Analiza Matematyczna Wykªad
|
|
- Lech Mazurkiewicz
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aliz Mtemtycz Wykªd Spis tre±ci 1 Wst p 1 2 Ci gi liczbowe 2 3 Gric ci gu 4 4 Gric fukcji 6 5 Asymptoty fukcji 9 6 Ci gªo± fukcji 10 7 Pochod fukcji 11 8 Ekstrem fukcji 13 9 Cªk ieozczo Cªk ozczo Riem Szeregi liczbowe 19
2 1 Wst p 1 Wst p Ozczei: R zbiór liczb rzeczywistych; Q zbiór liczb wymierych; Z zbiór liczb cªkowitych; N zbiór liczb turlych; (, b) przedziª otwrty o ko«cch, b, czyli zbiór {x R: < x < b}; [, b] przedziª domki ty o ko«cch, b, czyli zbiór {x R: x b}; lub; i; = je»eli..., to... ; wtedy i tylko wtedy, gdy; istieje... ; dl k»dego... ; Deicj 1. Niech zbiory X, Y b d iepuste. Fukcj f okre±lo zbiorze X o wrto±cich w zbiorze Y zywmy przyporz dkowie k»demu elemetowi x X dokªdie jedego elemetu y Y, co zpisujemy f : X Y. Wrto± fukcji f w pukcie x ozczmy przez f(x). Deicj 2. Niech fukcj f : X Y. Wówczs zbiór X zywmy dziedzi fukcji f i ozczmy przez D f, z± zbiór Y jest jej przeciwdziedzi. Ntomist zbiór zywmy zbiorem wrto±ci fukcji f. {y Y : x X y = f(x)} = {f(x) Y : x X} Deicj 3. Wykresem fukcji f : X Y zywmy zbiór {(x, y) X Y : x X, y = f(x)}. Deicj 4. Niech fukcj f : X Y. Obrzem zbioru A X w fukcji f zywmy zbiór {f(x) Y : x A}, z± przeciwobrzem zbioru B Y w fukcji f jest zbiór {x X : f(x) B}. Ret Wiertelk 1
3 2 Ci gi liczbowe Deicj 5. Mówimy,»e fukcj f : X Y jest "", co zpisujemy f : X Y, wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = Y, czyli D f = Y. Ozcz to,»e dl k»dego y Y istieje x X tki,»e y = f(x), co w zpisie mtemtyczym wygl d st puj co: y Y y = f(x). x X Deicj 6. Mówimy,»e fukcj f : X Y jest ró»owrto±ciow wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolych rgumetów x 1, x 2 X z tego,»e s oe ró»e (x 1 x 2 ) wyik,»e f(x 1 ) f(x 2 ), czyli Mo»emy zpis to rówow»ie (x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )). x 1,x 2 X (f(x 1) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). x 1,x 2 X Deicj 7. Fukcj, któr jest jedocze±ie ró»owrto±ciow i "" b dziemy zyw wzjemie jedozcz. Uwg 1. Od tej pory przez fukcj b dziemy rozumie fukcj rzeczywist, czyli f : A R, gdzie A R. 2 Ci gi liczbowe Deicj 8. Ci giem liczbowym zywmy fukcj okre±lo zbiorze liczb turlych o wrto±cich w zbiorze liczb rzeczywistych (czyli : N R). Wrto± tej fukcji dl liczby turlej zywmy tym wyrzem ci gu i ozczmy przez zmist (). Ci g o tkich wyrzch zpisujemy ( ) N. Obrzowo ci g mo»emy trktow jko zbiór poumerowych liczb rzeczywistych. Ci gi mo»emy dodw, odejmow, mo»y, dzieli orz mo»y przez liczb w st puj cy sposób: ( ) N + (b ) N := ( + b ) N ( ) N (b ) N := ( b ) N ( ) N (b ) N := ( b ) ( ) N ( ) N := gdy b 0 dl N (b ) N b N r ( ) N := (r ) N. Ret Wiertelk 2
4 2 Ci gi liczbowe Oczywi±cie wolo m dzieli tylko przez ci g o wszystkich wyrzch ró»ych od zer! Deicj 9. Ci g ( ) N jest ogriczoy z doªu wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczb rzeczywist m R tk,»e wszystkie wyrzy cigu s od iej wi ksze, tz. m R > m. N Deicj 10. Ci g ( ) N jest ogriczoy z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczb rzeczywist M R tk,»e wszystkie wyrzy cigu s od iej miejsze, tz. M R < M. N Deicj 11. Ci g ( ) N jest ogriczoy wtedy i tylko wtedy, gdy jest ogriczoy z doªu i góry, tz. m,m R m < < M. N Uwg 2. W powy»szej deicji mo» tk dobr stªe m, M R, by m = M. Ztem ci g jest ogriczoy, gdy M R < M. N Deicj 12. Ci g ( ) N jest ros cy wtedy i tylko wtedy, gdy < +1, N tomist jest mlej cy wtedy i tylko wtedy, gdy > +1. N Deicj 13. Ci g ( ) N jest ieros cy wtedy i tylko wtedy, gdy +1, N tomist jest iemlej cy wtedy i tylko wtedy, gdy +1. N Deicj 14. Przez ci g mootoiczy b dziemy rozumie ci g, który jest ros cy lub mlej cy lub ieros cy lub iemlej cy. Ret Wiertelk 3
5 3 Gric ci gu 3 Gric ci gu Deicj 15. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric wª±ciw g R wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby ε > 0 od pewego miejsc zchodzi ierówo± g < ε, tz. ε>0 0 N g < ε. > 0 Obrzowo, liczb g jest gric ci gu ( ) N, je±li dlekie wyrzy tego ci gu zjduj si blisko liczby g. Uwg 3. Ci g zywmy zbie»ym wtedy i tylko wtedy, gdy m gric g R. Deicj 16. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric + wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby M R od pewego miejsc zchodzi ierówo± > M, tz. M R 0 N > M. > 0 Deicj 17. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby M R od pewego miejsc zchodzi ierówo± < M, tz. M R 0 N > 0 < M. Uwg 4. Fkt,»e ci g ( ) N m gric g (gdzie g R lub g = + lub g = ) b dziemy zpisyw g lub = g. Deicj 18. Ci g ( ) N jest rozbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy ie m gricy. Twierdzeie 1 (o jedozczo±ci gricy). Je±li ci g posid gric, to tylko jed. Twierdzeie 2. Je±li ci g jest zbie»y do gricy g, to rówie» k»dy jego podci g jest zbie»y do gricy g. Twierdzeie 3. K»dy ci g zbie»y do gricy g R jest ogriczoy. Twierdzeie 4. Je±li ci g jest mootoiczy i ogriczoy, to jest zbie»y. Twierdzeie 5 (o trzech ci gch). Niech b d de trzy ci gi ( ) N, (b ) N, (c ) N. Je±li dl prwie wszystkich N zchodz ierówo±ci b c orz = g i c = g, to wtedy b = g. Ret Wiertelk 4
6 3 Gric ci gu Twierdzeie 6 (BolzoWeierstrss). K»dy ci g ogriczoy posid podci g zbie»y. Wªso± 1. Dziªi gricch. 1. Niech = i b = b, gdzie, b, c R. Wówczs Je±li b 0, to wtedy 2. Niech = 0 () je±li > 0 dl N, to (b) je±li < 0 dl N, to Wªso± 2. ( + b ) = + b ( b ) = b (c ) = c ( b ) N = b ( 1 ( 1 ( b ) = b ) = + ) = α = dl α > 0 α = 0 dl α < 0 = 0 dl < 1 = dl > 1 ie istieje dl 1 1 = 1 = 1 dl > 0 = 1 ( 1 + ) 1 = e Uwg 5. W trkcie liczei gric mo»emy uzysk st puj ce symbole ieozczoe:, 0,, 0 0, 1, 0 0, 0. Ret Wiertelk 5
7 4 Gric fukcji 4 Gric fukcji Deicj 19. Niech ε > 0. Przedziª (x 0 ε, x 0 + ε) zywmy otoczeiem puktu x 0 i zpisujemy O(x 0, ε), z± sum przedziªów (x 0 ε, x 0 ) (x 0, x 0 + ε) zywmy s siedztwem puktu x 0 i zpisujemy S(x 0, ε). Deicj 20. Pukt x 0 R zywmy puktem skupiei zbioru A R wtedy i tylko wtedy, gdy w k»dym jego s siedztwie S(x 0, ε) istiej pukty ze zbioru A tz. ε>0 S(x 0, ε) A. Twierdzeie 7. Pukt x 0 R jest puktem skupiei zbioru A R wtedy i tylko wtedy, gdy istieje ci g (x ) N o wyrzch ze zbioru (A \ {x 0 }) zbie»y do x 0. Deicj 21. Pukt x 0 zywmy puktem izolowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 A orz x 0 ie jest puktem skupiei zbioru A. Deicj 22 (Heie). Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X. Mówimy,»e liczb g R jest gric (w sesie Heiego) fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego ci gu (x ) N o wyrzch ze zbioru (X \ {x 0 }) zbie»ego do x 0 zchodzi x f(x ) = g. Symboliczie x x 0 f(x) = g (x ) N (X\{x 0 }) ( x = x 0 f(x ) = g). Deicj 23 (Cuchy). Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X. Mówimy,»e liczb g R jest gric (w sesie Cuch'ego) fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego otoczei O(g, ε) puktu g istieje s siedztwo S(x 0, δ) puktu x 0 tkie,»e f(s(x 0, δ) X) O(g, ε). Mo» to zpis f(x) = g (0 < x x 0 < δ f(x) g < ε). x x 0 ε>0 δ>0 x X Uwg 6. Deicj Heiego i Cuchy'ego gricy fukcji w pukcie s rówow»e. Deicj 24. Fukcj f w pukcie x 0 m gric lewostro rów g (co zpisujemy x x 0 f(x) = g) wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N (X (,x 0 )) ( x = x 0 f(x ) = g) Ret Wiertelk 6
8 4 Gric fukcji lub rówow»ie ε>0 δ>0 (x (x 0 δ, x 0 ) f(x) g < ε). x X Deicj 25. Fukcj f w pukcie x 0 m gric prwostro rów g (co zpisujemy x x + 0 f(x) = g) wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N (X (x 0, )) ( x = x 0 f(x ) = g) lub rówow»ie ε>0 δ>0 (x (x 0, x 0 + δ) f(x) g < ε). x X Twierdzeie 8. Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbiorów X (, x 0 ) i X (x 0, ). Wówczs x x 0 f(x) = g x x 0 f(x) = x x + 0 Deicj 26 (Heie). Niech f : X R, gdzie X R. f(x) = g f(x) = g ( x = f(x ) = g) x + (x ) N X f(x) = g ( x = f(x ) = g) x (x ) N X Deicj 27 (Cuchy). Niech f : X R, gdzie X R. f(x) = g x + ε>0 x f(x) = g ε>0 N R N R x X x X (x > N f(x) g < ε), (x < N f(x) g < ε). Twierdzeie 9. Niech f(x) =, g(x) = b orz, b R. Wówczs 1. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = + b, 2. (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = b, 3. (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = b, f(x) f(x) 4. g(x) = g(x) = b je±li g(x) 0 dl pewego x S(x 0ε) orz b 0. x x 0 Twierdzeie 10. Niech f, g : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. Je»eli g jest fukcj ogriczo orz f(x) = 0, to (f(x) g(x)) = 0. Ret Wiertelk 7
9 4 Gric fukcji Twierdzeie 11 (o trzech fukcjch). Niech f, g, h: X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R i c R. Je»eli f(x) = c i h(x) = c x x 0 orz f(x) g(x) h(x) dl x X\{x 0 }, to g(x) = c. x x 0 Uwg 7. Powy»sze twierdzei 9, 10, 11 s rówie» prwdziwe dl gric jedostroych orz dl gric w iesko«czoo±ci. Deicj 28 (Cuchy). Niech fukcj f : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. f(x) = + x x 0 M R f(x) = x x 0 M R x + x + x x f(x) = + M R f(x) = M R f(x) = + M R f(x) = M<0 δ>0 δ>0 N R N R N R N<0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) > M) x X (0 < x x 0 < δ f(x) < M) x X x X x X x X (x > N f(x) > M) (x > N f(x) < M) (x < N f(x) > M) (x < N f(x) < M) Deicj 29 (Heie). Niech fukcj f : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. f(x) = + x x 0 (x ) N (X\{x 0 }) f(x) = x x 0 (x ) N (X\{x 0 }) ( x = x 0 f(x ) = + ) ( x = x 0 f(x ) = ) f(x) = + ( x = + f(x ) = + ) x + (x ) N X f(x) = ( x = + f(x ) = ) x + (x ) N X f(x) = + ( x = f(x ) = + ) x (x ) N X f(x) = ( x = f(x ) = ) x (x ) N X Ret Wiertelk 8
10 5 Asymptoty fukcji 5 Asymptoty fukcji Deicj 30. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w przedzile (u, u + ε). Je»eli x u x u f(x) = lbo f(x) =, + + to wtedy prost x = u jest symptot pioow prwostro fukcji f. Deicj 31. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w przedzile (u ε, u). Je»eli x u x u f(x) = lbo f(x) =, to wtedy prost x = u jest symptot pioow lewostro fukcji f. Uwg 8. Prost x = u, któr jest jedocze±ie ymptot prwostro i lewostro zywmy symptot pioow obustro lub krótko symptot pioow. Deicj 32. Prost y = + x + b + jest symptot uko± fukcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy (f(x) x (+ x + b + )) = 0. Deicj 33. Prost y = x + b jest symptot uko± fukcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy x (f(x) ( x + b )) = 0. Uwg 9. Je»eli liczb + (lub ) w rówiu symptoty uko±ej jest rów 0, to wówczs symptot uko± zywmy symptot poziom. Twierdzeie 12. Prost y = + x + b + jest symptot uko± fukcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) x x = + orz (f(x) + x) = b +. x Uwg 10. Prwdziwe jest logicze twierdzeie o symptotch uko±ych w. Twierdzeie 13. Prost y = b + jest symptot poziom fukcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = x b+. Uwg 11. Prwdziwe jest logicze twierdzeie o symptotch poziomych w. Ret Wiertelk 9
11 6 Ci gªo± fukcji 6 Ci gªo± fukcji Deicj 34 (Heie). Zªó»my,»e fukcj f : A R orz x 0 A. Fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N x x 0 = f(x ) f(x 0 ). Deicj 35 (Cuchy). Zªó»my,»e fukcj f : A R orz x 0 A. Fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Uwg 12. Je»eli fukcj f : A R orz x 0 A jest puktem izolowym, to fukcj f jest ci gª w pukcie x 0. Twierdzeie 14. Je»eli fukcj f jest okre±lo przedzile (x 0 ε, x 0 +ε), to fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x x 0 f(x) = f(x 0 ). Deicj 36. Fukcj f jest ci gª wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci gª w k»dym pukcie swojej dziedziy. Twierdzeie 15. Je»eli fukcje f : A R orz g : A R s ci gªe, to rówie» fukcje f + g, f g, f g, f/g (o ile istieje) s cigªe. Twierdzeie 16 (Weierstrss). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b], to jest tym przedzile ogriczo orz osi g swoje kresy tz. c [,b] d [,b] x [,b] f(c) f(x) f(d). Twierdzeie 17 (Drboux). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz f() f(b), to dl k»dej liczby y pomi dzy f() i f(b) istieje liczb c [, b] tk,»e f(c) = y. Twierdzeie 18 (o miejscch zerowych). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz f() f(b) < 0, to istieje liczb c [, b] tk,»e f(c) = 0. Ret Wiertelk 10
12 7 Pochod fukcji 7 Pochod fukcji Deicj 37. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Liczb f(x 0 + h) f(x 0 ) h zywmy ilorzem ró»icowym fukcji f w pukcie x 0 dl przyrostu h. Pochod f (x 0 ) fukcji f w pukcie x 0 zywmy gric ilorzu ró»icowego, przy h d» cym do zer, czyli f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) =. h 0 h Uwg 13. Je±li fukcj f m pochod w pukcie x 0, to mówimy,»e f jest ró»iczkowl w pukcie x 0. Fukcj zywmy ró»iczkowl, je±li jest ró»iczkowl w k»dym pukcie swojej dziedziy. Fukcj, któr dowolemu puktowi x z dziedziy fukcji f (ró»iczkowlej) przyporz dkowuje pochod tej fukcji w pukcie x zywmy pochod fukcji f. Twierdzeie 19. Je±li fukcj f jest ró»iczkowl w pukcie x 0, to jest w tym pukcie ci gª. Wiosek 1. K»d fukcj ró»iczkowl jest ci gª. Uwg 14. Istiej fukcje ci gªe, które ie s ró»iczkowle (p. f(x) = x ). Iterpretcj geometrycz pochodej Niech f b dzie fukcj ci gª w pewym przedzile I, z± x 0 puktem wew trzym tego przedziªu. Pochod sko«czo f (x 0 ) jest wspóªczyikiem kierukowym styczej do wykresu fukcji f w pukcie o odci tej x 0, czyli w pukcie o wspóªrz dych (x 0, f(x 0 )). Stycz t m rówie y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) gdzie (x, y) jest dowolym puktem styczej. W szczególo±ci, gdy f (x 0 ) = 0, to stycz w pukcie o odci tej x 0 jest poziom. Fizyczy ses pochodej Je±li t ozcz czs, s(t) dªugo± drogi, jk ciªo przebyªo od pocz tku ruchu do chwili t, to s(t + h) s(t) jest dªugo±ci drogi przebytej w czsie h od chwili t do chwili Ret Wiertelk 11
13 7 Pochod fukcji t + h. Ilorz ró»icowy s(t + h) s(t) h jest wówczs pr dko±ci ±redi ruchu w czsie od chwili t do chwili t + h, z± gric s(t + h) s(t) h 0 h jest pr dko±ci chwilow w chwili t. Ztem pochod drogi po czsie jest pr dko± chwilow, czyli Alogiczie ilorz s (t) = v(t). v(t + h) v(t) h zywmy przyspieszeiem ±redim, z± przyspieszeie chwilowe, ozcze zwyczjowo symbolem (t) wyr» si wzorem Ozcz to,»e h 0 v(t + h) v(t). h v (t) = (t). Wzory pochode fukcji elemetrych (c) = 0 dl c R (x m ) = mx m 1 (e x ) = e x (l x) = 1 x dl x > 0 (si x) = cos x (rc si x) 1 = 1 x 2 (cos x) = si x (rc cos x) = 1 1 x 2 (rc tg x) = x 2 (rc ctgx) = x 2 Reguªy obliczi pochodych Je»eli istiej pohode f (x), g (x) orz c R, to (c f(x)) = c f (x) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g 2 (x) Ret Wiertelk 12
14 8 Ekstrem fukcji Twierdzeie 20 (o ró»iczkowlo±ci fukcji zªo»oej). Je»eli fukcj f jest ró»iczkowl w pukcie x 0 orz fukcj g jest ró»iczkowl w pukcie y 0 = f(x 0 ), to zªo»eie g(f) jest fukcj ró»iczkowl w pukcie x 0 orz [g(f(x 0 ))] = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Twierdzeie 21 (Rolle'). Je»eli fukcj f jest ci gª w przedzile [, b] i ró»iczkowl w k»dym pukcie przedziªu (, b) orz f() = f(b), to istieje tki pukt c (, b),»e f (c) = 0. Twierdzeie 22 (Lgrge' o wrto±ci ±rediej). Zªó»my,»e fukcj f jest ci gª w przedzile [, b] i ró»iczkowl w k»dym pukcie przedziªu (, b). Wówczs istieje tki pukt c (, b),»e f (c) = f(b) f() b Twierdzeie 23 (wioski z twierdzei Lgrge'). Zkªdmy,»e fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz ró»iczkowl przedzile (, b). 1. Je±li f (x) = 0 dl wszystkich x (, b), to f jest stª przedzile (, b). 2. Je±li f (x) > 0 dl wszystkich x (, b), to f jest ros c przedzile (, b). 3. Je±li f (x) < 0 dl wszystkich x (, b), to f jest mlej c przedzile (, b). Twierdzeie 24 (reguª de l'hospitl). Je±li istiej grice f(x) = g(x) = 0 (lbo f(x) = ±, x 0, to wówczs 8 Ekstrem fukcji g(x) = ± ) orz fukcje f i g s ró»iczkowle w pukcie f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). Deicj 38. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Mówimy,»e fukcj f m mksimum lokle w pukcie x 0, je»eli dl k»dego x z pewego s siedztw puktu x 0 (czyli (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 +δ)) speªio jest ierówo± f(x) < f(x 0 ), mo»emy to zpis st puj co δ 0 < x x 0 < δ = f(x) < f(x 0 ). x R Ret Wiertelk 13
15 8 Ekstrem fukcji Deicj 39. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Mówimy,»e fukcj f m miimum lokle w pukcie x 0, je»eli dl k»dego x z pewego s siedztw puktu x 0 (czyli (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 +δ)) speªio jest ierówo± f(x) > f(x 0 ), mo»emy to zpis st puj co δ 0 < x x 0 < δ = f(x) > f(x 0 ). x R Uwg 15. Je±li fukcj f m miimum lub mksimum w pukcie x 0, to mówimy,»e f m ekstremum w pukcie x 0. Twierdzeie 25 (wruek koieczy istiei ekstremum, czyli Fermt). Je±li fukcj f m ekstremum w pukcie x 0 orz jest ró»iczkowl w pukcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Twierdzeie 26 (I wruek dostteczy istieie mksimum). Niech fukcj f b dzie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) > 0 dl x < x 0 ; 3. f (x) < 0 dl x > x 0, to fukcj f m mksimum lokle w pukcie x 0. Twierdzeie 27 (I wruek dostteczy istieie miimum). Niech fukcj f b dzie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) < 0 dl x < x 0 ; 3. f (x) > 0 dl x > x 0, to fukcj f m miimum lokle w pukcie x 0. Twierdzeie 28 (II wruek dostteczy istieie ekstremum). Niech fukcj f b dzie -kotie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f ( 1) (x 0 ) = 0; 2. f () (x 0 ) 0; Ret Wiertelk 14
16 8 Ekstrem fukcji 3. jest liczb przyst, to fukcj f m ekstremum lokle w pukcie x 0. Je±li f () (x 0 ) > 0, to jest to miimum, tomist gdy f () (x 0 ) < 0, to jest to mksimum. Deicj 40. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo pewym przedzile (, b). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wypukª w pukcie x 0 (, b), je»eli wykres fukcji f zjduje si d stycz do tego wykresu w pukcie (x 0, f(x 0 )). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wypukª przedzile (, b), je»eli jest wypukª w k»dym pukcie tego przedziªu. Deicj 41. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo pewym przedzile (, b). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wkl sª w pukcie x 0 (, b), je»eli wykres fukcji f zjduje si pod stycz do tego wykresu w pukcie (x 0, f(x 0 )). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wkl sª przedzile (, b), je»eli jest wkl sª w k»dym pukcie tego przedziªu. Twierdzeie 29. Niech f b dzie dwukrotie ró»iczkowl przedzile (, b). Je»eli 1. f (x) > 0 dl x (, b), to fukcj f jest wypukª; 2. f (x) < 0 dl x (, b), to fukcj f jest wkl sª. Deicj 42. Je»eli fukcj f jest wkl sª przedzile (x 0 δ, x 0 ) orz wypukª przedzile (x 0, x 0 +δ) (lub odwrotie), to mówimy,»e pukt x 0 jest puktem przegi ci fukcji f. Twierdzeie 30 (wruek koieczy istiei puktu przegieci). Je±li x 0 jest puktem przegi ci fukcji f orz f jest dwukrotie ró»iczkowl w pukcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Twierdzeie 31 (wruek dostteczy istieie puktu przegi ci). Niech fukcj f b dzie dwukrotie ró»iczkowl w otoczeiu puktu x 0. Je»eli speªioe s wruki 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) > 0 dl x < x 0 i f (x) < 0 dl x > x 0 (lub odwrotie), to pukt x 0 jest puktem przegi ci fukcji f. Ret Wiertelk 15
17 9 Cªk ieozczo 9 Cªk ieozczo Deicj 43. Mówimy,»e fukcj F : (, b) R jest fukcj pierwot fukcji f : (, b) R, je»eli dl k»dego x (, b) speªio jest rówo± F (x) = f(x). Twierdzeie 32. Je±li fukcj F : (, b) R jest fukcj pierwot fukcji f : (, b) R, to k»d fukcj postci G(x) = F (x) + C, gdzie C R, rówie» jest fukcj pierwot fukcji f. Deicj 44. Cªk ieozczo fukcji f : (, b) R zywmy rodzi wszystkich fukcji pierwotych fukcji f i ozczmy symbolem f(x)dx = F (x) + C. Twierdzeie 33. Je±li fukcj f : (, b) R jest ci gª, to posid fukcj pierwot, czyli istieje cªk ieozczo fukcji f. Podstwowe wªso±ci cªek ieozczoych f (x)dx = f(x) + C; f(x)dx = f(x)dx (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx; Cªki elemetre 0dx = C, 1 dx = l x + C, x si xdx = cos x + C, x m dx = 1 m + 1 xm+1 + C dl m 1, e x dx = e x + C, cos xdx = si x + C, ) = rc tg x + C ( 1 1 dx = rc si x + C, 1 x x 2dx Twierdzeie 34 (o cªkowiu przez podstwieie). Niech fukcje g, h b d ci gªe orz fukcj h b dzie odwrcl. Wówczs g(h(x)) h (x)dx = g(t)dt. Twierdzeie 35 (o cªkowiu przez cz ±ci). Niech fukcje f i g mj ci gªe pochode. Wówczs f (x) g(x)dx = f(x) g(x) f(x) g (t)dt. Ret Wiertelk 16
18 10 Cªk ozczo Riem 10 Cªk ozczo Riem Deicj 45. Podziªem odcik [, b] cz ±ci zywmy zbiór P = {x 0, x 1,..., x }, gdzie = x 0 < x 1 <... < x = b. Deicj 46. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Sum gór Riem dl fukcji f zywmy S(f, P ) = M i (x i x i 1 ), gdzie P = {x 0, x 1,..., x } jest podziªem odcik [, b] cz ±ci orz i=1 M i = sup{f(x): x [x i 1, x i ]}. Sum dol Riem dl fukcji f zywmy s(f, P ) = m i (x i x i 1 ), gdzie P = {x 0, x 1,..., x } jest podziªem odcik [, b] cz ±ci orz i=1 m i = if{f(x): x [x i 1, x i ]}. Deicj 47. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Cªk gór Riem dl fukcji f zywmy f(x)dx = if P S(f, P ). Cªk dol Riem dl fukcji f zywmy f(x)dx = sup s(f, P ). P Deicj 48. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Je»eli cªk gór Riem dl fukcji f jest rów cªce dolej Riem to t wspól wrto± zywmy cªk Riem i ozczmy f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx. O fukcji f mówimy wtedy,»e jest cªkowl w sesie Riem. Ret Wiertelk 17
19 10 Cªk ozczo Riem Twierdzeie 36. Je±li fukcj f : (, b) R jest ci gª, to jest cªkowl w sesie Riem. Twierdzeie 37 (Newto-Leibiz). Niech fukcj f b dzie cªkowl przedzile [, b] orz F b dzie fukcj pierwot fukcji f. Wówczs f(x)dx = F (b) F (). Twierdzeie 38 (zsdicze twierdzeie rchuku cªkowego). Niech fukcj f b dzie ci gª przedzile [, b]. Wówczs fukcj F (x) = x f(t)dt jest fukcj ci gª. Podto fukcj F jest ró»iczkowl orz dl x 0 (, b) mmy F (x 0 ) = f(x 0 ). Podstwowe wªso±ci cªek ozczoych Twierdzeie 39. Niech fukcje f, g b d cªkowle przedzile [, b] orz c R. Wtedy b c f(x)dx = c (f(x) + g(x))dx = f(x)dx f(x)dx + g(x)dx; Twierdzeie 40. Niech fukcj f b dzie cªkowl przedzile [, b] orz c (, b). Wtedy f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Twierdzeie 41. Niech fukcje f, g b d cªkowle przedzile [, b] orz f(x) g(x) dl x (, b). Wtedy f(x)dx g(x)dx. Ret Wiertelk 18
20 11 Szeregi liczbowe 11 Szeregi liczbowe Deicj 49. Przez szereg liczbowy iesko«czoy rozumiemy ci g sum cz - ±ciowych: S 1 = 1 S 2 = S 3 = S = Liczby 1, 2, 3,... zywmy wyrzmi szeregu, z± S zywmy t sum cz ±ciow szeregu. Je»eli ci g sum cz ±ciowych (czyli ci g (S ) N ) jest zbie»y do liczby S (czyli S = S), to mówimy,»e szereg jest zbie»y orz = S. Twierdzeie 42 (wruek koieczy zbie»o±ci szeregu). Je±li szereg jest zbie»- y, to = 0. Wiosek 2. Je±li 0, to wtedy szereg ie jest zbie»y. Przykªd 1. Rozw»my szereg Poiew» = (1 + 1 ) (2 + 3 ) wi c szereg + 1 ie speªi wruku koieczego zbie»o±ci szeregu. Ozcz to,»e te szereg ie jest zbie»y. Przykªd 2. Rozw»my szereg = Poiew» (1 + 1 ) (2 + 3 ) = 1 2 = 1 = 0 wi c szereg + 1 speªi wruek koieczy zbie»o±ci szeregu. Niestety ie pozwl m to stwierdzi czy te szereg jest zbie»y czy ie. Ret Wiertelk 19
21 11 Szeregi liczbowe Wªso± 3. Je±li szereg jest zbie»y orz c R, to szereg c rówie» jest zbie»y. Wªso± 4. Je±li szereg jest rozbie»y orz c 0, to szereg c rówie» jest rozbie»y. Deicj 50. Szereg postci Wªso± 5. Szereg hrmoiczy Przykªd 3. Rozw»my szereg 1 3. Poiew» α = 3, ztem jest to szereg hrmoiczy rz du 3, wi c jest o zbie»y. Przykªd 4. Rozw»my szereg 2. Poiew» 2 = 1 to szereg hrmoiczy rz du 2, czyli rozbie»y. 1 zywmy szergiem hrmoiczym rz du α. α 1 jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy α > 1. α 2 ztem α = 2, wi c jest Deicj 51. Szereg postci q 1 zywmy szeregiem geometryczym. Wªso± 6. Szereg geometryczy q 1 jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Przykªd 5. Rozw»my szereg ( ) Poiew» q = szereg zbie»y. Przykªd 6. Rozw»my szereg Poiew» = = = ( ) < 1, wi c jest to ztem q = 4 3 1, wi c jest to szereg rozbie»y. Twierdzeie 43 (kryterium porówwcze). Je±li dl szeregu istieje szereg b, który jest zbie»y orz b dl N, to szereg jest rówie» zbie»y. Je±li dl szeregu istieje szereg b, który jest rozbie»y orz b > 0 dl N, to szereg jest rówie» rozbie»y. Przykªd 7. Rozw»my szereg Poiew» = 5 = Ret Wiertelk 20
22 11 Szeregi liczbowe orz szereg jest zbie»y Przykªd 8. Rozw»my szereg jest to szereg hrmoiczy rz du 4 (czyli zbie»y), wi c szereg Poiew» = 4 = orz szereg 1 jest to szereg hrmoiczy rz du 1 (czyli rozbie»y), wi c szereg jest rozbie»y (pomimo tego,»e speªi wruek koieczy!). + 3 Twierdzeie 44 (kryterium d'alembert). Dl szeregu rozw»my gric g = +1. Je»eli g < 1, to szereg jest zbie»y. Je»eli g > 1, to szereg jest rozbie»y. Je»eli g = 1, to le»y zstosow ie kryterium. Przykªd 9. Rozw»my szereg Poiew» g = +1 ( + 1)! = ( + 1)! = ( + 1)! = = wi c szereg (1 + 1 ) =!. Wtedy =!, +1 =! = ( + 1) = (+1) 1 (1 + 1 ) = 1 e < 1 ( + 1)! ( + 1) ( + 1) [(1 + 1 )] =! jest zbie»y mocy kryterium d'alembert. Przykªd 10. Rozw»my szereg 2 3. Wtedy = 2 3, +1 = 2(+1) ( + 1) 3. Poiew» g = +1 = 2 3 = [(1 + 1 = )]3 wi c szereg 2 (+1) ( + 1) = (1 + 1 )3 = 2 2 ( + 1) = ( + 1)! ( + 1) (+1).! = 2 3 ( + 1) 3 = 2 (1 + 1 )3 = 2 1 = 2 > jest rozbie»y mocy kryterium d'alembert. Ret Wiertelk 21
23 11 Szeregi liczbowe Twierdzeie 45 (kryterium Cuchy'ego). Dl szeregu rozw»my gric g =. Je»eli g < 1, to szereg jest zbie»y. Je»eli g > 1, to szereg jest rozbie»y. Je»eli g = 1, to le»y zstosow ie kryterium. Przykªd 11. Rozw»my szereg ( 2 ) 3 1 ( 2 ) Wtedy = Poiew» g = ( = 2 ) 3 1 ( = 2 ) 3 1 ( = 2 (1 1 ) 3 ) 2 2 ( 3 5) = 2 ( (1 1 ) 3 ) ( ) 3 = 2 ( 3 5) = 1 ( ) = < wi c szereg ( 2 ) jest zbie»y mocy kryterium Cuchy'ego. Przykªd 12. Rozw»my szereg Wtedy = 32 2 g = = 3 2 = Poiew» 8 = 9 8 = 9 8 > 1 wi c szereg jest rozbie»y mocy kryterium Cuchy'ego. Ret Wiertelk 22
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoGranica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoNotatki do wykªadu z analizy matematycznej I. Piotr Bartªomiejczyk opracowali Krzysztof Woyke i Šukasz Zªotowski
Nottki do wykªdu z nlizy mtemtycznej I Piotr Brtªomiejczyk oprcowli Krzysztof Woyke i Šuksz ªotowski Instytut Mtemtyki Uniwersytet Gd«ski Przedmow Spis tre±ci Rozdziª 1. Grnice ci gów i funkcji 1 1. Grnice
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna ISIM I
Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy s połoone midzy dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlch Z ziór licz cłkowitch p Q : p Z q N ziór licz wmierch q R ziór licz rzeczwistch ZBIORY OGRANICZONE De ziór ogriczo z dołu Ziór A
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASA II K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
Zespół Szkół im Jrosłw Iwszkiewicz w Sochczewie MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzoym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowe podstwie
Bardziej szczegółowoSKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE
Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.2
Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f, g : (, ) R b d jednostjne ci gªe. Czy fg te» jest jednostjnie ci gª? Co si stnie, je±li zbiór (, ) zst pimy zbiorem (, )? Zdnie. Funkcj f :
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoLiteratura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015
dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)
Bardziej szczegółowoMatematyka II dla studentów Technologii Chemicznej
Mtemtyk II dl studentów Technologii Chemicznej Ilon IglewskNowk 17 lutego 16 r. Cªki oznczone Denicj 1 Podziªem odcink [, b] n n cz ±ci, n N, nzywmy zbiór gdzie = x < x 1 < < x n = b. P = {x, x 1,...,
Bardziej szczegółowoEAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 2
[wersj z 6 XI 008] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 008/9 Wojciech Broiowski Ciągi i szeregi Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X, ρ)
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 2
[wersj z 5 XII 006] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 006/007 Wojciech Broiowski Ciągi i szeregi Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X,
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoWykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi funkcyjne
Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowonazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Poprwi lem 6 listopd 20, godz. 23:49 Twierdzeie 3. ( l czość sumowiieskończoego) Jeśli szereg to szereg Dowód. b cze ściowych szeregu jest zbieży ci g (k ) jest ściśle
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 3
[wersj z 5 III 7] Aliz Mtemtycz część 3 Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 6/7 Wojciech Broiowski Różiczkowlość Pochod fukcji jedej zmieej Pochod f : (, b) R w pukcie (, b)
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowolog lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI
MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.
Bardziej szczegółowoJan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I
J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,
Bardziej szczegółowoWZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )
. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Istytut Mtemtyki Politechiki Pozńskiej Cłki ozczoe. Defiicj cłki ozczoej Niech d będzie fukcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey podprzedziłów puktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Anliz mtemtyczn dl informtyków Nottki z wykªdu Mciej Pluszy«ski 5 styczni 9 Spis tre±ci Anliz mtemtyczn FAQ 3 Liczby rzeczywiste i zespolone 6 3 Funkcje 4 Ci gi 9 5 Szeregi 49 6 Grnic funkcji 63 7 Funkcje
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne
Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony
Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowof(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1
Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoJako elektroniczny skryba pracował: Marcin Okraszewski
/ Błd! Niezy rgumet przełczi. To zerie twierdze i defiicji zostło wyoe podstwie podrczi demiciego W. owsiego i iych, ez zgody utor (i moliwe, e przy jego sprzeciwie, poiew zostł wyo w celu stworzei wygodej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Anliz mtemtyczn dl informtyków Nottki z wykªdu Mciej Pluszy«ski p¹dziernik 0 Spis tre±ci Anliz mtemtyczn FAQ 3 Liczby rzeczywiste i zespolone 6 3 Funkcje 3 4 Ci gi 3 5 Szeregi 5 6 Grnic funkcji 65 7 Funkcje
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady
Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6
Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowo