Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji."

Transkrypt

1 Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Pochodna funkcji str. 1/57

2 Iloraz różnicowy Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadajacym przyrostowi h, gdzie 0 < h < r, nazywamy liczbę f(x 0 + h) f(x 0 ) h. Pochodna funkcji str. 2/57

3 Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x 0, f(x 0 )) oraz (x 0 + h, f(x 0 + h)) do dodatniej półosi Ox. y f(x 0 + h) f(x 0 ) x 0 y = f(x) α x = h x 0 + h f = f(x 0 + h) f(x 0 ) x tg α = f x Pochodna funkcji str. 3/57

4 Pochodna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h. to nazywamy ją pochodna funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0. Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x 0. Pochodna funkcji str. 4/57

5 Pochodna funkcji w punkcie f (x 0 ) def = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f (x 0 ) def = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Przykład: Niech f(x) = x 2. Wtedy f (x 0 ) def (x = lim 0 +h) 2 x 2 0 h 0 h = lim h 0 2x 0 h+h 2 h = 2x 0 lub f (x 0 ) def x = x x0 lim 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 ) (x+x 0 ) x x 0 = 2x 0 Pochodna funkcji str. 5/57

6 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0, gdzie c R. (x p ) = px p 1, dla p R, zakres zmienności x zależy od p. ( ) 1 = 1 x x 2, x R \ {0}. ( x ) = 1 2 x, x R +. (sin x) = cos x, x R. (cos x) = sin x, x R. Pochodna funkcji str. 6/57

7 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (tg x) = 1 cos 2 x, x π 2 + kπ, k Z. (ctg x) = 1 sin 2 x, x kπ, k Z. (a x ) = a x ln a, a > 0, x R. (e x ) = e x, x R. (log a x) = 1 x ln a, x > 0 i 0 < a 1. (ln x) = 1 x, x > 0. Pochodna funkcji str. 7/57

8 Prosta styczna do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji przechodzących przez punkty (x 0, f(x 0 )) i (x, f(x)), gdy x x 0. y f(x) y = f(x) sieczne f(x 0 ) styczna x 0 x x Pochodna funkcji str. 8/57

9 Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) do dodatniej półosi Ox. y y = f(x) f(x 0 ) α x 0 styczna x tg α = f (x 0 ) Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )): y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 9/57

10 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = 0 ma postać: y = x + 1. y y =e x y = x + 1 (0, 1) x Pochodna funkcji str. 10/57

11 Przykład Niech f(x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = π ma postać: y = π x. 1 y y =sin x π -1 π 2π 3π 4π y = π x x Pochodna funkcji str. 11/57

12 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach x tego przedziału sa równe f (x) nazywamy pochodna funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f. f : x f (x), x I. Pochodna funkcji str. 12/57

13 Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x 0, to: (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ). (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g 2 (x 0 ), o ile g(x 0 ) 0. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, zaś c R, to (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ). Pochodna funkcji str. 13/57

14 Przykład f(x) = x 4 + 3x 2 1 x + x f (x) = 4x 3 + 6x + 1 x x g(x) = sin x ctg x, x kπ, k Z, ( g (x) = cos x ctg x + sin x 1 ) sin 2 = cos x ctg x 1 x sin x h(x) = x2 1 x 2 + 1, x R, h (x) = 2x (x2 + 1) (x 2 1) 2x (x 2 + 1) 2 = 4x (x 2 + 1) 2 Pochodna funkcji str. 14/57

15 Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f(x 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Przykład: f(x) = sin 3 x f (x) = 3 sin 2 x cos x g(x) = (3x 2 + x + 2) 5, g (x) = 5(3x 2 + x + 2) 4 (6x + 1) Pochodna funkcji str. 15/57

16 Postać logarytmiczno wykładnicza funkcji Każdą funkcję złożoną postaci [f(x)] g(x) można przedstawić w postaci logarytmiczno wykładniczej: [f(x)] g(x) = e g(x) ln f(x). Postać logarytmiczno wykładniczą stosujemy do obliczania pochodnych funkcji danych w postaci [f(x)] g(x). Przykład: f(x) = x x = e x ln x f (x) = e x ln x (ln x + x 1 x ) = xx (ln x + 1) Pochodna funkcji str. 16/57

17 Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Niech x 0 D f. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową w otoczeniu punktu x 0 oraz taką, że f (x 0 ) 0. Wówczas gdzie y 0 = f(x 0 ). ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ), Pochodna funkcji str. 17/57

18 Pochodne funkcji cyklometrycznych (arc sin x) = 1 1 x 2, x ( 1, 1). (arc cos x) = 1 1 x 2, x ( 1, 1). (arc tg x) = x 2, x R. (arc ctg x) = x 2, x R. Pochodna funkcji str. 18/57

19 Różniczka funkcji Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu x 0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie x 0. Różniczka funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję zmiennych x określoną wzorem: df(x 0 )( x) def = f (x 0 ) x. Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df(x 0 ) lub krótko df. Pochodna funkcji str. 19/57

20 Różniczka i obliczenia przybliżone Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x 0. Wtedy f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x, przy czym błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji f jej różniczką df = f (x) x dąży szybciej do zera niż x, tzn. lim x 0 f df x = 0. Pochodna funkcji str. 20/57

21 Różniczka i obliczenia przybliżone y y = f(x) f(x 0 ) x 0 x df f x Pochodna funkcji str. 21/57

22 Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 15,96. Definiujemy funkcję f(x) = x. Przyjmujemy x 0 =16 x= 0,04. Ponieważ df dx = f (x) = 1 2 x,więc 15, ( 0,04) = 3,995. Pochodna funkcji str. 22/57

23 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y = f(x). Ponadto niech x oznacza błąd bezwzględny pomiaru wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym y f (x 0 ) x, gdzie x 0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f (x 0 ) jest właściwa. Pochodna funkcji str. 23/57

24 Przykład Czas w biegu na 100 m mierzy się z dokładnością t = 0,01 s. Zawodnik uzyskał 10 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć prędkość V tego zawodnika? Ponieważ V = 100 t, więc V (t) = 100 t 2, więc V V (10) t = 100 [ ,01 = 0,01 m s ]. Pochodna funkcji str. 24/57

25 Zwiazek różniczkowalności z ciagłości a funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ciągła. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f(x) = x jest ciągła w punkcie x 0 = 0, ale f (0) nie istnieje. y 2 y = x x Pochodna funkcji str. 25/57

26 Zwiazek różniczkowalności z monotonicznościa funkcji Twierdzenie: Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x I funkcja f spełnia warunek: f (x) = 0, to funkcja f jest stała na I; f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na I; f (x) 0, to funkcja f jest niemalejąca na I; f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na I; f (x) 0, to funkcja f jest nierosnąca na I. Pochodna funkcji str. 26/57

27 Pochodne wyższych rzędów Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie f (n) (x 0 ) = ( f (n 1)) (x0 ), dla n 1. Przyjmujemy, że f (0) (x 0 ) = f(x 0 ) i f (1) (x 0 ) = f (x 0 ). Piszemy: f (2) = f, f (3) = f, f (4) = f IV lub f (1) = f, f (2) = f lub f (n) = dn f dx n. Pochodna funkcji str. 27/57

28 Definicja minimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x 0 D f minimum lokalne, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) f(x 0 ). Funkcja f ma w punkcie x 0 D f minimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) > f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 28/57

29 Definicja maksimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x 0 D f maksimum lokalne, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) f(x 0 ). Funkcja f ma w punkcie x 0 D f maksimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) < f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 29/57

30 Ekstrema funkcji Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI. Pochodna funkcji str. 30/57

31 Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie (Fermata): Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to f (x 0 ) = 0. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład dla funkcji f(x) = x 3 mamy f (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie x 0 = 0. y y = x 3 x Pochodna funkcji str. 31/57

32 Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągła w punkcie x 0 i różniczkowalna przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) > 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) < 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. Pochodna funkcji str. 32/57

33 Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągłą w punkcie x 0 i różniczkowalną przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) < 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) > 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Pochodna funkcji str. 33/57

34 II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Jeżeli 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2 f (n) (x 0 ) 0, to, gdy n > 2 jest parzyste, funkcja f osiąga w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum, gdy f (n) (x 0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x 0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste, ekstremum nie występuje. Pochodna funkcji str. 34/57

35 Minimum globalne Liczba m jest najmniejsza wartościa funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt x 0 A, taki że i dla każdego x A Liczbę m nazywamy f(x 0 ) = m f(x) f(x 0 ) = m. minimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Pochodna funkcji str. 35/57

36 Maksimum globalne Liczba M jest największa wartościa funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt x 0 A, taki że i dla każdego x A Liczbę M nazywamy f(x 0 ) = M f(x) f(x 0 ) = M. maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Pochodna funkcji str. 36/57

37 Ekstrema globalne Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Pochodna funkcji str. 37/57

38 Ekstrema globalne Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k, w których f (x k ) = 0 lub f (x k ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcja ciagł a na domkniętym i ograniczonym zbiorze A, to funkcja f osiaga na A wartość najmniejsza i największa. Pochodna funkcji str. 38/57

39 Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k, w których f (x k ) = 0 lub f (x k ) nie istnieje. Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy postępując według algorytmu: Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz przedziału A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach. Obliczmy f(a) i f(b). Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Pochodna funkcji str. 39/57

40 Przykład Niech f : A R R i f(x, y) = x 1, gdzie A = 0, 3. x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f, gdyż f (1) nie istnieje. Wtedy f(1) = 0. f(0) = 1 i f(3) = 2. Wówczas m = f najmniejsze = 0 i M = f największe = 2. Pochodna funkcji str. 40/57

41 Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji Twierdzenie (Reguła de l Hospitala): Niech funkcje f i g spełniają warunki: 1 funkcje f,g i f, g będą określone w sąsiedztwie punktu x 0 1 lim f(x) = lim g(x) = 0 albo lim f(x) = lim g(x) = x x0 x x0 x x0 x x0 3 istnieje granica Wówczas istnieje granica f (x) x x0 lim g (x) = a. f(x) x x0 lim g(x) oraz f(x) lim x x 0 g(x) = a. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w + lub w. Pochodna funkcji str. 41/57

42 Funkcja wypukła Funkcje f nazywamy wypukła na przedziale (a, b) R wtedy i tylko wtedy, gdy a<x 1 <x 2 <b 0<t<1 f(tx 1 + (1 t)x 2 ) < tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Pochodna funkcji str. 42/57

43 Funkcja wklęsła Funkcje f nazywamy wklęsła na przedziale (a, b) R wtedy i tylko wtedy, gdy a<x 1 <x 2 <b 0<t<1 f(tx 1 + (1 t)x 2 ) > tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Pochodna funkcji str. 43/57

44 Warunki wystarczajace wypukłości i wklęsłości Twierdzenie: Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b). Twierdzenie: Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Pochodna funkcji str. 44/57

45 Punkt przegięcia wykresu funkcji Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Punkt (x 0, f(x 0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz wklęsła na (x 0, x 0 + δ) lub odwrotnie. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: Twierdzenie: Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w punkcie x 0 oraz posiada w punkcie (x 0, f(x 0 )) punkt przegięcia, to f (x 0 ) = 0. Pochodna funkcji str. 45/57

46 Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) < 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) > 0 lub x (x 0 δ,x 0 ) f (x) > 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) < 0 to w punkcie (x 0, f(x 0 )) funkcja f ma punkt przegięcia. Pochodna funkcji str. 46/57

47 II warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Jeżeli 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2 f (n) (x 0 ) 0, to, gdy n > 3 jest nieparzyste, funkcja f ma w punkcie (x 0, f(x 0 )) punkt przegięcia.. Pochodna funkcji str. 47/57

48 Pochodne a wykres funkcji f f f min. lok max. lok Uwaga: Jeżeli f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to x 0 jest punktem przegięcia się wykresu funkcji f. Pochodna funkcji str. 48/57

49 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie następujących czynności: 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji. 2. Wskazanie podstawowych własności: (a) parzystość lub nieparzystość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OY (d) ciągłość 3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji. 6. Sporządzenie wykresu funkcji. Pochodna funkcji str. 49/57

50 Przykład Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem: f(x) = x3 + 4 x D f = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 2. Podstawowe własności funkcji f: (a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta. (b) f nie jest funkcją okresową. (c) f(x) = 0 x = 0 x = 3 4, zatem P 0 ( 3 4, 0) jest punktem przecięcia wykresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY. (d) f jest ciągła w swojej dziedzinie. Pochodna funkcji str. 50/57

51 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 3. Ponieważ lim x 0 x x 2 = [ ] = +, więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f. Ponieważ lim x ± x x 2 = ±, więc wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych. Pochodna funkcji str. 51/57

52 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b: a = lim x ± f(x) x = lim x ± x x 3 = lim x ± x 3 1 = 1, b = lim x ± [f(x) ax] = lim = lim x ± x ± x x 3 [ x x 2 x 2 = lim x ± ] x 4 x 2 = [ ] 4 = 0. Istnieje więc jedna asymptota ukośna o równaniu y = x. Pochodna funkcji str. 52/57

53 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 4. Monotoniczność i ekstrema: f (x) = 1 8 x 3 = x3 8 x 3, x 0. f (x) = 0 x = 2. f f min. lok Ponadto f min (2) = 3. Pochodna funkcji str. 53/57

54 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 5. Wklęsłość i wypukłość: f (x) = 24 x 4, x 0. Zauważmy, że dla każdego x 0 mamy f (x) > 0. f f Zatem wykres nie posiada punktów przegięcia jest to wykres wypukły. Pochodna funkcji str. 54/57

55 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 x (, 3 4 ) 3 4 ( 3 4, 0 ) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f f f y = x y = x Pochodna funkcji str. 55/57

56 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x y y = x3 + 4 x x -3 Pochodna funkcji str. 56/57

57 Dziękuję za uwagę Pochodna funkcji str. 57/57

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna

Analiza matematyczna Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo