Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Transkrypt

1 Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36

2 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 R nazywamy szereg postaci: c n (x x 0 ) n, gdzie x R oraz c n R dla n = 0, 1, 2,... Uwaga. Przyjmujemy, że 0 0 def = 1. Liczby c n nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Szeregi funkcyjne str. 2/36

3 Promień zbieżności szeregu potęgowego Twierdzenie. Dla każdego szeregu c n (x x 0 ) n dokładnie jedna liczba R 0, + ) o własności: jeżeli x x 0 < R, to szereg bezwzględnie, jeżeli x x 0 > R, to szereg istnieje c n (x x 0 ) n jest zbieżny c n (x x 0 ) n jest rozbieżny. Liczbę R, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności szeregu c n (x x 0 ) n. Szeregi funkcyjne str. 3/36

4 Promień zbieżności szeregu potęgowego Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru: R = lim cn 1 n n lub R = lim n c n c, n+1 o ile granice w tych wzorach istnieją. n Gdy n lim cn =, to R = 0. n Gdy n lim cn = 0, to R =. Szeregi funkcyjne str. 4/36

5 Przykłady Szereg ( ) 5 n (x + 5) n jest szeregiem 3 potęgowym o środku w punkcie x 0 = 5 i promieniu R = 3 5. Szereg (6 3x) n jest szeregiem potęgowym 3 n + 2 n o środku w punkcie x 0 = 2 i promieniu R = 1. Szereg ( x) n jest szeregiem potęgowym o n! środku w punkcie x 0 = 0 i promieniu R =. Szeregi funkcyjne str. 5/36

6 Twierdzenie Cauchy ego-hadamarda Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy szereg ten jest: zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x 0 R, x 0 + R), rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, x 0 R) (x 0 + R, + ). Uwaga. W punktach x 0 R, x 0 + R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x 0. Gdy R =, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej. Szeregi funkcyjne str. 6/36

7 Przedział zbieżności szeregu potęgowego Zbiór tych x R, dla których szereg potęgowy c n (x x 0 ) n jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu. Szeregi funkcyjne str. 7/36

8 Przedział zbieżności szeregu potęgowego Uwaga. Z twierdzenia Cauchy ego-hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może mieć jedną z postaci: (x 0 R, x 0 + R) x 0 R, x 0 + R) x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R (x 0 R, x 0 + R x 0 R, x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R x 0 R x 0 x 0 + R {x 0 } (, + ) R = 0 x 0 R = x 0 Szeregi funkcyjne str. 8/36

9 Przykłady Dla szeregu n=1 1 n (x 2)n mamy przedział zbieżności 1, 3). R = 1 i Dla szeregu n=2 ( 1) n przedział zbieżności 1, 1. Dla szeregu ( 1) n x2n n=2 x n n ln 2 n mamy R = 1 i (2n)! mamy R = i przedział zbieżności (, + ) = R. Szeregi funkcyjne str. 9/36

10 Szereg Taylora i Maclaurina Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n =f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) ! nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x 0. Jeżeli x 0 = 0, to szereg f (n) (0) n! szeregiem Maclaurina funkcji f. x n nazywamy Szeregi funkcyjne str. 10/36

11 Uwaga Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa funkcji f. Na przykład dla funkcji f(x) = e 1 x 2, x 0 0, x = 0 mamy f (n) (0) = 0, dla n = 0, 1, 2, 3,..., i f(x) f (n) (0) x n 0. n! Szeregi funkcyjne str. 11/36

12 Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora Jeżeli funkcja f ma na otoczeniu O punktu x 0 pochodne dowolnego rzędu, dla każdego x O spełniony jest warunek lim n R n (x) = 0, gdzie R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f przy czym ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 1, to f(x) = f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n, dla każdego x O. Szeregi funkcyjne str. 12/36

13 Twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy Jeżeli f(x) = c n (x x 0 ) n, dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x 0, to c n = f (n) (x 0 ) n!, dla n = 0, 1, 2,... Szeregi funkcyjne str. 13/36

14 Przykład Dla funkcji f(x) = 1 x mamy f(1) = 1 oraz f (x) = 1 x 2 f (1) = 1 f (x) = 2 x 3 f (1) = 2 Wówczas f (x) = 6 x 4 f (1) = 3! f (4) (x) = 24 x 5 f (4) (1) = 4!. f (n) (x) = ( 1) n n! x f (n) (1) = ( 1) n n! n+1 1 x = ( 1) n (x 1) n = (1 x) n, dla 0 < x < 2. Szeregi funkcyjne str. 14/36

15 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych 1 1 x = x n = 1 + x + x 2 + x , dla x < 1. e x = x n n! = 1 + x + x2 2 + x3 3! +..., dla x R. sin x= ( 1) n (2n + 1)! x2n+1 =x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., x R. cos x = ( 1) n (2n)! x2n = 1 x2 2 + x4 4! x6 6! +..., x R. Szeregi funkcyjne str. 15/36

16 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych ln(1 + x) = ( 1) n (n + 1) xn+1 = x x2 2 + x3 3 x , 1 < x 1. arc tg x = ( 1) n (2n + 1) x2n+1 = x x3 3 + x5 5 x , 1 < x 1. sinh x= x 2n+1 x3 =x + (2n + 1)! 3! + x5 5! + x7 7! +..., x R. cosh x = x 2n (2n)! = 1 + x2 2 + x4 4! + x6 6! +..., x R. Szeregi funkcyjne str. 16/36

17 Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy: c n (x x 0 ) n = n=1 nc n (x x 0 ) n 1 dla każdego x (x 0 R, x 0 + R). Szeregi funkcyjne str. 17/36

18 Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x x 0 ) n. Wtedy: x x 0 c n (t x 0 ) n dt = c n n + 1 (x x 0) n+1 dla każdego x (x 0 R, x 0 + R). Szeregi funkcyjne str. 18/36

19 Sumy ważniejszych szeregów potęgowych x n = 1 1 x, dla x < 1. n=1 nx n = x, dla x < 1. (1 x) 2 n=1 n 2 x n 1 = 1 + x, dla x < 1. (1 x) 3 x n n = ln(1 x), dla 1 x < 1. Szeregi funkcyjne str. 19/36

20 Aproksymacja funkcji przez wielomian Wzór f(x) ==f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x), 1! n! gdzie R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 < n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f przy czym ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 1, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować) funkcję f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora) f(x) f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Szeregi funkcyjne str. 20/36

21 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 1 y y = e x y = 1 + x Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

22 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 2 y y = e x y = 1 + x + x2 2 Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

23 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas e x 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n!. n = 3 y y = e x y = 1 + x + x2 2 + x3 6 Szeregi funkcyjne str. 21/36 x

24 Szereg trygonometryczny Szeregiem trygonometrycznym na przedziale l, l nazywamy szereg postaci a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l, gdzie a 0 R, a n, b n R dla n N, l jest pewną liczbą dodatnią. Szeregi funkcyjne str. 22/36

25 Szereg trygonometryczny Fouriera Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale l, l. Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny a ( a n cos nπx + b n sin nπx ), gdzie l l n=1 oraz a n = 1 l b n = 1 l l l l l f(x) cos nπx l dx, n = 0, 1, 2,... f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... l Piszemy symbolicznie f(x) a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l. Szeregi funkcyjne str. 23/36

26 Funkcję f, ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczna w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna. Szeregi funkcyjne str. 24/36

27 Warunki Dirichleta Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale a, b warunki Dirichleta, jeżeli 1 f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b), 2 f jest ciągła w przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości x 0, takich że f(x 0 ) = 1 2 ( lim x x 0 f(x) + lim x x + 0 f(x) 3 w końcach przedziału (a, b) spełnione są równości f(a) = f(b) = 1 2 ( ) ) lim f(x) + lim f(x) x b x a + Powyższe warunki nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim warunkiem Dirichleta. Szeregi funkcyjne str. 25/36

28 Twierdzenie Dirichleta Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale l, l warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera f(x) = a n=1 ( a n cos nπx l + b n sin nπx ) l, (1) dla każdego x l, l. Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość (1) jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny tej funkcji. Szeregi funkcyjne str. 26/36

29 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest parzysta, to oraz a 0 = 2 l l 0 b n = 0, n = 1, 2,... f(x)dx i a n = 2 l Wówczas rozwinięcie (1) dla funkcji parzystej przyjmuje postać l 0 f(x) cos nπx dx, n = 1, 2,.. l f(x) = a n=1 a n cos nπx l. (2) Szeregi funkcyjne str. 27/36

30 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to oraz b n = 2 l l 0 a n = 0, n = 0, 1, 2,... f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... l Wówczas rozwinięcie (1) dla funkcji nieparzystej przyjmuje postać f(x) = n=1 b n sin nπx l. (3) Szeregi funkcyjne str. 28/36

31 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Rozważmy funkcję f, która jest określona i spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale otwartym (0, l). Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0, l) w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera składającego się z samych sinusów (3), albo samych kosinusów (2). Szeregi funkcyjne str. 29/36

32 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Rozpatrzmy funkcję pomocniczą f, określoną na przedziale l, l nazywaną przedłużeniem funkcji f. Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg sinusów (3) należy przedłużyć funkcję f w sposób nieparzysty. f (x) = 0, dla x = l f( x), dla l < x < 0 0, dla x = 0 f(x), dla 0 < x < l 0, dla x = l Szeregi funkcyjne str. 30/36

33 Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub kosinusów Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg kosinusów (3) należy przedłużyć funkcję f w sposób parzysty. f (x) = lim dla x = l x l f( x), dla l < x < 0 0, dla x = 0 f(x), dla 0 < x < l lim x l dla x = l Szeregi funkcyjne str. 31/36

34 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 1 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

35 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 3 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

36 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 5 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

37 Niech f(x) = Przykład 1, dla π < x < 0 0, dla x { π, 0, π}. Wówczas 1, dla 0 < x < π f(x) = n=1 2(1 ( 1) n ) πn sin nx. n = 7 y x Szeregi funkcyjne str. 32/36

38 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 1 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

39 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 3 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

40 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 5 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

41 Przykład Niech f(x) = x, dla x π, π. Wówczas f(x) = π 2 + n=1 2 ( 1)n 1 πn 2 cos nx. y y = x n = 7 Szeregi funkcyjne str. 33/36 x

42 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 1 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

43 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 2 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

44 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 3 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

45 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 4 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

46 Niech f(x) = Przykład π, dla π < x 0 π, dla x = ±π 2 π x, dla 0 < x < π. Wówczas f(x) = 3 4 π + n=1 ( 1 ( 1) n πn 2 cos nx + ( 1)n n y sin nx ). y = f(x) n = 5 Szeregi funkcyjne str. 34/36 x

47 Podsumowanie Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Szereg Fouriera. Szeregi funkcyjne str. 35/36

48 Dziękuję za uwagę Szeregi funkcyjne str. 36/36