Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
|
|
- Sabina Góra
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Wideo Zadanie a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) = 0 x 8x x = 0 8x = 0 x = 0 [Szkic] zatem w x = 0 jest maksimum c) f(x) = sin x cos x = 1 sin x f (x) = cos x f (x) = 0 cos x = 0 x = π + kπ, gdzie k Z x = π kπ, gdzie k Z [szkic] i wniosek, albo proponował bym w tym zadaniu policzyć drugą pochodną. f (x) = sin x f ( π kπ) = ( 1)k czyli dla k parzystego f ( π kπ) < 0 f ma maksimum dla k nieparzystego f ( π kπ) > 0 f ma minimum
2 1.1.4 d f(x) = x + x 1 f (x) = x(x 1) (x + ) (x 1) f (x) = 0 x x x (x 1) x x = 0 = = 1 x 1 = = 1 x = + = 1 + [szkic] i orzekanie dla x 1 f maksimum, dla x f minimum d*) dydaktycznie słaby przykład możesz go pominąć f(x) = sin x cos x = sin x(1 sin x) = sin x sin x f (x) = cos x sin x cos x = cos x(1 sin x) f (x) = 0 cos x = 0 1 sin x = 0 x = π + kπ sin x = 1 x = π + kπ x = arcsin 1 + kπ x = π arcsin 1 + kπ obliczanie pochodnej f (x) = cos x(1 (1 cos x)) = cos x + cos x f (x) = sin x + 9 cos x ( sin x) f (x) = sin x( 9 cos x) Sprawdzanie punktów stacjonarnych. 1) typ możliwych punktów f ( π + kπ) = ( 1)k ( 0)... ) typ możliwych punktów arcsin 1 5 f (arcsin 1 + kπ) =???
3 Korzystamy z arcsin x = arccos 1 x możesz je znaleźć Stąd arcsin 1 = arccos, bo 1 > 0 cos(arcsin 1 + kπ) = cos(arcsin 1 ) = cos(arccos ) = Teraz możemy obliczyć cos (arcsin 1 + kπ) = f (x) = sin x( 9 cos x) f (arcsin 1 + kπ) = 1 ( 9 ) = 1 ( 6) < 0 ) typ możliwych punktów... Analizujemy podobnie jak w punkcie 1. Zadanie Najpierw badamy na brzegach Teraz w przedziale (1, 4) f(x) = x 5x + 7 f(1) = = f(4) = = 9 f (x) = x 10x f (x) = 0 x = 0 x 10 = 0 f(0) nie liczmy bo jest poza przedziałem [1, 4] f( 10 ) = = = 11 = Największa i najmniejsza wartość funkcji to któraś z wartośći f(1), f( 10 ), f(4) Największa wartość funkcji na tym przedziale to dla argumentu x = 1, najmniejsza zaś to dla x = 10
4 1. Zadanie 1..1 a) f (x) = 1 x (x + ) x x 4 f(x) = x + x x = x + x = x x 6x x 4 = x 6 x Rozważmy np. gdzie funkcja rośnie, czyli gdzie pochodna jest dodatnia. f (x) > 0 x 6 x > 0 mnożymy nierówność przez coś co jest na pewno dodatnie by znak nierówności na pewno się nie zmienił, tzn. x 6. Uwaga x nie wiadomo czy jest dodatnie, dlatego kwadrat (x ) = x 6 lepiej wziąć. ( x 6)(x 6 ) x > 0 ( x 6)x > 0 Aby rozwiązać tą nierówność wielomianową trzeba najpierw rozwiązać równanie. ( x 6)x = 0 x = 0 x = 6 WYKONUJEMY SZKIC pochodnej, tzn szkic FUNKCJI ( x 6)x odczytujemy f > 0 f dla x ( 6, 0) f < 0 f dla x (, 6) oraz (0, ) 1.. b) f(x) = x + x sin x f (x) = x + cos x f (x) > 0 x + cos x > 0 Generalnie z taką nierównością byłby problem, ale tu nam szczęście sprzyja, bo: }{{} x + cos x > 0 }{{} 0 >0 Zatem nierówność jest spełniona dla każdego x, czyli f dla x R
5 1.. c) f(x) = sin x cos x = 1 sin x f (x) = 1 cos x f (x) > 0 cos x > 0 { } π cos x = 0 x + kπ, k Z x x ( π + kπ, π + kπ ), k Z ( π 4 + kπ, π 4 + kπ ), k Z SZKIC f > 0 f dla x ( ( π 4 + kπ, π 4 + kπ) ) f < 0 f dla x π 4 + kπ, 5π 4 + kπ 1..4 d) f(x) = sin x + cos x f (x) = cos x cos x sin x Przyrównujemy do zera by znaleźć punkty gdzie pochodna się zeruje [SZKIC] f (x) = 0 cos x = 0 1 sin x = 0 f (x) > 0 f dla x f (x) < 0 f dla x ( 1, π ) ( π +kπ oraz x 6, 5π 6 ( π 6, π ) ( 5π +kπ oraz x 6, π ) +kπ ) +kπ 1.4 Zadanie a f(x) = ax + bx + c = f (x) = ax + b f (x) = 0 = b = ax x = b a Mamy punkt, w którym jest ekstremum sprawdź jeszcze poza konkursem kiedy jest maksimum, a kiedy minimum f (x) = a
6 f (x) > 0 a > 0 minimum lokalne f (x) < 0 a < 0 maksimum lokalne Co jest oczywiści zgodne z tym co wiemy że gdy ramiona paraboli w górę skierowane to będzie minimum, a gdy ramiona paraboli skierowane w dół to będzie maksimum. 1.5 Zadanie 5 Punkt na paraboli można zapisać jako P = (x 0, y 0 ) = (x 0, x 0 ) Odległość tego punktu od A = (0, 8) dana jest wzorem P A = (x 0 0) + (x 0 8) = x 0 + x4 0 16x = x x Mamy zatem funkcje f(x) = x x zmieniłem tylko x 0 na x by się nie kojarzyło ze stałą. Pochodna to: f 4x 0x (x) = x 4 15x + 64 f (x) = 0 x 0 = 0 4x 0 = x {, 0, } Mianownik jest dodatni, więc badanie znaku f (x) zastąpić można f (x) = 4x 0x [SZKIC] odczytujemy iż minimum występuje dla argumentu x = ± 15 Nasz punk na paraboli to: 15 (x 0, x 0) = (±, 15 ) 1.6 Zadanie 6 V = 648 V = x x h
7 h = V x P c = x + x + xh + h x P (x) = 6x + 8V x P (x) = 1 8V x P (x) = 0 x V x = 0 x V = 0 Pudełko ma wymiary x na x na h x = V 9 x = V 9 x = 7 = 18 x = 6 18 h = = Zadanie 7 f(x) = x + 6x + 0x + f (x) = 6x + 1x + 0 f (x) = 6(x + x + 5) f (x) = 0 6(x + x + 5) = 0 6 = 0 x + x + 5 = 0 = 4 0 < 0 f (x) > 0dlawszystkichx zatem funkcja f(x) jest tylko wszędzie rosnąca.
8 1.8 Zadanie a f(x) = arctg x ln x x > 0 f (x) = x 1 x f (x) = x 1 x = 0 x (1 + x x(1 + x ) = 0 x 1 x = 0 = 1 4 < 0 Nie ma punktów gdzie f (x) = 0. Mianownik f (x) jest dodatni, gdy x > 0 licznik zawsze ujemny bo mamy x zatem f (x) < 0 dla x > 0 stąd funkcja jest zawsze malejąca b f(x) = x sin x f (x) = 1 sin x cos x = 1 sin 4x f (x) = 0 1 sin 4x = 0 sin 4x = 1 4x = π 6 + kπ 4x = 5π 6 + kπ x = π kπ x = 5π kπ Policzmy jakiś punkt pośredni aby poznać znak pochodnej w danym przedziale np. w 4x = π 4 f ( π 16 ) = 1 < 0 [Szkic] f dla x ( π 4, 5π 4 ) + 1 kπ f dla x ( 7π 4, π 4 ) + 1 kπ
9 1.9 Zadanie 9 f(x) = x + 1 x f (x) = x x 1 x f (x) = 0 (x 1) = 0 x = 1 pierwiastek dwukrotny Wykres znaku pochodnej odbija się od argumentu x = 1 zatem funkcja jest cały czas malejąca. Funkcja nie ma ekstremów ma tylko punkt przegięcia w x = Zadanie 10 f(x) = x 4 4x 6x + 1x + 4 f (x) = 1x 1x 1x + 1 f (x) = 0 1(x x x + 1) = 0 Jednym z pierwiastków tego równania jest x = 1 można podzielić x x x + 1 przez x + 1 otrzymamy wówczas x x + 1, które zaś jest równe (x 1). Stąd pochodna zeruje się w x = 1 oraz x = 1, gdzie x = 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym. [SZKIC] funkcja ma minimum w x = 1 oraz punkt przegięcia w x = 1 oczywiście punkt przegięcia nie jest ekstremum Zadanie 11 f(x) = x ( ) x 4 = x 8 4x f (x) = 8 x 5 4 x 1 f (x) = 8 (x x 1 x ) f (x) = 0 x x 1 x = 0 x x x = 0 x (x 1) = 0 x = 0 (x 1)(x + x + 1) = 0 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym [szkic] minimum jest w x = 1
10 1.1 Zadanie 1 Oznaczmy przez f 1 (x) = x + 1 dla x 0 oraz f (x) = x + 1 dla x < 0 Wówczas ich pochodne to odpowiednio f 1 (x) = x dla x>0 oraz odpowiednio f (x) = dla x < 0 łączące te dwa wynik można naszkicować wzór pochodnej funkcji f(x) zauważmy przy tym że funkcja nie ma pochodnej dla argumentu x = 0. Jednakże na lewo od x = 0 znak pochodnej jest ujemny a na prawo od x = 0 jest dodatni wygląda na to że w punkcie x = 0 może być ekstremum. Sprawdźmy to: Funkcja jest ciągła więc faktycznie tak musi być Obliczmy wartość f(0) = = 1 Odpowiedź funkcja ma minimum dla x = Zadanie 1 f (x) = 1 + x f (x) = 0 x x = 0 x = 0 x = ± Rysujemy znak pochodnej [SZKIC] Dla x = występuje minimum, które wynosi: f( ) = + = ( 1) Interesuje nas przedział x [1, 4] Szukamy wartości największej i najmniejszej więc musimy sprawdzić jeszcze na brzegach wartości. f(1) = 1 + = 1 f(4) = =, 5 Spośród tych wartości szukamy najmniejszej i największej. ( 1) < 1 <, 5 Zatem już wiemy, że wartość najmniejsza funkcji f(x) na przedziale x [1, 4] to ( 1) a wartość największa to, Zadanie 14 Sprawdźmy sobie dla wiadomości najpierw czy funkcja jest ciągła. f( ) = f( + ) = 1 = 1 Widać funkcja nie jest ciągła. Widać także, że zarówno f 1 (x) = x nie ma ekstremum jak również f (x) = x 1 także nie ma ekstremum. Wniosek funkcja nie ma ekstremum.
11 1.15 Zadanie a f (x) = x x f x (x) = 0 x = 0 = 1 + x = 0 = x = 1 Pierwiastek jednokrotny rysujemy [SZKIC] funkcja rośnie dla x (, 1), funkcja maleje dla x ( 1, ) b f(x) = x 4 8x f (x) = 1x 4x f (x) = 0 x x = 0 x = 0 x = [SZKIC] funkcja jest malejąca dla x (, 0) oraz dla x (0, ) natomiast rosnąca dla x (, ) c f(x) = x x f (x) = x f (x) = 0 x 1 = 0 funkcja rośnie dla x (, 1) oraz x (1, ) funkcja maleje dla x ( 1, 1) d f(x) = x 5 4x + x f (x) = 15x 4 1x + f (x) = 0 15x 4 1x + = = 1(1 15) < 0 Ponadto przy x 4 stoi dodatni współczynnik znaczy to, że funkcja zawsze rośnie e f(x) = x + sin x f (x) = + cos x f (x) = 0 + cos x = 0 cos x = < 1, 5 Pochodna nigdy się nie zeruje, jest zawsze dodatnia, czyli funkcja zawsze rosnąca
12 f f (x) = 60 9x + 6x 4x f (x) = 0 x + 9x x + 15 = 0 Zauważamy metodą p przez q że pierwiastkiem wielomianu jest x = 1 możemy zatem zapisać (x 1)( x + 8x 15) = 0 = = 4 x = 1 x = x = 5 funkcja znaku pochodnej [szkic] f rośnie dla x (, 5) oraz x (, 1) f maleje dla x ( 5, )orazx (1, ) g* f(x) = (x + 1 x )x ln f(x) = x ln(x + 1 x ) f(x) = e x ln(x+ 1 x ) f (x) = e x ln(x+ 1 x ) (ln(x + 1 x f (x) = 0 e x ln(x+ 1 x ) = 0 (ln(x + 1 x x ln(x + 1 x ) + x 1 x x + 1 x 1 + x ) + x1 x + 1 ) x 1 + x ) + x1 x + 1 ) = 0 x Cała trudność to wykazać, że takie równanie nigdy nie równa się 0, nie jest to trywialne Skoro pochodna się nie zeruje i zawsze jest dodatnia to funkcja jest rosnąca wszędzie. = h f (x) = 1 x ln x + x 1 x f (x) = 0 ln x + x x = e [szkic] funkcja rośnie dla x (e, ) funkcja maleje dla x (0, e )
13 i f(x) = x e x f (x) = x 1 e x + x e x ( x ) f (x) = 0 ( x 1 e = 0 x ) x = 0 x x x x x = 0 x x = 0 x = x Na rysunku narysować funkcje f 1 (x) = x oraz jednocześnie funkcje f (x) = x zatem x = 0 lub x = 1 [szkic] Zatem funkcja rośnie dla x (0, 1) funkcja maleje dla x (1, ) j f(x) = (x x) f (x) = 1 (x x)(x ) (x x) 4 f (x) = 0 (x x)(x 1) = 0 x = 0 x = 1 x = funkcja rośnie dla x (0, 1) oraz x (, ) funkcja maleje dla x (, 0) oraz x (1, ) k f(x) = ln(x 1) + 1 x 1 f (x) = x x 1 + x (x 1) f (x) = x(x 1) x (x 1) f (x) = 0 x 4x = 0 x = 0 x = x = [szkic] funkcja rośnie dla x (, 0) oraz gdy x (, ) funkcja maleje dla x (, oraz dla x (0, )
14 1.16 Zadanie a f (x) = x + 1 Zauważmy, iż x 0, a wtedy x + 1 > 0 skoro pochodna jest zawsze dodatnia to oznacza iż jest to funkcja w całej dziedzinie rosnąca b f (x) = x Podobnie widzimy x 0 to wówczas f (x) < 0 Zatem funkcja zawsze malejąca c x+4 f x (x) = x x + 4x +4x x f (x) = x + x x 4x x x = x + 4x x6 x + 4x Mianownik jest zawsze dodatni. Zatem znak f (x) zależy od licznika, czyli od od x. sgn f (x) = sgn( x) = sgn( x) Gdy x jest ujemy to x jest dodatni zatem znak pochodnej będzie dodatni. W szczególności dl x ( 6, 4) także. stad funkcja jest rosnąca na tym przedziale Zadanie a f(x) = 4x x + 1 f (x) = 4x + 4 8x (x + 1) mianownik jest dodatni więc znak pochodnej wynika z licznika. f (x) = 0 4x + 4 = 0 x + 1 = 0 x = 1 x = 1 [Szkic] Odczytujemy z rysunku minimum dla x = 1 oraz maksimum dla x = 1 o wartościach odpowiednio f( 1) = 4 = f(1) = 4 =
15 1.17. b f (x) = 4(1 x) + 4 f (x) = 0 (1 x) + 1 = 0 1 x = 1 x = 0 Jest to oczywiście pierwiastek jednokrotny. [szkic] w x = 0 jest minimum o wartości f(0) = c f(x) = (1 x ) f (x) = (1 x ) 1 x = 4x 1 x f (x) = 0 4x = 0 x = 0 TERAZ UWAGA, bo mianownik może być dodatni jaki i ujemny zastanówmy się kiedy będzie dodatni 1 x > 0 1 x > 0 x ( 1, 1) Zatem na przedziale x ( 1, 1) tak jakby mianownik był dodatni, no bo jest dodatni. Przy wykonywaniu szkicu funkcji znaku pochodnej używamy f (x) x Zatem w zerze mamy minimum o wartości f(0) = (1 0 ) = d Założenie x 0 f (x) = 0 x 1 x f(x) = x x f (x) = 1 1 x = 0 x 1 = 0 x = 1 x = 1 4 Mianownik jest dodatni, więc [szkic] dla x = 1 4 mamy minimum lokalne o wartości f( 1 4 ) = = e f(x) = x + 1 x + 4 f (x) = x(x + 4) (x + 1) x (x + 4) = 8x x (x + 4) = 6x (x + 4) f (x) = 0 x = 0 [szkic] w x = 0 mamy minimum lokalne.
16 f f(x) = f (x) = { x + x dlax <, 1 > x x + dlax (, ) (1, ) { x + 1 dlax <, 1 > x 1 dlax (, ) (1, ) f (x) = 0 x = 1 Pamiętajmy o zerkaniu na założenia. [szkic] funkcja ma minimum lokalne w x = 1 o wartości f( 1 ) = 1 1 = 9 4 Teraz trzeba się zastanowić co się dzieje w punktach nie różniczkowalnych tzn. dla x = oraz x = 1 [rysunek ], iż w tych punktach mamy minima lokalne. o wartościach f( ) = f(1) = g f(x) = f (x) = { x + x dla x 0 x x dla x < 0 { x + dla x > 0 x dla x < 0 f (x) = 0 x + = 0 dla x > 0 x = 0 dla x < 0 Zatem pochodna się nigdy nie zeruje. Zastanówmy się nad punktem, w których funkcja nie jest różniczkowalna tzn. x = 0, gdybyśmy wykonali [szkic] to okaże się, że w tym punkcie powstanie maksimum h f(x) = f (x) = { x dla x 0 + x dla x < 0 { 1 dla x > 0 1 dla x < 0 Widzimy, że pochodna nigdzie się nie zeruje. Pozostają do sprawdzenia punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna. W tym wypadku jest to x = 0. Okazuje się, że w tym punkcie jest minimum lokalne.
17 i x + x 1 + dla x < 1 f(x) = x + + x dla 1 x < x + x dla x dla x < 1 f (x) = 0 dla 1 x < dla x Pochodna co prawda się zeruje, ale nie ma ciągłego przejścia przez zero w funkcji znaku pochodnej. [szkic pochodnej ] Wykres funkcji nie ma minimum lokalnego właściwego, ale ma minimum lokalne niewłaściwe. dla x < 1, > [szkic funkcji] j f(x) = ln(x 1) + 1 x 1 Założenie x 1 > 0 stąd x (, 1) (1, ) f (x) = x x 1 + x (x 1) f (x) = x(x 1) x (x 1) f (x) = x 4x (x 1) f (x) = 0 x 4x = 0 x = 0 x = x = 0 x = x = [szkic z założeniem] w x = jest minimum, w x = także jest minimum, wartości tych minimum są równe i wynoszą 1.
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoLekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoTekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRepetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan
Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoSkrypt 12. Funkcja kwadratowa:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowox+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowox a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Bardziej szczegółowoNIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE
NIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE Wśród wielu typów nierówności rozwiązywanych przez uczniów liceów ogólnokształcących, na uwagę zasługują również nierówności cyklometryczne. W okresie poprzedzającym wprowadzenie
Bardziej szczegółowo3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.
Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoTożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Funkcja wymierna.
Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 31 marca 2006 Spis treści 1 Wartość bezwzględna 2 1.1 Własności wartości bezwzględnej..................
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].
Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowo