Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa."

Transkrypt

1 Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) < f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada większa wartość funkcji. Definicja 2 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) > f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada mniejsza wartość funkcji. Definicja 3 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada nie mniejsza wartość funkcji. Definicja 4 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). Tzn. że większym argumentom odpowiada nie większa wartość funkcji. Definicja 5 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi f(x 1 ) = f(x 2 ). To znaczy że funkca f przyjmuje taką samą wartość na wszystkich elementach ze zbioru X. Jeśli funkcja jest w swojej dziedzinie rosnąca albo malejąca albo niemalejąca albo nierosnąca albo stała, to mówimy, że funkcja jest monotoniczna (w swojej dziedzinie). Definicja 6 Funkcję f : X R, X R nazywamy różnowartościową, jeśli x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji. Uwaga. Każda funkcja rosnąca albo malejąca jest różnowartościowa. Jak zbadać monotoniczność funkcji? Przez zbadanie znaku wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ), jeśli x 2 > x 1, x 2, x 1 X. Niech x 1, x 2 X, x 2 > x 1. Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) > 0, to funkcja f jest rosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) < 0, to funkcja f jest malejąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest nierosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest niemalejąca.

2 Jak zbadać czy funkcja jest różnowartościowa? Musimy sprawdzić, czy z równości f(x 1 ) = f(x 2 ), gdzie x 1, x 2 X R wynika równość x 1 = x 2, to znaczy, czy zachodzi implikacja: x 1, x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). Przykład 1. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych R. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f tzn. x 1, x 2 R oraz, że x 2 > x 1. Aby zbadać monotoniczność funkcji f zbadamy, czy wyrażenie f(x 2 ) f(x 1 ) jest większe czy mniejsze od 0. Ze wzoru na różnicę sześcianów ( a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ) mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x 3 2 x 3 1 = (x 2 x 1 )(x x 2 x 1 + x 2 1). ( ) Jak wynika z założenia o x 2 i x 1, pierwszy z czynników iloczynu ( ) jest liczbą dodatnią. Znak drugiego czynnika w ( ) nie jest oczywisty, bo iloczyn x 2 x 1 może być zarówno dodatni jak i ujemny (z uwagi na dowolność znaków x 2 i x 1 ). Zapiszemy zatem ten czynnik w innej postaci. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy ((a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ) przedstawimy go jako sumę kwadratów: ( (x x 2 x 1 + x 2 1) = x ) 2 2 x x2 1. ( ) Widoczne jest już teraz, że wyrażenie ( ) jest nieujemne ( 0), przy czym ( x ) 2 2 x x2 1 = 0 ( x ) 2 2 x 3 1 = 0 i 4 x2 1 = 0 x 2 = 1 2 x 1 i x 1 = 0. Zatem wyrażenie ( ) byłoby równe 0 tylko dla x 2 = 0 i x 1 = 0, ale to oznaczałoby, że x 2 = x 1, co jest sprzeczne z założeniem. Stąd wyrażenie( ) jest jest liczbą dodatnią ( 0). Wobec tego z ( ) i ( ) wynika, że x 3 2 x 3 1 > 0 x 2, x 1 R, x 2 > x 1, czyli, że funkcja f(x) = x 3 jest rosnąca w (całej) swojej dziedzinie. Przykład 2. Zbadaj czy funkcja f : R \ { 1} R, gdzie f(x) = x dziedzinie. 1+x jest malejąca w swojej Rozwiązanie. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f, tzn. x 1, x 2 R \ { 1} należącymi do zbioru A = ( 1; ) oraz że x 2 > x 1. To znaczy, że x 2 > x 1 > 1. Zbadajmy znak wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ) dla tak wybranych argumentów x 2, x 1. Mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x x 2 x x 1 = x 1 x 2 (1 + x 2 )(1 + x 1 ). ( ) Można łatwo sprawdzić, że ponieważ x 2, x 1 > 1 więc (1 + x 2 )(1 + x 1 ) > 0. Oczywiście licznik x 1 x 2 wyrażenia ( ) jest mniejszy od 0, co wynika z założenia x 2 > x 1. Zatem iloraz ( ) jest ujemny, czyli x x 2 x x 1 < 0 dla x 2 > x 1 > 1, a funkcja f(x) = x 1+x jest malejąca w zbiorze A = ( 1; ). x Podobnie dla 1 > x 2 > x 1 mamy 1 x 2 (1+x 2 )(1+x 1 ) < 0, zatem funkcja f jest też malejąca w zbiorze B = { ; 1}. Należy jeszcze sprawdzić czy f jest funkcją malejącą w (całej) swej dziedzinie, czyli na zbiorze

3 A B. Niech x 1 < 1 < x 2 wówczas w ( ) mamy (1 + x 2 )(1 + x 1 ) < 0 ale jednocześnie różnica x 1 x 2 < 0 stąd f(x 2 ) f(x 1 ) > 0! Stąd funkcja f nie jest malejąca w swojej dziedzinie, nie jest tam też rosnąca. Jest malejąca na podzbiorach A i B dziedziny. Przykład 3. Zbadaj czy funkcja f(x) = 1 x 2 jest różnowartościowościowa na zbiorach A = ( ; 0), B = R \ {0}. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R \ {0}. Załóżmy, że x 1, x 2 A = ( ; 0) oraz że f(x 1 ) = f(x 2 ), wówczas 1 x 2 1 = 1 x 2 2 x 2 1 = x 2 2 x 1 = x 2 (bo x 1, x 2 < 0) Zatem funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A. Sprawdzimy teraz, czy funkcja jest różnowartościowa na zbiorze R \ {0}. Jeśli weźmiemy np. x 1 = 3 i x 2 = 3, to f(x 2 ) = f(x 1 ) = 1 9. Zatem ta sama wartość funkcji odpowiada różnym argumentom z dziedziny, stąd funkcja nie jest różnowartościowa na zbiorze B i co za tym idzie nie jest różnowartościowa. Zadania 1. Które z funkcji o wykresach przedstawionych poniżej są monotoniczne? Określ rodzaj monotoniczności, a dla funkcji niemonotonicznych wskaż przedziały monotoniczności. a) b)

4 c) d) e)

5 f) g) h) 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x Korzystając z definicji uzasadnij, że funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a) f(x) = 4x x 2, [2; ); b) f(x) = 3 x, R; c) f(x) = 1 x + x 2, [1; ) Zbadaj różnowartościowość funkcji g(x) = x

6 5. Uzasadnij, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a) f(x) = x 4, [0; ) b) f(x) = x x, [ 1 4 ; ). Odpowiedzi 1. a) - niemalejąca; b) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla x 4, ; c) - monotoniczna, (rosnąca); d) - nie jest monotoniczna, rosnąca dla x 3 i dla x > 3; e) - monotoniczna (stała); f) - monotoniczna (malejąca); g) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla 4 x 2, nierosnąca dla x 2; h) nie jest monotoniczna, malejąca dla x < 0 i dla x > Malejąca na zbiorze ( ; 0], rosnąca na zbiorze [0; ), nie jest monotoniczna. 3. a)- malejąca; b)- rosnąca; c)- rosnąca. 4. Funkcja jest różnowartościowa. Funkcja okresowa, parzysta, nieparzysta. Definicja 7 Funkcja f : X R, gdzie X R, jest okresowa, jeśli: ( ) T > 0, T R x X x + T X i f(x + T ) = f(x). Uwagi. 1) Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. 2) Jeśli istnieje najmniejszy okres funkcji, to nazywamy go okresem podstawowym. 3) Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor (T, 0) nałoży się na siebie. Przykład 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) i naszkicuj jej wykres. Rozwiązanie. Okres podstawowy funkcji sinus wynosi 2π (patrz rozdział: Funkcje trygonometryczne), zatem sin(3x + 2π) = sin(3x). Naszym zadaniem jest ustalić czy istnieje takie T > 0, że sin(3(x + T )) = sin(3x), a jeśli istnieje, to wskazać jego najmniejszą możliwą wartość. Przekształcimy nieco wyrażenie sin(3x + 2π), mianowicie ( sin(3x) = sin(3x + 2π) = sin 3 ( x π)). Zatem 2 3π jest okresem funkcji f(x) = sin(3x). Jest to jednocześnie najmniejszy z możliwych okresów tej funkcji, bo 2π jest okresem podstawowym funkcji sinus. Wobec tego okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) wynosi 2 3 π, zatem T = 2 3 π. Uwaga. Można oczywiście powyższe rozważania uogólnić na dowolną funkcję f(x) okresową o okresie podstawowym T. Wtedy funkcja f(ax), gdzie a > 0 jest też funkcją okresową o okresie podstawowym T 1 = T a. Przykład 2. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 + x [x] i naszkicuj jej wykres, jeśli [x] oznacza część całkowitą z x. Rozwiązanie. Przez część całkowitą [x] liczby rzeczywistej x rozumiemy największą liczbę całkowitą k, która jest nie większa niż x. To znaczy, że x 1 < k x i k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. Zauważmy, że jeśli liczbę rzeczywistą x powiększymy o całość tzn. dodamy do x liczbę całkowitą, to część całkowita wzrośnie też o tę całość, [x + l] = [x] + l, gdzie l Z. Zatem f(x + l) = 1 + x + l [x + l] = 1 + x + l ([x] + l) = 1 + x [x]. Widać stąd, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f. Najmniejszy spośród tych okresów całkowitych

7 wynosi 1. Musimy odpowiedzieć sobie na pytanie, czy funkcja f nie ma innych okresów. Niech T będzie dowolnym (T R, T > 0) okresem funkcji f. Stąd f(x + T ) = f(x) 1 + x + T [x + T ] = 1 + x [x] [x + T ] [x] = T. Różnica, występująca z lewej strony ostatniej z ciągu powyższych równości, jest różnicą dwóch liczb całkowitych, a więc T jest liczbą całkowitą (suma, różnica, iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). Pokazaliśmy zatem, że jeśli T jest okresem funkcji f, to T Z. Wcześniej pokazaliśmy, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f, zatem funkcja f nie ma innych okresów, jak wśród liczb całkowitych. Okresem podstawowym funkcji f jest wobec tego 1 ( T = 1). Zadania 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 sin x, g(x) = sin x, h(k) = ( 1)k, gdzie k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. 2. Czy suma dowolnych dwóch funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie jest funkcją okresową? 3. Czy kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową? Czy funkcja i jej kwadrat muszą mieć taki sam okres podstawowy? Odpowiedzi 1. Okres funkcji f wynosi 2π, okres funkcji g wynosi π, okres funkcji h wynosi Nie. Na przykład f 1 (x) = sin 2 x, f 2 (x) = cos 2 x są funkcjami okresowymi (okres wynosi π), a funkcja f(x) = sin 2 x + cos 2 x nie ma okresu podstawowego (bo jest to funcja stała f(x) = 1). 3. Kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową, bo każdy okres funkcji jest jednocześnie okresem (nie koniecznie podstawowym) jej kwadratu. Funkcja i jej kwadrat nie muszą mieć takiego samego okresu podstawowego (np. f(x) = cos x ma okres T = 2π, a f 2 (x) = cos 2 x ma T = π). Definicja 8 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy parzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji parzystej jest funkcja f(x) = x 2, bo f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). Definicja 9 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy nieparzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji nieparzystej jest g(x) = x 3, bo f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Uwagi. 1)Dziedzina funkcji parzystej albo nieparzystej jest zbiorem symetrycznym względem punktu 0 na osi liczbowej. 2) Oś OY jest osią symetrii wykresu funkcji parzystej, początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji nieparzystej. 3) Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. f(x) = x ) Łatwo zauważyć, że każdą funkcję można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i funkcji nieparzystej. Ponadto ten rozkład jest jednoznaczny. Mianowicie f(x) = f(x) + f( x) 2 + f(x) f( x). 2 Przykład 1. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x 4 3x jest parzysta.

8 Rozwiązanie. Oczywiście dziedziną funkcji f jest R, zatem jeśli x należy do dziedziny funkcji f, to x też do niej należy. Musimy teraz pokazać, że spełniony jest warunek f(x) = f( x) dla dowolnych argumentów x funkcji f. Wyznaczmy najpierw wartość f( x). Mamy f( x) = ( x) 4 3 ( x) = x 4 3x = f(x) dla x R, zatem funkcja f jest parzysta. Przykład 2. Zbadaj parzystość funkcji g(x) = 2 x 2 x i h(x) = (x 1) 2. Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyznaczmy dla funkcji g(x) = 2 x 2 x najpierw g( x) a potem postaramy się zapisać to wyrażenie w takiej postaci, by ułatwić porównanie tej wielkości z g(x). Mamy zatem ( g( x) = 2 x 2 x = 2 x 2 x) = g(x) dla x R. stąd funkcja g jest nieparzysta. Podobnie postępujemy z funkcją h(x) = (x 1) 2. Mamy tu h( x) = ( x 1) 2 = (x + 1) 2. Porównajmy wyrażenie h( x) = (x + 1) 2 z h(x) = (x 1) 2 oraz z h(x) = (x 1) 2. Mamy oraz (x + 1) 2 = (x 1) 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 2x + 1 x = 0. (1) (x + 1) 2 = (x 1) 2 x + 1 = x 1 = 0 sprzeczność. (2) Z (1) widać, że h( x) = h(x) tylko dla jednej wartości argumentu x, mianowicie dla x = 0, a nie dla wszystkich możliwych argumentów x funkcji h (x R), zatem funkcja h nie jest funkcją parzystą. Z (2) wynika, że dla żadnej wartości argumentu x R nie zachodzi równość h( x) = h(x), zatem funkcja h nie jest funkcją nieparzystą. Mamy tu przykład funkcji, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Zadania 1. Zbadaj, czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta, czy też nie jest ani parzysta ani nieparzysta: f(x) = x2 +2 x 5, g(x) = sin x, h(x) = x x + cos(x). 2. Pokaż, że iloczyn dwóch funkcji parzystych lub dwóch funkcji nieparzystych o wspólnej dziedzinie jest funkcją parzystą. 3. Pokaż, że iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej o wspólnej dziedzinie jest funkcją nieparzystą. 4. Pokaż, że funkcja g 1 (x) = f(x)+f( x) 2 z punktu 4) Uwagi po Def. 9, jest parzysta, a g 2 (x) = f(x) f( x) 2 nieparzysta, przy dowolnej funkcji f : R R. 5. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x x jest nieparzysta. 6. Uzasadnij, że funkcja g(x) = sin x x jest parzysta. Odpowiedzi 1. Funkcja f jest nieparzysta, funkcja g jest parzysta, funkcja h nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

9 Funkcja liniowa. Definicja 10 Funkcja liniowa, to funkcja f : R R, postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R. Uwagi. 1) Wykresem funkcji liniowej jest prosta. 2) Jeśli współczynnik a nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej jest dodatni tzn. a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. 3) Jeśli współczynnik kierunkowy a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. 4) Współczynnik kierunkowy a jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej będącej wykresem funkcji f do dodatniej części osi OX. 5) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2 są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe, tzn. gdy a 1 = a 2. Przy czym jeśli dodatkowo b 1 = b 2, to proste te pokrywają się. 6) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2, a 1, a 2 0 są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są odwrotnie proporcjonalne i przeciwnych znaków tzn. a 1 = 1 a 2. Przykład 1. Znajdź funkcję liniową f(x) = ax + b, jeśli wiadomo, że 1. f(0) = 2, a x = 3 jest miejscem zerowym tej funkcji. 2. a = 3, a f(2) = 5. Rozwiązanie. Aby znaleźć funkcję f, trzeba wyznaczyć wartości współczynników a oraz b. 1 Ponieważ f(0) = 2, więc 2 = a 0 + b. Funkcja f ma miejsce zerowe w punkcie x = 3, to znaczy, że f( 3) = 0, czyli 0 = 3a + b. Aby wyznaczyć wartości a i b wystarczy rozwiązać układ dwóch równań { 0 = 3a + b. 2 = b Zatem a = 2 3 i b = 2, a poszukiwana funkcja liniowa ma równanie f(x) = 2 3 x W drugim przykładzie znany jest już współczynnik kierukowy funkcji a = 3. Musimy zatem wyznaczyć b. Ponieważ f(2) = 5, więc 5 = b. Stąd b = 1, a poszukiwana funkcja ma postać f(x) = 3x 1. Przykład 2. O funkcji liniowej f wiemy, że f(2) = 13 i f(4) = 23. Znajdź f(10) f(2). Rozwiązanie. Sposób 1. Można wyznaczyć wartości współczynników a i b funkcji f z układu równań { 13 = 2a + b 23 = 4a + b. Następnie trzeba wyznaczyć wartości f(10) i f(2). Wyznaczymy niewiadomą b z pierwszego równania i podstawimy ją do równania drugiego. { b = 13 2a 23 = 4a + b { b = 13 2a 23 = 4a a { b = 13 2a 10 = 2a { b = 3 a = 5. Funkcja f ma zatem postać f(x) = 5x + 3, stąd f(10) = 53 i f(2) = 13, więc f(10) f(2) = = 40. Sposób 2. Nie musimy znać dokładnej postaci funkcji liniowej f, aby wyznaczyć wartość różnicy f(10) f(2). Ponieważ f jest funkcją liniową, to dla dowolnych x 1, x 2 iloraz f(x 2 ) f(x 1 ) przez

10 x 2 x 1 jest stały i nie zależy od doboru x 1 i x 2. Co więcej, iloraz ten jest równy współczynnikowi kierunkowemu a funkcji f. Mamy bowiem f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) + b b = a(x 2 x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ), czyli f(x 2 ) f(x 1 ) = a x 1, x 2 R. (3) x 2 x 1 Uwaga. Równość ta wynika także z twierdzenia o tangensie kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Z warunków zadania wynika zatem, że współczynnik a = 5, bo a = f(4) f(2) 4 2 Zatem z (3) dla x 2 = 10 i x 1 = 2 mamy Zadania = = 10 2 = 5. f(10) f(2) = a(10 2) = 5 8 = Dopasuj wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów: a) f(x) = 1 2 x + 2, g(x) = 2x 1, h(x) = 3 x 3, k(x) = 1 + x 3, l(x) = 2. b)

11 c) d) e) Odpowiedzi 1) f(x) e); g(x) a); h(x) c); k(x) d); l(x) b).

12 Zadania o nierównościach (dodatkowe) 1.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, to 3(xy + yz + xz) (x + y + z) 2. 2.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 3, to 3.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to 3xyz xy + yz + xz x + y + z. x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 2( x + y + z). Kiedy w powyższej nierówności zachodzi równość? 4.* Niech a 1,..., a n 0. Udowodnić, że 5.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to n (1 + a i ) (1 + n a 1... a n ) n. i=1 (x + 2y)(y + 2z)(z + 2x) * Niech a, b, c będą długościami boków pewnego trójkąta, h a, h b, h c długościami wysokości opuszczonych na odpowiedznie boki, r długością okręgu wpisanego w ten trójkąt, a p połową jego obwodu. Udowodnić, że h a ah b bh c c (3r) 2p. 7.* Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania udowodnić, że ( ) a + b + c a+b+c a a b b c c. 3 8.* Niech a i, b i > 0 (i = 1,..., n), n i=1 a i = n i=1 b i. Udowodnić, że n i 1 a 2 i a i + b i 1 2 n a i. i=1 9.* Udowodnić, że dla x 1,..., x n > 0 spełniona jest nierówność n x1... x n x x n n korzystając z wypukłości funkcji wykładniczej. 10.* Udowodnić, że dla a, b 0 spełniona jest nierówność a 4 + b 4 a6 b 2 + b6 a * Udowodnić, że dla a, b > 0 spełniona jest nierówność a + b a 2 b + b 2 a

13 12.* Udowodnić, że dla a, b, c [0, 1], a 2 + b 2 + c 2 = 2, spełniona jest nierówność a + b + c abc * Udowodnić, że dla a, b, c 0 spełniona jest nierówność 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c). 14.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a + b + c a2 + b 2 2c + a2 + c 2 2b + b2 + b 2 2a a3 bc + b3 ac + c3 ab. 15.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a b + c + b a + c + c a + b * Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a 3 b + b 3 c + c 3 a abc(a + b + c). 17.* Udowodnić, że jeśli a, b > 0, a 2 + b 2 = 1, to a 3 + b 3 2ab. 18.* Przy oznaczeniach z zadania 6 udowodnić, że: 1 p a + 1 p b + 1 ( 1 p c 2 a + 1 b + 1 ). c 19.* (25 IMO) Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 1, to 0 xy + yz + zx 2xyz * Udowodnić, że jeśli a > b > 0 i n N to a 2n+1 b + na n b n+2 > ab 2n+1 + na n+2 b n.

14 Przekształcanie wykresu funkcji. Przykład 1. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysuj wykres funkcji g będącej obrazem funkcji f a)wprzesunięciuowektor[2,0], b)wprzesunięciuowektor[0,1], c)wprzesunięciuowektor[2,1], d)wsymetriiwzględemosiox, e)wsymetriiwzględemosioy, f) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Jakim wzorem jest opisana funkcja g? Rozwiązanie. a) Przesuńmy najpierw wykres funkcji f o dany wektor. Mamynp.g(3)=f(1),g(5)=f(3).Funkcjęgopisujewzórg(x)=f(x 2). b)poprzesunięciuowektor[0,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x)+1.

15 c)poprzesunięciuowektor[2,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x 2)+1. d)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioxjestfunkcjag(x)= f(x). e)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioyjestfunkcjag(x)=f( x).

16 f) Obrazem funkcji f w symetrii względem początku układu współrzędnych jest funkcja g(x) = f( x)(symetria środkowa względem początku układu współrzędnych jest złożeniemdwóchsymetriiosiowychwzględemosioxioy). Ogólnie,jeślichcemyprzesunąćwykresfunkcjiy =f(x)owektor[a,b],topunktp o współrzędnych(x P,y P )należącydowykresufunkcjif zostanieprzesuniętydopunktup o współrzędnych(x P,y P ),gdziex P =x P+a,y P =y P+b.Mamyy P =f(x P ),czyliy P b=f(x P a).stądy P =f(x P a)+b,zatemkrzywagbędącaprzesunięciemwykresu funkcjifowektor[a,b]opisanajestrównaniemy=f(x a)+b.wpodobnysposóbmożna wyprowadzić równania krzywych będących obrazami danej funkcji w symetriach względem osi układy współrzędnych i punktu O. Przykład 2. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

17 Narysuj wykres funkcji a)y=f(2x), b)y=f( 1 2 x), c)y=2f(x). Rozwiązanie. a) Łatwo zauważyć, że czynnik 2 przy x odpowiada za ściśnięcie wykresu. b)czynnik 1 2 przyxpowoduje rozciągnięcie wykresuwzdłużosiox. c) W tym przypadku przez 2 mnożymy wartości funkcji.

18 Przykład 3. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysujwykresfunkcjiy= f(x),y=f( x )orazy= f( x ). Rozwiązanie. Narysujmy najpierw wykres funkcji y = f(x). Tam, gdzie funkcja f przyjmowaławartościnieujemne,wykresfunkcjiy= f(x) pokrywasięzwykresemfunkcjif.dla tychx,dlaktórychf(x)<0mamy f(x) = f(x),czylimusimyzastąpićodpowiedniączęść wykresu jego obrazem w symetrii względem osi OX. Pozostałedwawykresysąnakolejnymrysunku.Wykresfunkcjif( x )dlax 0pokrywasię zwykresemf(x).dlax<0mamyf( x )=f( x),więctaczęśćwykresujestobrazemfunkcji fwsymetriiwzględemosioy.

19 Zadanie 1. Dana jest funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych Narysujwykresyfunkcjiy=2f(x),y=2f( x ),y=2f( x ) 3,y= 2f( x ) 3. Zadanie 2. Dana jest funkcja, której dziedziną jest przedział[ 5, 5]. Narysujwykresyfunkcjiy= f( 3x)+2,y=f( x +1) 1,y= f( x 3),y= 2f( x ) 3.

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1 Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Poziom Podstawowy 2 kwietnia 2010 r. Czas trwania 170min. Arkusz przygotowany przez serwis www.akademiamatematyki.pl Zadanie 1. ( 1 pkt. ) Liczba jest o większa

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury Matematyka Spis treści 1 Ciągi liczbowe 3 1.1 Zadania o sposobach opisywania ciągów................... 3 1.2 Zadania o granicach ciągów liczbowych....................

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)

Bardziej szczegółowo

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wielkopolskie Mecze Matematyczne Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Zakres rozszerzony Wymagania stawiane przed uczniem podzieliliśmy na trzy grupy: Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 2014/2015- klasa 1 a, b

MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 2014/2015- klasa 1 a, b MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 04/05- klasa a, b Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa z matematyki, poziom podstawowy nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Joanna Nowaczyk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory ponad potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi;

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1.

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Prace klasowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną *, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut MATEMATYKA klasa pierwsza (pp) CZERWIEC 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 17 stron

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

Tablice matematyczne dla gimnazjum

Tablice matematyczne dla gimnazjum 1 3. Wyrażenia algebraiczne Wyrażenie algebraiczne kilka zmiennych (liter) i/lub stałych (liczb )połączonych ze sobą znakami działań i nawiasami Może to być także pojedyncza liczba lub litera. Przyjmuje

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo