Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania"

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8

2 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

3 Definicja Określenia podstawowe Równanie różniczkowe zwyczajne zwiazek między pewna nieznana funkcja i jej pochodnymi d 2 y(t) 2 + t y(t) + 3y 2 (t) = exp(t) du(t) + u(t) = cos(t) dx(t) = y(t) (t) = x(t)

4 Definicja Określenia podstawowe Równanie różniczkowe zwyczajne zwiazek między pewna nieznana funkcja i jej pochodnymi d 2 y(t) 2 + t y(t) + 3y 2 (t) = exp(t) du(t) + u(t) = cos(t) dx(t) = y(t) (t) = x(t)

5 Rzad Określenia podstawowe Rzad równania rzad najwyższej pochodnej. 1 2 d 2 y + y = 0 jest drugiego rzędu 2 = y 2 jest pierwszego rzędu

6 Rzad Określenia podstawowe Rzad równania rzad najwyższej pochodnej. 1 2 d 2 y + y = 0 jest drugiego rzędu 2 = y 2 jest pierwszego rzędu

7 Rozwiazanie Określenia podstawowe Rozwiazanie szczególne każda funkcja y = f (t), która spełnia dane równanie. 1 y = cos(t) jest rozwiazaniem szczególnym d2 y 2 + y = 0. 2 Dla dowolnej stałej c, y = 2 + c exp( x) jest rozwiazaniem + y = 2. 3 Dla dowolnej stałej a, y = cosh(ax)/a jest rozwiazaniem ( ) y d2 y = 0.

8 Rozwiazanie Określenia podstawowe Rozwiazanie szczególne każda funkcja y = f (t), która spełnia dane równanie. 1 y = cos(t) jest rozwiazaniem szczególnym d2 y 2 + y = 0. 2 Dla dowolnej stałej c, y = 2 + c exp( x) jest rozwiazaniem + y = 2. 3 Dla dowolnej stałej a, y = cosh(ax)/a jest rozwiazaniem ( ) y d2 y = 0.

9 Dygresja Określenia podstawowe Sinus hiperboliczny sinh(x) Cosinus hiperboliczny cosh(x) exp(x) exp( x) 2 exp(x) + exp( x) 2 Własności d sinh(x) = cosh(x) dx cosh d cosh(x) = sinh(x) dx 2 (x) sinh 2 (x) = 1

10 Rozwiazanie c.d. Określenia podstawowe Rozwiazanie ogólne rozwiazanie zawierajace pewna liczbę stałych w taki sposób, że dowolne rozwiazanie można otrzymać podstawiajac pod te stałe odpowiednie wartości liczbowe. 1 y = cos(t) nie jest rozwiazaniem ogólnym d2 y + y = 0, bo 2 y = sin(t) jest innym rozwiazaniem. 2 y = 2 + c exp( t) jest rozwiazaniem ogólnym + y = 2. 3 y = cosh(at)/a nie jest rozwiazaniem ogólnym ( ) y d2 y = 0; rozwiazaniem ogólnym jest y = cosh(at + b)/a

11 Rozwiazanie c.d. Określenia podstawowe Rozwiazanie ogólne rozwiazanie zawierajace pewna liczbę stałych w taki sposób, że dowolne rozwiazanie można otrzymać podstawiajac pod te stałe odpowiednie wartości liczbowe. 1 y = cos(t) nie jest rozwiazaniem ogólnym d2 y + y = 0, bo 2 y = sin(t) jest innym rozwiazaniem. 2 y = 2 + c exp( t) jest rozwiazaniem ogólnym + y = 2. 3 y = cosh(at)/a nie jest rozwiazaniem ogólnym ( ) y d2 y = 0; rozwiazaniem ogólnym jest y = cosh(at + b)/a

12 Określenia podstawowe Rozwiazanie w postaci uwikłanej y 2 + t 2 = 1 definiuje rozwiazanie szczególne równania y = t z wyjatkiem punktów ( 1, 0) i (1, 0) (dlaczego?) exp(y) + ty = c definiuje rozwiazanie ogólne równania ( exp(y) + t) + y = 0

13 Plan 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

14 Równania o rozdzielonych zmiennych Równanie różniczkowe w postaci normalnej równanie rozwiazane względem najwyższej pochodnej. d n y n = f ( t, y,, d2 y 2,..., dn 1 y n 1 Równanie z rozdzielonymi zmiennymi = a(t)b(y) Sposób rozwiazania: Rozdzielamy zmienne, tzn. = a(t) b(y) i całkujemy obie strony aby otrzymać rozwiazanie w postaci uwikłanej. )

15 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

16 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

17 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

18 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

19 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 1 = y 2 exp( t) Zakładajac y 0 mamy y 2 = exp( t) Całkujac otrzymujemy y 2 = skad y 1 = exp( t) + c i dalej y = exp( t) 1 exp( t) c Ponieważ y = 0 jest rozwiazaniem, które nie jest w ten sposób uwzględnione, nie jest to rozwiazanie ogólne.

20 Równania o rozdzielonych zmiennych Przykład 2 Szukamy rozwiazania równania = ty 3 sin(t) spełniajacego warunek poczatkowy y(0) = 1. Po rozdzieleniu zmiennych mamy y 3 = t sin(t) Całka ogólna ma postać 1 1 = t cos(t) sin(t) + c 2 y 2 Z warunku poczatkowego wynika c = 1/2, skad y = 1 2t cos(t) 2 sin(t) + 1

21 Plan 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

22 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

23 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

24 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

25 Równania liniowe Rozważmy najpierw równanie jednorodne: Otrzymujemy + a(t)y = 0 y = a(t) ln(ky) = a(t) (ky > 0) ( ) y = c exp a(t) (c = 1 k )

26 Równania liniowe niejednorodne Przykła równań jednorodnych: Równania niejednorodne + y = 0 y = c exp( t) + 2ty = 0 y = c exp( t2 ) + a(t)y = b(t) rozwiazujemy metoda uzmienniania stałej w rozwiazaniu równania jednorodnego, tzn. przyjmuje się ( ) y = c(t) exp a(t)

27 Równania liniowe niejednorodne Przykła równań jednorodnych: Równania niejednorodne + y = 0 y = c exp( t) + 2ty = 0 y = c exp( t2 ) + a(t)y = b(t) rozwiazujemy metoda uzmienniania stałej w rozwiazaniu równania jednorodnego, tzn. przyjmuje się ( ) y = c(t) exp a(t)

28 Równania liniowe niejednorodne Przykład 1 Rozważmy równanie + y = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t) (t) = dc(t) exp( t) c(t) exp( t) Podstawiajac to do równania niejednorodnego mamy skad czyli dc(t) = 2 exp(t) c(t) = 2 exp(t) + k y(t) = 2 + k exp( t)

29 Równania liniowe niejednorodne Przykład 1 Rozważmy równanie + y = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t) (t) = dc(t) exp( t) c(t) exp( t) Podstawiajac to do równania niejednorodnego mamy skad czyli dc(t) = 2 exp(t) c(t) = 2 exp(t) + k y(t) = 2 + k exp( t)

30 Równania liniowe niejednorodne Przykład 2 Rozważmy równanie + ty = 2 Równanie jednorodne ma rozwiazanie y = c exp( t 2 ), więc dla równania niejednorodnego spróbujmy rozwiazania postaci y(t) = c(t) exp( t 2 ) Podstawiajac je do równania niejednorodnego mamy skad dc(t) = t 3 exp(t 2 ) c(t) = t 3 exp(t 2 ) = 1 2 exp(t2 )(t 2 1) + k czyli y(t) = 1 2 (t2 1) + k exp( t 2 ).

31 Plan o stałych współczynnikach 1 Wstęp Określenia podstawowe 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego w postaci normalnej 3 o stałych współczynnikach

32 Równanie jednorodne o stałych współczynnikach d 2 y 2 + b + cy = 0 rozwiazuje się podstawiajac y = exp(λt), co prowadzi do ( ) exp(λt) λ 2 + bλ + c = 0 Ponieważ zawsze y = exp(λt) 0, musimy mieć λ 2 + bλ + c = 0 1 > 0 y = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 exp(λ 2 t) 2 = 0 y = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 t exp(λ 1 t) 3 < 0 λ 1,2 = p ± jω y = c 1 exp(pt) cos(ωt) + c 2 exp(pt) sin(ωt) Przykład: / + y = 0.

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe metody numeryczne

Równania różniczkowe metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznyc Universytet Zielonogórski Wykład 9 Metoda Eulera Rozważmy równanie różniczkowe dy(t) = f (t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 którego rozwiazanie ccemy wyznaczyć w przedziale

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Dariusz Uciński. Wykład 7. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

Równania różniczkowe. Dariusz Uciński. Wykład 7. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 7 Plan Model wzrostu populacji 1 Część 1: Równania pierwszego rzędu, jedna zmienna Model wzrostu populacji 2 Model skoku

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka

Automatyka i robotyka Automatyka i robotyka Wykład 2 - Modelowanie w dziedzinie częstotliwości Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 64 Plan wykładu Transformata Laplace

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur

Bardziej szczegółowo

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami.

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. Polecam korzystanie również z poniższych podręczników. 1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. 2. Izydor Dziubiński, Lucjan Siewierski Matematyka dla wyższych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 3 o rozdzielonych zmiennych 4 Zadania.. 5 jednorodne 6 Zadania.. 7 liniowe 7 Zadania.. 8 Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczeni a 15 30

Wykład Ćwiczeni a 15 30 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA AiR Nazwa w języku angielskim Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka II

Opis przedmiotu: Matematyka II 24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów

Bardziej szczegółowo

Analiza wymiarowa i równania różnicowe

Analiza wymiarowa i równania różnicowe Część 1: i równania różnicowe Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Plan Część 1: 1 Część 1: 2 Część 1: Układ SI (Système International d Unités) Siedem jednostek

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach. [Cz.] 2 / W. Krysicki, L. Włodarski. - wyd. 27, dodr. 6. Warszawa, Spis rzeczy

Analiza matematyczna w zadaniach. [Cz.] 2 / W. Krysicki, L. Włodarski. - wyd. 27, dodr. 6. Warszawa, Spis rzeczy Analiza matematyczna w zadaniach. [Cz.] 2 / W. Krysicki, L. Włodarski. - wyd. 27, dodr. 6. Warszawa, 2010 Spis rzeczy Przedmowa do wydania pierwszego 5 Przedmowa do wydania dziesiątego 6 Rozdział I. Funkcje

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU. NAZWA PRZEDMIOTU Analiza i modelowanie systemów. NAZWA JEDNOSTKI PROWADZĄCEJ PRZEDMIOT Instytut Politechniczny. STUDIA kierunek stopień tryb język status przedmiotu AiR I Stacjonarne/Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Matematyka (EiT stopień) Nazwa w języku angielskim: Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej Ćwiczenie 6. Rozwiązywanie równań różniczkowych w środowisku MATLAB. Opracował: dr inż. Sebastian Dudzik 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

Analityczne metody detekcji uszkodzeń

Analityczne metody detekcji uszkodzeń Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki w analityce medycznej

Zastosowania matematyki w analityce medycznej Zastosowania matematyki w analityce medycznej 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia (kierunek studiów, poziom i profil kształcenia, forma studiów, np. Zdrowie publiczne I stopnia profil praktyczny,

Bardziej szczegółowo

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Sin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10]

Sin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10] In[1]:= (* WSTĘP DO PAKIETU MATHEMATICA *) (* autorzy: Łukasz Płociniczak,Marek Teuerle*) (* Składnia: nazwy funkcji z wielkiej litery a argumenty w kwadratowych nawiasach. Wywołujemy wartość SHIFT+ENTER

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych. mgr inż. Piotr Kowalski

Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych. mgr inż. Piotr Kowalski Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych mgr inż. Piotr Kowalski 9 grudnia 03 Wersje numer data autor opis 0. 3.03.03 Piotr Kowalski Rozwiązanie równania jednorodnego z zajęć (wykryty błąd na

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1 Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Matematyka (Zao EA EiT stopień) Nazwa w języku angielskim: Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Sylabus - Matematyka

Sylabus - Matematyka Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Załącznik nr 1 do procedury nr W_PR_12 Nazwa przedmiotu: Matematyka II Mathematics II Kierunek: inżynieria środowiska Rodzaj przedmiotu: Poziom kształcenia: nauk ścisłych, moduł 1 I stopnia Rodzaj zajęć:

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

PW Wydział Elektryczny Rok akad / Podstawowe Informacje dla studentów

PW Wydział Elektryczny Rok akad / Podstawowe Informacje dla studentów PW Wydział Elektryczny Rok akad. 2017 / 2018 Podstawowe Informacje dla studentów Piotr Multarzyński, e-mail: multarynka@op.pl, konsultacje: Zob isod. Przedmiot: Matematyka 1 Cel przedmiotu: Zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1

MATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Podstawowy obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Inżynieria Materiałowa Poziom studiów: studia I stopnia MATEMATYKA MATHEMATICS Forma studiów: studia

Bardziej szczegółowo