1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami."

Transkrypt

1 Polecam korzystanie również z poniższych podręczników. 1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. 2. Izydor Dziubiński, Lucjan Siewierski Matematyka dla wyższych szkół technicznych 3. Wojciech Żakowski, Wacław Leksiński Matematyka Część 4

2 1 Równania różniczkowe. Przypomnienie 1.1 Równania rzędu 1 Równanie rzędu 1 ma postać; ẋ(t) = f(t, x(t)) (1) Twierdzenie 1.1 Jeśli f(t, x) jest klasy C 1 ( tzn. f(t, x) posiada pochodne cząstkowe i są one ciągłe) to równanie różniczkowe posiada rozwiązania zależne od jednego parametru. Ogólnie znalezienie rozwiązania równania różniczkowego jest bardzo trudne. Znacznie tudniejsze niż całkowanie Równanie o zmiennych rozdzielonych Równanie o zmiennych rozdzielonych ma postać ẋ = f(t)g(x) (2) Równanie takie sprowadza się do całkowania. Przepisujemy dx dt = f(t)g(x) rozdzielamy zmienne dx g(x) = f(t)dt całkujemy stronami Jeśli umiemy znaleźć funkcje pierwotną obu stron to równanie różniczkowe zostaje zastąpione przez równanie algebraiczne. Przykład 1.2 Znaleźć rozwiązanie równania ẋ = 2xt spełniające warunek początkowy x() = 3. dx dt = 2xt rozdzielamy zmienne dx = 2t dt całkujemy stronami x ln x = t 2 + C ; x = e t2 +C gdzie C R ; x = e C e t2 gdzie C R Oznaczmy C 1 = e C. Wówczas C 1 >. A więc x = C 1 e t2 gdzie C 1 >. A stąd rozwiązanie ogólne x = C 1 e t2 gdzie C 1 R Równanie liniowe rzędu 1 Równanie liniowe rzędu 1 ma postać ẋ + a(t) x = b(t) (3) Najpierw rozpatrujemy równanie jednorodne ẋ + a(t) x = (4)

3 Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych i jego rozwiąznie ogólne ma postać CORJ = C h(t). Aby uzyskać rozwiązanie danego równania (niejednorodnego) uzmienniamy stałą tzn wstawiamy do równania iloczyn x(t) = C(t) h(t) i wyznaczamy funkję C(t). Przykład 1.3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẋ + x = t Rozwiązujemy równanie jednorodne ẋ + x =. Wówczas CORJ = C e t rozwiązanie równania niejednorodnego w postaci x = C(t)e t. (C(t)e t ) + C(t)e t = t ; (C (t)e t C(t)e t ) + C(t)e t = t ; (!) A zatem szukamy C (t)e t = t ; C (t) = t e t ; C(t) = t e t e t + C 1 A zatem CORN = C(t)e t = (t e t e t + C 1 )e t = t 1 + C 1 e t. Zauważmy, że podanym przykładzie w pewnym momencie zredukowały się wyrażenia z C(t). Nie jest to przypadek. Na tym polega ta metoda. Gdyby C(t) się nie redukowało to oznaczałby pomyłkę w obliczniach. 1.2 Równanie liniowe rzędu 2 o stałych współczynnikach Jest to równanie postaci ẍ + bẋ + cx = f(t) (5) Równanie to jako równanie rzędu 2 posiada rózwiązania zależne od dwu parametrów Równanie liniowe jednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach Rozpatrujemy równanie jednorodne ẍ + bẋ + cx = (6) Twierdzenie 1.4 Zbiór rozwiązań równania (8) jest przestrzenią liniową wymiaru 2. A zatem rozwiązanie ogólne ma postać CORJ = A x 1 (t) + B x 2 (t) gdzie x 1 (t), x 2 (t) są pewnymi rozwiązaniami bazowymi. Pozostaje wyznaczyć (odgadnąć) te rozwiązania. Rozpatrujemy wielomian charakterystyczny aλ 2 + bλ + c = (7) Niech = b 2 4ac. Rozpatrujemy przypadki. >. Wówczas wielomian charakterystyczny ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ 1 λ 2. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e λ1t, e λ2t a więc CORJ = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t. Przykład 1.5 ẍ+5ẋ+6x =. Wówczas = 1 >, λ 1 = 2, λ 2 = 3 a więc CORJ = C 1 e 2t +C 2 e 3t.

4 =. Wówczas wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek rzeczywisty podwójnyλ. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e λt, t e λt a więc CORJ = (C 1 + t C 2 ) e λt. Przykład 1.6 ẍ 4ẋ + 4x =. Wówczas =, λ 1 = λ 2 = 2 a więc CORJ = (C 1 + t C 2 ) e 2t. < Wówczas brak pierwiastków rzeczywistych, są za to dwa pierwiastki zespolone sprzężone λ 1 = α + βi, λ 2 = α βi. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e αt cos(βt), e αt sin(βt). Przykład 1.7 ẍ + 4ẋ + 13x =. Wówczas = 36, λ 1 = 2 + 3i, λ 2 = 2 3i a więc CORJ = C 1 e 2t cos(3t) + C 2 e 2t sin(3t) Równanie liniowe niejednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach Rozpatrujemy równanie niejednorodne ẍ + bẋ + cx = f(t) (8) Łatwo zauważyć, każde dwa rozwiąnia tego równania różnią się o rozwiązanie równania jednorodnego. Twierdzenie 1.8 CORN=CSRN+CORJ A zatem pozostaje odgadnąć jedno rozwiązanie szczególne. Podamy metodę takiego odgadywania dla funkcji typu f(t) = e αt (P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt) gdzie P (t), Q(t) są wielomianami (stopnia n). Wówczas poszukujemy CSRN w postaci e αt ( P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt)) gdy z = α + βi nie jest pierwiastkiem wiel. charakt. CSRN = t r e αt ( P (t) cos(βt) + Q(t) sin(βt)) gdy z = α + βi jest r-krotnym pierwiastkiem wiel. charakt. gdzie P, Q są wielomianami stopnia n. Przykład 1.9 ẍ 3ẋ + 2x = t Wówczas α = (bo nie ma prawej stronie funkcji e αt ) a także β = (bo brak funkcji trygonometrycznych). Liczba z = α + βi = nie jest pierwiastkiem charakterystycznego. A zatem przewidujemy CSRN jako wielomian stopnia 1 tzn. CSRN = at + b. Wstawiamy do równania: (at+b) 3(at+b) +2(at+b) = t, 3a+2(at+b) = t, 2at+(2b 3a) = t, A stąd a = 1/2, b = 3/4, więc CSRN = t/2 + 3/4. Przykład 1.1 ẍ 2ẋ = 4t Wówczas podobie jak wyżej α =, β =. Ale tutaj Liczba z = α + βi = jest (jednokrotnym) pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. A zatem przewidujemy CSRN jako t P (t) gdzie P (t) wielomian stopnia 1 tzn. CSRN = t(at + b) = at 2 + bt.

5 Wstawiamy do równania: (at 2 +bt) 2(at 2 +bt) = 4t, 2a 2(at+b) = 4t, 4at+(2a 2b) = 4t, A stąd a = b = 1, więc CSRN = t 2 t. Przykład 1.11 Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego ẍ + x = 2 cos(t) spełniające warunek początkowy x() = 1, ẋ =. 1. Równanie jednorodne. ẍ + x =. Wielomian charakterystyczny λ =, = 4 <, λ = ±i. A zatem rozwiązaniam bazowymi są cos(t), sin(t) skąd CORJ = A cos(t) + B sin(t). 2. CSRN Po prawej stronie nie występuje e αt czyli α = a ponadto jest cos(t) czyli β = 1 A więc sprawdzamy czy z = α + βi = + 1i = i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. JEST! I to jednokrotnym czyli szukamy CSRN = t(a cos(t) + B sin(t)). Aby wyznaczy A, B obliczamy pochodne (CSRN) = (t(a cos(t) + B sin(t))) = (A + Bt) cos(t) + (B At) sin(t) i wstawiamy do równania (CSRN) = (2B At) cos(t) (2A Bt) sin(t) (CSRN) + CSRN = 2 cos(t) ; (2B At) cos(t) (2A Bt) sin(t) + t(a cos(t) + B sin(t)) = 2 cos(t) ; Porównując wspólczynniki przy takich samych funkcjach trygonometrycznych (!) uzyskujemy A =, B = 1 skąd CSRN = t sin(t) 3. CORN=CSRN+CORJ =t sin(t) + (A cos(t) + B sin(t)). 4. Rozwiązanie spełniające warunki początkowe. Obliczamy (CORN) = sin(t) + t cos(t) A sin(t) + B cos(t) i wstawiamy zadane warunki początkowe. 1 = CORN() = A ; = (CRN) () = B A stąd szukanym rozwiązaniem jest x(t) = t sin(t) + cos(t)

6 1.3 Równania różniczkowe liniowe.zadania Uwaga. We wszystkich zadaniach należy sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wstawiając je do równania. 1. Znaleźć rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych spełniające warunek początkowy (a) ẋ = 3x, x() = 2 (b) ẋ = 1 2t, x() = 2 x 2 (c) ẋ = 2xt 1 + t, x() = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego limiowego (rzędu jeden). (a) ẋ + 2tx = e t2, [x = (C + t)e t2 ] (b) tẋ 2x = t 4, [x = Ct 2 + 1/2 t 4 ] 3. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu dwa; (a) x + 5x + 6x = [C 1 e 3t + C 2 e 2t ] (b) x + 6x + 9x = [(C 1 t + C 2 )e 3t ], (c) 5x 12x + 2x = [(C 1 cos 6t 5 + C 2 cos 6t 5 )e6t/5 ] 4. Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego niejednorodnego : (a) x 3x + 2x = 5t + 2 [(C 1 e 2t + C 2 e t + 5t + 19] 2 4 (b) x + 4x + 2x = 4e t [(C 1 e 2t + C 2 e t e t ] (c) x + 2x = cos 2t [(C 1 + C 2 e 2t + 1 sin 2t 1 cos 2t] 8 8 (d) x 3x + 2x = e t [C 1 e 2t + C 2 e t te t ] Następnym razem będziemy używać: całkowania przez części, całek niewłaściwych (gdy obszarem całkowania jest półprosta [a, )) oraz rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste. Zachęcam do roazwiązania zadań przygotowawczych. 1. Obliczyć całki niewłaściwe: e 2t dt = 1 2 ; t e t dt [ 1 2 ; 1] 2. Rozłożyć funkcje wymierne na ułamki proste: 5 x 2 x 6 ; x 6 x 2 + 3x 4 [ 1 x 3 1 x+2 ; 1 x x+4 ]

7 2 Trasformata Laplace a Definicja 2.1 Funkcję f : R R nazywamy oryginałem gdy f i jej pochodna f są przedziałami ciągłe, f(t) = dla t <, istnieją stałe M, λ takie, że f(t) M e λt. Przykład 2.2. Funkcje ograniczone z ciągłą pochodną, np. sin(at),cos(at), wielomiany, e at, e t2 nie jest oryginałem bo zbyt szybko rośnie. Przyjmujemy, ze wszystkie omawiane tu funkcje są równe zeru dla t <. Dla oryginału f(t) określamy nową funkcję: L[f] = F wzorem: F (s) = f(t)e st dt Piszemy wówczas L[f](s) = F (s). Funkcję F (s) nazywamy obrazem. Nie każda funkcja jest obrazem: Twierdzenie 2.3 Jeśli F (s) jest obrazem to lim F (s) = s Przykład 2.4 Obliczyć L[1]. = lim T F (s) = A zatem L[1] jest równe F (s) = 1 s. [ 1/s e st ] T 1 e st dt = lim T T 1 e st dt = lim [ 1/s e st + 1/s ] = 1/s T Podobnie można uzasadnić wzory (całkowanie przez części). L[e at ](s) = 1 s a s L[cos(bt)](s) = s 2 + b 2 L[sin(bt)](s) = L[t n ](s) = n! s n+1 b s 2 + b 2

8 2.1 Własności transformaty Liniowość transformaty: L[f + g] = L[f] + L[g] L[αf] = αl[f] Przykład 2.5. L[3 e 2t + 2 sin t] = 3L[1] = L[e 2t ] + 2L[sin t] = 3 s 1 s s 2 +1 Różniczkowanie oryginału. L(f ) = s L(f) f() n-krotne różniczkowanie oryginału. L(f ) = s L(f) f() L(f ) = s 2 L(f) sf() f () L(f ) = s 3 L(f) s 2 f() sf () f () L(f (n) ) = s n L(f) s n 1 f() s n 2 f ()... f (n 1) () Trasformata Laplace a jest różnowartościowa tzn. różnym funkcjom odpowiadają różne obrazy, a zatem można mówić o transfromacie odwrotnej: L 1. ẋ + 2x = 1 Przykład 2.6 Rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym: x() = 2 A zatem x(t) = 3 2 e 2t L[ẋ] + 2L[x] = L[1] ; sx = 2 + 2X = 1 s X(s + 2) = ; X = 2 s s s(s + 2) X = 2 s s s + 2 = s s

9 Oryginał f(t) Transformata L[f(t)](s) 1 1 s 1 t s 2 t 2 2 s 3 t n n! s n+1 e at 1 s a t e at 1 (s a) 2 t n e at n! (s a) n+1 s cos(at) s 2 + a 2 a sin(at) s 2 + a 2 Oryginał f(t) t cos(at) t sin(at) e αt cos(βt) e αt sin(βt) cosh(at) sinh(at) f (t) Transformata L[f(t)](s) s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 2as (s 2 + a 2 ) 2 s α (s α) 2 + β 2 β (s α) 2 + β 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 sf (s) f() f (t) s 2 F (s) sf() f ()

10 2.2 Transformata Laplace a. Zadania 1. Znaleźć transformatę Laplace a funkcji (a) f(t) = 5 e 2t (b) f(t) = t (c) f(t) = e 2t e t (d) f(t) = t 2 [F (s) = 4s 1 s 2 2s ] [F (s) = 1/s 2 ] [F (s) = 3 s 2 s+2 ] [F (s) = 2/s 3 ] 2. Dla danego obrazu znaleźć oryginał (a) F (s) = 1 s 2 1 [f(t) = et e t 2 ] (b) F (s) = 1 s(s 2) 2 [f(t) = 1 4 e2t (2t 1) ] (c) F (s) = 1 s 2 +s (d) F (s) = s2 +s+1 s 3 +s (e) F (s) = s 1 s 2 2s 3 [f(t) = 1 e t ] [f(t) = 1 + sin t] [f(t) = 1 2 e3t e t ] 3. Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego, spełniające dany warunek początkowy, stosując transformatę Laplace a (a) ẋ = 5 2t, x() = 1 [x(t) = t 2 + 5t + 1] (b) ẍ + 2ẋ + 1x = 1, x() = ẋ() = [x(t) = cos 3t sin 3t] (c) ẍ ẋ 2x = 1, x() = 1, ẋ() = [x(t) = e2t + e t ] (d) ẍ + 4ẋ + 13x = 2 e t, x() =, ẋ() = 1 [x(t) = 1 5 [e t e 2t cos 3t 2e 2t sin 3t]] (e) ẍ 2ẋ + x = 1, x() =, ẋ() = 1 [x(t) = 1 e t + 2t e t ]

11 3 Szeregi Fouriera. Lemat 3.1 Niech f :< a, a > R. Wówczas: jeśli f jest nieparzysta to +a a f(x)dx =, jeśli f jest parzysta to +a a f(x)dx = 2 +a f(x)dx Lemat 3.2 f, g :< a, a > R. Wówczas: jeśli obie funkcje f, g są jednocześnie parzyste lub jednocześnie nieparzyste to iloczyn f g jest funkcją parzystą, jeśli jedna z funkcji jest parzysta a druga nieparzysla to iloczyn jest funkcją nieparzystą. Problem. Czy można przedstawić dowolną funkcję f :< π, +π > R jako sumę szeregu f(x) = a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) n=1 Przypuśćmy, że zachodzi taka równość. Ile wynoszą wówczas współczynniki a k, b k? Całkujemy obustronnie ( na przedziale < π, +π >) = π π f(x)dx = π a 2 dx + n=1 ( a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)))dx ( a n n=1 π cos(nx)dx + b n = a 2 2π = π a π ) sin(nx)dx A zatem a = 1 f(x)dx. π π Aby wyznaczyć a m (m 1) mnożymy obie strony równości przez cos(mx) i całkujemy: a f(x) cos(mx)dx = π π 2 cos(mx)dx+ ) (a n cos(nx) cos(mx)dx + b n sin(nx) cos(mx)dx = ( ) n=1 π π Mają miejsce wzory: cos(mx)dx =, π cos(mx) sin(nx)dx = (bo iloczyn jest funkcją nieparzystą), π

12 gdy m n cos(mx) cos(nx)dx = π π gdy m = n A zatem w podanej sumie mamy π f(x) cos(mx)dx = ( ) = a m cos 2 (mx)dx = a m π π a zatem Podobnie można pokazać, że a m = 1 π π f(x) cos(mx)dx b m = 1 π π f(x) sin(mx)dx Podobne wzory uzyskujemy dla dowolnego przedziału < l, +l >. Wówczas funkcje sin(nx), cos(nx) należy zastąpić przez sin(nxπ/l), cos(nxπ/l). Aby jednak takie rozwinięcie miało miejsce potrzebne są pewne założenia: Twierdzenie 3.3 Jeśli funkcja f :< l, +l > R spełnia warunki Dirichleta tzn. 1. jest ograniczona, 2. jest przedziałami monotoniczna, 3. w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice prawo- i lewostronna oraz f(x) = f(x ) + f(x + ) 2 Wówczas funkcja f(x) jest sumą szeregu sinusów i cosinusów tzn. w każdym punkcie zachodzi równość: gdzie f(x) = a 2 + (a n cos(nxπ/l) + b n sin(nxπ/l)) n=1 a n = 1/l b n = 1/l +l l +l l f(x) cos(nxπ/l)dx f(x) sin(nxπ/l)dx Uwaga. jeśli f(x) jest funkcją parzystą to b n = szereg samych cosinusów, jeśli f(x) jest funkcją nieparzystą to a n = szereg samych sinusów.

13 3.1 Rozwinięcie w szereg samych (co-)sinusów Dana jest funkcja f : (, l) R. Przedłużymy ją na odcinek < l, +l > w sposób parzysty a następnie w sposób nieparzysty i do uzyskanych funkcji zastosujemy powyższe wzory. Przedłużamy f(x) w sposób parzysty. Określamy f :< l, +l > R wzorem f (x) = f( x ) (i dodatkowo w punktach, ±l wartość funkcji f (x) jest równa granicy funkcji f). Wówczas f jest funkcją parzystą a zatem rozwija się w szereg samych cosinusów, gdzie a n = 1/l +l l Ponieważ f (x) = f(x) dla < x < l f (x) cos(nxπ/l)dx = 2/l +l f(x) cos(nxπ/l)dx Twierdzenie 3.4 Funkcja f : (, l) R spełniająca warunki Dirichleta rozwija się w szereg samych cosinusów: gdzie f(x) = a 2 + a n = 2/l +l n=1 a n cos(nxπ/l) f(x) cos(nxπ/l)dx Przedłużamy f(x) w sposób nieparzysty. Określamy f :< l, +l > R f(x) gdy < x < l f (x) = f( x) gdy l < x < gdy x =, ±l Wówczas f jest funkcją nieparzystą, a więc rozwija się w szereg samych sinusów, przy czym b n = 1/l +l Ponieważ f (x) = f(x) dla < x < l l f (x) sin(nxπ/l)dx = 2/l +l f(x) sin(nxπ/l)dx Twierdzenie 3.5 Funkcja f : (, l) R spełniająca warunki Dirichleta rozwija się w szereg samych sinusów: f(x) = b n sin(nxπ/l) gdzie b n = 2/l n=1 +l f(x) sin(nxπ/l)dx

14 3.2 Szeregi Fouriera. Zadania. 1. Znaleźć rozwinięcie Fouriera. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) (b) Odp. f(x) 4 π n= 1 gdy π < x < f(x) = +1 gdy < x < π sin(2n + 1)x. Wszystkie granice =. 2n gdy π < x < f(x) = 3 gdy < x < π Odp. f(x) π n= sin(2n + 1)x. Wszystkie granice = 2. 2n + 1 (c) f(x) = x, π x +π. n+1 sin nx Odp. x 2 ( 1). Wszystkie granice =. n n=1 (d) f(x) = x, 1 x +1. Odp. x 2 π n+1 sin nπx ( 1). Wszystkie granice =. n n=1 (e) f(x) = x 2, π x +π. Odp. x 2 4 π n cos nx ( 1). Wszystkie granice = π 2. n 2 n=1 (f) f(x) = x 2, 1 x +1. Odp. x 2 4 π n cos nπx ( 1). Wszystkie granice = 1. 2 n 2 n=1 (g) f(x) = x, 1 x +1. Odp. x π n cos(2n + 1)πx ( 1). Wszystkie granice = 1. 2 (2n + 1) 2 n= 2. Znaleźć rozwinięcie Fouriera w szereg samych cosinusów. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) 1 gdy < x < π/2 f(x) = gdy π/2 < x < π Odp. f(x) ( 1) n cos(2n + 1)x. Granice: dla x =, 1 dla x = π. n=1

15 (b) f(x) = x 2, x 2 Odp. x n=1 ( 1) n π 2 n 2 πnx cos 2. Granice: dla x =, 4 dla x = Znaleźć rozwinięcie Fouriera w szereg samych sinusów. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości? (a) f(x) = π 4 x 2. < x < π. n sin 2nx Odp. f(x) ( 1) n= 2n. Granice:. (b) f(x) = x 2, x π Odp. x 2 2 ( π + π ( 1) n+1 2 n=1 n + 2 n 3 (( 1)n 1) ) sin nx. Granice: oraz π 2.

16 4 Rachunek wariacyjny Problem 4.1 Znaleźć funkcję x(t) dla której całka b a F (t, x(t), x (t))dt osiąga wartość ekstremalną! (Tutaj a < b są danymi liczbami a F (t, x, x ) daną funkcją.) Przykład 4.2 Dane są liczby a < b oraz A, B. Dla jakiej funkcji x(t) spełniającej x(a) = A, x(b) = B, obrót wykresu wokół osi OT ma minimalną powierzchnię boczną? Dla jakiej funkcji x(t) wartość jest minimalna? b S(x) = 2π x(t) 1 + (x (t)) 2 dt a 4.1 Ekstremum funkcji 1 zmiennej Rozpatrujemy funkcję x(t) klasy C 1. Warunkiem koniecznym aby funkcja x miała ekstremum lokalne w punkcie t jest zerowanie się pochodnej x (t ) = (punkt stacjonarny). Warunkiem dostatecznym jest zmiana znaku drugiej pochodnej. Jednakże w zagadnieniach praktycznych, gdy wiadomo, że ekstremum istnieje a jest tylko jeden punkt stacjonarny t, możemy stwierdzić, że funkcja x(t) ma w punkcie t ekstremum. Można wówczas nie liczyć drugiej pochodnej. 4.2 Ekstremum funkcjonału Koncentrujemy się na przestrzeni funkcji klasy C 1 : C 1 (a, b) = {x : [a, b] R; istnieje ciągła pochodna x (t)} i jej podprzestrzeni C 1 (a, b; A, B) = {x C 1 (a, b; A, B) ; x(a) = A, x(b) = B} W przestrzeni tej określamy odległość między dwoma funkcjami d(x 1, x 2 ) = max{ x 1 (t) x 2 (t), x 1(t) x 2(t) ; a t b} Funkcjonałem nazywamy kązdą funkcję L : C 1 (a, b; A, B) R. Definicja 4.3 Dany jest funkcjonał L : C 1 (a, b; A, B) R. Mówimy, że L osiąga w punkcie x (czyli w funkcji!) maksimum (minimum) lokalne gdy istnieje liczba r > taka, że dla każdego x C 1 (a, b; A, B) różnego od x i spełniającego d(x, x ) r zachodzi L[x] < L[x ] (L[x] > L[x ]).

17 Uwaga 4.4 W powyższej definicji pytamy o lokalne ekstrema w zbiorze C 1 (a, b; A, B) czyli wśród funkcji różniczkowalnych. Wówczas w literaturze ekstrema te nazywa się słabymi. Tę samą definicję można również stosować do funkcjonałów określonych na (większej) przestrzeni funkcji ciągłych C(a, b). Tutaj ekstremum nazywamy silnym. Jeśli w powyższej definicji nierówność zastąpimy poprzez nierówność nieostrą to określimy ekstrema nieostre. 4.3 Warunek konieczny extremum funkcjonału. Równanie Eulera. Przypomnijmy wzór na pochodną funkcji złożonej. Rozpatrujemy funkcje x(t), y(t) oraz F (x, y). Wówczas pochodna funkcji złożonej F (x(t), y(t)) wyraża się wzorem Twierdzenie 4.5 Euler Eulera Dany jest funkcjonał d F (F (x(t), y(t)) = dt x (x(t), y(t)) x (t) + F y (x(t), y(t)) y (t) L[x] = b a F (t, x(t), x (t))dt Jeśli funkcjonał ten osiąga w punkcie x C 1 (a, b; A, B) ekstremum (słabe) to spełnione jest równanie [ ] d F dt x (t, x(t), x (t)) F x (t, x(t), x (t)) = Uwaga 4.6 Równanie Eulera jest warunkiem koniecznym na ekstremum funkcjonału ale nie jest warunkiem wystarczającym. Funkcje w której jest ono spełnione nazywamy ekstremalą funkcjonału. Jest to odpowiednik punktu stacjonarnego. Oczywiście, podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, funkcjonał może nie mieć esktremum lokalnego. Przykład 4.7 Znaleźć najmniejszą wartość funkcjonału na przestrzeni funkcji C 1 [, 1;, 1]. A zatem F (t, x, x ) = l[x] = (x (t)) 2 dt 1 + (x (t)) 2. Obliczamy pochodne cząstkowe i wstawiamy do wzoru Eulera. F x = x 1 + (x (t)) ; F 2 x =

18 A stąd równanie Eulera przyjmuje postać d x dt 1 + (x (t)) = 2 x A to oznacza, że wyrażenie jest stałe: x 1+(x (t)) 1+(x = C. Po przekształceniu 2 (t)) x = C 2 1 C 2, a więc x (t) jest stałe, a więc x(t) = at+b. Wstawiając warunki brzegowe x() =, x(1) = 1 uzyskujemy x(t) = t. A zatem funkcja x(t) = t jest jedyną ekstremalą funkcjonału. Na razie nie wiemy czy jest tutaj rzeczywiście minimum lokalne. Ale zauważmy że nasz funkcjonał podaje długość wykresu funcji x(t). Teraz jest oczywiste, że długość tę realizuje odcinek, czyli nasza ekstremala. W konkretnych sytuacjach wzór Eulera może przyjąć prostszą postać. Uwaga 4.8 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od t tzn.. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać L[x] = b a F (x(t), x (t))dt d dt [F x F x ] = czyli F x F x = constans Uwaga 4.9 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od x tzn. L[x] = b a F (t, x (t))dt. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać czyli d dt F x = F x = constans Uwaga 4.1 Gdy funkcja F (t, x, x ) nie zależy od x tzn. L[x] = b a F (t, x(t))dt. Wówczas wzór Eulera przyjmuje postać czyli d dt F x = F x = constans

19 4.4 Rachunek wariacyjny. Zadania Znaleźć ekstremale podanych funkcjonałów odpowiadające danym warunkom brzegowym 1. L[x] = 2 1 (t 2 (x ) 2 + x)dt ; x(1) = x(2) = 1. Odp. x(t) = 1/2 ln t + (ln 2)/t ln 2 2. L[x] = π/2 Odp. x(t) = sin t 3. L[x] = 1 ((x ) 2 x 2 )dt, x() =, x(π/2) = 1. (tx + x 2 2x 2 x )dt x() =, x(1) = a Odp x(t) = t/2 dla a = 1/2. Dla a 1/2 brak ekstremali. 4. L[x] = 1 (x x) 2 dt x() =, x(1) = 2 Odp. x(t) = 2 ex e x e 1 e 5. L[x] = π/2 Odp. x(t) = sint + t 6. L[x] = π/2 ((x ) 2 + 2xt x 2 )dt x() =, x(π/2) = 1 + π/2 ((x ) 2 + 2x sint x 2 )dt x() =, x(π/2) = π/2 Odp. x(t) = 3π/4 πsint (1/2) t cos t

20 5 Równania rózniczkowe cząstkowe. Sprowadzanie do postaci kanonicznej. 5.1 Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej Niech f(x, y) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 oznacza formę kwadratową. Załózmy, że choć jedna z liczb A, B, C nie jest zerem. Niech = B 2 4AC. Lemat 5.1 Istnieje liniowa zamiana zmiennych u = αx + βy v = α x + β y tak, że w nowych współrzędnych forma przyjmuje postać: u 2 v 2 lub u v u 2 ±(u 2 + v 2 ) gdy > (typ hiperboliczny) gdy = (typ paraboliczny) gdy < (typ eliptyczny) Przykład 5.2 Określić typy i sprowadzić do postaci kanonicznej formy: f(x, y) = x 2 4xy 2y 2 g(x, y) = 9x 2 6xy + 4y 2 h(x, y) = x 2 + 4xy 5y 2

21 5.2 Równania rózniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 Równaniem różniczkowym cząstkowym (rzędu 2, dwu zmiennych x, y) nazywamy zależność między zmiennymi niezależnymi x, y, funkcją szukaną u(x, y) i jej pochodnymi: u x, u y, u xx, u xy, u yy w postaci równości: F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy) = W dalszym ciągu omawiać będziemy równania różniczkowe cząstkowe liniowe. Równanie takie ma postać: Au xx + Bu xy + Cu yy + au x + bu y + cu + d = gdzie A, B, C, a, b, c, d są danymi funkcjami, zmiennych x, y o ciągłych pochodnych. Definicja 5.3 W zależności od znaku = B 2 4AC okleślamy typ (hiperboliczny, paraboliczny, eliptyczny) równania. Uwaga 5.4 Znak nie zmienia się przy zmianie wspólrzednych: ξ = f(x, y), η = g(x, y) o niezerowym jakobianie: det ξ x η x ξ y η y

22 Twierdzenie 5.5 Każde równanie rózniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 rzędu daje się sprowadzić do postaci kanonicznej: u ξξ u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = u ξη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = (typ hiperboliczny) (typ hiperboliczny) (typ paraboliczny) u ξξ + u ηη + F (u ξ, u η, u, ξ, η) = (typ eliptyczny) Jak to uzyskać? Stosujac zamianę zmiennych ξ = f(x, y) η = g(x, y) uzyskujemy równanie gdzie wspólczynniki dane są wzorami A 1 u ξξ + B 1 u ξη + C 1 u ηη + a 1 u ξ + b 1 u η + cu + d = A 1 = A(f x) 2 + Bf x f y + C(f y) 2 B 1 = 2Af x g x + B(f x g y + f y g x) + 2Cf y g y C 1 = A(g x) 2 + Bg x g y + C(g y) 2 a 1 = Af xx + Bf xy + Cf yy + af x + bf y b 1 = Ag xx + Bg xy + Cg yy + ag x + bg y Jak dobrać funkcje ξ = f(x, y), η = g(x, y) aby uzyskać postać kanoniczną (tzn. aby odpowiednie A 1, B 1, C 1 się zerowały)? Definicja 5.6 Charakterystykami równania cząstkowego liniowego nazywamy krzywe całkowe równań różniczkowych zwyczajnych: Ady 2 Bdxdy + Cdx 2 = tzn. równań dy dx = B 2A dy dx = B + 2A Niech f(x, y) = C 1, g(x, y) = C 2 będą całkami pierwszymi tych równań.

23 Typ hiperboliczny: Przyjmujemy ξ = f(x, y), η = g(x, y) lub Typ paraboliczny: ξ = f(x, y) + g(x, y), η = f(x, y) g(x, y) ξ = f(x, y), η = ϕ(x, y) gdzie ϕ jest jakąkolwiek funkcją niezależna od f(x, y) (najczęściej ϕ = x lub ϕ = y). Typ eliptyczny ξ = α(x, y), η = β(x, y) gdzie f(x, y) = α(x, y) + iβ(x, y)

24 5.3 Sprowadzanie równania różniczkowego cząstkowego do postaci kanonicznej. Zadania 1. Wyznaczyć obszary, w których podane równanie rózniczkowe jest typu eliptycznego: u xx 2y u xy (x 2 25) u yy + u x + 5u y + u = 2. Wyznaczyć obszary, w których podane równanie rózniczkowe jest typu hiperbolicznego: u xx + 4x u xy + (3x 2 x y)u yy = 3. Określić typ równania i sprowadzić do postaci kanonicznej (a) u xx + 2u xy 3u yy + 2u x + 6u y = (b) u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = (c) y u xx + u yy = (d) x 2 u xx y 2 u yy = (e) xu xx + yu yy = Odpowiedzi: 1. Wnętrze okręgu x 2 + y 2 < Wnętrze paraboli y > x 2 x 3. a) u ξη + 1/2 u ξ =, ξ = x + y, η = 3x y. b) u ξη + u ηη + u η =, ξ = y 2x, η = x. c) dla y > : u ξξ + u ηη + 1/(3η) u η = dla y < : u ξη 1/(6(ξ η)) (u ξ u η ) = d) u ξη 1/(2ξ) u η, ξ = xy, η = y/x. e) I i III ćwiartka : u ξξ + u ηη (1/ξ) u ξ (1/η) u η = ξ = x 1/2, η = y 1/2, I ćwiartka ξ = ( x) 1/2, η = ( y) 1/2, III ćwiartka II i IV ćwiartka : u ξξ u ηη (1/ξ) u ξ (1/η) u η = ξ = ( x) 1/2, η = y 1/2, ξ = x 1/2, η = ( y) 1/2, II ćwiartka IV ćwiartka

25 5.4 Przykłady równań różniczkowych cząstkowych Równanie drgań struny Równanie drgań membrany u xx 1 a 2 u tt = f(x, t) u xx + u yy 1 a 2 u tt = f(x, t) Równanie przewodnictwa cieplnego na prostej (równanie dyfuzji) u xx 1 a 2 u t = f(x, t) tutaj f(x, t) oznacza zewnętrzne źródła ciepła. u xx + u yy 1 a 2 u t = f(x, t) Oznaczając u = u xx + u yy (laplasjan) można to też zapisać u 1 a 2 u t = Równanie Laplace a u = u xx + u yy = (laplasjan =). 6 Równanie struny 6.1 Struna nieograniczona Uwaga 6.1 Zbiór rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego a(x, t)u xx(u, t) + + z(x, t)u(x, t) = jest przestrzenią liniową. Tzn jeśli u(x, t), v(x, t) są rozwiązaniami to każda ich kombinacja liniowa α u(x, t) + β v(x, t) (gdzie α, β R) są rozwiązaniami tego równania. Rozpatrujemy strunę obustronnie nieskończoną. Rozpatrujemy równanie u xx 1 a 2 u tt = f(x, t) i szukamy rozwiązań u(x, t) określonych dla (x, t) R [, ). Jeśli f(x) to równanie nazywamy jednorodnym. Równanie charakterystyk (dt) 2 1 a 2 (dx)2 =

26 daje (dt 1 a dx)(dt + 1 a dx) = dx = +a dt ; dx = a dt x = at + C 1 ; x = at + C 2 a stąd nowe zmienne W nowych zmiennych uzyskujemy ξ = x at ; η = x + at u ξη = skąd u(ξ, η) = g(ξ) + h(η) gdzie g, h są dowolnymi funkcjami. Wracając do statych zmiennych u(x, t) = g(x at) + h(x + at) Są to dwie fale poruszające w przeciwnych kierunkach z prędkością a. Przypuśćmy, że rozwiązanie u(x, t) spełnia warunki początkowe u(x, ) = f(x), u t (x, ) = ϕ(x) (dla dowolnie zadanych funkcji f(x) oraz ϕ(x)). Wówczas a więc g(x) + h(x) = f(x) a g (x) + a h (x) = ϕ(x) g(x) + h(x) = f(x) g(x) + h(x) = 1 a x g(x) = 1 [ f(x) 1 x 2 a h(x) = 1 [ f(x) + 1 x 2 a ϕ(z)dz ] ϕ(z)dz ] ϕ(z)dz u(x, t) = g(x at) + h(x + at) = 1 [ f(x at) 1 x ] ϕ(z)dz + 1 [ f(x + at) a 2 a = 1 [ x+at ] f(x at) + f(x + at) ϕ(z)dz 2 x at Przykład 6.2 Gdy f(x) = 1 1+x 2, ϕ(x) =. Wówczas x u(x, t) = 1 [ ] (x at) (x + at) 2 ] ϕ(z)dz

27 7 Struna ograniczona 7.1 Przypadek specjalny u t(x, ) =. Rozpatrujemy strunę na odcinku [, l] z zamocowanymi końcami, tzn. równanie różniczkowe u xx 1 a 2 u tt = z warunkami brzegowymi u(, t) = u(l, t) =. Przypuśćmy, że struna w chwili t = spełnia warunki początkowe u(x, ) = f(x), u x(x, ) =. Latwo jest sprawdzić (!), że jeśli warunek początkowy f(x) = sin(πx/l) to rozwiązaniem równania jest u(x, t) = sin(πx/l) cos(aπt/l) Podobnie dla f k (x) = sin(kπx/l) rozwiązaniem równania jest u k (x, t) = sin(kπx/l) cos(kaπt/l). Jeśli f(x) jest dowolnym warunkiem początkowym to 1. Rozkładamy funkcję f(x) w szereg Fouriera sinusów f(x) = a k sin(kπx/l). 2. A wówczas suma a k u k (x, t) = a k sin(kπx/l) cos(kaπt/l) k= k= jest rozwiązaniem spełnijącym warunek początkowy u(x, ) = f(x). k= 7.2 Rozdzielanie zmiennych Dane jest równanie różniczkowe cząstkowe o niewiadomej funkcji u(x, t). Szukamy rozwiązania w postaci iloczynu u(x, t) = X(x) T (t). Metoda ta pozwala na zamianę równania cząstkowego na równania rózniczkowe zwyczajne. Przykład 7.1 Równanie struny ograniczonej u tt = 1 a 2 u xx na odcinku x L. Warunki brzegowe jednorodne u(, t) =, u(l, t) = (końce struny są nieruchome).. d 2 dt (X(x) T (t)) = 1 2 a d 2 (X(x) T (t)) 2 dx2 X T = 1 a 2 X T T T = 1 a X 2 X Zauważmy, że lewa strona zależy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. A zatem wyrażenie to jest stałe T T = 1 a 2 X X = λ

28 gdzie λ R. A stąd dwa równania różniczkowe zwyczajne T + λ T = ; X + a 2 λ X = Ponadto z waruków brzegowych mamy: u(, t) co daje X() T (t). Ponieważ szukamy rozwiązania niezerowego więc X() =. Podobnie u(l, t) daje X(L) =. A zatem uzyskaliśmy układ równań zwyczajnych T (t) + λ T (t) = ; X (x) + a 2 λ X(x) = z warukami brzegowymi X() =, X(L) =.

29 7.3 Równanie struny.zadania 1. Znaleźć rozwiązania równania struny nieograniczonej spełniające warunek początkowy 1 x gdy x 1 (a) u(x, ) = poza tym u xx y tt = ; u t(x, ) = Podać wykres rozwiązania w chwilach t = ; 1/2; 1; 2 [Odp. u(x, t) = 1/2 [F (x t) + f(x + t)] gdzie F (x) oznacza warunek początkowy] (b) u(x, ) =, u t(x, ) = cos 2 x [ Odp. u(x, t) = 1/4 (2t sin 2x sin 2t)] 2. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x 1 u xx (1/4) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(1, t) = oraz warunek początkowy u(x, ) = sin 2πx, u t (x, ) =. 3. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x π [ Odp. u(x, t) = sin 2πx cos πt] u xx (1/4) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(π, t) = oraz warunek początkowy x/π gdy x π/2 u(x, ) = ; u t(x, ) = 1 x/π gdy π/2 x 1 4. Znaleźć rozwiązania równania struny ograniczonej x 1 [ Odp. u(x, t) = 1/π 2 [ sin x cos t sin 3x cos 3t sin 5x cos 5t +... ] u xx (1/a 2 ) y tt = spełniające warunek brzegowy u(, t) = u(π, t) = oraz warunek początkowy u(x, ) = x(1 x) ; u t(x, ) = [ Odp. u(x, t) = 4/π 3 [ sin πx cos aπt sin 3πx cos 3aπt sin 5πx cos 5aπt ]

30 7.4 Zagadnienie Sturma-Liouville a Rozpatrujemy równanie różniczkowe (zwyczajne) ẍ = λx. Twierdzenie 7.2 Jeśli równanie ẍ = λx posiada niezerowe rozwiązanie spełniające warunek brzegowy x() = x(l) = to λ jest liczbą postaci λ k = (kπ/l) 2 dla k Z. Wówczas rozwiązaniem spełniającymi podany warunek brzegowy jest funkcja x k (t) = sin(kπt/l) a także każda jej krotność C x k (t) dla C R. Dowód. Najpierw pokażemy, że jesłi takie rozwiązanie istnieje to λ <. Rozpatrzmy równanie charakterystyczne r 2 λ =. Jeśli λ > to = 4λ > a więc mamy dwa pierwiastki rzeczywiste r = ± λ a stąd rozwiązanie ogólne x(t) = C 1 e λt + C 2 e λt Pierwszy warunek początkowy daje = x() = C 1 + C 2 skąd C 2 = C 1 a więc x(t) = C 1 (e λt e λt ). Jednakże teraz nie jest spełniony drugi warunek początkowy bo x(l) = C 1 (e λl e λl ). Jeśli λ = to ẍ = ma rozwiązanie ogólne x(t) = at + b. Jednakże tylko dla a = b = mamy x() = x(l) =. Niech zatem λ = ω 2 <. Wówczas pierwiatkami równania charaterystycznego są t = ±ωi, a stąd rozwiązanie ogólne x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) Z warunku brzegowego x() = uzyskujemy a cos(ω) + b sin(ω) = czyli a =. Tak więc x(t) = b sin(ωt). Teraz warunek brzegowy x(l) = daje b sin(ωl) =. A zatem jeśli b to sin(ωl) = czyli ωl = kπ dla k Z. A zatem dla ω k = kπ/l mamy λ k = ωk 2 = (kπ/l) 2 oraz x k (t) = sin(kπt/l). Przykład 7.3 Równanie ciepła u t = k u xx na odcinku x L. Warunki brzegowe jednorodne u(, t) =, u(l, t) = (końce utrzymywane są w stałej temperaturze T =. d dt (X(x) T (t)) = k d 2 (X(x) T (t)) dx2 X T = k X T 1 k T T = X X Zauważmy, że lewa strona zależy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. A zatem wyrażenie to jest stałe 1 k T T = X X = λ

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 40092 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Największa wartość

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo