Notatki do wykªadu z analizy matematycznej I. Piotr Bartªomiejczyk opracowali Krzysztof Woyke i Šukasz Zªotowski

Transkrypt

1 Nottki do wykªdu z nlizy mtemtycznej I Piotr Brtªomiejczyk oprcowli Krzysztof Woyke i Šuksz ªotowski Instytut Mtemtyki Uniwersytet Gd«ski

2

3 Przedmow Spis tre±ci Rozdziª 1. Grnice ci gów i funkcji 1 1. Grnice ci gów 1 2. Grnice funkcji 2 Rozdziª 2. Funkcje ci gªe 5 1. Denicj ci gªo±ci funkcji 5 2. Ci gªo± funkcji elementrnych 5 3. Wªsno±ci funkcji ci gªych 6 Rozdziª 3. Rchunek ró»niczkowy jednej zmiennej 9 1. Pochodn funkcji 9 2. Ró»niczk funkcji Oblicznie pochodnych Pochodne i ró»niczki wy»szych rz dów Twierdzeni Rolle', Lgrnge' i Cuchy'ego Wyr»eni nieoznczone i reguª de L'Hospitl Ekstrem funkcji Wzory Tylor i Mclurin Kryteri n ekstrem Wkl sªo± i wypukªo± krzywej orz punkty przegi ci 17 Rozdziª 4. Rchunek cªkowy funkcji jednej zmiennej Funkcj pierwotn Cªk nieoznczon Reguªy cªkowni Cªk oznczon Riemnn i cªki Drboux Wªsno±ci cªki oznczonej Riemnn Podstwowe twierdzeni rchunku cªkowego 24 Rozdziª 5. Funkcje hiperboliczne 27 Bibliogr 29 v iii

4

5 Przedmow Mteriª przedstwiony w tych nottkch byª podstw wykªdu z nlizy mtemtycznej n kierunku informtyk w semestrze zimowym roku kdemickiego 2004/2005. Skªd komputerowy nottek w systemie oprcowywni dokumentów L A TEX jest dzieªem dwóch studentów ówczesnego pierwszego roku informtyki: Krzysztof Woyke orz Šuksz ªotowskiego. wszelkie bª dy w niniejszych nottkch odpowid wyª cznie ich utor. Ich obecno± nle»y wyj±ni tym,»e nottki te zostªy przygotowne z pomoc komputer. Piotr Brtªomiejczyk Gd«sk p»dziernik 2005 v

6

7 RODIAŠ 1 Grnice ci gów i funkcji 1. Grnice ci gów Definicj (Cuchy'ego grnicy ci gu). Liczb g nzywmy grnic ci gu f n g, je»eli dl k»dego " > 0 istnieje tk liczb,»e dl k»dego n > speªnion jest nierówno± : j n gj < ". Piszemy wtedy lim n = g. tem pisz c symbolicznie: lim n = g () 8 ">0 9 8 n> j n gj < " Uwg. Grnic ci gu mo»n te» okre±li równow»nie posªuguj c si zwrotem ÿprwie wszystkie\ co ozncz wszystkie z wyj tkiem sko«czonej liczby. Minowicie, lim n = g wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnym otoczeniu punktu g n osi liczbowej le» prwie wszystkie wyrzy ci gu f n g. Definicj. Ci g, który m grnic nzywmy zbie»nym, ci g który nie m grnicy nzywmy rozbie»nym. Uwg. W±ród ci gów rozbie»nych wyró»nimy trzy klsy: (1) rozbie»ne do 1, (2) rozbie»ne do +1, (3) pozostªe, np. f n g = ( 1) n. Definicj. lim n = 1 () 8 M 9 8 n> n < M lim n = +1 () 8 M 9 8 n> n > M Uwg. Je»eli ci g f n g jest zbie»ny, to ci g f 0 ng powstªy z f n g przez usuni cie lub doª czenie sko«czonej liczby wyrzów te» jest zbie»- ny orz lim n = lim 0 n. Twierdzenie. Ci g zbie»ny jest ogrniczony. Uwg. Twierdzenie powy»sze mo»n zpis tk»e w postci implikcji: Je»eli ci g f n g jest zbie»ny, to jest ogrniczony. 1

8 Ogrniczono± jest ztem wrunkiem koniecznym zbie»no±ci ci gu, czyli zbie»no± poci g z sob ogrniczono±. Ogrniczono± nie jest jednk wrunkiem wystrczj cym zbie»no±ci, o czym ±widczy przykªd ci gu dnego wzorem n = ( 1) n, który jest ogrniczony, le nie jest zbie»ny. Twierdzenie (o trzech ci gch). Je»eli grnic ci gu f n g jest równ grnicy ci gu fc n g i grnice te wynosz g, pondto istnieje tk liczb 0,»e dl k»dego n > 0 speªnion jest nierówno± : n b n c n, to lim b n = g. Twierdzenie (o zchowywniu nierówno±ci). Je»eli: (1) lim n = g, (2) lim b n = p, (3) dl k»dego n > 0 speªnion jest nierówno± n b n, to g p. Uwg. Powy»sze twierdzenie orzek,»e nierówno± sªb zchowuje si w grnicy. Nierówno± mocn (ostr) mo»e si w grnicy nie 1 zchowyw np. nierówno± < 1 jest prwdziw, le nierówno± n n 1 lim < lim 1 jest fªszyw. n n Twierdzenie (wrunek Cuchy'ego zbie»no±ci ci gu). f n g jest zbie»ny () 8 ">0 9 8 r;s> j r s j < " Uwg. Wrunek Cuchy'ego jest dl zbie»no±ci ci gu konieczny ()), le te» wystrczj cy ((). Twierdzenie. Ci g monotoniczny i ogrniczony jest zbie»ny. Twierdzenie (o dziªnich rytmetycznych n grnicch ci gów zbie»nych). Je»eli ci gi f n g i fb n g s zbie»ne, to ci gi f n +b n g, f n b n g, f n b n g, f n b n g(w przypdku ilorzu zkªdmy dodtkowo: 8 n b n 6= 0) s tk»e zbie»ne orz zchodz wzory: (1) lim ( n + b n ) = lim n + lim b n, (2) lim ( n b n ) = lim n lim b n, (3) lim ( n b n ) = lim n lim b n, (4) lim ( n b n ) = lim n lim b n (o ile 8 n b n 6= 0 orz lim b n 6= 0). 2. Grnice funkcji 2.1. Poj cie grnicy funkcji. Niech funkcj f o wrto±cich rzeczywistych b dzie okre±lon w pewnym s siedztwie S punktu x 0. Wrto± f(x 0 ) mo»e nie by okre±lon. 2

9 Definicj (Heinego grnicy funkcji w punkcie). Liczb g nzywmy grnic funkcji f w punkcie x 0, je»eli dl k»dego ci gu fx n g o wyrzch x n 2 S, zbie»nego do x 0, ci g ff(x n )g jest zbie»ny do g: Stosujemy wtedy zpis: x!x0 lim f(x) = g Definicj (Cuchy'ego grnicy funkcji w punkcie). lim f(x) = g () 8 ">0 9 >0 8 x (0 < jx x 0 j < ) ) (jf(x) gj < ") x!x 0 Uwg. Denicje Heinego i Cuchy'ego grnicy funkcji w punkcie x 0 s równow»ne, w dowodzie tej równow»no±ci wykorzystuje si w istotny sposób ksjomt wyboru. Twierdzenie (o dziªnich rytmetycznych n grnicch funkcji). Je»eli x!x0 lim f(x) = g i x!x0 lim h(x) = p, to: (1) x!x0 lim f(x) h(x) = g p (2) x!x0 lim f(x)h(x) = g p (3) lim f(x) x!x0 h(x) = g, o ile p 6= 0 p Twierdzenie (o grnicy funkcji zªo»onej). Je»eli x!x0 lim f(x) = y 0 (f(x) 6= y 0 dl k»dego x z pewnego s siedztw punktu x 0 ) orz y!y0 lim h(y) = g, to: lim h f(x) = g: x!x Grnice niewª±ciwe. Niech f b dzie funkcj okre±lon w pewnym s siedztwie S punktu x 0. Definicj (Heinego). Funkcj f m w punkcie x 0 grnic niewª- ±ciw 1 +1 je»eli dl k»dego ci gu fx n g o wyrzch x n 2 S zbie»nego do x 0, ci g ff(x n )g jest rozbie»ny odpowiednio do 1 +1 Oznczeni: lim x!x 0 f(x) = 1 lim x!x0 f(x) = +1 Definicj (Cuchy'ego). lim f(x) = 1 () 8 M 9 >0 8 x (0 < jx x 0 j < )! (f(x) < M) x!x 0 lim f(x) = +1 () 8 M 9 >0 8 x (0 < jx x 0 j < )! (f(x) > M) x!x 0 3

10 2.3. Grnice jednostronne. Je»eli w okre±leniu grnicy funkcji w punkcie zst pimy s siedztwo S punktu x 0 s siedztwem lewostronnym (prwostronnym) tego punktu, to otrzymmy denicj grnicy lewostronnej (prwostronnej) funkcji f w punkcie x 0. Grnice te nzywmy jednostronnymi i oznczmy: lim x!x 0 Definicj (Cuchy'ego (przykªdow)). f(x) = g orz lim x!x + 0 f(x) = g: lim f(x) = +1 () 8 M 9 >0 8 x (0 < x x 0 < ) ) (f(x) > M) x!x Grnice funkcji w niesko«czono±ci. Niech funkcj f b dzie okre±lon w przedzile (; +1). Definicj (Heinego). Funkcj f posid w +1 grnic g, je»eli dl k»dego ci gu fx n g o wyrzch x n 2 (; +1) rozbie»nego do +1, ci g ff(x n )g jest zbie»ny do g. Definicj (Cuchy'ego). lim f(x) = g () 8 ">09 8 x [(x > ) ) (jf(x) gj < ")] x!+1 Uwg. Podobnie deniujemy grnic niewª±ciw w +1 orz grnice (wª±ciwe i niewª±ciwe) w 1. 4

11 RODIAŠ 2 Funkcje ci gªe 1. Denicj ci gªo±ci funkcji Niech funkcj rzeczywist f b dzie okre±lon w pewnym otoczeniu punktu x 0. Definicj. Funkcj f nzywmy ci gª w punkcie x 0, je»eli: lim x!x 0 f(x) = f(x 0 ): Uwg. Ci gªo± funkcji f w punkcie x 0 chrkteryzuje koniunkcj trzech wrunków: (1) istnieje f(x 0 ), (2) istnieje x!x0 lim f(x), (3) zchodzi równo± x!x0 lim f(x) = f(x 0 ) (równo± t mo»emy równie» zpis jko lim f(x 0 + h) = f(x 0 )). h!0 Poniew» znmy dwie równow»ne denicje grnicy funkcji w punkcie x 0, mo»emy pod dwie równow»ne denicje ci gªo±ci. Definicj (Heinego). Funkcj f jest ci gª w punkcie x 0 () 8 fxng(lim x n = x 0! lim f(x n ) = f(x 0 ) Definicj (Cuchy'ego). Funkcj f jest ci gª w punkcie x 0 () 8 ">0 9 >0 8 x [(jx x 0 j < )! (jf(x) f(x 0 )j < ")] Uwg. twierdzeni o dziªnich rytmetycznych n grnicch funkcji wynik,»e sum, ró»nic, iloczyn i ilorz funkcji ci gªych w pewnym punkcie jest funkcj ci gª w tym punkcie (ze zwykªymi zstrze»enimi dotycz cymi ilorzu). 2. Ci gªo± funkcji elementrnych Funkcj stª f(x) = c orz funkcj to»smo±ciow g(x) = x s ci gªe w k»dym punkcie. K»dy wielomin W (x) jest funkcj ci gª w dowolnym punkcie. 5

12 Funkcj wymiern jest ci gª w k»dym punkcie swojej dziedziny. Funkcje trygonometryczne sin x; cos x; tg x; ctg x s ci gªe w k»dym punkcie dziedziny. Funkcj wykªdnicz jest ci gª w k»dym punkcie. Definicj. Funkcj jest ci gª w przedzile otwrtym (sko«czonym lub nie), je»eli jest ci gª w k»dym punkcie tego przedziªu. Definicj. Funkcj f jest: prwostronnie lim f(x) = f(x 0 ) x!x 0 + ci gª w punkcie x 0, je»eli speªniony jest wrunek lim x!x 0 lewostronnie f(x) = f(x 0 ) Definicj. Funkcj jest ci gª w przedzile domkni tym h; bi, je»eli speªni nst puj ce wrunki: jest ci gª w przedzile (; b), prwostronnie ci gª w, lewostronnie ci gª w b. 3. Wªsno±ci funkcji ci gªych Twierdzenie (o ci gªo±ci funkcji odwrotnej). Funkcj odwrotn do funkcji ci gªej i rosn cej (mlej cej) jest ci gª i rosn c (mlej c). Twierdzenie (o ci gªo±ci funkcji zªo»onej). Je»eli funkcj f(x) jest ci gª w punkcie x 0 orz funkcj h(u) jest ci gª w punkcie u 0 = f(x 0 ) to funkcj zªo»on h[f(x)] jest ci gª w punkcie x 0. Twierdzenie (o wprowdzeniu grnicy do rgumentu funkcji ci - gªej). Je»eli istnieje grnic wª±ciw x!x0 lim f(x) = g i funkcj h(u) jest ci gª w punkcie u 0 = g to: lim h[f(x)] = h[ lim x!x 0 x!x0 f(x)] = h(g) Twierdzenie (o loklnym zchowniu znku). Je»eli funkcj f(x) jest ci gª w punkcie x 0 orz f(x 0 ) > 0 (f(x 0 ) < 0), to istnieje tkie otoczenie U punktu x 0,»e dl k»dego x 2 U speªnion jest nierówno± f(x) > 0 (f(x) < 0). Twierdzenie (Weierstrss). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile domkni tym h; bi; to jest w nim ogrniczon orz istniej w tym przedzile tkie dw punkty c 1 ; c 2,»e : f(c 1 ) = infff(x) : x 2 h; big orz f(c 2 ) = supff(x) : x 2 h; big: 6

13 Uwg. W podr cznikch nlizy mtemtycznej wyst puj czsmi dw twierdzeni Weierstrss dotycz ce funkcji ci gªych, co jest zwi zne z tym,»e tez tego twierdzeni w powy»szym sformuªowniu stnowi koniunkcj dwóch wrunków. I tk tzw. pierwsze twierdzenie Weierstrss mówi,»e funkcj ci gª w przedzile domkni tym i ogrniczonym jest ogrniczon, tzw. drugie twierdzenie Weiertrss mówi,»e funkcj ci gª w przedzile domkni tym i ogrniczonym osi g w tym przedzile swe kresy górny i dolny. Twierdzenie (Cntor). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile domkni tym h; bi, to dl k»dego " > 0 istnieje tk > 0,»e dl k»dych dwóch liczb x 1 ; x 2 z tego przedziªu speªnij cych wrunek jx 1 x 2 j < speªnion jest nierówno± jf(x 1 ) f(x 2 )j < ". Uwg. Podkre±lmy,»e liczb > 0 o której mow w tezie twierdzeni Cntor jest niezle»n od x 1 ; x 2 z przedziªu h; bi. Wªsno±ci funkcji ci gªej, o której mow w tezie twierdzeni Cntor nosi nzw jednostjnej ci gªo±ci. Definicj. Funkcj f nzywmy jednostjnie ci gª w przedzile X, je»eli: 8 ">0 9 >0 8 x1 2X8 x2 2X jx 1 x 2 j <! (jf(x 1 ) f(x 2 )j < " St d twierdzenie Cntor mo»n sformuªow równow»nie: Twierdzenie (Cntor). K»d funkcj ci gª w przedzile domkni tym i ogrniczonym jest w tym przedzile jednostjnie ci gª. Twierdzenie (wªsno± Drboux). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi, f() 6= f(b) orz liczb q jest pomi dzy f() i f(b), to istnieje tki punkt c 2 (; b),»e f(c) = q. Uwg. Powy»sze twierdzenie nzywmy te» twierdzeniem o przyjmowniu wrto±ci po±redniej, mj c n my±li»e funkcj f przyjmuje w przedzile (; b) k»d wrto± po±redni pomi dzy f() i f(b). Poni»szy wniosek stnowi szczególny przypdek osttniego twierdzeni. Wniosek (twierdzenie Bolzno-Cuchy'ego). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi, pondto f() f(b) < 0 (tzn. wrto±ci s ró»nych znków n ko«cch przedziªu), to wewn trz tego przedziªu istnieje tki punkt c 2 (; b),»e f(c) = 0. 7

14

15 RODIAŠ 3 Rchunek ró»niczkowy jednej zmiennej 1. Pochodn funkcji Niech f b dzie funkcj okre±lon w otoczeniu U punktu x 0. Symbolem x oznczmy przyrost zmiennej niezle»nej x, który mo»e by dodtni ( x > 0) lbo ujemny ( x < 0), lecz ró»ny od zer i tki,»e x 0 + x 2 U: Przyrostowi x odpowid przyrost y tj. przyrost wrto±ci funkcji y = f(x 0 + x) f(x 0 ); który mo»e by dodtni, ujemny lbo równy zeru. mist y piszemy te» f. Definicj. Ilorz ró»nicowy funkcji f w punkcie x 0 i dl przyrostu zmiennej niezle»nej x jest to stosunek f(x 0 + x) f(x 0 ) x Definicj. Grnic (wª±ciw ) ilorzu ró»nicowego y, gdy x! 0, x nzywmy pochodn funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy symbolem f 0 (x 0 ). Symbolicznie: f 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x!0 x Uwg. Je»eli pochodn funkcji f istnieje w k»dym punkcie pewnego zbiory X, to k»dej liczbie x 0 2 X przyporz dkown jest jednozncznie liczb f 0 (x 0 ), wi c n zbiorze X okre±lon jest now funkcj, zwn funkcj pochodn funkcji f i oznczn symbolem f 0. Nle»y rozró»ni : funkcj pochodn f 0, pochodn w pewnym ustlonym punkcie, któr jest liczb, ±ci±le wrto±ci funkcji pochodnej w tym punkcie. Definicj (pochodn lewostronn). f 0 (x 0 ) def f(x 0 + x) f( x) = lim x!0 x : 9

16 Definicj (pochodn prwostronn). f 0 (x + 0 ) def f(x 0 + x) f( x) = lim x!0 + x Uwg. Mówimy,»e f m pochodn w przedzile domkni tym, je»eli m pochodn w przedzile otwrtym orz odpowiednie pochodne jednostronne w ko«cch przedziªu. 2. Ró»niczk funkcji Twierdzenie (o przedstwieniu przyrostu funkcji). Je»eli funkcj f okre±lon w pewnym otoczeniu U punktu x 0, m pochodn f 0 (x 0 ), to dl k»dego przyrostu x tkiego,»e x 0 + x 2 U, odpowidj cy mu przyrost funkcji f = f(x 0 + x) f(x 0 ) mo»n przedstwi nst puj co: przy czym! 0, gdy x! 0. f = f 0 (x 0 ) x + x Wniosek. Je»eli funkcj f m w punkcie x 0 pochodn, to jest w tym punkcie ci gª. Uwg. Funkcj ci gª w pewnym punkcie mo»e nie mie w tym punkcie pochodnej, np. f(x) = jxj w punkcie x 0 = 0. Definicj. Funkcj f nzywmy ró»niczkowln w punkcie x 0, je»eli jej przyrost f = f(x 0 + x) f(x 0 ) mo»n dl k»dego x dosttecznie bliskiego zeru przedstwi w postci f = A x + x gdzie A jest stª, pewn funkcj przyrostu x tk,»e lim = 0. x!0 Twierdzenie. Funkcj f m pochodn w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ró»niczkowln w punkcie x 0. Definicj. Ró»niczk funkcji f w punkcie x 0 i dl przyrostu x zmiennej niezle»nej x nzywmy iloczyn f 0 (x 0 ) x: Ró»niczk oznczmy symbolem df(x 0 ) b d¹ krótko df lub dy. Mmy wi c: df(x 0 ) def =f 0 (x 0 ) x lub krótko dy def =f 0 (x 0 ) x: 10

17 3. Oblicznie pochodnych Twierdzenie (wzory n pochodne). chodz nst puj ce wzory n ró»niczkownie tj. oblicznie pochodnych : funkcj pochodn 1. y = c = const y 0 = 0 2. y = x n y 0 = nx n 1 3. y = x y 0 = x ln 4. y = e x y 0 = e x 5. y = sin x y 0 = cos x 6. y = cos x y 0 = sin x Twierdzenie (o dziªnich rytmetycznych n pochodnych). Nst puj ce wzory dotycz ró»niczkowni sumy, ró»nicy, iloczynu i ilorzu dwóch funkcji y = f(x) i z = g(x), rózniczkowlnych w dnym punkcie x: d(y z) dx d(yz) dx d( y ) z dx = dy dx dz dx ; = dy dx z + y dz dx ; dy = z y dz dz dx (o ile z 6= 0): z 2 Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej). Je»eli funkcj x = g(y) jest ±ci±le monotoniczn i posid pochodn g 0 (y) 6= 0, to funkcj y = f(x) odwrotn do niej posid pochodn f 0 (x) = 1 g 0 (y) ; przy czym y = f(x). Twierdzenie (dlsze wzory n pochodne). chodz nst puj ce wzory n pochodne : 11

18 funkcj pochodn 1. y = log x y 0 = 1 x ln 2. y = ln x y 0 = 1 x 3. y = rc sin x y 0 = 1 p 1 x 2 4. y = rc cos x y 0 = 1 p 1 x 2 5. y = rc tg x y 0 = 1 p 1+x 2 6. y = rc tg x y 0 = 1 p 1+x 2 Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej). Je»eli funkcj u = h(x) m pochodn h 0 (x), ntomist funkcj y = f(u) m pochodn f 0 (u), to funkcj zªo»on g(x) = f[h(x)] m pochodn równ g 0 (x) = f 0 (h(x)) h 0 (x): Osttni wzór mo»n te» zpis w postci dy dx = dy du du dx : 4. Pochodne i ró»niczki wy»szych rz dów Je»eli pochodn f 0 funkcji f jest funkcj ró»niczkowln, to jej pochodn nzywmy pochodn drugiego rz du (krótko: drug pochodn ) funkcji f i oznczmy f 00. Mmy wi c: f 00 def =(f 0 ) 0 Podobnie okre±lmy pochodne wy»szych rz dów: f (n) def =[f (n 1) ] 0 Definicj. Je»eli funkcj f posid w pewnym punkcie (lub zbiorze punktów) pochodn rz du n, to mówimy,»e jest w tym punkcie (zbiorze punktów) n-krotnie ró»niczkowln. Niech f b dzie funkcj (n 1)-krotnie ró»niczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 i n-krotnie ró»niczkowln w punkcie x 0. Przypomnijmy,»e dx = x. Definicj. Ró»niczk rz du n funkcji f w punkcie x 0 i dl przyrostu (ró»niczki) dx zmiennej niezle»nej x nzywmy ró»niczk ró»niczki rz du (n 1), obliczonej dl tej funkcji przy tej smej wrto±ci dx. Ró»- niczk rz du n (krótko n-t ró»niczk ) oznczmy symbolem d n f(x 0 ) lub krótko d n y. 12

19 Uwg. Korzystj c z indukcji ªtwo udowodni,»e: gdzie dx n = (dx) n. d n f(x 0 ) = f (n) (x 0 )dx n Uwg. Podobnie metod indukcji dowodzimy wzór Leibniz. Niech y = f(x) i z = g(x) b d funkcjmi n-krotnie ró»niczkowlnymi. Wtedy: (yz) n = y (n) z+ n 1! y (n 1) z 0 + n 2! y (n 2) z 00 +: : :+yz (n) = nx k=0 5. Twierdzeni Rolle', Lgrnge' i Cuchy'ego n k! y (n k) z (k) Twierdzenie (Rolle'). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi i ró»niczkowln (tzn. m pierwsz pochodn ) wewn trz tego przedziªu orz f() = f(b), to istnieje tki punkt c 2 (; b),»e f 0 (c) = 0: Uwg. Twierdzenie Rolle' m post implikcji, której poprzednikiem jest koniunkcj trzech wrunków: ci gªo± f w h; bi, ró»niczkowlno± w (; b), f() = f(b). Twierdzenie (o przyrostch, o wrto±ci ±redniej, Lgrnge'). Je-»eli funkcj f jest ci gª w przedzile domkni tym o ko«cch x 0 i x orz m pierwsz pochodn wewn trz tego przedziªu, to istnieje tki punkt c le» cy mi dzy x 0 i x,»e: f(x) f(x 0 ) = f 0 (c)(x x 0 ) Uwg. Liczb x mo»e by zrówno mniejsz jk i wi ksz od x 0. Uwg. Wzór z tezy twierdzeni Lgrnge' mo»n zpis n wiele sposobów: (1) f(x) f(x 0 ) = f 0 (x 0 + (x x 0 )) (x x 0 ), gdzie c = x 0 + (x x 0 ) czyli = c x 0 x x 0 przy czym 2 (0; 1). (2) f(x) f(x 0 ) = f 0 (x 0 + x) x, gdzie x = x x 0. (3) f(x 0 + x) f(x 0 ) = f 0 (x 0 + x) x, (4) f = f 0 (x 0 + x) x, gdzie f = f(x 0 + x) f(x 0 ). Wniosek (pierwszy z twierdzeni Lgrnge'). Je»eli 8 x2(;b) f 0 (x) = 0, to f jest stª w tym przedzile. 13

20 Wniosek (drugi z twierdzenie Lgrnge'). Je»eli 8 x2(;b) f 0 (x) > 0, to f jest rosn c w tym przedzile. to Uwg. Podobnie je±li stle f 0 (x) < 0, to f jest mlej c. Twierdzenie (uogólnione o wrto±ci ±redniej, Cuchy'ego). Je»eli (1) funkcje f i h s ci gªe w h; bi i ró»niczkowlne w (; b), (2) h 0 (x) 6= 0 dl x 2 (; b), f(b) h(b) f() h() = f 0 (c) h 0 (c) dl pewnego c 2 (; b): Uwg. Wzór z tezy twierdzeni Cuchy'ego redukuje si do wzoru z tezy twierdzeni Lgrnge', gdy podstwimy h(x) = x. tem twierdzenie Cuchy'ego stnowi uogólnienie twierdzeni Lgrnge'. 6. Wyr»eni nieoznczone i reguª de L'Hospitl Twierdzenie (reguª de L'Hospitl). Je»eli (1) funkcje f i h s ci gªe w h; bi i ró»niczkowlne w (; b), (2) f() = h() = 0, f (3) istnieje grnic lim 0 (x) x! + h 0 (x) f(x) to istnieje te» grnic lim x! + h(x) (wª±ciw lub nie), i obie te grnice s równe, to jest f(x) lim x! + h(x) = lim f 0 (x) x! + h 0 (x) : Uwg. Twierdzenie H jest równie» prwdziwe w przypdku: grnic lewostronnych, grnic w niesko«czono±ci, grnic niewª±ciwych. 7. Ekstrem funkcji Niech funkcj f b dzie okre±lon w pewnym otoczeniu punktu x 0. Definicj. Mówimy,»e funkcj f m w punkcie x 0 mksimum minimum loklne, je»eli istnieje tk liczb > 0,»e dl k»dego x 2 S(x 0 ; ) = (x 0 ; x 0 ) [ (x 0 ; x 0 + ) speªnion jest nierówno± f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) Je»eli zmist nierówno±ci sªbych speªnione s nierówno±ci mocne 14

21 f(x) < f(x 0 ) f(x) > f(x 0 ) to mksimum (minimum) loklne nzywmy wª±ciwym. Mksim i minim nzywmy ekstremmi. Twierdzenie (Fermt). Je»eli funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum i m w tym punkcie pierwsz pochodn, to f 0 (x 0 ) = 0. Uwg. Je»eli f 0 (x 0 ) = 0, to x 0 nzywmy punktem stcjonrnym (krytycznym) funkcji f. Wrunek f 0 (x 0 ) = 0 jest wrunkiem koniecznym n to, by funkcj f ró»niczkowln w punkcie x 0, miª w tym punkcie ekstremum. Wrunek ten nie jest jednk wystrczj cy n co wskzuje nst puj cy przykªd: f(x) = x 3, x 0 = 0. Uwg. Powy»szego twierdzeni nie nle»y myli z tzw. wielkim twierdzeniem Fermt, które mówi,»e równnie x n + y n = z n ; gdzie n 2 N i n > 2, nie m rozwi z«w zbiorze liczb nturlnych. Twierdzenie (I wrunek wystrczj cy ekstremum). Je»eli funkcj f jest ci gª w punkcie x 0, pondto posid pochodn f 0 w pewnym s siedztwie S(x 0 ; ), przy czym f 0 (x) < 0 (> 0) dl x 0 < x < x 0 ; f 0 (x) > 0 (< 0) dl x 0 < x < x 0 + ; to funkcj t m w punkcie x 0 minimum (mksimum) wª±ciwe. 8. Wzory Tylor i Mclurin Twierdzenie (Tylor). Je»eli funkcj f m ci gªe pochodne do rz du (n 1) wª cznie w przedzile domkni tym o ko«cch x 0 i x orz m pochodn rz du n wewn trz tego przedziªu, to istnieje tki punkt c, le» cy mi dzy x 0 i x,»e n X1 f(x) f(x 0 ) = k=1 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + f (n) (c) (x x 0 ) n n! Uwg. We wzorze Tylor mo»e by zrówno x < x 0 jk i x > x 0. W przypdku n = 1, twierdzenie Tylor redukuje si do twierdzeni Lgrnge'. Je»eli oznczymy f = f(x) f(x 0 ) orz dx = x x 0, to wzór Tylor mo»n zpis f = df(x 0 ) + d2 f(x 0 ) 2! + : : : + d(n 1) f(x 0 ) (n 1)! + dn f(c) n! gdzie d k f(x 0 ) jest k-t ró»niczk funkcji f w punkcie x 0 dl ró»niczki dx zmiennej niezle»nej x, d n f(c) = f (n) (c)dx n. 15

22 Niekiedy wygodnie jest zpis wzór Tylor wprowdzj c oznczenie h = x x 0, minowicie : f(x 0 + h) f(x 0 ) = f 0 (x 0 ) 1! h + : : : + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! h n 1 + f n (c) h n n! Osttni skªdnik po prwej stronie wzoru Tylor nzywmy reszt wzoru Tylor i oznczmy symbolem R n. Mmy : R n = f (n) (c) n! (x x 0 ) n = f (n) (x 0 + h) h n ; n! gdzie h = x x 0, c = x 0 + h przy 2 (0; 1). Uwg. W przypdku x 0 = 0 wzór Tylor nzywmy wzorem Mclurin. M on post : f(x) = przy czym R n = f (n) (c) n! x n. n X1 k=0 f (k) (0) x k + R n ; k! Wrto± x mo»e by zrówno dodtni jk i ujemn. Punkt c jest po- ªo»ony mi dzy 0 i x. Pomijj c reszt, otrzymujemy wzór przybli»ony f(x) n X1 k=0 w którym bª d równy jest wrto±ci R n. f (k) (0) x k ; k! 9. Kryteri n ekstrem Twierdzenie (II wrunek wystrczj cy ekstremum). Je»eli funkcj f m w pewnym otoczeniu U(x 0 ; ) punktu x 0 pochodne do rz du n wª cznie, pochodn f (n) jest ci gª w punkcie x 0, n jest liczb przyst, pondto f (k) (x 0 ) = 0 dl k = 1; 2; : : : ; n 1 orz f (n) (x 0 ) 6= 0, to funkcj f m w punkcie x 0 mksimum wª±ciwe, gdy f (n) (x 0 ) < 0, ntomist minimum wª±ciwe, gdy f (n) (x 0 ) > 0. Uwg. powy»szego twierdzeni korzystmy njcz ±ciej w przypdku n = 2. Brzmi ono wówczs : Je»eli f m w pewnym otoczeniu punktu x 0 drug pochodn, któr jest ci gª w tym punkcie, pondto f 0 (x 0 ) = 0 i f 00 (x 0 ) 6= 0, to f m w punkcie x 0 mksimum (minimum) wª±ciwe, gdy f 00 (x 0 ) < 0 (f 00 (x 0 ) > 0). 16

23 10. Wkl sªo± i wypukªo± krzywej orz punkty przegi ci kªdmy,»e funkcj f m w przedzile (; b) drug pochodn ci gª. Definicj. Krzyw o równniu y = f(x) nzyw si wypukª wkl sª w przedzile (; b), je»eli jest poªo»on pod nd styczn poprowdzon do niej w dowolnym punkcie o odci tej z tego przedziªu. Uwg. uw»my,»e krzyw y = f(x) le»y pod styczn do tej krzywej poprowdzon w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»- dego x 2 (; b) n fx 0 g rz dn punktu A = (x; y A ) n stycznej jest wi ksz od rz dnej punktu B = (x; y B ) n krzywej y = f(x). Mmy wi c y A = f(x 0 ) + f 0 (x 0 )(x x 0 ) y B = f(x 0 ) + f 0 (x 0 )(x x 0 ) + f 00 (c) (x x 0 ) 2 2! czyli y B = y A + f 00 (c) (x x 0 ) 2, gdzie c - punkt po±redni. 2! Twierdzenie (wrunek dostteczny wypukªo±ci). Je»eli f 00 (x) < 0 dl k»dego x 2 (; b), to krzyw o równniu y = f(x) jest w przedzile (; b) wypukª. Podobnie, je»eli stle f 00 (x) > 0, to krzyw y = f(x) jest wkl sª. Uwg. Wrunek f 00 (x) < 0 dl x 2 (; b) jest wrunkiem wystrczj cym wypukªo±ci krzywej y = f(x), le nie jest wrunkiem koniecznym, o czym ±widczy przykªd: f(x) = x 4. Definicj. Punkt P 0 (x 0 ; f(x 0 )) nzywmy punktem przegi ci krzywej o równniu y = f(x), je»eli krzyw t jest wkl sª w pewnym lewostronnym s siedztwie punktu x 0 i wypukª w pewnym jego prwostronnym s siedztwie lbo n odwrót. Twierdzenie (wrunek konieczny istnieni punktu przegi ci). Wrunkiem koniecznym n to, by punkt P 0 (x 0 ; f(x 0 )) byª punktem przegi ci krzywej y = f(x), jest f 00 (x 0 ) = 0. Uwg. Podny wrunek nie jest wystrczj cy n co wskzuje przykªd : y = x 4. 17

24 Twierdzenie (wrunek wystrczj cy istnieni punktu przegi ci). Wrunkiem wystrczj cym n to, by punkt P 0 (x 0 ; f(x 0 )) byª punktem przegi ci krzywej o równniu y = f(x) jest lbo f 00 (x) < 0 dl x < x 0 i f 00 (x 0 ) = 0 i f 00 (x) > 0 dl x > x 0 f 00 (x) > 0 dl x < x 0 i f 00 (x 0 ) = 0 i f 00 (x) < 0 dl x > x 0 dl k»dego x z pewnego s siedztw S(x 0 ; ) punktu x 0. 18

25 RODIAŠ 4 Rchunek cªkowy funkcji jednej zmiennej 1. Funkcj pierwotn Niech f b dzie funkcj okre±lon w pewnym przedzile X. Definicj. Funkcj F nzywmy funkcj pierwotn funkcji f w przedzile X, je»eli dl k»dego x 2 X speªniony jest wrunek: F 0 (x) = f(x): Je»eli przedziª X jest jedno- lub obustronnie domkni ty, to pochodn F 0 w k»dym z nle» cych do niego ko«ców rozumiemy jko odpowiedni pochodn jednostronn. Uwg. Wrunek z denicji pierwotnej mo»n zst pi równow»- nym mu wrunkiem: df (x) = f(x)dx: Uwg. Funkcj pierwotn nzywmy te» cªk w sensie Newton, jej oblicznie cªkowniem. Jk wid cªkownie jest dziªniem odwrotnym do ró»niczkowni. Twierdzenie (podstwowe o funkcjch pierwotnych). Je»eli F jest funkcj pierwotn funkcji f w przedzile X, to: (1) funkcj (x) = F (x) + C, gdzie C ozncz dowoln stª, jest tk»e funkcj pierwotn funkcji F w przedzile X, (2) k»d funkcj pierwotn funkcji f w przedzile X mo»n przedstwi w postci F (x)+c, gdzie C jest stosownie dobrn stª. Wniosek. Je»eli F jest pewn funkcj pierwotn funkcji f w przedzile X, to sum F (x)+c, gdzie C ozncz dowoln stª, przedstwi wszystkie funkcje pierwotne funkcji f w tym przedzile. Uwg. Cªkownie jest n ogóª dziªniem trudniejszym ni» ró»- niczkownie. Ró»nic pomi dzy cªkowniem i ró»niczkowniem nie jest jedynie ntury rchunkowej. Okzuje si,»e o ile pochodne funkcji elementrnych (pot gowych, wykªdniczych, trygonometrycznych orz odwrotnych do nich, ich sum, ró»nic, ilorzów, iloczynów i superpozycji) s funkcjmi elementrnymi, to istniej funkcje elementrne, 19

26 których pierwotne nie s funkcjmi elementrnymi np. f(x) = e x2, f(x) = sin x, f(x) = p 1, f(x) = ex. x x 3 +1 x Twierdzenie. Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile X, to posid w tym przedzile funkcj pierwotn. 2. Cªk nieoznczon Niech f b dzie funkcj cªkowln w sensie Newton w przedzile X. Definicj. biór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedzile X nzywmy cªk nieoznczon funkcji f w tym przedzile i oznczmy symbolem f(x)dx Uwg. Symbol R zostª wprowdzony przez Leibniz. Funkcj f w symbolu R f(x)dx nzywmy funkcj podcªkow, x zmienn cªkowni. twierdzeni podstwowego o funkcjch pierwotnych wynik,»e: f(x)dx = F (x) + C, gdzie F jest jk kolwiek pierwotn funkcji f, C jest dowoln stª zwn stª cªkowni. Uwg. denicji pierwotnej i cªki nieoznczonej wynikj ntychmist nst puj ce wzory i równow»no±ci: f(x)dx = F (x) + C () F 0 (x) = f(x) () df (x) = f(x)dx 0 f(x)dx d = d dx f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = f(x) F 0 (x)dx = F (x) + C df (x)dx = F (x) + C Twierdzenie (wzory podstwowe n cªki nieoznczone). 0dx = C dx = x + C x dx = x+1 + C ( 6= 1) + 1 dx = ln jxj + C x x dx = x ln + C 20 e x dx = e x + C

27 sin xdx = cos x + C dx sin 2 x = ctg x + C dx p = rc sin x + C 1 x 2 sinh xdx = cosh x + C dx sinh 2 x = ctgh x + C 3. Reguªy cªkowni cos xdx = sin x + C dx cos 2 x = tg x + C dx = rc tg x + C 1 + x2 cosh xdx = sinh x + C dx cosh 2 x = tgh x + C Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h s cªkowlne w sensie Newton w pewnym przedzile, to funkcje f +h orz Af, gdzie A ozncz dowoln stª, te» s cªkowlne w tym przedzile, przy czym: f(x) + h(x) dx = Af(x)dx = A f(x)dx + f(x)dx h(x)dx Twierdzenie (o cªkowniu przez cz ±ci). Je»eli funkcje u i v mj w pewnym przedzile ci gªe pochodne, to zchodzi równo± : u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) u 0 (x)v(x)dx w tym przedzile. Uwg. Powy»szy wzór zwny wzorem n cªkownie przez cz ±ci mo»n te» zpis tk: udv = uv vdu Twierdzenie (o cªkowniu przez podstwienie). Je»eli: (1) funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi, (2) funkcj ' m ci gª pochodn w przedzile h; i, przy czym dl t 2 h; i : '(t) b, to prwdziw jest równo± : f(x)dx = f['(t)]' 0 (t)dt dl x = '(t). 21

28 4. Cªk oznczon Riemnn i cªki Drboux Niech f b dzie funkcj okre±lon i ogrniczon w przedzile domkni tym h; bi: Przedziª h; bi dzielimy n n podprzedziªów dowolnie wybrnymi punktmi x 1 ; x 2 ;..., x n 1 ; przy czym x 0 = < x 1 < x 2 < : : : < x n 1 < b = x n : Niech x k = x k x k 1 ; n = fx 1 ; x 2 ; : : : ; x n g ozncz podziª przedziªu h; bi; n = mxf x k j1 k ng ozncz ±rednic podziªu n ; k 2 hx k 1 ; x k i ozncz pewien punkt po±redni, m k = infff(x)jx 2 hx k 1 ; x k ig; M k = supff(x)jx 2 hx k 1 ; x k ig: Rozw»my trzy nst puj ce sumy: s n = P n k=1 m k x k czyli sum doln, n = P n k=1 f( k) x k czyli sum cªkow, S n = P n k=1 M k x k czyli sum górn okre±lone dl funkcji f w przedzile h; bi dl podziªu n : Niech f n g b dzie ci giem podziªów przedziªu h; bi: Definicj. Ci g podziªów f n g nzywmy normlnym, je»eli odpowidj cy mu ci g ±rednic f n g jest zbie»ny do zer tzn. lim n = 0. K»demu ci gowi podziªów f n g odpowid ci g sum dolnych fs n g; ci g sum górnych fs n g; przy czym ob s okre±lone jednozncznie, orz ci g sum cªkowych f n g; który mo»e zle»e od wyboru punktów k 2 hx k 1 ; x k i: Definicj. Je»eli dl k»dego normlnego ci gu podziªów przedziªu h; bi ci g sum cªkowych jest zbie»ny do tej smej grnicy wª- ±ciwej, niezle»nej od wyboru punktów k, to grnic t nzywmy cªk oznczon Riemnn funkcji f w przedzile h; bi i oznczmy: b f(x)dx Uwg. Denicj powy»sz mo»n zpis krótko: b f(x)dx = lim nx n!0 k=1 f( k ) x k Uwg. Nst puj cych zwrotów u»ywmy wymiennie: cªk oznczon = cªk Riemnn = cªk oznczon Riemnn Definicj. Je»eli cªk R b f(x)dx istnieje, to mówimy,»e funkcj f jest cªkowln w sensie Riemnn (w przedzile h; bi). 22

29 Uwg. Cªk oznczon z funkcji f w przedzile h; bi jest liczb. Cªk nieoznczon z funkcji f w przedzile h; bi jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f. Niech f n g b dzie dowolnym ci giem normlnym podziªów przedziªu h; bi, f z± funkcj ogrniczon w tym przedzile. Mo»n udowodni,»e ci g sum dolnych fs n g orz ci g sum górnych fs n g posidj wówczs sko«czone grnice, niezle»ne od ci gu f n g: lim s n = s lim S n = S. Grnice te, które mog by sobie równe (s S) nzywmy odpowiednio cªk doln s i cªk górn S funkcji f w przedzile h; bi. S to tzw. cªki Drboux (doln i górn). Twierdzenie (wrunek konieczny i wystrczj cy cªkowlno±ci). Cªk oznczon Riemnn istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy cªk doln i górn s sobie równe. Twierdzenie (o cªkowlno±ci funkcji ci gªej). Funkcj ci gª w przedzile domkni tym jest w nim cªkowln. Uwg. Twierdzenie to mówi,»e: ci gªo± f w przedzile h; bi jest wrunkiem wystrczj cym cªkowlno±ci funkcji f. Nie jest to jednk wrunek konieczny cªkowlno±ci. Mo»n udowodni nst puj ce twierdzenie: Je»eli zbiór punktów nieci gªo±ci ogrniczonej funkcji f jest sko«czony, nwet niesko«czony, le miry zero (tzn. dl dowolnej liczby " > 0 mo»n go pokry sko«czon ilo±ci odcinków o ª cznej dªugo±ci < "), to funkcj f jest cªkowln w przedzile h; bi Twierdzenie (o cªkowlno±ci funkcji monotonicznej). Funkcj monotoniczn w przedzile domkni tym jest w tym przedzile cªkowln. to: 5. Wªsno±ci cªki oznczonej Riemnn Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h s cªkowlne w przedzile h; bi, (1) funkcj f + h jest cªkowln w h; bi, przy czym: b [f(x) + h(x)]dx = b f(x)dx + b h(x)dx (2) funkcj Af, gdzie A{stª, jest cªkowln w h; bi, przy czym: b Af(x)dx = A b f(x)dx 23

30 (3) funkcj fh jest cªkowln w h; bi. Twierdzenie. Je»eli: (1) funkcje f i h s okre±lone i ogrniczone w h; bi, (2) funkcj F (x) = h(x) f(x) jest ró»n od zer jedynie w sko«- czonej ilo±ci punktów podziªu przedziªu h; bi, (3) funkcj f jest cªkowln w przedzile h; bi, to funkcj h te» jest cªkowln w tym przedzile, przy czym: b h(x)dx = b f(x)dx Twierdzenie. Je»eli funkcj f jest cªkowln w przedzile h; bi orz < b, to f jest cªkowln w przedzile h; i. Twierdzenie (o podzile przedziªu cªkowni). Je»eli funkcj f jest cªkowln w przedzile h; bi i c 2 (; b), to: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx Twierdzenie (o szcowniu cªki oznczonej). Je»eli f jest cªkowln w przedzile h; bi orz dl k»dego x 2 h; bi zchodzi nierówno± m f(x) M, to m(b ) b f(x)dx M(b ) Twierdzenie. Istnienie cªki R b f(x)dx zpewni istnienie cªki R b jf(x)jdx. Uwg. Twierdzenie odwrotne nie jest prwdziwe. Uwg. b f(x)dx = f(x)dx = 0 dl k»dego. b f(x)dx, je»eli b <. 6. Podstwowe twierdzeni rchunku cªkowego Niech f b dzie funkcj cªkowln w przedzile h; bi orz 2 h; bi: Wtedy dl k»dego x 2 h; bi cªk x f(t)dt istnieje, w konsekwencji funkcj F dn wzorem F (x) = x 24 f(t)dt

31 jest poprwnie okre±lon w przedzile h; bi. Mówimy te»,»e F jest funkcj górnej grnicy cªkowni. Twierdzenie (zerowe twierdzenie gªówne rchunku cªkowego). Je»eli f jest funkcj cªkowln w przedzile h; bi, z± dowolnie ustlon liczb w tym przedzile, to funkcj górnej grnicy cªkowni F dn wzorem x F (x) = f(t)dt jest ci gª w przedzile h; bi. Twierdzenie (cªkowe o wrto±ci ±redniej). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi, to istnieje tki punkt c 2 (; b),»e: b f(x)dx = f(c)(b R Uwg. Liczb 1 b b f(x)dx nzywmy wrto±ci ±redni cªkow funkcji f w przedzile h; bi. Wzór n wrto± ±redni mo»emy te» zpis : 1 b f(x)dx = f( + (b )), gdzie 2 (0; 1). b Twierdzenie (pierwsze twierdzenie gªówne rchunku cªkowego). Je»eli funkcj f : h; bi! R jest ci gª, to funkcj F : h; bi! R dn wzorem F (x) = R x f(t)dt (funkcj górnej grnicy cªkowni) m pochodn F 0 (x) = f(x) w k»dym punkcie x 2 h; bi. Uwg. N ko«cch przedziªu cªkowni pochodn rozumiemy (jk zwykle) jko jednostronn. Wniosek. K»d funkcj ci gª w przedzile domkni tym posid w tym przedzile funkcj pierwotn. Twierdzenie (drugie twierdzenie gªówne rchunku cªkowego, wzór Newton-Leibniz). Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile h; bi, F z± jest jk kolwiek jej pierwotn w tym przedzile, to: b f(x)dx = F (b) ): F (). 25

32

33 RODIAŠ 5 Funkcje hiperboliczne Funkcje hiperboliczne: sinus hiperboliczny sh, cosinus hiperboliczny ch, tngens hiperboliczny th i cotngens hiperboliczny cth okre±lmy nst puj co: sh x = ex e x 2 th x = sh x ch x ch x = ex + e x 2 cth x = ch x sh x Funkcj ch jest przyst, pozostle nieprzyste. Dziedzin funkcji sh, ch,th jest R, cth R n f0g. Pochodne funkcji hiperbolicznych: (sh x) 0 = ch x (ch x) 0 = sh x (th x) 0 = 1 (cth x) 0 1 = ch 2 x sh 2 x Pondto z okre±leni funkcji hiperbolicznych: ch x > 0 x 2 R sh x < 0 x < 0 sh x > 0 x > 0 th x = ex e x e x + e = e2x 1 x e 2x + 1 Wzory dl funkcji hiperbolicznych: ch 2 x sh 2 x = 1 ch 2 x + sh 2 x = ch 2x sh 2x = 2 sh x ch x lim th x = 1 x! 1 Funkcje odwrotne do hiperbolicznych to tzw. re funkcje, czyli: re sinus hiperboliczny rsh rsh x = ln (x + p x 2 + 1); re cosinus hiperboliczny rch rch x = ln (x + p x 2 1); 27

34 re tngens hiperboliczny rth rth x = 1 2 ln 1 + x 1 x : 28

35 Bibliogr [1] G. M. Fichtenholz, Rchunek ró»niczkowy i cªkowy, PWN, Wrszw, [2] K. Kurtowski, Rchunek ró»niczkowy i cªkowy, PWN, Wrszw, [3] F. Lej, Rchunek ró»niczkowy i cªkowy, PWN, Wrszw, [4] W. Rudin, Podstwy nlizy mtemtycznej, PWN, Wrszw, [5] W. kowski, G. Decewicz Mtemtyk, cz ± I, WNT, Wrszw,