1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami."

Transkrypt

1 Polecam korzystanie również z poniższych podręczników. 1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. 2. Izydor Dziubiński, Lucjan Siewierski Matematyka dla wyższych szkół technicznych 3. Wojciech Żakowski, Wacław Leksiński Matematyka Część 4

2 1 Równania różniczkowe. Przypomnienie 1.1 Równania rzędu 1 Równanie rzędu 1 ma postać; ẋ(t) = f(t, x(t)) (1) Twierdzenie 1.1 Jeśli f(t, x) jest klasy C 1 ( tzn. f(t, x) posiada pochodne cząstkowe i są one ciągłe) to równanie różniczkowe posiada rozwiązania zależne od jednego parametru. Ogólnie znalezienie rozwiązania równania różniczkowego jest bardzo trudne. Znacznie tudniejsze niż całkowanie Równanie o zmiennych rozdzielonych Równanie o zmiennych rozdzielonych ma postać ẋ = f(t)g(x) (2) Równanie takie sprowadza się do całkowania. Przepisujemy dx dt = f(t)g(x) rozdzielamy zmienne dx g(x) = f(t)dt całkujemy stronami Jeśli umiemy znaleźć funkcje pierwotną obu stron to równanie różniczkowe zostaje zastąpione przez równanie algebraiczne. Przykład 1.2 Znaleźć rozwiązanie równania ẋ = 2xt spełniające warunek początkowy x() = 3. dx dt = 2xt rozdzielamy zmienne dx = 2t dt całkujemy stronami x ln x = t 2 + C ; x = e t2 +C gdzie C R ; x = e C e t2 gdzie C R Oznaczmy C 1 = e C. Wówczas C 1 >. A więc x = C 1 e t2 gdzie C 1 >. A stąd rozwiązanie ogólne x = C 1 e t2 gdzie C 1 R Równanie liniowe rzędu 1 Równanie liniowe rzędu 1 ma postać ẋ + a(t) x = b(t) (3) Najpierw rozpatrujemy równanie jednorodne ẋ + a(t) x = (4)

3 Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych i jego rozwiąznie ogólne ma postać CORJ = C h(t). Aby uzyskać rozwiązanie danego równania (niejednorodnego) uzmienniamy stałą tzn wstawiamy do równania iloczyn x(t) = C(t) h(t) i wyznaczamy funkję C(t). Przykład 1.3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẋ + x = t Rozwiązujemy równanie jednorodne ẋ + x =. Wówczas CORJ = C e t rozwiązanie równania niejednorodnego w postaci x = C(t)e t. (C(t)e t ) + C(t)e t = t ; (C (t)e t C(t)e t ) + C(t)e t = t ; (!) A zatem szukamy C (t)e t = t ; C (t) = t e t ; C(t) = t e t e t + C 1 A zatem CORN = C(t)e t = (t e t e t + C 1 )e t = t 1 + C 1 e t. Zauważmy, że podanym przykładzie w pewnym momencie zredukowały się wyrażenia z C(t). Nie jest to przypadek. Na tym polega ta metoda. Gdyby C(t) się nie redukowało to oznaczałby pomyłkę w obliczniach. 1.2 Równanie liniowe rzędu 2 o stałych współczynnikach Jest to równanie postaci ẍ + bẋ + cx = f(t) (5) Równanie to jako równanie rzędu 2 posiada rózwiązania zależne od dwu parametrów Równanie liniowe jednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach Rozpatrujemy równanie jednorodne ẍ + bẋ + cx = (6) Twierdzenie 1.4 Zbiór rozwiązań równania (8) jest przestrzenią liniową wymiaru 2. A zatem rozwiązanie ogólne ma postać CORJ = A x 1 (t) + B x 2 (t) gdzie x 1 (t), x 2 (t) są pewnymi rozwiązaniami bazowymi. Pozostaje wyznaczyć (odgadnąć) te rozwiązania. Rozpatrujemy wielomian charakterystyczny aλ 2 + bλ + c = (7) Niech = b 2 4ac. Rozpatrujemy przypadki. >. Wówczas wielomian charakterystyczny ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ 1 λ 2. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e λ1t, e λ2t a więc CORJ = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t. Przykład 1.5 ẍ+5ẋ+6x =. Wówczas = 1 >, λ 1 = 2, λ 2 = 3 a więc CORJ = C 1 e 2t +C 2 e 3t.

4 =. Wówczas wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek rzeczywisty podwójnyλ. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e λt, t e λt a więc CORJ = (C 1 + t C 2 ) e λt. Przykład 1.6 ẍ 4ẋ + 4x =. Wówczas =, λ 1 = λ 2 = 2 a więc CORJ = (C 1 + t C 2 ) e 2t. < Wówczas brak pierwiastków rzeczywistych, są za to dwa pierwiastki zespolone sprzężone λ 1 = α + βi, λ 2 = α βi. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e αt cos(βt), e αt sin(βt). Przykład 1.7 ẍ + 4ẋ + 13x =. Wówczas = 36, λ 1 = 2 + 3i, λ 2 = 2 3i a więc CORJ = C 1 e 2t cos(3t) + C 2 e 2t sin(3t) Równanie liniowe niejednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach Rozpatrujemy równanie niejednorodne ẍ + bẋ + cx = f(t) (8) Łatwo zauważyć, każde dwa rozwiąnia tego równania różnią się o rozwiązanie równania jednorodnego. Twierdzenie 1.8 CORN=CSRN+CORJ A zatem pozostaje odgadnąć jedno rozwiązanie szczególne. Podamy metodę takiego odgadywania dla funkcji typu f(t) = e αt (P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt) gdzie P (t), Q(t) są wielomianami (stopnia n). Wówczas poszukujemy CSRN w postaci e αt ( P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt)) gdy z = α + βi nie jest pierwiastkiem wiel. charakt. CSRN = t r e αt ( P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt)) gdy z = α + βi jest r-krotnym pierwiastkiem wiel. charakt. gdzie P, Q są wielomianami stopnia n. Przykład 1.9 ẍ 3ẋ + 2x = t Wówczas α = (bo nie ma prawej stronie funkcji e αt ) a także β = (bo brak funkcji trygonometrycznych). Liczba z = α + βi = nie jest pierwiastkiem charakterystycznego. A zatem przewidujemy CSRN jako wielomian stopnia 1 tzn. CSRN = at + b. Wstawiamy do równania: (at+b) 3(at+b) +2(at+b) = t, 3a+2(at+b) = t, 2at+(2b 3a) = t, A stąd a = 1/2, b = 3/4, więc CSRN = t/2 + 3/4. Przykład 1.1 ẍ 2ẋ = 4t Wówczas podobie jak wyżej α =, β =. Ale tutaj Liczba z = α + βi = jest (jednokrotnym) pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. A zatem przewidujemy CSRN jako t P (t) gdzie P (t) wielomian stopnia 1 tzn. CSRN = t(at + b) = at 2 + bt.

5 Wstawiamy do równania: (at 2 +bt) 2(at 2 +bt) = 4t, 2a 2(at+b) = 4t, 4at+(2a 2b) = 4t, A stąd a = b = 1, więc CSRN = t 2 t. Przykład 1.11 Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego ẍ + x = 2 cos(t) spełniające warunek początkowy x() = 1, ẋ =. 1. Równanie jednorodne. ẍ + x =. Wielomian charakterystyczny λ =, = 4 <, λ = ±i. A zatem rozwiązaniam bazowymi są cos(t), sin(t) skąd CORJ = A cos(t) + B sin(t). 2. CSRN Po prawej stronie nie występuje e αt czyli α = a ponadto jest cos(t) czyli β = 1 A więc sprawdzamy czy z = α + βi = + 1i = i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. JEST! I to jednokrotnym czyli szukamy CSRN = t(a cos(t) + B sin(t)). Aby wyznaczy A, B obliczamy pochodne (CSRN) = (t(a cos(t) + B sin(t))) = (A + Bt) cos(t) + (B At) sin(t) i wstawiamy do równania (CSRN) = (2B At) cos(t) (2A Bt) sin(t) (CSRN) + CSRN = 2 cos(t) ; (2B At) cos(t) (2A Bt) sin(t) + t(a cos(t) + B sin(t)) = 2 cos(t) ; Porównując wspólczynniki przy takich samych funkcjach trygonometrycznych (!) uzyskujemy A =, B = 1 skąd CSRN = t sin(t) 3. CORN=CSRN+CORJ =t sin(t) + (A cos(t) + B sin(t)). 4. Rozwiązanie spełniające warunki początkowe. Obliczamy (CORN) = sin(t) + t cos(t) A sin(t) + B cos(t) i wstawiamy zadane warunki początkowe. 1 = CORN() = A ; = (CRN) () = B A stąd szukanym rozwiązaniem jest x(t) = t sin(t) + cos(t)

6 1.3 Równania różniczkowe liniowe.zadania Uwaga. We wszystkich zadaniach należy sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wstawiając je do równania. 1. Znaleźć rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych spełniające warunek początkowy (a) ẋ = 3x, x() = 2 (b) ẋ = 1 2t, x() = 2 x 2 (c) ẋ = 2xt 1 + t, x() = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego limiowego (rzędu jeden). (a) ẋ + 2tx = e t2, [x = (C + t)e t2 ] (b) tẋ 2x = t 4, [x = Ct 2 + 1/2 t 4 ] 3. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu dwa; (a) x + 5x + 6x = [C 1 e 3t + C 2 e 2t ] (b) x + 6x + 9x = [(C 1 t + C 2 )e 3t ], (c) 5x 12x + 2x = [(C 1 cos 6t 5 + C 2 cos 6t 5 )e6t/5 ] 4. Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego niejednorodnego : (a) x 3x + 2x = 5t + 2 [(C 1 e 2t + C 2 e t + 5t + 19] 2 4 (b) x + 4x + 2x = 4e t [(C 1 e 2t + C 2 e t e t ] (c) x + 2x = cos 2t [(C 1 + C 2 e 2t + 1 sin 2t 1 cos 2t] 8 8 (d) x 3x + 2x = e t [C 1 e 2t + C 2 e t te t ] Następnym razem będziemy używać: całkowania przez części, całek niewłaściwych (gdy obszarem całkowania jest półprosta [a, )) oraz rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste. Zachęcam do roazwiązania zadań przygotowawczych. 1. Obliczyć całki niewłaściwe: e 2t dt = 1 2 ; t e t dt [ 1 2 ; 1] 2. Rozłożyć funkcje wymierne na ułamki proste: 5 x 2 x 6 ; x 6 x 2 + 3x 4 [ 1 x 3 1 x+2 ; 1 x x+4 ]

7 2 Trasformata Laplace a Definicja 2.1 Funkcję f : R R nazywamy oryginałem gdy f i jej pochodna f są przedziałami ciągłe, f(t) = dla t <, istnieją stałe M, λ takie, że f(t) M e λt. Przykład 2.2. Funkcje ograniczone z ciągłą pochodną, np. sin(at),cos(at), wielomiany, e at, e t2 nie jest oryginałem bo zbyt szybko rośnie. Przyjmujemy, ze wszystkie omawiane tu funkcje są równe zeru dla t <. Dla oryginału f(t) określamy nową funkcję: L[f] = F wzorem: F (s) = f(t)e st dt Piszemy wówczas L[f](s) = F (s). Funkcję F (s) nazywamy obrazem. Nie każda funkcja jest obrazem: Twierdzenie 2.3 Jeśli F (s) jest obrazem to lim F (s) = s Przykład 2.4 Obliczyć L[1]. = lim T F (s) = A zatem L[1] jest równe F (s) = 1 s. [ 1/s e st ] T 1 e st dt = lim T T 1 e st dt = lim [ 1/s e st + 1/s ] = 1/s T Podobnie można uzasadnić wzory (całkowanie przez części). L[e at ](s) = 1 s a s L[cos(bt)](s) = s 2 + b 2 L[sin(bt)](s) = L[t n ](s) = n! s n+1 b s 2 + b 2

8 2.1 Własności transformaty Liniowość transformaty: L[f + g] = L[f] + L[g] L[αf] = αl[f] Przykład 2.5. L[3 e 2t + 2 sin t] = 3L[1] = L[e 2t ] + 2L[sin t] = 3 s 1 s s 2 +1 Różniczkowanie oryginału. L(f ) = s L(f) f() n-krotne różniczkowanie oryginału. L(f ) = s L(f) f() L(f ) = s 2 L(f) sf() f () L(f ) = s 3 L(f) s 2 f() sf () f () L(f (n) ) = s n L(f) s n 1 f() s n 2 f ()... f (n 1) () Trasformata Laplace a jest różnowartościowa tzn. różnym funkcjom odpowiadają różne obrazy, a zatem można mówić o transfromacie odwrotnej: L 1. ẋ + 2x = 1 Przykład 2.6 Rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym: x() = 2 A zatem x(t) = 3 2 e 2t L[ẋ] + 2L[x] = L[1] ; sx = 2 + 2X = 1 s X(s + 2) = ; X = 2 s s s(s + 2) X = 2 s s s + 2 = s s

9 Oryginał f(t) Transformata L[f(t)](s) 1 1 s 1 t s 2 t 2 2 s 3 t n n! s n+1 e at 1 s a t e at 1 (s a) 2 t n e at n! (s a) n+1 s cos(at) s 2 + a 2 a sin(at) s 2 + a 2 Oryginał f(t) t cos(at) t sin(at) e αt cos(βt) e αt sin(βt) cosh(at) sinh(at) f (t) Transformata L[f(t)](s) s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 2as (s 2 + a 2 ) 2 s α (s α) 2 + β 2 β (s α) 2 + β 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 sf (s) f() f (t) s 2 F (s) sf() f ()

10 2.2 Transformata Laplace a. Zadania 1. Znaleźć transformatę Laplace a funkcji (a) f(t) = 5 e 2t (b) f(t) = t (c) f(t) = e 2t e t (d) f(t) = t 2 [F (s) = 4s 1 s 2 2s ] [F (s) = 1/s 2 ] [F (s) = 3 s 2 s+2 ] [F (s) = 2/s 3 ] 2. Dla danego obrazu znaleźć oryginał (a) F (s) = 1 s 2 1 [f(t) = et e t 2 ] (b) F (s) = 1 s(s 2) 2 [f(t) = 1 4 e2t (2t 1) ] (c) F (s) = 1 s 2 +s (d) F (s) = s2 +s+1 s 3 +s (e) F (s) = s 1 s 2 2s 3 [f(t) = 1 e t ] [f(t) = 1 + sin t] [f(t) = 1 2 e3t e t ] 3. Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego, spełniające dany warunek początkowy, stosując transformatę Laplace a (a) ẋ = 5 2t, x() = 1 [x(t) = t 2 + 5t + 1] (b) ẍ + 2ẋ + 1x = 1, x() = ẋ() = [x(t) = cos 3t sin 3t] (c) ẍ ẋ 2x = 1, x() = 1, ẋ() = [x(t) = e2t + e t ] (d) ẍ + 4ẋ + 13x = 2 e t, x() =, ẋ() = 1 [x(t) = 1 5 [e t e 2t cos 3t 2e 2t sin 3t]] (e) ẍ 2ẋ + x = 1, x() =, ẋ() = 1 [x(t) = 1 e t + 2t e t ]

11 3 Szeregi Fouriera. Lemat 3.1 Niech f :< a, a > R. Wówczas: jeśli f jest nieparzysta to +a a f(x)dx =, jeśli f jest parzysta to +a a f(x)dx = 2 +a f(x)dx Lemat 3.2 f, g :< a, a > R. Wówczas: jeśli obie funkcje f, g są jednocześnie parzyste lub jednocześnie nieparzyste to iloczyn f g jest funkcją parzystą, jeśli jedna z funkcji jest parzysta a druga nieparzysla to iloczyn jest funkcją nieparzystą. Problem. Czy można przedstawić dowolną funkcję f :< π, +π > R jako sumę szeregu f(x) = a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) n=1 Przypuśćmy, że zachodzi taka równość. Ile wynoszą wówczas współczynniki a k, b k? Całkujemy obustronnie ( na przedziale < π, +π >) = π π f(x)dx = π a 2 dx + n=1 ( a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)))dx ( a n n=1 π cos(nx)dx + b n = a 2 2π = π a π ) sin(nx)dx A zatem a = 1 f(x)dx. π π Aby wyznaczyć a m (m 1) mnożymy obie strony równości przez cos(mx) i całkujemy: a f(x) cos(mx)dx = π π 2 cos(mx)dx+ ) (a n cos(nx) cos(mx)dx + b n sin(nx) cos(mx)dx = ( ) n=1 π π Mają miejsce wzory: cos(mx)dx =, π cos(mx) sin(nx)dx = (bo iloczyn jest funkcją nieparzystą), π

12 gdy m n cos(mx) cos(nx)dx = π π gdy m = n A zatem w podanej sumie mamy π f(x) cos(mx)dx = ( ) = a m cos 2 (mx)dx = a m π π a zatem Podobnie można pokazać, że a m = 1 π π f(x) cos(mx)dx b m = 1 π π f(x) sin(mx)dx Podobne wzory uzyskujemy dla dowolnego przedziału < l, +l >. Wówczas funkcje sin(nx), cos(nx) należy zastąpić przez sin(nxπ/l), cos(nxπ/l). Aby jednak takie rozwinięcie miało miejsce potrzebne są pewne założenia: Twierdzenie 3.3 Jeśli funkcja f :< l, +l > R spełnia warunki Dirichleta tzn. 1. jest ograniczona, 2. jest przedziałami monotoniczna, 3. w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice prawo- i lewostronna oraz f(x) = f(x ) + f(x + ) 2 Wówczas funkcja f(x) jest sumą szeregu sinusów i cosinusów tzn. w każdym punkcie zachodzi równość: gdzie f(x) = a 2 + (a n cos(nxπ/l) + b n sin(nxπ/l)) n=1 a n = 1/l b n = 1/l +l l +l l f(x) cos(nxπ/l)dx f(x) sin(nxπ/l)dx Uwaga. jeśli f(x) jest funkcją parzystą to b n = szereg samych cosinusów, jeśli f(x) jest funkcją nieparzystą to a n = szereg samych sinusów.

13 3.1 Rozwinięcie w szereg samych (co-)sinusów Dana jest funkcja f : (, l) R. Przedłużymy ją na odcinek < l, +l > w sposób parzysty a następnie w sposób nieparzysty i do uzyskanych funkcji zastosujemy powyższe wzory. Przedłużamy f(x) w sposób parzysty. Określamy f :< l, +l > R wzorem f (x) = f( x ) (i dodatkowo w punktach, ±l wartość funkcji f (x) jest równa granicy funkcji f). Wówczas f jest funkcją parzystą a zatem rozwija się w szereg samych cosinusów, gdzie a n = 1/l +l l Ponieważ f (x) = f(x) dla < x < l f (x) cos(nxπ/l)dx = 2/l +l f(x) cos(nxπ/l)dx Twierdzenie 3.4 Funkcja f : (, l) R spełniająca warunki Dirichleta rozwija się w szereg samych cosinusów: gdzie f(x) = a 2 + a n = 2/l +l n=1 a n cos(nxπ/l) f(x) cos(nxπ/l)dx Przedłużamy f(x) w sposób nieparzysty. Określamy f :< l, +l > R f(x) gdy < x < l f (x) = f( x) gdy l < x < gdy x =, ±l Wówczas f jest funkcją nieparzystą, a więc rozwija się w szereg samych sinusów, przy czym b n = 1/l +l Ponieważ f (x) = f(x) dla < x < l l f (x) sin(nxπ/l)dx = 2/l +l f(x) sin(nxπ/l)dx Twierdzenie 3.5 Funkcja f : (, l) R spełniająca warunki Dirichleta rozwija się w szereg samych sinusów: f(x) = b n sin(nxπ/l) gdzie b n = 2/l n=1 +l f(x) sin(nxπ/l)dx

14 3.2 Szeregi Fouriera. Zadania. 1. Znaleźć rozwinięcie Fouriera. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) (b) Odp. f(x) 4 π n= 1 gdy π < x < f(x) = +1 gdy < x < π sin(2n + 1)x. Wszystkie granice =. 2n gdy π < x < f(x) = 3 gdy < x < π Odp. f(x) π n= sin(2n + 1)x. Wszystkie granice = 2. 2n + 1 (c) f(x) = x, π x +π. n+1 sin nx Odp. x 2 ( 1). Wszystkie granice =. n n=1 (d) f(x) = x, 1 x +1. Odp. x 2 π n+1 sin nπx ( 1). Wszystkie granice =. n n=1 (e) f(x) = x 2, π x +π. Odp. x 2 4 π n cos nx ( 1). Wszystkie granice = π 2. n 2 n=1 (f) f(x) = x 2, 1 x +1. Odp. x 2 4 π n cos nπx ( 1). Wszystkie granice = 1. 2 n 2 n=1 (g) f(x) = x, 1 x +1. Odp. x π n cos(2n + 1)πx ( 1). Wszystkie granice = 1. 2 (2n + 1) 2 n= 2. Znaleźć rozwinięcie Fouriera w szereg samych cosinusów. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) 1 gdy < x < π/2 f(x) = gdy π/2 < x < π Odp. f(x) ( 1) n cos(2n + 1)x. Granice: dla x =, 1 dla x = π. n=1

15 (b) f(x) = x 2, x 2 Odp. x n=1 ( 1) n π 2 n 2 πnx cos 2. Granice: dla x =, 4 dla x = Znaleźć rozwinięcie Fouriera w szereg samych sinusów. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) f(x) = π 4 x 2. < x < π. n sin 2nx Odp. f(x) ( 1) n= 2n. Granice:. (b) f(x) = x 2, x π Odp. x 2 2 ( π + π ( 1) n+1 2 n=1 n + 2 n 3 (( 1)n 1) ) sin nx. Granice: oraz π 2.

16 4 Rachunek wariacyjny Problem 4.1 Znaleźć funkcję x(t) dla której całka b a F (t, x(t), x (t))dt osiąga wartość ekstremalną! (Tutaj a < b są danymi liczbami a F (t, x, x ) daną funkcją.) Przykład 4.2 Dane są liczby a < b oraz A, B. Dla jakiej funkcji x(t) spełniającej x(a) = A, x(b) = B, obrót wykresu wokół osi OT ma minimalną powierzchnię boczną? Dla jakiej funkcji x(t) wartość jest minimalna? b S(x) = 2π x(t) 1 + (x (t)) 2 dt a 4.1 Ekstremum funkcji 1 zmiennej Rozpatrujemy funkcję x(t) klasy C 1. Warunkiem koniecznym aby funkcja x miała ekstremum lokalne w punkcie t jest zerowanie się pochodnej x (t ) = (punkt stacjonarny). Warunkiem dostatecznym jest zmiana znaku drugiej pochodnej. Jednakże w zagadnieniach praktycznych, gdy wiadomo, że ekstremum istnieje a jest tylko jeden punkt stacjonarny t, możemy stwierdzić, że funkcja x(t) ma w punkcie t ekstremum. Można wówczas nie liczyć drugiej pochodnej. 4.2 Ekstremum funkcjonału Koncentrujemy się na przestrzeni funkcji klasy C 1 : C 1 (a, b) = {x : [a, b] R; istnieje ciągła pochodna x (t)} i jej podprzestrzeni C 1 (a, b; A, B) = {x C 1 (a, b; A, B) ; x(a) = A, x(b) = B} W przestrzeni tej określamy odległość między dwoma funkcjami d(x 1, x 2 ) = max{ x 1 (t) x 2 (t), x 1(t) x 2(t) ; a t b} Funkcjonałem nazywamy kązdą funkcję L : C 1 (a, b; A, B) R. Definicja 4.3 Dany jest funkcjonał L : C 1 (a, b; A, B) R. Mówimy, że L osiąga w punkcie x (czyli w funkcji!) maksimum (minimum) lokalne gdy istnieje liczba r > taka, że dla każdego x C 1 (a, b; A, B) różnego od x i spełniającego d(x, x ) r zachodzi L[x] < L[x ] (L[x] > L[x ]).

17 Uwaga 4.4 W powyższej definicji pytamy o lokalne ekstrema w zbiorze C 1 (a, b; A, B) czyli wśród funkcji różniczkowalnych. Wówczas w literaturze ekstrema te nazywa się słabymi. Tę samą definicję można również stosować do funkcjonałów określonych na (większej) przestrzeni funkcji ciągłych C(a, b). Tutaj ekstremum nazywamy silnym. Jeśli w powyższej definicji nierówność zastąpimy poprzez nierówność nieostrą to określimy ekstrema nieostre. 4.3 Warunek konieczny extremum funkcjonału. Równanie Eulera. Przypomnijmy wzór na pochodną funkcji złożonej. Rozpatrujemy funkcje x(t), y(t) oraz F (x, y). Wówczas pochodna funkcji złożonej F (x(t), y(t)) wyraża się wzorem Twierdzenie 4.5 Euler Eulera Dany jest funkcjonał d F (F (x(t), y(t)) = dt x (x(t), y(t)) x (t) + F y (x(t), y(t)) y (t) L[x] = b a F (t, x(t), x (t))dt Jeśli funkcjonał ten osiąga w punkcie x C 1 (a, b; A, B) ekstremum (słabe) to spełnione jest równanie [ ] d F dt x (t, x(t), x (t)) F x (t, x(t), x (t)) = Uwaga 4.6 Równanie Eulera jest warunkiem koniecznym na ekstremum funkcjonału ale nie jest warunkiem wystarczającym. Funkcje w której jest ono spełnione nazywamy ekstremalą funkcjonału. Jest to odpowiednik punktu stacjonarnego. Oczywiście, podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, funkcjonał może nie mieć esktremum lokalnego. Przykład 4.7 Znaleźć najmniejszą wartość funkcjonału na przestrzeni funkcji C 1 [, 1;, 1]. A zatem F (t, x, x ) = l[x] = (x (t)) 2 dt 1 + (x (t)) 2. Obliczamy pochodne cząstkowe i wstawiamy do wzoru Eulera. F x = x 1 + (x (t)) ; F 2 x =

18 A stąd równanie Eulera przyjmuje postać d x dt 1 + (x (t)) = 2 x A to oznacza, że wyrażenie jest stałe: x 1+(x (t)) 1+(x = C. Po przekształceniu 2 (t)) x = C 2 1 C 2, a więc x (t) jest stałe, a więc x(t) = at+b. Wstawiając warunki brzegowe x() =, x(1) = 1 uzyskujemy x(t) = t. A zatem funkcja x(t) = t jest jedyną ekstremalą funkcjonału. Na razie nie wiemy czy jest tutaj rzeczywiście minimum lokalne. Ale zauważmy że nasz funkcjonał podaje długość wykresu funcji x(t). Teraz jest oczywiste, że długość tę realizuje odcinek, czyli nasza ekstremala. W konkretnych sytuacjach wzór Eulera może przyjąć prostszą postać. Uwaga 4.8 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od t tzn.. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać L[x] = b a F (x(t), x (t))dt d dt [F x F x ] = czyli F x F x = constans Uwaga 4.9 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od x tzn. L[x] = b a F (t, x (t))dt. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać czyli d dt F x = F x = constans Uwaga 4.1 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od x tzn. L[x] = b a F (t, x(t))dt. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać czyli d dt F x = F x = constans

19 4.4 Rachunek wariacyjny. Zadania Znaleźć ekstremale podanych funkcjonałów odpowiadające danym warunkom brzegowym 1. L[x] = 2 1 (t 2 (x ) 2 + x)dt ; x(1) = x(2) = 1. Odp. x(t) = 1/2 ln t + (ln 2)/t ln 2 2. L[x] = π/2 Odp. x(t) = sin t 3. L[x] = 1 ((x ) 2 x 2 )dt, x() =, x(π/2) = 1. (tx + x 2 2x 2 x )dt x() =, x(1) = a Odp x(t) = t/2 dla a = 1/2. Dla a 1/2 brak ekstremali. 4. L[x] = 1 (x x) 2 dt x() =, x(1) = 2 Odp. x(t) = 2 ex e x e 1 e 5. L[x] = π/2 Odp. x(t) = sint + t 6. L[x] = π/2 ((x ) 2 + 2xt x 2 )dt x() =, x(π/2) = 1 + π/2 ((x ) 2 + 2x sint x 2 )dt x() =, x(π/2) = π/2 Odp. x(t) = 3π/4 πsint (1/2) t cos t

20 5 Równania rózniczkowe cząstkowe. Sprowadzanie do postaci kanonicznej. 5.1 Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej Niech f(x, y) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 oznacza formę kwadratową. Załózmy, że choć jedna z liczb A, B, C nie jest zerem. Niech = B 2 4AC. Lemat 5.1 Istnieje liniowa zamiana zmiennych u = αx + βy v = α x + β y tak, że w nowych współrzędnych forma przyjmuje postać: u 2 v 2 lub u v u 2 ±(u 2 + v 2 ) gdy > (typ hiperboliczny) gdy = (typ paraboliczny) gdy < (typ eliptyczny) Przykład 5.2 Określić typy i sprowadzić do postaci kanonicznej formy: f(x, y) = x 2 4xy 2y 2 g(x, y) = 9x 2 6xy + 4y 2 h(x, y) = x 2 + 4xy 5y 2

21 5.2 Równania rózniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 Równaniem różniczkowym cząstkowym (rzędu 2, dwu zmiennych x, y) nazywamy zależność między zmiennymi niezależnymi x, y, funkcją szukaną u(x, y) i jej pochodnymi: u x, u y, u xx, u xy, u yy w postaci równości: F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy) = W dalszym ciągu omawiać będziemy równania różniczkowe cząstkowe liniowe. Równanie takie ma postać: Au xx + Bu xy + Cu yy + au x + bu y + cu + d = gdzie A, B, C, a, b, c, d są danymi funkcjami, zmiennych x, y o ciągłych pochodnych. Definicja 5.3 W zależności od znaku = B 2 4AC okleślamy typ (hiperboliczny, paraboliczny, eliptyczny) równania. Uwaga 5.4 Znak nie zmienia się przy zmianie wspólrzednych: ξ = f(x, y), η = g(x, y) o niezerowym jakobianie: det ξ x η x ξ y η y

22 Twierdzenie 5.5 Każde równanie rózniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 rzędu daje się sprowadzić do postaci kanonicznej: u ξξ u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = u ξη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = (typ hiperboliczny) (typ hiperboliczny) (typ paraboliczny) u ξξ + u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = (typ eliptyczny) Jak to uzyskać? Stosujac zamianę zmiennych ξ = f(x, y) η = g(x, y) uzyskujemy równanie gdzie wspólczynniki dane są wzorami A 1 u ξξ + B 1 u ξη + C 1 u ηη + a 1 u ξ + b 1 u η + cu + d = A 1 = A(f x) 2 + Bf x f y + C(f y) 2 B 1 = 2Af x g x + B(f x g y + f y g x) + 2Cf y g y C 1 = A(g x) 2 + Bg x g y + C(g y) 2 a 1 = Af xx + Bf xy + Cf yy + af x + bf y b 1 = Ag xx + Bg xy + Cg yy + ag x + bg y Jak dobrać funkcje ξ = f(x, y), η = g(x, y) aby uzyskać postać kanoniczną (tzn. aby odpowiednie A 1, B 1, C 1 się zerowały)? Definicja 5.6 Charakterystykami równania cząstkowego liniowego nazywamy krzywe całkowe równań różniczkowych zwyczajnych: Ady 2 Bdxdy + Cdx 2 = tzn. równań dy dx = B 2A dy dx = B + 2A Niech f(x, y) = C 1, g(x, y) = C 2 będą całkami pierwszymi tych równań.

23 Typ hiperboliczny: Przyjmujemy ξ = f(x, y), η = g(x, y) lub Typ paraboliczny: ξ = f(x, y) + g(x, y), η = f(x, y) g(x, y) ξ = f(x, y), η = ϕ(x, y) gdzie ϕ jest jakąkolwiek funkcją niezależna od f(x, y) (najczęściej ϕ = x lub ϕ = y). Typ eliptyczny ξ = α(x, y), η = β(x, y) gdzie f(x, y) = α(x, y) + iβ(x, y)

24 5.3 Sprowadzanie równania różniczkowego cząstkowego do postaci kanonicznej. Zadania 1. Wyznaczyć obszary, w których podane równanie rózniczkowe jest typu eliptycznego: u xx 2y u xy (x 2 25) u yy + u x + 5u y + u = 2. Wyznaczyć obszary, w których podane równanie rózniczkowe jest typu hiperbolicznego: u xx + 4x u xy + (3x 2 x y)u yy = 3. Określić typ równania i sprowadzić do postaci kanonicznej (a) u xx + 2u xy 3u yy + 2u x + 6u y = (b) u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = (c) y u xx + u yy = (d) x 2 u xx y 2 u yy = (e) xu xx + yu yy = Odpowiedzi: 1. Wnętrze okręgu x 2 + y 2 < Wnętrze paraboli y > x 2 x 3. a) u ξη + 1/2 u ξ =, ξ = x + y, η = 3x y. b) u ξη + u ηη + u η =, ξ = y 2x, η = x. c) dla y > : u ξξ + u ηη + 1/(3η) u η = dla y < : u ξη 1/(6(ξ η)) (u ξ u η ) = d) u ξη 1/(2ξ) u η, ξ = xy, η = y/x. e) I i III ćwiartka : u ξξ + u ηη (1/ξ) u ξ (1/η) u η = ξ = x 1/2, η = y 1/2, I ćwiartka ξ = ( x) 1/2, η = ( y) 1/2, III ćwiartka II i IV ćwiartka : u ξξ u ηη (1/ξ) u ξ (1/η) u η = ξ = ( x) 1/2, η = y 1/2, ξ = x 1/2, η = ( y) 1/2, II ćwiartka IV ćwiartka

25 5.4 Przykłady równań różniczkowych cząstkowych Równanie drgań struny Równanie drgań membrany u xx 1 a 2 u tt = f(x, t) u xx + u yy 1 a 2 u tt = f(x, t) Równanie przewodnictwa cieplnego na prostej (równanie dyfuzji) u xx 1 a 2 u t = f(x, t) tutaj f(x, t) oznacza zewnętrzne źródła ciepła. u xx + u yy 1 a 2 u t = f(x, t) Oznaczając u = u xx + u yy (laplasjan) można to też zapisać u 1 a 2 u t = Równanie Laplace a u = u xx + u yy = (laplasjan =). 6 Równanie struny 6.1 Struna nieograniczona Uwaga 6.1 Zbiór rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego a(x, t)u xx(u, t) + + z(x, t)u(x, t) = jest przestrzenią liniową. Tzn jeśli u(x, t), v(x, t) są rozwiązaniami to każda ich kombinacja liniowa α u(x, t) + β v(x, t) (gdzie α, β R) są rozwiązaniami tego równania. Rozpatrujemy strunę obustronnie nieskończoną. Rozpatrujemy równanie u xx 1 a 2 u tt = f(x, t) i szukamy rozwiązań u(x, t) określonych dla (x, t) R [, ). Jeśli f(x) to równanie nazywamy jednorodnym. Równanie charakterystyk (dt) 2 1 a 2 (dx)2 =

26 daje (dt 1 a dx)(dt + 1 a dx) = dx = +a dt ; dx = a dt x = at + C 1 ; x = at + C 2 a stąd nowe zmienne W nowych zmiennych uzyskujemy ξ = x at ; η = x + at u ξη = skąd u(ξ, η) = g(ξ) + h(η) gdzie g, h są dowolnymi funkcjami. Wracając do statych zmiennych u(x, t) = g(x at) + h(x + at) Są to dwie fale poruszające w przeciwnych kierunkach z prędkością a. Przypuśćmy, że rozwiązanie u(x, t) spełnia warunki początkowe u(x, ) = f(x), u t (x, ) = ϕ(x) (dla dowolnie zadanych funkcji f(x) oraz ϕ(x)). Wówczas a więc g(x) + h(x) = f(x) a g (x) + a h (x) = ϕ(x) g(x) + h(x) = f(x) g(x) + h(x) = 1 a x g(x) = 1 [ f(x) 1 x 2 a h(x) = 1 [ f(x) + 1 x 2 a ϕ(z)dz ] ϕ(z)dz ] ϕ(z)dz u(x, t) = g(x at) + h(x + at) = 1 [ f(x at) 1 x ] ϕ(z)dz + 1 [ f(x + at) a 2 a = 1 [ x+at ] f(x at) + f(x + at) ϕ(z)dz 2 x at Przykład 6.2 Gdy f(x) = 1 1+x 2, ϕ(x) =. Wówczas x u(x, t) = 1 [ ] (x at) (x + at) 2 ] ϕ(z)dz

27 7 Struna ograniczona 7.1 Przypadek specjalny u t(x, ) =. Rozpatrujemy strunę na odcinku [, l] z zamocowanymi końcami, tzn. równanie różniczkowe u xx 1 a 2 u tt = z warunkami brzegowymi u(, t) = u(l, t) =. Przypuśćmy, że struna w chwili t = spełnia warunki początkowe u(x, ) = f(x), u x(x, ) =. Latwo jest sprawdzić (!), że jeśli warunek początkowy f(x) = sin(πx/l) to rozwiązaniem równania jest u(x, t) = sin(πx/l) cos(aπt/l) Podobnie dla f k (x) = sin(kπx/l) rozwiązaniem równania jest u k (x, t) = sin(kπx/l) cos(kaπt/l). Jeśli f(x) jest dowolnym warunkiem początkowym to 1. Rozkładamy funkcję f(x) w szereg Fouriera sinusów f(x) = a k sin(kπx/l). 2. A wówczas suma a k u k (x, t) = a k sin(kπx/l) cos(kaπt/l) k= k= jest rozwiązaniem spełnijącym warunek początkowy u(x, ) = f(x). k= 7.2 Rozdzielanie zmiennych Dane jest równanie różniczkowe cząstkowe o niewiadomej funkcji u(x, t). Szukamy rozwiązania w postaci iloczynu u(x, t) = X(x) T (t). Metoda ta pozwala na zamianę równania cząstkowego na równania rózniczkowe zwyczajne. Przykład 7.1 Równanie struny ograniczonej u tt = 1 a 2 u xx na odcinku x L. Warunki brzegowe jednorodne u(, t) =, u(l, t) = (końce struny są nieruchome).. d 2 dt (X(x) T (t)) = 1 2 a d 2 (X(x) T (t)) 2 dx2 X T = 1 a 2 X T T T = 1 a X 2 X Zauważmy, że lewa strona zależy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. A zatem wyrażenie to jest stałe T T = 1 a 2 X X = λ

28 gdzie λ R. A stąd dwa równania różniczkowe zwyczajne T + λ T = ; X + a 2 λ X = Ponadto z waruków brzegowych mamy: u(, t) co daje X() T (t). Ponieważ szukamy rozwiązania niezerowego więc X() =. Podobnie u(l, t) daje X(L) =. A zatem uzyskaliśmy układ równań zwyczajnych T (t) + λ T (t) = ; X (x) + a 2 λ X(x) = z warukami brzegowymi X() =, X(L) =.

29 7.3 Równanie struny.zadania 1. Znaleźć rozwiązania równania struny nieograniczonej spełniające warunek początkowy 1 x gdy x 1 (a) u(x, ) = poza tym u xx y tt = ; u t(x, ) = Podać wykres rozwiązania w chwilach t = ; 1/2; 1; 2 [Odp. u(x, t) = 1/2 [F (x t) + f(x + t)] gdzie F (x) oznacza warunek początkowy] (b) u(x, ) =, u t(x, ) = cos 2 x [ Odp. u(x, t) = 1/4 (2t sin 2x sin 2t)] 2. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x 1 u xx (1/4) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(1, t) = oraz warunek początkowy u(x, ) = sin 2πx, u t (x, ) =. 3. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x π [ Odp. u(x, t) = sin 2πx cos πt] u xx (1/4) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(π, t) = oraz warunek początkowy x/π gdy x π/2 u(x, ) = ; u t(x, ) = 1 x/π gdy π/2 x 1 4. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x 1 [ Odp. u(x, t) = 1/π 2 [ sin x cos t sin 3x cos 3t sin 5x cos 5t +... ] u xx (1/a 2 ) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(π, t) = oraz warunek początkowy u(x, ) = x(1 x) ; u t(x, ) = [ Odp. u(x, t) = 4/π 3 [ sin πx cos aπt sin 3πx cos 3aπt sin 5πx cos 5aπt ]

30 7.4 Zagadnienie Sturma-Liouville a Rozpatrujemy równanie różniczkowe (zwyczajne) ẍ = λx. Twierdzenie 7.2 Jeśli równanie ẍ = λx posiada niezerowe rozwiązanie spełniające warunek brzegowy x() = x(l) = to λ jest liczbą postaci λ k = (kπ/l) 2 dla k Z. Wówczas rozwiązaniem spełniającymi podany warunek brzegowy jest funkcja x k (t) = sin(kπt/l) a także każda jej krotność C x k (t) dla C R. Dowód. Najpierw pokażemy, że jesłi takie rozwiązanie istnieje to λ <. Rozpatrzmy równanie charakterystyczne r 2 λ =. Jeśli λ > to = 4λ > a więc mamy dwa pierwiastki rzeczywiste r = ± λ a stąd rozwiązanie ogólne x(t) = C 1 e λt + C 2 e λt Pierwszy warunek początkowy daje = x() = C 1 + C 2 skąd C 2 = C 1 a więc x(t) = C 1 (e λt e λt ). Jednakże teraz nie jest spełniony drugi warunek początkowy bo x(l) = C 1 (e λl e λl ). Jeśli λ = to ẍ = ma rozwiązanie ogólne x(t) = at + b. Jednakże tylko dla a = b = mamy x() = x(l) =. Niech zatem λ = ω 2 <. Wówczas pierwiatkami równania charaterystycznego są t = ±ωi, a stąd rozwiązanie ogólne x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) Z warunku brzegowego x() = uzyskujemy a cos(ω) + b sin(ω) = czyli a =. Tak więc x(t) = b sin(ωt). Teraz warunek brzegowy x(l) = daje b sin(ωl) =. A zatem jeśli b to sin(ωl) = czyli ωl = kπ dla k Z. A zatem dla ω k = kπ/l mamy λ k = ωk 2 = (kπ/l) 2 oraz x k (t) = sin(kπt/l). Przykład 7.3 Równanie ciepła u t = k u xx na odcinku x L. Warunki brzegowe jednorodne u(, t) =, u(l, t) = (końce utrzymywane są w stałej temperaturze T =. d dt (X(x) T (t)) = k d 2 (X(x) T (t)) dx2 X T = k X T 1 k T T = X X Zauważmy, że lewa strona zależy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. A zatem wyrażenie to jest stałe 1 k T T = X X = λ

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA

SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA Rozważmy ciag funkcji: 1, cos πx πx 2πx, sin, cos, sin 2πx,..., cos nπx, sin nπx,...}, gdzie jest pewną iczbą dodatnią. Zauważmy, że na przedziae , da dowonych dwóch

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinny być zatem opanowane

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2. 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo