Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Transkrypt

1 1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

2 Przykłady do zadania 14.1: Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: (a) f(x, y) = x + y, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, ) (x, y) = x, (x, y) = y obie pochodne są ciągłe w (1, 1), zatem istnieje płaszczyzna styczna do wykresu f w punkcie (1, 1, ) Równanie tej płaszczyzny ma postać: π st : z = (1, 1) (x 1) + (1, 1) (y ( 1)) (1, 1) =, (1, 1) = Zatem π st : z = (x 1) (y + 1) (b) f(x, y) = x y, (x 0, y 0, z 0 ) = (, 4, 16) (x, y) = yxy 1, (x, y) = xy ln x obie pochodne są ciągłe w (, 4), zatem istnieje płaszczyzna styczna do wykresu f w punkcie (, 4, 16) Równanie tej płaszczyzny ma postać: π st : z 16 = (, 4) (x ) + (, 4) (y 4) (, 4) = 4 =, (, 4) = 4 ln = 16 ln Zatem π st : z 16 = (x ) + 16 ln (y 4)

3 Przykłady do zadania 14.: Znaleźć ekstrema podanych funkcji: (a) f(x, y) = xy(1 x y) D f = R (x, y) = y(1 x y) + xy ( 1) = y(1 x y), (x, y) = x(1 x y) obie pochodne są ciągłe na R (x, y) = 0 y(1 x y) = 0 (x, y) = 0 x(1 x y) = 0 { { { { y = 0 x = 0 y = 0 1 x y = 0 1 x y = 0 1 x y = 0 x = 0 1 x y = 0 { { { { x = 0 x = 1 x = 0 x = 1 y = 0 y = 0 y = 1 y = 1 Zatem f może mieć ekstrema tylko w punktach (0, 0), (1, 0), (0, 1) i ( 1, 1 ). f (x, y) = y, f (0, 0) det (0, 0) f f (x, y) = f f (0, 0) f (0, 0) = det Zatem f nie ma ekstremum w punkcie (0, 0) (x, y) = 1 x y, f (x, y) = x 0 1 = 1 < det f (0, 1) (0, 1) f f (0, 1) f (0, 1) = det Zatem f nie ma ekstremum w punkcie (0, 1) = 1 < 0 det f (1, 0) (1, 0) f f (1, 0) f (1, 0) = det Zatem f nie ma ekstremum w punkcie (1, 0) det f f = 1 < 0 f f = det 1 = 1 1 > 0 oraz f ( 1, 1 ) = < 0 Zatem f ma maksimum lokalne właściwe w punkcie ( 1, 1 ) Odp.: Funkcja f(x, y) ma jedno ekstremum: maksimum lokalne właściwe w punkcie ( 1, 1 )

4 4 (b) f(x, y) = (y x) + (y + ) D f = R (x, y) = (y x), (x, y) = (y x) + (y + ) obie pochodne są ciągłe na R (x, y) = 0 (y x) = 0 (x, y) = 0 (y x) + (y + ) = 0 { { x = y x = (y + ) = 0 y = Zatem f może mieć ekstremum tylko w punkcie (, ). f (x, y) =, f (, ) det (, ) f f (x, y) = f f (x, y) =, f (x, y) = + 6(y + ) (, ) = det = 0 f (, ) Nie wiemy na razie, czy f ma ekstremum w punkcie (, ) Zbadamy to z definicji ekstremum lokalnego Weźmy (x, y) = ( + 1, + 1 ). Wtedy f(x, y) = 1 > 0 = f(, ). n n n Teraz weźmy (x, y) = ( 1, 1 ). Wtedy f(x, y) = 1 < 0 = f(, ). n n n Wynika stąd, że w każdym otoczeniu punktu (, ) znajdują się punkty, w których wartość funkcji jest większa od f(, ), i punkty, w których wartość funkcji jest mniejsza od f(, ). Zatem f nie ma ekstremum w punkcie (, ). Odp.: Funkcja f(x, y) nie ma ekstremów lokalnych.

5 5 Przykłady do zadania 14.: Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanej funkcji f(x, y) na zbiorze A domkniętym i ograniczonym: (a) f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y), A = {(x, y) : 0 x, y π } 1) Znajdziemy na początek punkty we wnętrzu A, w których f(x, y) może mieć ekstrema lokalne: (x, y) = cos x + cos(x + y), (x, y) = cos y + cos(x + y) obie pochodne są ciągłe na R (x, y) = 0 cos x + cos(x + y) = 0 (x, y) = 0 cos y + cos(x + y) = 0 (x, y) wnętrze A 0 < x, y < π x = y cos x + cos(x) = 0 0 < x, y < π x = y cos x + cos x 1 = 0 0 < x, y < π cos x = cos y cos x = cos(x + y) 0 < x, y < π t + t 1 = 0, 0 < t < 1 x = y x = π = 9, t = 0, 5 cos x = 0, 5 (odrzucamy t = 1 < 0) 0 < x, y < π y = π Zatem we wnętrzu A funkcja f(x, y) może mieć ekstremum lokalne tylko w punkcie ( π, π ). ) Znajdziemy teraz punkty, w których f(x, y) może mieć ekstrema warunkowe z warunkiem: (x, y) należy do brzegu zbioru A, czyli (x, y) B 1 B B B 4, gdzie B 1 = {(x, y) : x = 0, 0 y π }, B = {(x, y) : 0 x π, y = 0}, B = {(x, y) : x = π, 0 y π }, B = {(x, y) : 0 x π, y = π }. Jeżeli (x, y) B 1, to f(x, y) = f(0, y) = sin y = g(y) dla 0 y π. Z własności sinusa g(y) ma w przedziale [0, π] maksimum w y = π i minimum w y = 0. ( Zatem f(x, y) ma warunkowe maksimum w punkcie 0, π ) i warunkowe minimum w (0, 0) z warunkiem (x, y) B 1. Podobnie, jeżeli (x, y) B, to f(x, y) = f(x, 0) = sin x = g(x) dla 0 x π. Z własności sinusa g(x) ma w przedziale [0, π] maksimum w x = π i minimum w x = 0. ( ) π Zatem f(x, y) ma warunkowe maksimum w punkcie, 0 i warunkowe minimum w (0, 0) z warunkiem (x, y) B. Jeżeli (x, y) B, to f(x, y) = f ( π, y) = 1 + sin y + cos y = g(y) dla 0 y π. g (y) = cos y sin y = 0 cos y = sin y y = π (dla 0 y π). 4 Zatem g(y) w przedziale [0, π] może mieć ekstrema tylko w y = π lub na końcach 4 przedziału, czyli w y = 0 i w y = π. Zatem f(x, y) może ( mieć warunkowe ekstrema z warunkiem (x, y) B π tylko w punktach, π ) ( ) ( π π, 4, 0 oraz, π ). Podobnie, jeżeli (x, y) B 4, to f(x, y) = f ( x, π ) = 1 + sin x + cos x = g(x) dla 0 x π i g(x) w przedziale [0, π ] może mieć ekstrema tylko w x = π 4, x = 0 i x = π.

6 6 Zatem f(x, y) może ( mieć warunkowe ekstrema z warunkiem (x, y) B 4 π tylko w punktach 4, π ) (, 0, π ) ( π oraz, π ). ) Obliczymy wartości funkcji f(x, y) w punktach, w których funkcja ta może mieć ekstrema lokalne i ekstrema warunkowe, a następnie wyznaczymy wartość najmniejszą m i wartość największą M funkcji na zbiorze A: ( π f, π ) = (, 6, f 0, π ) ( ) ( π π = f, 0 =, f(0, 0) = 0, f, π ) = ( 4 π f 4, π ) = 1 + ( π, 4, f, π ) = m = min(,, 0, 1 + ) = 0, M = max(,, 0, 1 + ) = (b) f(x, y) = x y, A = {(x, y) : x + y 1} 1) Znajdziemy na początek punkty we wnętrzu A, w których f(x, y) może mieć ekstrema lokalne: (x, y) = xy, (x, y) = x obie pochodne są ciągłe na R (x, y) = 0 xy = 0 (x, y) = 0 x = 0 (x, y) wnętrze A x + y < 1 x = 0 1 < y < 1 Zatem we wnętrzu A funkcja f(x, y) może mieć ekstremum lokalne tylko w punktach postaci (0, y), gdzie 1 < y < 1. ) Znajdziemy teraz punkty, w których f(x, y) może mieć ekstrema warunkowe z warunkiem: (x, y) należy do brzegu zbioru A, czyli (x, y) Γ, gdzie Γ = {(x, y) : x + y = 1} Jeżeli (x, y) Γ, to x = 1 y i f(x, y) = (1 y )y = y y = g(y) dla 1 y 1. g (y) = 1 y = 0 y = ±. Zatem g(y) w przedziale [ 1, 1] może mieć ekstrema tylko w y = ± lub na końcach przedziału, czyli w y = ±1. Zatem f(x, y) może mieć warunkowe ekstrema z warunkiem (x, y) Γ tylko w punktach ( 6, ) (, 6, ) (, 6, ) (, 6, ), (0, 1) oraz (0, 1). ) Obliczymy wartości funkcji f(x, y) w punktach, w których funkcja ta może mieć ekstrema lokalne i ekstrema warunkowe, a następnie wyznaczymy wartość najmniejszą m i wartość największą M funkcji na zbiorze A: Dla dowolnego 1 < y < 1 mamy f(0, y) = 0. ) ( = f 6, ) =, f ( 6, 9 f ( 6, f(0, 1) = f(0, 1) = 0. ) ( = f 6, m = min(0,, ) =, M = max(0,, ) = ) = 9,