Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8

2 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

3 Definicja Określenia podstawowe Równanie różniczkowe zwyczajne zwiazek między pewna nieznana funkcja i jej pochodnymi d 2 y(t) 2 + t y(t) + 3y 2 (t) = exp(t) du(t) + u(t) = cos(t) dx(t) = y(t) (t) = x(t)

4 Definicja Określenia podstawowe Równanie różniczkowe zwyczajne zwiazek między pewna nieznana funkcja i jej pochodnymi d 2 y(t) 2 + t y(t) + 3y 2 (t) = exp(t) du(t) + u(t) = cos(t) dx(t) = y(t) (t) = x(t)

5 Rzad Określenia podstawowe Rzad równania rzad najwyższej pochodnej. 1 2 d 2 y + y = 0 jest drugiego rzędu 2 = y 2 jest pierwszego rzędu

6 Rzad Określenia podstawowe Rzad równania rzad najwyższej pochodnej. 1 2 d 2 y + y = 0 jest drugiego rzędu 2 = y 2 jest pierwszego rzędu

7 Rozwiazanie Określenia podstawowe Rozwiazanie szczególne każda funkcja y = f (t), która spełnia dane równanie. 1 y = cos(t) jest rozwiazaniem szczególnym d2 y 2 + y = 0. 2 Dla dowolnej stałej c, y = 2 + c exp( x) jest rozwiazaniem + y = 2. 3 Dla dowolnej stałej a, y = cosh(ax)/a jest rozwiazaniem ( ) y d2 y = 0.

8 Rozwiazanie Określenia podstawowe Rozwiazanie szczególne każda funkcja y = f (t), która spełnia dane równanie. 1 y = cos(t) jest rozwiazaniem szczególnym d2 y 2 + y = 0. 2 Dla dowolnej stałej c, y = 2 + c exp( x) jest rozwiazaniem + y = 2. 3 Dla dowolnej stałej a, y = cosh(ax)/a jest rozwiazaniem ( ) y d2 y = 0.

9 Dygresja Określenia podstawowe Sinus hiperboliczny sinh(x) Cosinus hiperboliczny cosh(x) exp(x) exp( x) 2 exp(x) + exp( x) 2 Własności d sinh(x) = cosh(x) dx cosh d cosh(x) = sinh(x) dx 2 (x) sinh 2 (x) = 1

10 Rozwiazanie c.d. Określenia podstawowe Rozwiazanie ogólne rozwiazanie zawierajace pewna liczbę stałych w taki sposób, że dowolne rozwiazanie można otrzymać podstawiajac pod te stałe odpowiednie wartości liczbowe. 1 y = cos(t) nie jest rozwiazaniem ogólnym d2 y + y = 0, bo 2 y = sin(t) jest innym rozwiazaniem. 2 y = 2 + c exp( t) jest rozwiazaniem ogólnym + y = 2. 3 y = cosh(at)/a nie jest rozwiazaniem ogólnym ( ) y d2 y = 0; rozwiazaniem ogólnym jest y = cosh(at + b)/a

11 Rozwiazanie c.d. Określenia podstawowe Rozwiazanie ogólne rozwiazanie zawierajace pewna liczbę stałych w taki sposób, że dowolne rozwiazanie można otrzymać podstawiajac pod te stałe odpowiednie wartości liczbowe. 1 y = cos(t) nie jest rozwiazaniem ogólnym d2 y + y = 0, bo 2 y = sin(t) jest innym rozwiazaniem. 2 y = 2 + c exp( t) jest rozwiazaniem ogólnym + y = 2. 3 y = cosh(at)/a nie jest rozwiazaniem ogólnym ( ) y d2 y = 0; rozwiazaniem ogólnym jest y = cosh(at + b)/a

12 Określenia podstawowe Rozwiazanie w postaci uwikłanej y 2 + t 2 = 1 definiuje rozwiazanie szczególne równania y = t z wyjatkiem punktów ( 1, 0) i (1, 0) (dlaczego?) exp(y) + ty = c definiuje rozwiazanie ogólne równania ( exp(y) + t) + y = 0

13 Plan 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

14 Równania o rozdzielonych zmiennych Równanie różniczkowe w postaci normalnej równanie rozwiazane względem najwyższej pochodnej. d n y n = f ( t, y,, d2 y 2,..., dn 1 y n 1 Równanie z rozdzielonymi zmiennymi = a(t)b(y) Sposób rozwiazania: Rozdzielamy zmienne, tzn. = a(t) b(y) i całkujemy obie strony aby otrzymać rozwiazanie w postaci uwikłanej. )

15 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

16 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

17 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

18 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

19 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

20 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 2 Szukamy rozwiazania równania = ty 3 sin(t) spełniajacego warunek poczatkowy y(0) = 1. Po rozdzieleniu zmiennych mamy y 3 = t sin(t) Całka ogólna ma postać 1 1 = t cos(t) sin(t) + c 2 y 2 Z warunku poczatkowego wynika c = 1/2, skad y = 1 2t cos(t) 2 sin(t) + 1

21 Plan 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

22 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

23 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

24 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

25 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

26 Równania liniowe niejednorodne Przykła równań jednorodnych: Równania niejednorodne + y = 0 y = c exp( t) + 2ty = 0 y = c exp( t2 ) + a(t)y = b(t) rozwiazujemy metoda uzmienniania stałej w rozwiazaniu równania jednorodnego, tzn. przyjmuje się ( ) y = c(t) exp a(t)

27 Równania liniowe niejednorodne Przykła równań jednorodnych: Równania niejednorodne + y = 0 y = c exp( t) + 2ty = 0 y = c exp( t2 ) + a(t)y = b(t) rozwiazujemy metoda uzmienniania stałej w rozwiazaniu równania jednorodnego, tzn. przyjmuje się ( ) y = c(t) exp a(t)

28 Równania liniowe niejednorodne Przykład 1 Rozważmy równanie + y = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t) (t) = dc(t) exp( t) c(t) exp( t) Podstawiajac to do równania niejednorodnego mamy skad czyli dc(t) = 2 exp(t) c(t) = 2 exp(t) + k y(t) = 2 + k exp( t)

29 Równania liniowe niejednorodne Przykład 1 Rozważmy równanie + y = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t) (t) = dc(t) exp( t) c(t) exp( t) Podstawiajac to do równania niejednorodnego mamy skad czyli dc(t) = 2 exp(t) c(t) = 2 exp(t) + k y(t) = 2 + k exp( t)

30 Równania liniowe niejednorodne Przykład 2 Rozważmy równanie + ty = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t 2 ), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t 2 ) Podstawiajac je do równania niejednorodnego mamy skad dc(t) = t 3 exp(t 2 ) c(t) = t 3 exp(t 2 ) = 1 2 exp(t2 )(t 2 1) + k czyli y(t) = 1 2 (t2 1) + k exp( t 2 ).

31 Plan o stałych współczynnikach 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

32 Równanie jednorodne o stałych współczynnikach d 2 y 2 + b + cy = 0 rozwiazuje się podstawiajac y = exp(λt), co prowadzi do ( ) exp(λt) λ 2 + bλ + c = 0 Ponieważ zawsze y = exp(λt) 0, musimy mieć λ 2 + bλ + c = 0 1 > 0 y = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 exp(λ 2 t) 2 = 0 y = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 t exp(λ 1 t) 3 < 0 λ 1,2 = p ± jω y = c 1 exp(pt) cos(ωt) + c 2 exp(pt) sin(ωt) Przykład: / + y = 0.