Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Transkrypt

1 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie Zadania Zadania na Zadania na Zadania na Wstęp 1.1 Dystrybucje Dany jest otwarty obszar R n. Zbiór C0 () jest to zbiór wszystkich nieskończenie wiele razy różniczkowalnych na funkcji ϕ o zwartym nośniku. Nośnikiem funkcji f : X R nazywamy zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje niezerowe wartości, gdy X jest zbiorem supp (f) := {x X f (x) 0} Gdy X jest przestrzenią topologiczną definiujemy nośnik funkcji jako domknięcie supp (f) := {x X f (x) 0} Domknięcie zbioru A to najmniejszy zbiór domknięty zawierający A. Dla przestrzeni euklidesowej zbiór jest zwarty wtw jest domknięty i ograniczony. Ponieważ nośnik f jest zwarty, oznacza to, że istnieje taki zbiór otwarty U zawierający brzeg, że funkcja ϕ znika w zbiorze U. Zbiór C0 () tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ze względu na zwykłe działanie dodawania funkcji i mnożenia ich przez liczbę. Funkcjonałem l określonym na zbiorze C0 () nazywamy dowolne odwzorowanie C0 () R. Wartość przyjmowaną przez funkcjonał l w punkcie ϕ C 0 () będziemy oznaczali symbolem ϕ, l. Mówimy, że l jest funkcjonałem liniowym, jeżeli dla 1

2 dowolnych liczb α, β R i dla dowolnych funkcji ϕ, ψ C0 () zachodzi αϕ + βψ, l = α ϕ, l + β ψ, l Funkcjonał liniowy f na zbiorze C0 () nazywamy dystrybucją, jeżeli spełniony jest następujący warunek: dla dowolnego zbioru zwartego K istnieją stałe C, m takie, że spełniona jest nierówność ϕ, f C sup D α ϕ (x) α m x K dla dowolnej funkcji ϕ C0 () o nośniku zawartym w K. Zdefiniujmy działania na dystrybucjach. Przez sumę dystrybucji f, g rozumiemy dystrybucję dla której zachodzi ϕ, f + g = ϕ, f + ϕ, g (1) dla ϕ C 0 (). Jeżeli p jest funkcją klasy C (), f zaś dowolną dystrybucją w, to iloczyn pf określamy następująco ϕ, pf = pϕ, f dla ϕ C 0 (). Przez pochodną D j f dystrybucji f ze względu na zmienną x j dla j = 1, 2,..., n rozumiemy dystrybucję dla której zachodzi ϕ, D j f = D j ϕ, f (2) dla ϕ C0 (). Zdefiniowane wyżej funkcjonały spełniają warunki definicji dystrybucji. Zdefiniujmy R n. Dystrybucje f, g są równe w, jeżeli ϕ, f = ϕ, g dla ϕ C0 (), dystrybucja f znika w obszarze, jeżeli ϕ, f = 0 dla ϕ C0 (). Zbiór domknięty F nazywamy nośnikiem dystrybucji f, jeżeli dystrybucja f znika w obszarze \F oraz F jest najmniejszym zbiorem domkniętym o tej własności. Nośnik dystrybucji f oznaczamy przez suppf. Przykłady dystrybucji. Niech f będzie funkcją określoną w obszarze, lokalnie całkowalną, tzn. całkowalną na każdym zwartym podzbiorze obszaru. Funkcji f możemy przyporządkować dystrybucję l f określoną następująco ϕ, l f = ϕ (x) f (x) dx (3) dla ϕ C 0 (). Jest to dystrybucja regularna. Jeżeli suppϕ K to ϕ, l f f (x) dx sup ϕ (x) x K Wynika to z twierdzenia o wartości średniej dla całkowania o istnieniu x w rozpatrywanym obszarze takiego, że G (t) ϕ (t) dt = G (x) ϕ (t) dt 2

3 Nierówność z definicji dystrybucji jest spełniona ze stałymi C = f (x) dx oraz m = 0. Funkcjonał liniowy l f jest więc dystrybucją. Przykład: Zdefiniujmy dystrybucję (dystrybucja Diraca) dla ϕ C 0 (Rn ). Możemy sprawdzić, że ϕ, δ = ϕ (0) ϕ, δ sup ϕ (x) x K przy suppϕ K, zatem nierówność z definicji jest spełniona ze stałymi C = 1 i m = Pochodna dystrybucyjna Mówimy, że w(x) jest pochodną dystrybucyjną (regularną) funkcji u(x) względem zmiennej x i, jeżeli u (x) ϕ d = w (x) ϕ (x) d x i dla każdej funkcji ϕ(x) C 1 znikającej tożsamościowo na brzegu. Możemy uogólnić pochodną dystrybucyjną do rzędu α następująco dla jednej zmiennej u (x) α ϕ d = () α w (x) ϕ (x) d xα dla każdej funkcji ϕ(x) C 1 znikającej tożsamościowo na brzegu. Możemy zauważyć związek pochodnej dystrybucyjnej z zagadnieniem brzegowym z operatorem Laplace a z poprzednich zajęć. Możemy również zauważyć, że zakładając, że dystrybucja jest funkcją klasy C 1 i podstawiając (3) do (2) otrzymujemy ϕ, Df = ϕ (x) f (x) dx Po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części ϕ (x) f (x) dx = ϕ (x) f (x) dx = Dϕ, f ze względu na wartość funkcji testowej równą 0 na brzegu obszaru. Przykład: Wylicz pochodną dystrybucyjną funkcji f (x) = x 3 1 dla x < 0, oraz f (x) = x 2 + x 3

4 dla 0 x 1, oraz f (x) = x dla x > 1 na przedziale (, 2). Odpowiedź: f = g + δ /12δ 1, gdzie g jest zdefiniowana jako 3x 2 dla x < 0, 2x+1 dla 0 < x < 1 i 1 dla x > 1. Rysunek funkcji na wolframalpha.com x+%3c+0}%2c+{x^2+%2b+x%2c+0%3c%3dx%3c%3d1}%2c+{x+%2b+77%2f12%2c+x+%3e+1}}] %2C+{x%2C+-1%2C+2}]. Wyprowadzenie. Rozbijamy całkę na 3 części wg złączeń x 3 1ϕ (x) dx x 2 + xϕ (x) dx x ϕ (x) dx (4) Następnie stosujemy wzór na całkowanie przez części. 0 1 x 3 1 ϕ (x) 0 x= + 2x 2 ϕ (x) dx x 2 + x ϕ (x) 1 x=0 + 2x + 1ϕ (x) dx (5) 0 ( Po przekształceniu x ( φ (0) 2ϕ (1) + ) 2 ϕ (x) 2 x=1 + ϕ (x) dx (6) ϕ (0) ϕ (1) + 2 ) 2 ϕ (1) + g (x) ϕ (x) (7) g (x) ϕ (x) (8) Następnie zapisujemy dwa pierwsze składniki jako dystrybucje 65 2 δ (x), ϕ (x) + 12 δ (x 1), ϕ (x) + g (x) ϕ (x) (9) Ponieważ ostatni składnik możemy również zapisać w postaci dystrybucji, to możemy złączyć wszystkie dystrybucje zgodnie ze wzorem (1), a więc jest spełniony wzór (2). Podobny przykład znajduje się pod linkiem 6Distrib.pdf. Przykład: Wylicz czwartą pochodną dystrybucyjną funkcji dla x 0, oraz f (x) = 1 + x x x3 f (x) = 0 dla x < 0 na przedziale (, 1). Odpowiedź f (4) = δ 0 + δ 0 + δ 0 + δ 0. Przykład. Wyznacz funkcję f : (, 3) R, której pochodna dystrybucyjna jest równa f = 2δ 0 + 3δ 1 + x e 2x (10) 4

5 Możemy zauważyć, że delty Diraca pojawiają się w punktach rozbicia całki, u nas tymi punktami są 0 oraz 1, więc funkcja f(x) będzie składała się z trzech definicji dla przedziałów (, 0, (0, 1), (1, 3). Ponadto zauważmy, że pochodna jest zdefiniowana za pomocą jednego wzoru, a więc definicje funkcji wejściowej będą całką pochodnej i będą się różniły o stałą w następujący sposób (C 1 C 2 ) = 2 (11) C 1 może być dowolne, np. 0, i wtedy C 2 = 2, C 3 = 1. (C 2 C 3 ) = 3 (12) x e 2x = 1 4 x4 x e2x + C (13) Jakie stałe zastosować, aby otrzymać odpowiednie współczynniki przy deltach Diraca? Zauważmy, że współczynniki są sumami wartości funkcji dla tych punktów dla sąsiadujących przedziałów. A więc mogą być równe 0, 2, -1. Przykład. Policz z definicji dystrybucyjne pochodne cząstkowe f/ x i f/ y funkcji f (x, y) = cos (x + 1) sin ( y + 1) (14) w kwadracie (, 1) (, 1). Całkę rozkładamy na dwie ze względu na wartość bezwzględną i otrzymujemy cos (x + 1) sin (y + 1) φ y 1 x y<1 dxdy cos (x + 1) sin ( y + 1) φ dxdy (15) x Następnie całkujemy przez części aby pozbyć się spod całki pochodnej od funkcji φ(x, y), tutaj stosujemy wzór dla 2 wymiarów, zaprezentowany na stronie org/wiki/integration_by_parts#higher_dimensions. Najpierw pierwszy składnik cos (x + 1) sin (y + 1) φ 1 x dxdy = cos (x + 1) sin (y + 1) φv x dγ (16) 1 () cos (x + 1) sin (y + 1) φdxdy 1 (17) gdzie v to jest normalna o długości 1 do brzegu, liczymy ją za pomocą wyznaczenia pochodnych cząstkowych do funkcji skonstruowanej ze wzoru na brzeg, a v x to współrzędna x. 1.3 Przestrzenie Przestrzeń Sobolewa W k,p (U) (18) składa się ze wszystkich funkcji lokalnie całkowalnych u : U R takich, że dla każdego wielowskaźnika α o długości α k pochodna D α u istnieje w słabym sensie i należy do L p (U). 5

6 Wielowskaźnik to n-elementowy ciąg (α 1,..., α n ) liczb nieujemnych i całkowitych, gdzie α = α α n to długość wielowskaźnika. Jeśli k jest nieujemną liczbą całkowitą, to D k u (x) = {D α u (x) α = k} (19) jest zbiorem wszystkich pochodnych cząstkowych rzędu k. Funkcja lokalnie całkowalna to funkcja, która jest całkowalna (ma skończoną całkę) na dowolnym podzbiorze zwartym domeny. Definicja L p (U) } L p (U) = {u : U R u jest funkcja mierzalna w sensie Lebesgue a, u L (U) < (20) gdzie u L (U) = ( U ) 1 f p p dx gdzie 1 p <. Dla p = 2 otrzymujemy funkcje całkowalne z kwadratem. Dla p = 2, piszemy zazwyczaj (21) H k (U) = W k,2 (U) (22) ponieważ otrzymujemy przestrzeń Hilberta. Normę funkcji u W k,p (U) określamy wzorem u W k,p (U) = α k U D α u p dx 1 p (23) dla 1 p <. Niech {u m } m=1, u W k,p (U). Mówimy, że ciąg u m jest zbieżny do u w W k,p (U) i piszemy u m u (24) w przestrzeni W k,p (U) o ile Piszemy lim u m u m W k,p (U) = 0 (25) u m u (26) w przestrzeni W k,p loc (U), jeżeli u m u (27) w przestrzeni W k,p (V ) dla każdego V U. Zapis V U oznacza, V ˆV U i ˆV jest zbiorem otwartym. Symbolem W k,p 0 (U) oznaczamy domknięcie przestrzeni C c (U) w W k,p (U). 6

7 Domknięcie - operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy zbiór domknięty zawierający ten podzbiór. Zatem, u W k,p 0 (U) wtedy i tylko wtedy gdy istnieją funkcje u m Cc (U) takie, że u m u w W k,p (U). Można uważać, że W k,p 0 (U) składa się z tych funkcji u W k,p (U), dla których D α u = 0 na U (28) dla wszystkich α k 1. Przyjęto pisać H k 0 (U) = W k,2 0 (U) (29) Zadanie 1. Które z poniższych funkcji należą do przestrzeni { } H0 2 ((, 1)) = v H 2 ((, 1)) : v () = v (1) = v () = v (1) = 0 (30) f (x) = x 1 x + 1 x 2 1 (31) g (x) = x 5 2x 3 + x (32) h (x) = x 4 + x 3 3x 2 x + 2 (33) Aby funkcja należała do H0 2 musi należeć do H2, a to oznacza, że muszą istnieć pochodne w słabym sensie do drugiego rzędu i te pochodne oraz funkcja muszą należeć do L 2 (, 1) oraz funkcja musi być lokalnie całkowalna (dystrybucja regularna). Ponadto z (28) funkcja oraz pierwsza pochodna muszą zerować się na brzegu. Pochodna funkcji h(x) nie zeruje się na brzegu, więc funkcja nie należy do H0 2. Rozpatrzenie funkcji f(x). Sprawdzenie czy istnieje całka (21). Należy do H0 2. Rozpatrzenie funkcji g(x). Należy do H Które z poniższych funkcji należą do przestrzeni { } H0 2 (( 2, 2)) = v H 2 (( 2, 2)) : v ( 2) = v (2) = v ( 2) = v (2) = 0 (34) 2 Zadania 2.1 Zadania na Zadania na Zadania na 5.0 f (x) = x 4 + x 3 6x 2 4x + 8 (35) g (x) = x 5 8x x (36) h (x) = x + 2 x 2 4 x 2 (37) 7