Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka"

Transkrypt

1 Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36

2 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 R nazywamy szereg postaci: c n (x x 0 ) n, gdzie x R oraz c n R dla n = 0, 1, 2,... Uwaga. Przyjmujemy, że 0 0 def = 1. Liczby c n nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Szeregi funkcyjne str. 2/36

3 Promień zbieżności szeregu potęgowego Twierdzenie. Dla każdego szeregu c n (x x 0 ) n dokładnie jedna liczba R 0, + ) o własności: jeżeli x x 0 < R, to szereg bezwzględnie, jeżeli x x 0 > R, to szereg istnieje c n (x x 0 ) n jest zbieżny c n (x x 0 ) n jest rozbieżny. Liczbę R, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności szeregu c n (x x 0 ) n. Szeregi funkcyjne str. 3/36

4 Promień zbieżności szeregu potęgowego Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru: R = lim cn 1 n n lub R = lim n c n c, n+1 o ile granice w tych wzorach istnieją. n Gdy n lim cn =, to R = 0. n Gdy n lim cn = 0, to R =. Szeregi funkcyjne str. 4/36

5 Przykłady Szereg ( ) 5 n (x + 5) n jest szeregiem 3 potęgowym o środku w punkcie x 0 = 5 i promieniu R = 3 5. Szereg (6 3x) n jest szeregiem potęgowym 3 n + 2 n o środku w punkcie x 0 = 2 i promieniu R = 1. Szereg ( x) n jest szeregiem potęgowym o n! środku w punkcie x 0 = 0 i promieniu R =. Szeregi funkcyjne str. 5/36

6 Twierdzenie Cauchy ego-hadamarda Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy szereg ten jest: zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x 0 R, x 0 + R), rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, x 0 R) (x 0 + R, + ). Uwaga. W punktach x 0 R, x 0 + R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x 0. Gdy R =, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej. Szeregi funkcyjne str. 6/36

7 Przedział zbieżności szeregu potęgowego Zbiór tych x R, dla których szereg potęgowy c n (x x 0 ) n jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu. Szeregi funkcyjne str. 7/36

8 Przedział zbieżności szeregu potęgowego Uwaga. Z twierdzenia Cauchy ego-hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może mieć jedną z postaci: (x 0 R, x 0 + R) x 0 R, x 0 + R) x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R (x 0 R, x 0 + R x 0 R, x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R {x 0 } (, + ) R = 0 x 0 R = x 0 Szeregi funkcyjne str. 8/36

9 Przykłady Dla szeregu n=1 1 n (x 2)n mamy przedział zbieżności 1, 3). R = 1 i Dla szeregu n=2 ( 1) n przedział zbieżności 1, 1. Dla szeregu ( 1) n x2n n=2 x n n ln 2 n mamy R = 1 i (2n)! mamy R = i przedział zbieżności (, + ) = R. Szeregi funkcyjne str. 9/36

10 Szereg Taylora i Maclaurina Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n =f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) ! nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x 0. Jeżeli x 0 = 0, to szereg f (n) (0) n! szeregiem Maclaurina funkcji f. x n nazywamy Szeregi funkcyjne str. 10/36

11 Uwaga Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa funkcji f. Na przykład dla funkcji f(x) = e 1 x 2, x 0 0, x = 0 mamy f (n) (0) = 0, dla n = 0, 1, 2, 3,..., i f(x) f (n) (0) x n 0. n! Szeregi funkcyjne str. 11/36

12 Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora Jeżeli funkcja f ma na otoczeniu O punktu x 0 pochodne dowolnego rzędu, dla każdego x O spełniony jest warunek lim n R n (x) = 0, gdzie R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f przy czym ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 1, to f(x) = f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n, dla każdego x O. Szeregi funkcyjne str. 12/36

13 Twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy Jeżeli f(x) = c n (x x 0 ) n, dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x 0, to c n = f (n) (x 0 ) n!, dla n = 0, 1, 2,... Szeregi funkcyjne str. 13/36

14 Przykład Dla funkcji f(x) = 1 x mamy f(1) = 1 oraz f (x) = 1 x 2 f (1) = 1 f (x) = 2 x 3 f (1) = 2 Wówczas f (x) = 6 x 4 f (1) = 3! f (4) (x) = 24 x 5 f (4) (1) = 4!. f (n) (x) = ( 1) n n! x f (n) (1) = ( 1) n n! n+1 1 x = ( 1) n (x 1) n = (1 x) n, dla 0 < x < 2. Szeregi funkcyjne str. 14/36

15 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych 1 1 x = x n = 1 + x + x 2 + x , dla x < 1. e x = x n n! = 1 + x + x2 2 + x3 3! +..., dla x R. sin x= ( 1) n (2n + 1)! x2n+1 =x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., x R. cos x = ( 1) n (2n)! x2n = 1 x2 2 + x4 4! x6 6! +..., x R. Szeregi funkcyjne str. 15/36

16 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych ln(1 + x) = ( 1) n (n + 1) xn+1 = x x2 2 + x3 3 x , 1 < x 1. arc tg x = ( 1) n (2n + 1) x2n+1 = x x3 3 + x5 5 x , 1 < x 1. sinh x= x 2n+1 x3 =x + (2n + 1)! 3! + x5 5! + x7 7! +..., x R. cosh x = x 2n (2n)! = 1 + x2 2 + x4 4! + x6 6! +..., x R. Szeregi funkcyjne str. 16/36

17 Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy: c n (x x 0 ) n = n=1 nc n (x x 0 ) n 1 dla każdego x (x 0 R, x 0 + R). Szeregi funkcyjne str. 17/36

18 Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy: x x 0 c n (t x 0 ) n dt = c n n + 1 (x x 0) n+1 dla każdego x (x 0 R, x 0 + R). Szeregi funkcyjne str. 18/36

19 Sumy ważniejszych szeregów potęgowych x n = 1 1 x, dla x < 1. n=1 nx n = x, dla x < 1. (1 x) 2 n=1 n 2 x n 1 = 1 + x, dla x < 1. (1 x) 3 x n n = ln(1 x), dla 1 x < 1. Szeregi funkcyjne str. 19/36

20 Aproksymacja funkcji przez wielomian Wzór f(x) ==f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x), 1! n! gdzie R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 < n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f przy czym ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 1, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować) funkcję f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora) f(x) f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Szeregi funkcyjne str. 20/36

21 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 1 y y = e x y = 1 + x Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

22 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 2 y y = e x y = 1 + x + x2 2 Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

23 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 3 y y = e x y = 1 + x + x2 2 + x3 6 Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

24 Szereg trygonometryczny Szeregiem trygonometrycznym na przedziale l, l nazywamy szereg postaci a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l, gdzie a 0 R, a n, b n R dla n N, l jest pewną liczbą dodatnią. Szeregi funkcyjne str. 22/36

25 Szereg trygonometryczny Fouriera Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale l, l. Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny a ( a n cos nπx + b n sin nπx ), gdzie l l n=1 oraz a n = 1 l b n = 1 l l l l l f(x) cos nπx l dx, n = 0, 1, 2,... f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... l Piszemy symbolicznie f(x) a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l. Szeregi funkcyjne str. 23/36

26 Funkcję f, ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczna w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna. Szeregi funkcyjne str. 24/36

27 Warunki Dirichleta Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale a, b warunki Dirichleta, jeżeli 1 f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b), 2 f jest ciągła w przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości x 0, takich że f(x 0 ) = 1 2 ( lim x x 0 f(x) + lim x x + 0 f(x) 3 w końcach przedziału (a, b) spełnione są równości f(a) = f(b) = 1 2 ( ) ) lim f(x) + lim f(x) x b x a + Powyższe warunki nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim warunkiem Dirichleta. Szeregi funkcyjne str. 25/36

28 Twierdzenie Dirichleta Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale l, l warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera f(x) = a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l, (1) dla każdego x l, l. Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość (1) jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny tej funkcji. Szeregi funkcyjne str. 26/36

29 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest parzysta, to oraz a 0 = 2 l l 0 b n = 0, n = 1, 2,... f(x)dx i a n = 2 l Wówczas rozwinięcie (1) dla funkcji parzystej przyjmuje postać l 0 f(x) cos nπx dx, n = 1, 2,.. l f(x) = a n=1 a n cos nπx l. (2) Szeregi funkcyjne str. 27/36

30 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to oraz b n = 2 l l 0 a n = 0, n = 0, 1, 2,... f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... l Wówczas rozwinięcie (1) dla funkcji nieparzystej przyjmuje postać f(x) = n=1 b n sin nπx l. (3) Szeregi funkcyjne str. 28/36

31 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Rozważmy funkcję f, która jest określona i spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale otwartym (0, l). Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0, l) w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera składającego się z samych sinusów (3), albo samych kosinusów (2). Szeregi funkcyjne str. 29/36

32 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Rozpatrzmy funkcję pomocniczą f, określoną na przedziale l, l nazywaną przedłużeniem funkcji f. Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg sinusów (3) należy przedłużyć funkcję f w sposób nieparzysty. f (x) = 0, dla x = l f( x), dla l < x < 0 0, dla x = 0 f(x), dla 0 < x < l 0, dla x = l Szeregi funkcyjne str. 30/36

33 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg kosinusów (3) należy przedłużyć funkcję f w sposób parzysty. f (x) = lim dla x = l x l f( x), dla l < x < 0 0, dla x = 0 f(x), dla 0 < x < l lim x l dla x = l Szeregi funkcyjne str. 31/36

34 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 1 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

35 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 3 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

36 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 5 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

37 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 7 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

38 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 1 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

39 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 3 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

40 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 5 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

41 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 7 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

42 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 1 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

43 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 2 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

44 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 3 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

45 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 4 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

46 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 5 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

47 Podsumowanie Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Szereg Fouriera. Szeregi funkcyjne str. 35/36

48 Dziękuję za uwagę Szeregi funkcyjne str. 36/36

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Wykład 2: Szeregi Fouriera Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Transformata Fouriera

Wykład 2. Transformata Fouriera Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2018 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM3_M w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Analiza B II zadania. cos kx = sin(n x) 2 sin x 2. cos n sin 1 n., tan x, cot x, log sin x, log tan x, 1 + x

Analiza B II zadania. cos kx = sin(n x) 2 sin x 2. cos n sin 1 n., tan x, cot x, log sin x, log tan x, 1 + x Analiza B II zadania Oblicz granicę n cos n n Udowodnij wzór dla mπ 3 Udowodnij że szereg + n = cos = sin(n + sin cos n sin n jest zbieżny warunowo 4 Wyprowadź wzory (sin = cos (cos = sin 5 Wyaż że funcje

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap.

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Szeregi Fouriera. Grzegorz Lysik. 1. Motywacja szeregów Fouriera, równanie ciepła.

Szeregi Fouriera. Grzegorz Lysik. 1. Motywacja szeregów Fouriera, równanie ciepła. Szeregi Fouriera Grzegorz Lysik 1. Motywacja szeregów Fouriera, równanie ciepła. Rozważmy problem rozchodzenia się ciepła w pręcie o długości l. Temperatura pręta w punkcie x i w chwili t spełnia równanie

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo