ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
|
|
- Michalina Michalak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m < n 0 dla dowolnej liczby m nale» cej do A. Twierdzenie 1.1. (Zasada maksimum) W ka»dym niepustym ograniczonym podzbiorze A zbioru liczb naturalnych istnieje liczba najwi ksza tzn. istnieje taka liczba m 0 nale» ca do A,»e m m 0 dla dowolnej liczby m nale» cej do A. Twierdzenie 1.2. (Zasada minimum) W ka»dym niepustym podzbiorze A zbioru liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza tzn. istnieje taka liczba m 0 nale» ca do A,»e m 0 m dla ka»dej liczby naturalnej m nale» cej do A. Twierdzenie 1.3. (Zasada indukcji matematycznej zupeªnej) Niech ka»dej liczbie naturalnej n przyporz dkowane b dzie zdanie logiczne p(n). Wówczas z za- ªo»e«: (1) zdanie p(1) jest prawdziwe; (2) dla ka»dego n N, je±li zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n + 1) jest prawdziwe; wynika prawdziwo± zda«p(n) dla ka»dego n N. Denicja 1.2. Niech a, b b d liczbami caªkowitymi takimi,»e a 0. Mówimy,»e liczba a dzieli liczb b lub liczba b jest podzielna przez liczb a, lub»e liczba a jest dzielnikiem liczby b, lub»e liczba b jest wielokrotno±ci liczby a, gdy istnieje liczba caªkowita k taka,»e b = ak. Oznaczenia: a dzieli b a nie dzieli b a b a b Twierdzenie 1.4. Dla dowolnych a, b, c Z oraz 0 m Z prawdziwe s nast puj ce wªasno±ci: (1) m m, m 0, 1 a i 1 a; (2) je»eli a b i a c, to a b + c i a b c; (3) je»eli a b i b c, to a c; (4) je»eli a b to a bc; (5) je»eli a b i b 0, to a b ; (6) je»eli a b i b a, to b = a lub b = a; (7) a b wtedy i tylko wtedy, gdy ma mb. Twierdzenie 1.5. (Twierdzenie o dzieleniu z reszt w liczbach caªkowitych) Je»eli a, b Z i b 0, to istniej jednoznacznie okre±lone liczby caªkowite q, r takie,»e a = qb + r i 0 r < b. 1
2 2 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 1.6. Niech b b dzie liczb naturaln tak,»e b > 1. Wówczas ka»da liczba naturalna n mo»e by jednoznacznie zapisana w postaci: n = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0, gdzie a j jest liczb caªkowit tak,»e 0 a j b 1 dla j = 0, 1,... k oraz a k 0. Wniosek 1.7. Ka»da liczba naturalna mo»e by przedstawiona jako suma ró»nych pot g liczby Liczby pierwsze Denicja 2.1. Liczb naturaln nazywamy liczb pierwsz, je»eli n > 1 i jedynymi jej dzielnikami nauralnymi s 1 i n. Ka»d liczb naturaln wi ksz od 1, która nie jest liczb pierwsz nazywamy liczb zªo»on. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza b dziemy symbolem P. Lemat 2.1. Ka»da liczba naturalna > 1 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy. Lemat 2.2. Dla ka»dej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza wi ksza od n. Twierdzenie 2.3. (Euklides) Istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych. Twierdzenie 2.4. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy n. Sito Eratostenesa Przykªad 2.1. Zastosujemy metod sita Eratostenesa do wyznaczenia wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100. Wypisujemy wszystkie liczby od 2 do 99 i w otrzymanym ci gu wykre±lamy kolejno wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7. Dla najmniejszej niewykre±lonej liczby wi kszej od 7, czyli dla 11 zachodzi 11 2 > 99, a zatem wszystkie liczby zªo»one zostaªy ju» wykre±lone.
3 ELEMENTARNA TEORIA LICZB 3 Tablica 1. Sito Eratostenesa Najwi kszy wspólny dzielnik Denicja 3.1. Niech a, b Z, przy czym a 0 lub b 0. Najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b nazywamy liczb caªkowit d speªniaj c warunki: (1) d a i d b; (2) dla ka»dej liczby caªkowitej c takiej,»e c a i c b zachodzi nierówno± c d. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczamy symbolem (a, b) lub NWD(a, b). Twierdzenie 3.1. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b takich,»e a 0 lub b 0 istnieje ich najwi kszy wspólny dzielnik. Denicja 3.2. Liczby caªkowite a i b dla których (a, b) = 1 nazywamy wzgl dnie pierwszymi. Twierdzenie 3.2. Niech a, b (a 0 lub b 0) b d liczbami caªkowitymi takimi, ( a»e (a, b) = d. Wwóczas d d), b = 1. Twierdzenie 3.3. Je»eli a, b, c s liczbami caªkowitymi przy czym a 0 lub b 0, to (a + cb, b) = (a, b).
4 4 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 3.4. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b (a 0 lub b 0) istniej liczby caªkowite x, y takie,»e xa + yb = (a, b). Wniosek 3.5. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Je±li d jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b, to d dzieli (a, b). Twierdzenie 3.6. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Wówczas najwi kszy wspólny dzielnik jest: (1) najmniejsz liczb naturaln daj c si przedstawi w postaci ax + by gdzie x, y Z, (2) dodatnim wspólnym dzielnikiem a i b, który jest podzielny przez ka»dy wspólny dzielnik liczb a i b (istnieje dokªadnie jedna liczba o tej wªasno±ci). Twierdzenie 3.7. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej m (ma, mb) = m(a, b). Twierdzenie 3.8. Niech a, b, c Z, a 0 lub b 0. Je±li c a i c b i c > 0, to ( a c, b ) = 1 (a, b). c c Je±li (a, b) = d, to ( a d, b ) = 1. d Twierdzenie 3.9. Niech a, b, c Z. Je±li (a, b) = 1 i c a, to (c, b) = 1. Algorytm Euklidesa Poniewa» ( a, b ) = (a, b) wi c mo»emy zaªo»y,»e a b > 0. Twierdzenie Niech r 0 = a i r 1 = b b d liczbami caªkowitymi takimi,»e a b > 0. Je»eli wielokrotnie wykonuj c dzielenie z reszt, otrzymujemy ci g zale»no±ci r j = r j+1 q j+1 + r j+2, gdzie 0 < r j+2 < r j+1 dla j = 0, 1, 2,..., n 2 oraz r n+1 = 0, to (a, b) = r n. Denicja 3.3. Niech S b dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym) zbiorem liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Liczb caªkowit d, która jest dzielnikiem ka»dej z liczb ze zbioru S nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S. Najwi ksz liczb calkowit dziel c wszystkie liczby za zbioru S nazywamynajwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S, tzn. najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S nazywamy liczb caªkowit d speªniaj c warunki: (1) dla dowolnego a S zachodzi d a; (2) je±li d Z i d > d, to istnieje a S takie,»e d a. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem (a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie Niech S b dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym) zbiorem liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Wówczas istnieje najwi kszy wspólny dzielnik liczb ze zbioru S.
5 ELEMENTARNA TEORIA LICZB 5 Twierdzenie Niech k N oraz k 2 oraz niech a 1, a 2,..., a k b d liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Je»eli (a 1, a 2,..., a k ) = d, to ( a 1 d, a2 d,, a ) k d = 1. Twierdzenie Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to istniej takie liczby caªkowite x 1, x 2,..., x k,»e ( ) k a i x i = (a 1, a 2,..., a k ), i=1 przy czym (a 1, a 2,..., a k ) jest najmniejsz liczb naturaln daj c si przedstawi w postaci ( ), ponadto (a 1, a 2,..., a k ) jest dodatnim wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,..., a k, który jest podzielny przez ka»dy wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie Niech k N, k > 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k 1, a k s liczbami caªkowitymi, przy czym przynajmniej jedna z a 1, a 2,..., a k 1 jest ró»na od zera, to (a 1, a 2,..., a k 1, a k ) = ((a 1, a 2,..., a k 1 ), a k ). St d wynika,»e aby znale¹ liczb (a 1, a 2,..., a k 1, a k ), gdzie a 1 0 mo»emy obliczy kolejno dzielniki d 2 = (a 1, a 2 ), d 3 = (d 2, a 3 ), d 4 = (d 3, a 4 ),..., d k 1 = (d k 2, a k 1 ) i (a 1, a 2,..., a k 1, a k ) = (d k 1, a k ) Twierdzenie Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to dla dowolnej liczby naturalnej m (ma 1, ma 2,..., ma k ) = m(a 1, a 2,..., a k ). Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Je»eli a, b, c Z, a bc oraz (a, b) = 1, to a c. Twierdzenie (1) Niech k N i k > 1. Wówczas dla dowolnych liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a k, (a 1, a 2,..., a k ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istniej liczby caªkowite t 1, t 2,..., t k takie,»e a 1 t 1 + a 2 t a k t k = 1. (2) Niech k N i k > 1. Je»eli d, b, a 1, a 2,..., a k Z takie,»e (a 1, a 2,..., a k ) = 1 i d ba i dla ka»dego i = 1, 2,..., k, to d b. Twierdzenie Je»eli a, b, c s liczbami caªkowitymi takimi,»e (a, c) = (b, c) = 1, to (ab, c) = 1. Twierdzenie Niech k N, k 2. Je»eli liczba caªkowita c jest wzgl dnie pierwsza z ka»d z liczb a 1, a 2,..., a k, to jest te» wzgl dnie pierwsza z ich iloczynem. Twierdzenie Je»eli a, b i c s liczbami caªkowitymi takimi,»e a c, b c i (a, b) = 1, to ab c. Twierdzenie Niech k N, k 2. Je»eli liczby m 1, m 2,..., m k Z s parami wzgl dnie pierwsze i wszystkie dziel liczb caªkowit x, to iloczyn m 1 m 2... m k dzieli x.
6 6 IZABELA AGATA MALINOWSKA 4. Najmniejsza wspólna wielokrotno± Denicja 4.1. Niech a, b b d ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi. Liczb naturaln m nazywamy najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a i b, je»eli (1) liczby a i b dziel m; (2) je»eli m N i a m i b m, to m m. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a i b oznaczamy symbolem [a, b]. Twierdzenie 4.1. Dla dowolnych ró»nych od zera liczb caªkowitych a, b istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±. Twierdzenie 4.2. Niech a, b b d dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi oraz m 0 = [a, b] b dzie ich ich najmniejsz wspóln wielokrotno±ci. Je»eli m jest liczb caªkowit podzieln przez a, jak i przez b, to m 0 m. Twierdzenie 4.3. Niech a, b b d dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi. Wówczas: (1) je»eli m N, to [ma, mb] = m[a, b]; (2) [a, b](a, b) = ab. Denicja 4.2. Niech k N, k 2. Je»eli liczby caªkowite a 1, a 2,..., a k s wszystkie ró»ne od zera, to najmniejsz liczb naturaln dziel c si przez nie wszystkie nazywamy najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a k i oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a k ]. Zatem najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a k nazywamy tak liczb naturaln m, która speªnia warunki: (1) dla ka»dego i = 1, 2,..., k zachodzi a i m, (2) je»eli m N i dla ka»dego i = 1, 2,..., k zachodzi a i m, to m m. Twierdzenie 4.4. Niech k N, k 2. Dla dowolnych ró»nych od zera liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a k istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±. Twierdzenie 4.5. Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, to [a 1, a 2,..., a k ] dzieli ka»d wspóln wielokrotno± tych liczb. Ponadto [a 1, a 2,..., a k ] jest dodatni wspóln wielokrotno±ci tych liczb, która dzieli ka»d ich wspóln wielokrotno±. Twierdzenie 4.6. Niech k N, k > 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, to [a 1, a 2,..., a k ] = [[a 1, a 2,..., a k 1 ], a k ]. Twierdzenie 4.7. Niech k N, k 2. Je»eli liczby naturalne a 1, a 2,..., a k s parami wzgl dnie pierwsze, to [a 1, a 2,..., a k ] = a 1 a 2... a k. 5. Liniowe równania diofantyczne Denicja 5.1. Równaniem diofantycznym nazywamy ka»de równanie postaci f(x 1,..., x n ) = 0, gdzie f jest funkcj n zmiennych, a którego rozwi za«szukamy w zbiorze liczb caªkowitych lub zbiorze liczb naturalnych.
7 ELEMENTARNA TEORIA LICZB 7 Twierdzenie 5.1. Niech a, b, c Z, a 0 lub b 0. Równanie ( ) ax + by = c, ma rozwi zanie w liczbach caªkowitych x i y wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) c. Twierdzenie 5.2. Niech a, b, c (a 0 i b 0) b d liczbami caªkowitymi oraz niech para liczb caªkowitych x 0, y 0 b dzie rozwi zaniem równania ( ) ax + by = c. Para liczb caªkowitych x, y jest rozwi zaniem równania ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita t taka,»e gdzie a = a 1 (a, b), ( ) x = x 0 + b 1 t, y = y 0 a 1 t, b = b 1 (a, b). Twierdzenie 5.3. Niech b dzie danych n liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a n (n 2), z których przynajmniej jedna nie jest zerem. Równanie ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c ma rozwi zanie w liczbach caªkowitych x 1, x 2,..., x n wtedy i tylko wtedy, gdy (a 1, a 2,..., a n ) c. 6. Rozkªad na czynniki pierwsze Lemat 6.1. Je»eli p jest liczb pierwsz, a, b Z i p a b, to p a lub p b. Twierdzenie 6.2. Je»eli p jest liczb pierwsz a 1, a 2,..., a n Z i p a 1 a 2 a n, to istnieje k, 1 k n, takie,»e p a k, Twierdzenie 6.3. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na przedstawi w postaci n = p 1 p 2 p k, przy czym k 1, liczby za± p 1, p 2,..., p k s pierwsze. Twierdzenie 6.4. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na przedstawi jednoznacznie w postaci ( ) n = p 1 p k, przy czym k 1 oraz p 1 p 2 p k s liczbami pierwszymi. W±ród liczb p i wyst pi ka»dy dzielnik pierwszy liczby n. Twierdzenie 6.5. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na jednoznacznie zapisa w postaci r n = p αi i, i=1 przy czym r 1, p 1 < p 2 < < p r s liczbami pierwszymi, α i za± s liczbami naturalnymi. Twierdzenie 6.6. Ka»d liczb caªkowit n 0, ±1 mo»na zapisa jednoznacznie w postaci r n = sgn n p αi i, przy czym r 1, p 1 < p 2 < < p r s liczbami pierwszymi, α i za± s liczbami naturalnymi. i=1
8 8 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 6.7. Ka»d liczb caªkowit n 0 mo»na zaposa jednoznacznie w postaci n = ε p P p αp(n), przy czym ε = ±1, α p (n) N {0}. Wyst puj cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie wiele czynników ró»nych od jedno±ci. Twierdzenie 6.8. Ka»d liczb wymiern w ró»n od zera mo»na zapisa jednoznacznie w postaci w = ε p P p αp(w), przy czym ε = ±1, α p (w) Z. Wyst puj cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie wiele czynników ró»nych od jedno±ci. Uwaga 6.1. Rozkªady wyst puj ce w powy»szych twierdzeniach nazywamy rozkªadami kanonicznymi odpowiednich liczb. Twierdzenie 6.9. (1) Dla dowolnych niezerowych liczb wymiernych v, w zachodz równo±ci: α p (vw) = α p (v) + α p (w), α p ( w) = α p (w), α p ( v w ) = α p(v) α p (w), α p (v k ) = kα p (v), przy czym w ostatniej równo±ci k = 1, 2,... (2) Liczba wymierna w 0 jest caªkowita wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich liczb pierwszych p zachodzi nierówno± α p (w) 0. (3) Je»eli n Z, to p αp(n) jest najwi ksz pot g liczby pierwszej p, dziel c n. Twierdzenie Je»eli a, b s liczbami caªkowitymi, to a dzieli b wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (a) α p (b). Twierdzenie Niech a 1, a 2,..., a n b d niezerowymi liczbami caªkowitymi. (1) Je»eli d = (a 1, a 2,..., a n ), to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (d) = min{α p (a 1 ), α p (a 2 ),..., α p (a n )}. (2) Je»eli D = [a 1, a 2,..., a n ], to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (D) = max{α p (a 1 ), α p (a 2 ),..., α p (a n )}. (3) Je»eli N a i dla i = 1, 2,..., n, to N (a 1, a 2,..., a n ). (4) Je»eli a i N dla i = 1, 2,..., n, to [a 1, a 2,..., a n ] N. (5) Je»eli a, b s liczbami naturalnymi, to (a, b)[a, b] = a b. Twierdzenie (1) Ka»dy wspólny dzielnik sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych jest dzielnikiem najwi kszego wspólnego dzielnika tych liczb. (2) Ka»da wspólna wielokrotno± sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych dzieli si przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno±. Uwaga 6.2. Je»eli p jest liczb pierwsz, α za± liczb naturaln to b dziemy pisa p α n dla zaznaczenia,»e p α dzieli n, ale p α+1 n. Twierdzenie Liczba Θ(n) dzielników naturalnych liczby naturalnej n > 1 wyra»a si wzorem Θ(n) = ( αp (n) + 1 ), gdzie w tej notacji α = α p (n). p α n(α + 1) = p P
9 ELEMENTARNA TEORIA LICZB 9 7. Kongruencje Denicja 7.1. Niech m b dzie liczb naturaln. Mówimy,»e liczba caªkowita a przystaje do liczby caªkowitej b modulo m i piszemy a b (mod m), je±li m a b. Tak okre±lon relacj nazywamy kongruencj. Liczb m nazywamy moduªem kongruencji. Je»eli m a b, to piszemy a nie przystaje do b modulo m. Twierdzenie 7.1. Niech a, b, c, d i m b d liczbami caªkowitymi takimi,»e m > 0. Wówczas: (1) a b (mod m) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita k taka,»e a = b + km. (2) Relacja przystawania (kongruencji) modulo m jest relacj równowa»no±ci w zbiorze liczb caªkowitych Z. (3) Je»eli a b (mod m) i c d (mod m), to (a) a + c b + d (mod m); (b) a c b d (mod m); (c) a c b d (mod m). Denicja 7.2. Peªnym ukªadem reszt modulo m jest zbiór liczb caªkowitych takich,»e ka»da liczba caªkowita przystaje modulo m dokªadnie do jednej liczby caªkowitej z tego zbioru. Przykªad 7.1. Niech m b dzie liczb caªkowit tak,»e m > 1. Zbiór {0, 1,..., m 1} tworzy peªny ukªad reszt modulo m. Nazywamy go zbiorem najmniejszych nieujemnych reszt modulo m. Zbiór {1, 2,..., m} tworzy równie» peªen ukªad reszt modulo m. Nazywamy go zbiorem najmniejszych dodatnich reszt modulo m Twierdzenie 7.2. Niech a, b Z oraz m, c, d N. Wówczas: (1) je»eli a b (mod m) i d m, to a b (mod d); (2) a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy ac bc (mod mc). Twierdzenie 7.3. Niech a, b, c Z oraz m N. Wówczas: ( m ) (1) ac bc (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a b mod. (c, m) (2) Je»eli ac bc (mod m) i (c, m) = 1, to a b (mod m). Twierdzenie 7.4. Niech x, y Z oraz m i N dla i = 1, 2,..., r. Wówczas: (1) x y (mod m i ) dla i = 1, 2,..., r wtedy i tylko wtedy, gdy x y (mod [m 1, m 2,..., m r ]). (2) Je»eli x y (mod m i ) dla i = 1, 2,..., r oraz m 1, m 2,..., m r s parami wzgl dnie pierwsze, to x y (mod m 1 m r ). Twierdzenie 7.5. Niech m N. Je»eli f(x 1, x 2,..., x n ) jest wielomianem n zmiennych o caªkowitych wspóªczynnikach, a liczby a i, b i (i = 1, 2,..., n) s caªkowite i speªniaj warunek a i b i (mod m) przy i = 1, 2,..., n, to f(a 1, a 2,..., a n ) f(b 1, b 2,..., b n ) (mod m). Twierdzenie 7.6. Niech a, b i m b d liczbami caªkowitymi takimi,»e m > 0. Je»eli a b (mod m), to (a, m) = (b, m).
10 10 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 7.7. Je»eli r 1, r 2,..., r m jest peªnym ukªadem reszt modulo m oraz je»eli a jest liczb caªkowit tak,»e (a, m) = 1, to ar 1 + b, ar 2 + b,..., ar m + b jest peªnym ukªadem reszt modulo m dla dowolnej liczby caªkowitej b. Denicja 7.3. Zredukowanym ukªadem reszt modulo m nazywamy zbiór liczb caªkowitych r i takich,»e (r i, m) = 1, r i r j (mod m), je»eli i j oraz takich,»e ka»da liczba caªkowita x wzgl dnie pierwsza z m przystaje modulo m do pewnego elementu r i tego zbioru. Denicja 7.4. Niech n N. Liczba ϕ(n) oznacza ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych n i wzgl dnie pierwszych z n. Funkcj ϕ : N N nazywamy funkcj Eulera. Twierdzenie 7.8. Niech a Z, m N i (a, m) = 1. Je»eli r 1, r 2,..., r ϕ(m) jest zredukowanym ukªadem reszt modulo m, to ar 1, ar 2,..., ar ϕ(m) jest zredukowanym ukªadem reszt modulo m. Twierdzenie 7.9. (Euler) Niech m N i a Z. Je»eli (a, m) = 1, to a ϕ(m) 1 (mod m). Twierdzenie (Fermat) Niech a b dzie liczb caªkowit i p liczb pierwsz. Je»eli p a, to a p 1 1 (mod p). Twierdzenie Dla ka»dej liczby caªkowitej a i ka»dej liczby pierwszej p zachodzi a p a (mod p). 8. Funkcja Eulera Denicja 8.1. Funkcj arytmetyczn nazywamy dowolne odwzorowanie f : N C, gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, C - zbiorem liczb zespolonych. Denicja 8.2. Funkcj arytmetyczn f nazywamy multiplikatywn, je»eli (1) f nie jest to»samo±ciowo równa zeru; (2) f(m n) = f(m) f(n) dla wszystkich wzgl dnie pierwszych liczb m, n. Twierdzenie 8.1. Je»eli f jest funkcj multiplikatywn i je»eli n = p p αp(n) jest rozkªadem kononicznym liczby n, to f(n) = p f(p αp(n) ), a ponadto f(1) = 1. Twierdzenie 8.2. Je»eli p jest liczb pierwsz, to ϕ(p) = p 1. Je»eli p jest liczb naturaln tak,»e ϕ(p) = p 1, to p jest liczb pierwsz. Twierdzenie 8.3. Niech p b dzie liczb pierwsz i α liczb naturaln. Wówczas ϕ(p α ) = p α p α 1.
11 ELEMENTARNA TEORIA LICZB 11 Twierdzenie 8.4. Niech m i n b d wzgl dnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Wówczas ϕ(mn) = ϕ(m) ϕ(n). Twierdzenie 8.5. Niech n = p α1 1 pα2 2 pα k k naturalnej n > 1. Wówczas ) ) ) ϕ(n) = n (1 (1 1p1 1p2 (1 1pk b dzie rozkªadem kanonicznym liczby = n p n ( 1 1 ). p Lemat 8.6. Je»eli (m 1, m 2 ) = 1 i d m 1 m 2, to d da si przedstawi jednoznacznie w postaci d = d 1 d 2, przy czym d 1 m 1 i d 2 m 2. Twierdzenie 8.7. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równo± ϕ(d) = n. d n
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05
ELEMENTY TEORII LICZB Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05 Spis tre±ci 1 Liczby i wielomiany 5 1.1 Wielomiany............................ 5 1.2 Podzielno± liczb......................... 8 1.3 Podzielno± wielomianów.....................
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2015/16
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2015/16 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina
Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci Alina Semrau-Giªka Uniwerstet Technoloiczno-Przrodnicz 30 stcznia 209 Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwam odwzorowanie, które ka»demu elementowi ze zbioru X przporz
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoPewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski
Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoZestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.
ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoPrawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo