Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Transkrypt

1 Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b a n k b k ab n 2 + b n 1 ) Denicja 1. Funkcj dan wzorem: nazywamy funkcj liniow. Ponadto: Funkcja liniowa a nazywamy wspóªczynnikiem kierunkowym prostej f(x) = ax + b, gdzie a, b R (1) b nazywamy wyrazem wolnym, jest to równie» punkt punktem przeci cia z osi Oy. { R, je»eli a 0 Dzedzin funkcji liniowej (1) jest D f = R. Natomiast W f = b, je»eli a = 0. Je»eli: a > 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie rosn ca; a < 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie malej ca; a = 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie staªa; Denicja 2. Funkcj dan wzorem: Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c R, a 0 (2) nazywamy funkcj kwadratow w postaci ogólnej. 1

2 Posta kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = a(x p) 2 + q, gdzie p = b 2a, q = 4a oraz = b2 4ac. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoªkach w pukcie (p, q) i ramionach skierowanych: do góry, je»eli a > 0; do doªu, je»eli a < 0. Posta iloczynowa funkcji kwadratowej: < 0 = 0 > 0 brak postaci iloczynowej f(x) = a(x x 0 ) 2 f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) gdzie x 0 = b oraz x 2a 1 = b+, x 2a 2 = b. 2a Wzory Viete'a Niech x 1, x 2 b d pierwiastkami równania ax 2 + bx + c = 0, gdzie a 0 oraz 0. Wówczas zachodz zale»no±ci zwane worami Viete'a: x 1 + x 2 = b a ; x 1 x 2 = c a. Twierdzenia o pierwiastkach równania kwadratowego Twierdzenie 1. Równanie W (x) = ax 2 + bx + c = 0 posiada dwa pierwiastki mniejsze od warto±ci M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 0, x 0 < M, aw (M) > 0. Twierdzenie 2. Równanie W (x) = ax 2 + bx + c = 0 posiada dwa pierwiastki wi ksze od warto±ci M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 0, x 0 > M, aw (M) > 0. Twierdzenie 3. Liczba M znajduje si pomi dzy pierwiastkami równania W (x) = ax 2 +bx+c = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy: aw (M) < 0. 2

3 Twierdzenie 4. Dwa pierwiastki równania W (x) = ax 2 + bx + c = 0 nale» do przedziaªu (K, M) wtedy i tylko wtedy gdy: 0, K < x 0 < M, aw (M) > 0, aw (K) > 0. Wielomiany Denicja 3. Wielomianem stopnia n (funkcj wielomianow ) jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcj W (x) postaci: W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie n N, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. Ponadto liczby a 0, a 1,..., a n nazywa wspóªczynnikami wielomiany,a dodatkowo a 0 nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. Denicja 4. Dwa wielomiany nazywamy równymi (dla ka»dego x R), je»eli zachodzi równo± ich stopni i odpowiednich wspóªczynników. Denicja 5. Liczb a tak,»e W (a) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x). Uwaga 1. Wielomian stopnia n mo»e mie co najwy»ej n pierwiastków. Uwaga 2. Wielomian stopnia nieparzystego posiada przynajmniej jeden pierwiastek. Twierdzenie 5. (twierdzenie Bezoute'a) Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x a. Twierdzenie 6. (twierdzenie o pierwiastku caªkowitym) Je»eli liczba a jest pierwiastkiem caªkowitym wielomianu W (x), to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a 0. Uwaga 3. Z powy»szego twierdzenia wynika,»e pierwiastków caªkowitych wielomianu W (x) nale»y szuka wyª cznie w±ród dzielników wyrazu wolnego. Twierdzenie 7. (twierdzenie o pierwiastku wymiernym) Je»eli liczba p jest pierwiastkiem wymiernym wielomianu W (x), to p dzielnikiem wyrazu wolnego q a 0 natomiast q jest dzielnikiem wyrazu a n. Niech b d dane wielomiany W (x) oraz P (x). Je»eli na wskutek dzielenia wielomianu W (x) przez P (x) otrzymamy wielomian Q(x) oraz reszt R(x) b d ca wielomianem stopnia mniejszego od stopnia wielomianu P (x), to wówczas zachodzi równanie: Z równo±ci (3) otrzymujemy nast puj ce uwagi. W (x) = P (x) Q(x) + R(x). (3) Uwaga 4. Zatem, je»eli wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x), to istnieje taki wielomian Q(x),»e: W (x) = P (x) Q(x). 3

4 Uwaga 5. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x a jest równa W (a). Zadania 1. Rozwi» równania z warto±ci bezwzgl dn : a) x + 5 = 3, b) 2x + 1 = 4, c) 9x 1 7 = 3, d) x 3 = x 1, e) (2x 4) 2 + x + 3 = 14, f) 2x + 3x 5 = x Rozwi» nierówno±ci z warto±ci bezwzgl dn : a) x 3 2, b) 3x 2 > 1, c) 2 x + 1 > x + 4, d) (x + 3) 2 + x 1 < W zale»no±ci od parametru m rozwi» równanie: a) mx m 2 = 2x 4, b) m 2 x 3 = 9x + m. 4. Dla jakiej warto±ci parametru m funkcja f(x) = (m 2 1)x + 3 jest malej ca? 5. Dla jakiej warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) s równolegªe? Je»eli: a) f(x) = 3x 4, g(x) = (m + 1)x + 2, b) f(x) = x + π, g(x) = (m 2 3)x Dla jakiej warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) s prostopadªe? Je»eli: a) f(x) = 2x 5, g(x) = (m 4)x + 2, b) f(x) = mx + π, g(x) = mx Dla jakich warto±ci parametru m zbiorem rozwi za«nierówno±ci jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? Je»eli: a) x 2 2(m + 1)x + 2m 2 + 3m 1 > 0, b) (5 m)x 2 2(1 m)x + 2(1 m) < Dla jakich warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) = mx 2 + 5x + m oraz g(x) = 5x + 1 nie maj punktów wspólnych? 9. Dla jakich warto±ci parametru m rozwi zania równania x 2 + 2(m + 1)x + 9m 5 = 0 s liczbami ujemnymi? 10. Dla jakich warto±ci parametru m równanie (m + 1)x 2 + 2x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki przeciwnych znaków? 11. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x 2 +mx+m = 0 posiada dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 15? 12. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x 2 (2m 1)x + m 2 4 = 0 posiada dwa ró»ne pierwiastki mniejsze od 4? 13. Dla jakich warto±ci parametru m suma odwrotno±ci kwadratów dwóch ró»nych pierwiastków równania x 2 (2m 1)x + m 2 4 = 0 jest równa 3? 14. Dla jakich warto±ci parametru m równanie 2mx 2 (m + 2)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczb z przedziaªu [ 1, 1]? 4

5 15. Rozªó» wielomiany na czynniki (stosuj c metody grupowania, wyª czania przed nawias, obni»ania stopnia wielomianu, wzory skróconego mno»enia): a) x 2 9, b) x 4 16, c) x , d) x , e) x 6 1, f) x 2 + 4x + 3, g) x x + 25, h) x 4 6x 2 + 9, i) 2x 3 + 3x 2 + 4x + 6, j) 10x x 2 8x 20, k) 6x x x 3 60x 2, l) x 3 13x + 12, m) x 4 + 9, n) x 7 + 2x 6 6x 4 12x 3 + 9x Dla jakich warto±ci parametrów a, b, c wielomiany W (x) oraz Q(x) s równe? Je»eli: a) W (x) = 2x 3 3x 2 + 5x + b + c, Q(x) = (b 3)x 3 3x 2 + (2a + c)x + 4, b) W (x) = x 3 + (a 2b)x 2 + (b + 4)x + c 2, Q(x) = (x 1) 2 (x + 2). 17. Wykonaj dzielenie wielomianów: a) ( 21x x 2 20x) : (3x 1), b) ( 10x 5 + 8x 4 2x x 2 ) : (2x 3 4). 18. Stosuj c schemat Hornera wykonaj dzielenie wielomianów: a) (x 3 4x 2 3x 5) : (x 5), b) (3x 5 4x 3 + x + 66) : (x + 2). 19. Wska» liczby caªkowite mog ce by pierwiastkami równa«: a) x 3 7x 2 3x + 21 = 0, b) x 4 + 3x 3 14x 2 12x + 40 = Wska» liczby wymierne mog ce by pierwiastkami równa«: a) 9x 2 4x x 2 8 = 0, b) 3x 3 14x y + 6 = Sprawd¹ czy równanie 2x 2 + 5x 3 + 2x 2 3 = 0 posiada rozwi zania wymierne. 22. Dla jakich warto±ci parametru m wielomian W (x) = x 3 (2m + 1)x 2 + 3, 5x + m 2 4 jest podzielny przez dwumian x Rozwi» równania wielomianowe: a) x 3 5x 2 x + 5 = 0, b) x 4 3x 3 + 4x 2 6x + 4 = 0, c) x 3 13x + 12 = 0, d) 3x 4 10x x 3 = 0, e) x 3 4x = 0, f) 9x x x 8 = 0, g) x 4 4x 2 12x 9 = 0, h) 3x 4 8x 3 6x 2 + 3x = 0, i) 125x x + 2 = Rozwi» nierówno±ci wielomianowe a) (x 1)(2x 3)(x + 5) 0, b) (x + 4) 2 (x + 1) 5 (x 6) > 0, c) 2x(6 4x) 3 (x )9 0, d) (x 2 + 2x) 8 (x 2 x 6) 3 < 0, e) x 3 + 3x 2 4x 12 0, f) x 3 3x 2 + 3x 2 0, e) x 4 + 2x 3 x 2 < 0, f) x 6 + 2x 5 4x 4 8x 3 > 0. 5