ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA. 1 Notacja strzałkowa Knutha KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V)

Transkrypt

1 ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V) JERZY POGONOWSKI Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@mu.edu.pl Wyobrższ sobie świt bez komputerów, internetu, telewizji? Orz bez wszelkich dlszych gdżetów elektronicznych, którymi się zbwisz lub które służą ci do ochrony zdrowi, zpewnieni bezpieczeństw, itd.? Cóż, tki był kiedyś świt. Ntomist obecn jego postć, nszpikown elektronicznymi urządzenimi przetwrzjącymi informcję nigdy by nie powstł, gdyby mtemtycy nie zjęli się tym, czym jest informcj, jk ją przetwrzć, n czym polegją obliczeni, itd. Aby powstł prcujący komputer, potrzebn był wprzódy mtemtyczn wizj tego, czym jest oblicznie. Czy potrfisz choćby intuicyjnie powiedzieć, w pełnej ogólności, co to znczy, iż coś możn obliczyć? Czy wszystko możn obliczyć, czy też istnieje Nieobliczlne? Z bolesnych doświdczeń szkolnych wiesz, że łtwiej jest dodwć niż mnożyć, łtwiej mnożyć niż dzielić. Cóż miłoby znczyć, że coś jest trudno obliczlne? W tym dzile tkże umieszczmy zgdki kombintoryczne. 1 Notcj strzłkow Knuth W szkole poznłś tkie opercje rytmetyczne jk: dodwnie, mnożenie, odejmownie, dzielenie, potęgownie, pierwistkownie orz logrytmownie. Frpowło cię być może pytnie, czy są to już wszystkie opercje n liczbch, które rozwż się w mtemtyce. Może zstnwiłś się również nd tym, jk szybko zwiększją się wrtości funkcji wykorzystujących te opercje. Mnożenie to iterowne dodwnie, potęgownie to iterowne mnożenie. Czy to już kres możliwości otrzymni corz to szybciej rosnących funkcji? Przekonmy się, że tk nie jest. Pomocn będzie przy tym sprytn notcj, wymyślon przez Knuth. 1

2 Pisząc dlej bc mmy n myśli funkcję (bc) ( nie funkcję ( b ) c sprwdź, że to różne funkcje!). Podobnie, bcd to (b(cd)), itd. Zdefiniujemy terz funkcję b przez wrunki: 1. 0 = 1 2. (b+1) = (b ). Wtedy, jk widć z definicji: 1 = (0 ) = 1 = 2 = (1 ) = 3 = (2 ) = n =... ( występuje n rzy). Porównjmy: b = ( występuje b rzy) b =... ( występuje b rzy) b =... ( występuje b rzy). W literturze wprowdz się oznczeni (notcj strzłkow Knuth): b =... ( występuje b rzy) b = ( (... )...) ( występuje b rzy) ztem b = b =... ( występuje b rzy) b = ( (... ( )...)) ( występuje b rzy) m b = m 1 ( m 1... ( m 1 )...) ( występuje b rzy). Czy potrfisz obliczyć np.:

3 2 Nieskończon wież pierwistków Pytnie egzmincyjne w jednej ze szkół merykńskich w 1960 roku brzmiło: xxx jeśli x = 2, to ile wynosi x? Czy potrfisz odpowiedzieć? 3 Funkcj Ackermnn Dl dowolnych m > 0 orz n > 0 niech: 1. Ack(0, n) = n Ack(m, 0) = Ack(m 1, 1) 3. Ack(m, n) = Ack(m 1, Ack(m, n 1)). Wprowdźmy też oznczeni: 1. A m (n) = A(m, n) 2. A(n) = A n (n) (czyli A(n) = Ack(n, n)). Czy potrfisz obliczyć kilk pierwszych wrtości funkcji A? 4 Muszkieterzy n moście Czterech muszkieterów chce przeprwić się przez most nocą. Mją tylko jedną świeczkę. Choć nie przystoi to dzielnym muszkieterom, to boją się iść bez niej. Potrzebują n przejście mostu odpowiednio: Atos 1 minutę, Armis 2 minuty, D Artgnn 5 minut, Portos 10 minut. Most jest w kiepskim stnie: jednocześnie mogą przejść po nim tylko dwie osoby, przy czym kiedy idą w prze, to szybszy idzie z prędkością wolniejszego. Jki jest njkrótszy czs przeprwy (pmiętj, że świeczk musi towrzyszyć kżdemu przejściu mostu)? 5 Dzielenie win Dwóch studentów wybrło się do winirni, by uczcić zdny egzmin. Zmówili po 4 litry win kżdy. Podno im wino w jednym pełnym dzbnie o pojemności 8 litrów. Poprosili o drugi dzbn, by kżdy mógł pić ze swojego. Brmn dł im dw puste dzbny: jeden o pojemności 3 litrów, drugi o pojemności 5 litrów. W jki sposób przy pomocy tych trzech dzbnów studenci podzielili wino n dwie równe części? 3

4 6 Kulk biskup Biskup Oresme rozwiązł metodą geometryczną nstępujący problem. Prędkość kulki równ jest jednostce w czsie pierwszej połowy odcink czsu AB, dwóm jednostkom w czsie jednej czwrtej tego odcink, trzem jednostkom w czsie jednej ósmej tego odcink, itd. Obliczyć cłkowitą drogę przebytą przez kulkę. Cłkowit drog wyrż się w tym przypdku sumą szeregu nieskończonego: S = n n +... Czy potrfisz obliczyć tę sumę w sposób elementrny? 7 Wieże Hnoi To klsyczn zgdk, któr m długą historię. Mmy trzy pionowe pręty orz pewną liczbę dysków różnej wielkości, które możn nwlekć n te pręty. W początkowej sytucji wszystkie dyski nwleczone są n pierwszy z prętów, w kolejności od njwiększego (n spodzie) do njmniejszego. Zdnie poleg n przeniesieniu wszystkich dysków z tego pręt n jeden z pozostłych w tki sposób, iż: 1. z kżdym rzem przenosimy tylko jeden dysk 2. dysk większy nie może zostć położony n dysku mniejszym 3. możn oczywiście wykorzystywć kżdy z trzech prętów. Jk wykonć to zdnie w minimlnej liczbie kroków? 8 Wlec w kuli W kulę o dnym promieniu wpisć wlec o mksymlnej objętości. 9 Kmeleony N wyspie mieszkją trzy typy kmeleonów: 10 jest brązowych, 14 szrych, 15 czrnych. Gdy spotkją się dw kmeleony różnych kolorów, to ob zmieniją brwę n trzeci kolor. Czy jest możliwe, by wszystkie kmeleony uzyskły jeden kolor? 4

5 10 Szklnki N stole stoi n szklnek, wszystkie denkmi do góry. W jednym ruchu możesz odwrócić n 1 z nich. Wyzncz wszystkie liczby n, dl których możliwe jest uzysknie stnu, w którym wszystkie szklnki będą stły otwormi ku górze. Rozwiązni zgdek podne zostną n wykłdzie. Jerzy Pogonowski Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@mu.edu.pl 5