A A A A A A A A A n n

Transkrypt

1 DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności w metodzie elementów skończonych D DEFINICJE Skalar - jest wielkością określoną tylko przez swoją wartość która może wyrażać się liczbą rzeczywistą Typowymi przykładami wielkości skalarnych są: masa temperatura czas długość itp Skalary będziemy oznaczać literami pisanymi czcionką pochyłą Wektor - jest wielkością określoną przez swój moduł oraz kierunek i zwrot Przykładami wielkości wektorowych są: siła przemieszczenie prędkość obrót Wektory będziemy oznaczali małymi literami pisanymi czcionką prostą pogrubioną Macierz - jest tablicą zawierającą najczęściej skalary ale może też zawierać wektory lub inne macierze Elementy macierzy nazywamy jej składowymi Jest to bardzo wygodna forma prezentacji dużej ilości jednolitych danych z którymi mamy do czynienia w metodach numerycznych Przykładowy zapis macierzy którymi posługujemy się w tej książce wygląda następująco: n n m m mn Macierze kwadratowe (mają równą liczbę kolumn i wierszy) i prostokątne (mają różną liczbę kolumn i wierszy) oznaczać będziemy dużymi literami pisanymi czcionką prostą i pogrubioną Macierz kolumnowa - nazywać ją będziemy też wektorem zawiera tylko jedną kolumnę składowych Oznaczać ją będziemy tak jak wektory Macierz jednostkowa - jest macierzą kwadratową której składowe są równe zeru poza tymi które leżą na głównej przekątnej (elementy diagonalne) Elementy diagonalne równe są jedności Macierz jednostkową oznaczymy dużą literą I oraz w niektórych przypadkach indeksem wskazującym rozmiary tej macierzy: 35

2 I 4 Składowe macierzy jednostkowej można zapisać przy pomocy delty Kroneckera I gdzie ii gdy i j Macierz trójkątna - jest macierzą zawierającą składowe zerowe ponad główną przekątną (-macierz trójkątna dolna) lub poniżej (-macierz trójkątna górna) Macierz pasmowa - jest macierzą zawierającą różne od zera składowe tylko w pobliżu głównej przekątnej p pasm= szerokość pasma p - szerokość półpasma W metodzie elementów skończonych po odpowiednim przegrupowaniu równań równowagi macierzami pasmowymi są macierze sztywności Macierz symetryczna - jest macierzą o składowych spełniających równanie sym ji W metodzie elementów skończonych macierzami symetrycznymi są macierze sztywności Macierz transponowana - jest macierzą w której przegrupowano składowe tak że kolumny stały się wierszami: 36

3 B T B ji Transpozycję macierzy oznaczać będziemy dużą prostą literą T pisaną jako indeks górny Główna przekątna macierzy jest tą przekątną która przebiega od składowej przez pozostałe składowe o równych indeksach wiersza i kolumny tzn ii nn n n n n nn główna przekątna D DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY Operację dodawania macierzy definiujemy następująco: C B C B czyli składowe macierzy C która jest wynikiem dodawania macierzy oraz macierzy B są sumami odpowiednich składowych oraz B Dodawanie macierzy możliwe jest tylko wtedy gdy oba składniki ( i B) mają jednakową liczbę wierszy i kolumn Dodawanie jest operacją przemienną: C B B nalogicznie definiujemy odejmowanie macierzy: D B D B Przykład nr B C B D B

4 D3 MNOŻENIE MCIERZY PRZEZ SKR (SKOWNIE MCIERZY) następująco: Skalowaniem macierzy nazywamy operację na jej składowych zdefiniowaną E E czyli składowe macierzy E które powstają w wyniku pomnożenia macierzy przez skalar są iloczynami składowych macierzy i liczby Przykład nr =35 E Powstała w wyniku skalowania macierz E ma oczywiście taką samą liczbę wierszy i kolumn jak macierz D4 MNOŻENIE MCIERZY Niech C będzie wynikiem mnożenia macierzy i B: C B wtedy składowe macierzy C powstają jako wynik mnożenia wierszy macierzy przez kolumny macierzy B co zapisać można następująco: C n B ik kj gdzie n - ilością kolumn macierzy Jak widać mnożenie macierzy i B tylko wtedy jest wykonywalne gdy ilość kolumn macierzy jest taka sama jak ilość wierszy macierzy B Macierz C która powstaje w wyniku mnożenia ma ilość wierszy równą ilości wierszy macierzy a liczbę kolumn równą liczbie kolumn macierzy B 38

5 C B T 3 B B B B j m B B B B j m C B n n B B B B n n nj nm i i in C Przykład nr B B T = = = = = = = = = = = = = = = =3 =6 =5 C

6 Przykład nr 4 Ciekawy wynik daje mnożenie macierzy wierszowej przez macierz kolumnową: a 3 4 b 3 T c a b c ( ( )) Wynikiem jest macierz c o wymiarach x czyli skalar Mnożenie wektorów a T b nazywa się więc mnożeniem skalarnym Mnożenie macierzy nie jest na ogół operacją przemienną tzn B gdy uda się je wykonać (możliwe jest to dla macierzy kwadratowych) macierzy: B nawet Podamy jeszcze niektóre warte zapamiętania definicje dotyczące mnożenia B C B C B C B C I I T T B B T D5 WYZNCZNIK MCIERZY Wyznacznik jest skalarną funkcją macierzy kwadratowej którą zapisujemy następująco: det Obliczenie wartości wyznacznika polega na sumowaniu iloczynów utworzonych ze wszystkich permutacji składowych macierzy : I p det 3 n p 3 gdzie p oznacza wszystkie permutacje I p - ilość inwersji w permutacjach n 4

7 Wartość wyznacznika obliczyć też można stosując tzw rozwinięcie aplacea względem wyrazów dowolnego wiersza lub kolumny: det lub n mk det n km mk km - rozwinięcie wiersza m m n - rozwinięcie kolumny m m n oznacza tu dopełnienie algebraiczne elementu macierzy: i j gdzie jest minorem macierzy * * czyli wyznacznikiem macierzy powstałej przez usunięcie z macierzy wiersza i oraz kolumny j Rozwinięcie aplacea należy prowadzić tak długo aż otrzymamy macierze x których wyznaczniki można obliczyć bezpośrednio: det det B Znany jest też sposób (reguła Sarrusa) obliczenia wyznaczników 3x3: B B B 3 B B B 3 B B B BB B33 BB3 B3 B3B B3 B3B B3 BB B33 BB3 B3 Nie należy go jednak stosować dla macierzy o większej ilości wierszy i kolumn Warto też zapamiętać użyteczną zależność: det B det det B która pomoże nam efektywnie wyznaczać wyznaczniki iloczynów macierzy osobliwą Gdy wyznacznik macierzy jest równy zeru macierz taką nazywamy macierzą D6 MCIERZ ODWROTN Macierzą odwrotną do macierzy nazywamy macierz spełniającą warunek: I 4

8 Składowe macierzy odwrotnej można wyznaczyć przez skalowanie transponowanej macierzy dopełnień algebraicznych: T T det i j T gdzie jest macierzą dopełnień algebraicznych: i j - minorem czyli wyznacznikiem macierzy która powstaje przez usunięcie z macierzy wiersza i i kolumny j Jak łatwo zauważyć nie można znaleźć macierzy odwrotnej do macierzy osobliwej gdyż wymagałoby to dzielenia przez zero Macierz T nazywana jest macierzą dołączoną macierzy Macierz dołączoną można utworzyć dla dowolnej (nawet osobliwej) macierzy Przykład nr 5 Poszukujemy macierzy odwrotnej do macierzy: Obliczymy najpierw wyznacznik aby przekonać się czy operacja odwrócenia macierzy będzie możliwa Wyznacznik macierzy obliczymy korzystając z reguły Sarrusa: det Obliczamy kolejne dopełnienia algebraiczne:

9 a stąd mamy D7 ROZKŁD N MCIERZE TRÓJKĄTNE Macierz nieosobliwą rozłożyć można na iloczyn macierzy trójkątnych: gdzie jest macierzą trójkątną dolną a macierzą trójkątną górną Proces taki nazywamy triangularyzacją dekompozycją lub faktoryzacją macierzy Metoda dekompozycji macierzy zapoczątkowana została przez MHDoolittlea (878) a później odkrywana była jeszcze kilkakrotnie przez: Choleskyego (ok96) Citkena (93) TBanachewicza (938) oraz PDCrouta (94) Metodę Choleskyego opisał Benoit w 94 r Składowe macierzy trójkątnych i obliczyć można korzystając z procedur zaproponowanych przez Crouta lub Banachewicza: ii i = n ik kj i j = i n jj j ik kj i = j n Obliczanie składowych wykonuje się na zmianę wierszami dla macierzy i kolumnami dla macierzy (metoda Crouta) lub kolejno wiersz macierzy wiersz macierzy (metoda Banachewicza [5]) Rozkład na macierze trójkątne ma bardzo duże znaczenie praktyczne gdyż jest używany jako efektywna metoda rozwiązywania układów równań liniowych Rozwiązanie układu równań x y można uzyskać dwuetapowo W etapie pierwszym stosujemy podstawienia x z które upraszczają nam układ równań do postaci: 43

10 x y z y która ułatwia rozwiązanie: z y z y z itd z y z i i ik k i ii Procedura zastosowana tutaj nazywa się podstawieniem w przód gdyż sekwencyjnie wyliczamy niewiadome z z z i z n Etap drugi polega na wyznaczeniu wartości niewiadomych z równania x z co robimy podobną metodą tyle że stosujemy podstawienie wstecz zaczynając od ostatniej składowej: x n z nn nn x z x n n n n n itd n n x z x i i ik k k i n ii Czas rozwiązania układu równań tą metodą proporcjonalny jest do n 3 /3 gdzie n jest ilością równań iczba T D = n 3 /3 nazywana jest kosztem metody Doolittlea i jest szacunkową ilością mnożeń i dzieleń które trzeba wykonać aby rozwiązać układ równań D8 TRINGRYZCJ MCIERZY SYMETRYCZNYCH Gdy macierz kwadratowa jest symetryczna (i oczywiście nieosobliwa) można podany w poprzednim punkcie rozkład jeszcze uprościć zauważając że: T lub T lgorytm rozkładu macierzy symetrycznej na macierze trójkątne podał jako pierwszy Cholesky (w 96) a niezależnie od niego Banachewicz (w 938) Metoda zwykle nazywana jest metodą Choleskyego W Polsce używana jest nazwa metoda Banachewicza- Cholesky ego 44

11 dla j > i Składowe macierzy trójkątnej dolnej wyznaczonej tą metodą są równe: i ii ii ik ik jk j dla j < i jj W równaniach określających składowe leżące na głównej przekątnej macierzy występuje pierwiastek kwadratowy Wyrażenie pod pierwiastkiem może być oczywiście ujemne wtedy wyrazy macierzy są zespolone Można jednak udowodnić [5] że dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych składowe ii są zawsze liczbami rzeczywistymi Czas dekompozycji macierzy symetrycznej metodą Banachewicza-Cholesky ego jest proporcjonalny do T B-CH = n 3 /6 Przykład nr 6 Znaleźć macierz trójkątną dolną taką że T Należy wykorzystać metodę Banachewicza-Cholesky ego Wyznaczymy kolejne różne od zera składowe macierzy trójkątnej dolnej :

12 D9 MCIERZE ORTOGONNE T Istnieje grupa macierzy mająca własność: która niezwykle uprasza rozwiązywanie układu równań O macierzach tych mówimy że są macierzami ortogonalnymi Własność tą wykazują macierze obrotów wektorów: R c s c s gdzie c cos s sin a jest kątem obrotu Sprawdzimy ortogonalność tej macierzy równaniem R R T I : c s c s c s s c c s cs sc sc cs c s Tą własność macierzy obrotu wykorzystujemy w wielu rozdziałach książki 46

13 DODTEK NR GEBR MCIERZY 35 D DEFINICJE 35 D DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY 37 D3 MNOŻENIE MCIERZY PRZEZ SKR (SKOWNIE MCIERZY) 38 D4 MNOŻENIE MCIERZY 38 D5 WYZNCZNIK MCIERZY 4 D6 MCIERZ ODWROTN 4 D7 ROZKŁD N MCIERZE TRÓJKĄTNE 43 D8 TRINGRYZCJ MCIERZY SYMETRYCZNYCH 44 D9 MCIERZE ORTOGONNE 46 47