, dodawanie, odejmowanie macierzy Dwie macierze A [m n] i B [m n] są równe, jeśli odpowiednie elementy są sobie równe, tzn. a ij = b ij dla i = 1, 2,..., m i j = 1, 2,..., n. Sumą lub różnicą dwóch macierzy A [m n] i B [m n] nazywamy macierz C [m n], gdzie c ij = a ij ± b ij : C = A ± B = c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n = a 11 ± b 11 a 12 ± b 12 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b 22 a 2n ± b 2n c m1 c m2 c mn a m1 ± b m1 a m2 ± b m2 a mn ± b mn 1 Przemienność dodawania: A + B = B + A. 2 Łączność dodawania i odejmowania: (A ± B) ± C = A ± (B ± C). 3 A + 0 = A.

9 Mnożenie macierzy przez liczbę Iloczyn (αa lub Aα) macierzy A i liczby α tworzy macierz: αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa = Aα = [αa ij ] = αa m1 αa m2 αa mn 1 1 A = A 2 0 A = 0 3 α(βa) = (αβ)a 4 (α + β)a = αa + βa 5 α(a + B) = αa + αb

10 Mnożenie macierzy przez macierz Iloczyn dwóch macierzy A [m n] i B [n p] tworzy macierz C [m p], gdzie: n c ik = a ij b jk dla i = 1, 2,..., m i k = 1, 2,..., p. j=1 C [m p] = A [m n] B [n p] Przykład: = c 11 = a 1j b j1 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + a 14 b 41 j=1 = ( 1) ( 2) + ( 2) 0 = 2 (... ) 4 c 32 = a 3j b j2 = a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 + a 34 b 42 j=1 = ( 1) ( 1) ( 4) = 19

11 Właściwości mnożenia macierzy 1 Mnożenie A B może być wykonalne, natomiast mnożenie B A może być niewykonalne. Liczba wierszy pierwszej macierzy musi się zgadzać z liczbą kolumn drugiej macierzy, tak aby zapewnić prawidłowe sumowanie iloczynów. 2 Dla macierzy kwadratowych także zazwyczaj zachodzi A B B A. 3 Mnożenie macierzy jest łączne: (A B) C = A (B C). 4 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania: (A ± B) C = A C ± B C C(A ± B) = C A ± C B. 5 Jeśli A B = 0, to nie oznacza, że koniecznie A = 0 lub B = 0. 6 Jeśli A B = A C, to B nie zawsze jest równe C, nawet gdy A 0. 7 A I = I A = A

12 Potęgowanie macierzy Dla macierzy A obowiązują następujące reguły potęgowania: A 0 = I A 1 = A A 2 = A A A 3 = A A A itd. Właściwości potęgowania macierzy: 1 A k A p = A k+p 2 (A k ) p = A k p

13 Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej A możemy przypisać wartość liczbową D, nazywaną wyznacznikiem macierzy A stopnia N i oznaczoną jako det A. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A =..... = D. a n1 a n2 a nn W literaturze można spotkać także oznaczenia: det (A) = A = a ij = det a ij Znane są różne sposoby obliczania wartości wyznacznika. det jest skrótem francuskiego słowa determinant czyli wyznacznik.

14 Wyznacznik macierzy Rozwinięcie Laplace a Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne det A = det A = n a ij A ij j=1 n a ij A ij i=1 rozwinięcie względem i tego wiersza rozwinięcie względem j tej kolumny gdzie: a ij element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, A ij dopełnienie algebraiczne elementu a ij. Dopełnienie algebraiczne A ij elementu a ij macierzy A stanowi minor M ij pomnożony przez ( 1) i+j. Minorem M ij macierzy A przynależnym elementowi a ij nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

15 Wyznacznik macierzy Rozwinięcie Laplace a Przykład: Obliczyć wyznacznik macierzy A: A = Korzystając z rozwinięcia 3-go wiersza: det A = = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = a 31 ( 1) (3+1) M 31 + a 32 ( 1) (3+2) M 32 + a 33 ( 1) (3+3) M 33 = 1 ( 1) (3+1) ( 1) ( 1)(3+2) = 8 6 = 2

16 Wyznacznik macierzy Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 32 Powyższa reguła wykorzystuje definicję permutacyjną wyznacznika, ale ma zastosowanie tylko dla macierzy stopnia 3. Jeśli obliczamy wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3, to można wykorzystać rozwinięcie Laplace a i własności wyznaczników, a po sprowadzeniu ich do stopnia 3 zastosować regułę Sarrusa. Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3 można obliczyć także przy pomocy eliminacji Gaussa.

17 Wyznacznik macierzy Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3 Przykład: Obliczyć wyznacznik macierzy A: A = = 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) = = 2

18 Właściwości wyznaczników 1 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0. 2 Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przedstawimy między sobą dwie kolumny (dwa wiersze). 3 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe lub proporcjonalne kolumny (dwa wiersze) jest równy 0. 4 Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy. 5 Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę. 6 Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe. 7 Jeżeli det A = 0, to macierz jest osobliwa. 8 Jeżeli macierz A jest trójkątna, to det A = a 11 a a nn.

19 Właściwości wyznaczników 9 det A = det(a T ) 10 det(ab) = det A det B (twierdzenie Cauchy ego) 11 det(a + B) det A + det B 12 det(a 1 ) = (det A) 1

20 Wyznacznik macierzy stopnia 4 Przykład: ( 1) ( 1) ( 1) 3+1 w. 1 + w. 4 (-2) k. 2 + k. 3 2 w. 1 + w (-1) k. 1 + k. 3

21 Macierz odwrotna Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, to możemy otrzymać macierz do niej odwrotną A 1. Zachodzi zatem zależność: Oznaczmy: C = A 1. A A 1 = A 1 A = I Element macierzy odwrotnej c ij obliczamy w następujący sposób: c ij = 1 det A ( 1)i+j M T ij gdzie M T ij jest minorem otrzymywanym z macierzy A T.

22 Właściwości macierzy odwrotnych 1 Jeśli det A = 0 czyli macierz jest osobliwa, to macierz odwrotna A 1 nie istnieje. 2 (A B) 1 = B 1 A 1 3 ( A T) 1 = ( A 1 ) T 4 det ( A 1) = (det A) 1 5 ( A 1 ) 1 = A

23 Macierz odwrotna Przykład: Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A: A = A T = c 11 = 1 det A ( 1)2 M T 11 = = 1 det A = 2 (... ) c 33 = 1 det A ( 1)6 M T 33 1 = = C = A 1 = A C = I

24 Definicja normy macierzy Normą macierzy kwadratowej A nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą A (nie należy mylić z wyznacznikiem!), która spełnia następujące warunki: 1 A > 0, gdy A 0 i 0 = 0 2 αa = α A, α jest liczbą 3 A + B A + B 4 A B A B

25 Normy macierzy jednokolumnowej (jednowierszowej) i kwadratowej Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy następujące normy: suma modułów: X 1 = n i=1 x i norma euklidesowa: X 2 = n j=1 x i 2 norma maksimum: X = max x i i Dla macierzy kwadratowej A określamy następujące normy: m norma sumy kolumn: A 1 = i=1 a ij max 1 j, n m n norma euklidesowa: A 2 = i=1 j=1 a ij 2 n norma sumy wierszy: A = j=1 a ij max 1 i m

26 Normy macierzy Przykład: Obliczyć normy macierzy: A = [ ] A 1 = max [7, 5] = 7 1 j 2 A 2 = = [ ] 3 A = max = 9 1 i 2 9