Analiza Matematyczna I.2

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f, g : (, ) R b d jednostjne ci gªe. Czy fg te» jest jednostjnie ci gª? Co si stnie, je±li zbiór (, ) zst pimy zbiorem (, )? Zdnie. Funkcj f : R R nzywmy podddytywn, je±li dl wszystkich x, y R speªnion jest nierówno± f(x+y) f(x)+f(y). Czy funkcj podddytywn musi by wypukª? Czy musi by wkl sª? Czy musi by ci gª? Czy funkcj wkl sª musi by podddytywn? Czy funkcj podddytywn ci gª w musi by jednostjnie ci gª? Zdnie 3. Czy funkcj wkl sª f : [, ) [, ) speªnij c wrunek f() = musi by podddytywn? Zdnie 4. Niech f : R R b dzie dowoln funkcj. Udowodnij,»e zbiór punktów nieci gªo±ci funkcji f jest zbiorem typu F σ. Niech A b dzie dowolnym zbiorem typu F σ. Udowodnij,»e istnieje funkcj f : R R, której zbiór punktów nieci gªo±ci jest równy A. Zdnie 5. Niech (U n ) n b dzie ci giem otwrtych i g stych podzbiorów R. Udowodnij,»e zbiór U n jest g sty w R. Zdnie 6. Niech f : (, ) R b dzie funkcj ci gª. Zªó»my,»e dl k»dego > mmy n f ( n) =. Czy z tego wynik,»e x + f(x) =? Zdnie 7. Niech F b dzie dowoln rodzin funkcji ci gªych n R. Przypu± my,»e dl k»dego x R istnieje stª M x tk,»e f(x) M x dl wszystkich f F. Udowodnij,»e istnieje przedziª I R i stª M tk,»e f(x) M dl wszystkich x I.

2 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f : [, ] [, ] b dzie funkcj ci gª ró»niczkowln n (, ). Przypu± my,»e f (x) dl wszystkich x [, ]. Udowodnij, istniej jednozncznie wyznczone punkty, b [, ] tkie,»e f() = i f(b) = b. Zdnie. Niech p. Udowodnij,»e dl x, y > prwdziw jest nierówno± y p x p p mx{x, y} p x y. Zdnie 3. Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª ró»niczkowln n (, ). Przypu± my,»e f() = f() = orz istnieje punkt (, ) tki,»e f() = 3. Udowodnij,»e istniej proste l, l, styczne do wykresu funkcji f, które wrz z osi OX tworz trójk t równoboczny. Zdnie 4. Udowodnij,»e dl x prwdziw jest nierówno± e x x e. Zdnie 5. Niech f, g : [, ] R b d funkcjmi ci gªymi, ró»niczkowlnymi n (, ). Zªó»my,»e f() = f() =. Udowodnij,»e równnie m rozwi znie w przedzile (, ). Zdnie 6. Czy funkcj f(x) = g (x)f(x) + f (x) = { x 3/ sin(/x) x > x jest funkcj ró»niczkowln n R? Czy speªni on wrunek Lipschitz n [, ]? Zdnie 7. Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª, ró»niczkowln n (, ). Zªó»my,»e f (x) λ f(x) dl pewnej stªej λ > i wszystkich x [, ]. Przypu± my,»e f() =. Czy z tego wynik,»e f? Zdnie 8. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª. Przypu± my,»e dl pewnego x R istnieje grnic f(x + h) f(x ). Q h h Czy f jest ró»niczkowln w punkcie x? Zdnie 9. Niech f : R R b dzie funkcj ró»niczkowln i niech f () =. Czy musi istnie ε > tki,»e f jest rosn c n predzile ( ε, ε)? Zdnie. Przypu± my,»e f : [, b] R b dzie funkcj ci gª ró»niczkowln n (, b) i niech b π. Udowodnij,»e istnieje x tkie,»e f (x ) < + f (x ). Zdnie. Niech f, g, h : [, b] R b d funkcjmi ci gªymi, ró»niczkowlnymi n (, b). Niech f(x) g(x) h(x) F (x) = det f() g() h() f(b) g(b) h(b) Udowodnij,»e istnieje x (, b) tkie,»e F (x ) =. Wywnioskuj st d twierdzeni Lgrnge' i Cuchy'ego o wrto±ci ±redniej.

3 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 3, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f : R R b dzie funkcj ró»niczkowln. Niech < b < c. Udowodnij,»e istniej x < x tkie,»e f(b) f() b = f (x ), f(c) f() c = f (x ). Zdnie. Niech f : (, ) R b dzie zdn wzorem f(x) = x. Udowodnij,»e ( ) n f (n) (x) < dl n orz wszystkich x >. Zdnie 3. Niech f : R R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowln w punkcie x R. Udowodnij,»e f(x + h) f(x ) + f(x h) = f (x h h ). Zdnie 4. Udowodnij,»e dl n prwdziwe s równo±ci n k= ( ) { n l =,,..., n ( ) k k l = k n! l = n Zdnie 5. Wyzncz liczb rozwi z«równni 3e x = + x + x! x!. Zdnie 6. Niech f : R R b dzie fukcj dwukrotnie ró»niczkowln. Dl i =,, okre±lmy M i = sup x R f (i) (x), przy czym f = f. Udowodnij nierówno± M M M. ( Zdnie 7. Wyzncz grnic sin x ) /x x x. Zdnie 8. Niech f : R R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowln i niech < b. Zªó»my,»e f () = f (b) =. Udowodnij,»e istnieje punkt c (, b) tki,»e f (c) 4 Zdnie 9. Udowodnij nierówno±ci ln( + x) f(b) f() (b ). x + x, x, sin x π x + x π 3 (π 4x ), x [, π/]. Zdnie. Niech f : R R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowln. Zªó»my,»e f (x) dl wszystkich x R. Udowodnij,»e je±li x f(x) =, to równie» x f (x) =. Zdnie. Udowodnij nierówno± ( sin x x ) + tgx x > dl x (, π/)..

4 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 4, P. Nyr, /3 Zdnie. Udowodnij równo± ln( + x) = ( ) n+ x n, x <. n Zdnie. Niech p. Zbdj przebieg zmienno±ci funkcji f(x) = x p e x. Zdnie 3. Niech p (, ). Zbdj przebieg zmienno±ci funkcji f(x) = x p ( x) p. Zdnie 4. Zbdj zbie»no± jednostjn ci gu (f n ) n, gdzie f n (x) = x n ( x), x [, ]. Zbdj równie» zbie»no± jednostjn ci gu (g n ) n, gdzie g n (x) = nx n ( x), x [, ]. Zdnie 5. Niech n. Zbdj przebieg zmienno±ci funkcji f n : R R zdnej wzorem ( ) f n (x) = e x + x + x! xn. n! Czy ci g (f n ) n jest zbie»ny jednostjnie n R. Czy jest on zbie»ny jednostjnie n [, ]? Zdnie 6. Zbdj zbie»no± jednostjn n R ci gu funkcyjnego (f n ) n, gdzie f n (x) = n + x n. Zdnie 7. Zbdj zbie»no± jednostjn n R ci gu funkcyjnego (f n ) n, gdzie f n (x) = n sin n x cos x. Zdnie 8. Niech P n : R R b d wielominmi dl n. Przypu± my,»e ci g (P n ) n jest zbie»ny jednostjnie do fukcji P : R R. Udowodnij,»e P jest wielominem. Zdnie 9. Rozw»my ci g wielominów (P n ) n ustlonego stopni k. Niech P n (x) = n,k x k + n,k x k n, x + n,. Udowodnij,»e nst puj ce wrunki s równow»ne, () ci g (P n ) n jest jednostjnie zbie»ny n k»dym zbiorze zwrtym K R, (b) istniej liczby rzeczywiste x, x,..., x k tkie,»e ci gi (P n (x l )) n s zbie»ne dl l =,,..., k, (c) ci gi ( n,l ) n s zbie»ne dl l =,,..., k. Zdnie. Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª. Deniujemy ci g wielominów (P f n ) n wzormi P f n (x) = n k= ( ) n f k ( ) k x k ( x) n k. n Udowodnij,»e ci g (P f n ) n jest jednostjnie zbie»ny do f.

5 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 4, P. Nyr, /3 Zdnie. Udowodnij nierówno± e x x + e x dl x R. Zdnie. Niech p, q, p + q =. Udowodnij nierówno± pe qx + qe px e 8 x. Zdnie 3. Niech S n b dzie liczb sukcesów w schemcie Bernoulliego z prwdopodobie«stwem sukcesu p. Udowodnij nierówno± ( ) S n P n p > ε e nε. Zdnie 4. Niech ε (, π). Zbdj zbie»no± jednostjn n [ε, π ε] orz n [, π] szeregu sin nx n. Zdnie 5. Niech,..., n i b,..., b n b d liczbmi rzeczywistymi i niech p, q speªnij p + q =. Udowodnij nierówno± ( n n ) /p ( n ) /q i b i i p b i q i= i= i= orz ( n ) /p ( n ) /p ( n ) /p i + b i p i p + b i p. i= i= i= Zdnie 6. Oblicz grnic x x + n x.

6 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 6, P. Nyr, /3 Zdnie. Podj przykªd funkcji f : R [, ) klsy C tkiej,»e f() = orz dl wszystkich α (, ) mmy Zdnie. Udowodnij równo±ci ( ) n+ n x = x f (x) f(x) α =. ( ) n+ x n = ln. n Zdnie 3. Niech f n : A R dl n. Zªó»my,»e ci g (f n ) n jest zbie»ny jednostjnie do funkcji f i dl n n istniej grnice x x f n (x). Wyk»,»e f n (x) = f(x), n x x x x przy zªo»eniu,»e jedn z grnic w powy»szym wzorze istnieje. Zdnie 4. Zªó»my,»e szereg n= n jest zbie»ny. Czy szereg n= nx n musi by zbie»ny jednostjnie n [, ]? Udowodnij,»e x n= n x n = Zdnie 5. Niech f n : A R b d funkcjmi ci gªymi. Przypu± my,»e szereg n= f n(x) jest zbie»ny jednostjnie n zbiorze A. Niech x A b dzie punktem skupieni zbioru A. Udowodnij równo± f n (x) = x x n= n= n. f n (x ). Zdnie 6. Niech f n C([, ]). Zªó»my,»e szereg n= f n jest zbie»ny jednostjnie n [, ). Czy szereg n= f n() musi by zbie»ny? Zdnie 7. Udowodnij,»e szereg n +x n= zdje funkcj klsy C (R). Zdnie 8. Przypu± my,»e szereg n jest zbie»ny. Czy funkcj f(x) = x n jest gªdk n zbiorze R\{,,...}? Zdnie 9. Wyzncz punkty ró»niczkowlno±ci funkcji e n x p dl p =,. n Zdnie. Czy szereg n= ( )n jest sumowlny metod Abel? Czy szereg ten jest sumowlny metod Cesro? Zdnie. Czy szereg ( )n+ n jest sumowlny metod Abel? Czy szereg ten jest sumowlny metod Cesro? Zdnie. Niech n= n b dzie szeregiem zbie»nym i niech A k = k n= n. Udowodnij,»e x e x x n A n n! = n. n= n=

7 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 7, P. Nyr, /3 Zdnie. Oblicz cªki nieoznczone, () dx (b) dx (c) tg x dx x(x+)...(x+n) sin x (d) ln x dx (e) x n e x dx (f) x dx (x + ) n (g) e x sin x dx (h) dx (i) dx. (+x)(b+x) (+x ) 3/ Zdnie. Oblicz cªk x +bx+c dx. Zdnie 3. Wyzncz wzór rekurencyjny n I n = (+x ) n Zdnie 4. Udowodnij wzory () x dx = rcsin x + C (b) +x dx = rsinh x + C (c) +x dx = rcosh x + C (d) dx = rctg x + C. +x Zdnie 5. Wyzncz wzór rekurencyjny n I n = sin n x dx. Udowodnij wzór Zdnie 6. Wyzncz cªki π = ((n)!!) n (n )!!(n + )!! () e x e x e x +e x dx, (b) sin x+cos 3 x sin x+cos x dx, (c) x+ +x (+x ) 3/ +x dx, (d) cosh 4 x dx. Zdnie 7. Niech f : [, π] R b dzie funkcj ci gª. Udowodnij równo± π xf(sin x) dx = π π f(sin x) dx. Zdnie 8. Niech n, m b d liczbmi nturlnymi. Udowodnij równo± x n ( x) m dx = n!m! (n + m + )!. Zdnie 9. Niech f : [, ] (, ) b dzie funkcj ci gª. Oblicz f(x) f(x) + f( x) dx. Zdnie. Przypu± my,»e funkcj ci gª f : [, ] [, ) speªni f(x) dx =. udowodnij,»e f. Czy to smo jest prwd bez zªo»eni ci gªo±ci funkcji f? Zdnie. Niech f : [, R b dzie funkcj ci gª przyst. Udowodnij równo± f(x) + e dx = f(x) dx. x dx.

8 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 8, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech I n = π/4 tg n x dx. Udowodnij równo± I n +I n = dl n. Wyk»,»e n n I n = orz π 4 = ( ) n n +. Zdnie. Niech f : R R b dzie funkcj T -okresow. Udowodnij,»e n n= f(nx) dx = T T f(x) dx. Zdnie 3. Niech f : [, b] R b dzie funkcj ci gª. Udowodnij,»e b n f(x) sin nx dx =. Udowodnij równie»,»e je±li f jest funkcj lipschitzowsk, to istnieje stª C > zle»n tylko of f, orz b tk,»e b f(x) sin nx dx C n. Zdnie 4. Niech f : [, b] R b dzie funkcj ci gª przyjmuj c wrto±ci w zbiorze [m, M] i niech ϕ : [m, M] R b dzie funkcj wypukª. Udowodnij nierówno± ( b ) ϕ f(x) dx b ϕ(f(x)) dx. b b Zdnie 5. Niech n. Udowodnij nierówno±ci Zdnie 6. Oblicz grnice ci gów n = n π n 4 n k n π 4 + n. n k= k= n n + k, b n n = n k. Zdnie 7. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª n R. Zªó»my,»e dl k»dego x > mmy x Czy z tego wynik,»e f jest funkcj nieprzyst? k= x f(t) dt =. Zdnie 8. Niech f : [, ] (, ) b dzie funkcj ci gª. Dl p (, ) (, ) Deniujemy f p = ( /p. dx) f(x) p Udowodnij,»e dl < p < q < prwdziw jest nierówno± f p f q. Oblicz grnice f p, p Zdnie 9. Dl n udowodnij równo±ci ( x ) n dx = (n)!! (n + )!!, Wywnioskuj st d równo± + e x dx = π. f p, p f p. p ( + x ) dx = π (n 3)!! n (n )!!. Zdnie. Niech < b i niech f, g : [, b] R b d funkcjmi ci gªymi (ogólniej cªkowlnymi w sensie Riemnn). Niech p, q speªnij /p + /q =. Udowodnij,»e b ( b ) /p ( b /q f(x)g(x) dx f(x) p dx g(x) dx) q.

9 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri 9, P. Nyr, /3 Zdnie. Oblicz xn ln n x dx. Udowodnij równo± x x dx = n n. Zdnie. Niech f, g : [, b] R b d funkcjmi cªkowlnymi w sensie Riemnn. Udowodnij nierówno± ( b ( b f(x) sin x dx) + f(x) cos x dx) (b ) b f (x) dx. Zdnie 3. Niech f : [, ] R i niech < p < q < r. Udowodnij nierówno± f q(r p) q f p(r q) p f r(q p) r. Zdnie 4. Niech f : [, ] [m, M]. Zªó»my,»e f(x) dx =. Udowodnij nierówno± f (x) dx mm. Zdnie 5. Niech f : [, b] R b dzie funkcj klsy C speªnij c wrunek f() = f(b) =. Udowodnij nierówno± mx f (x) x [,b] 4 (b ) b f(x) dx. Zdnie 6. Oblicz cªk + sin x x dx. Zdnie 7. Niech f : [, b] R b dzie funkcj wypukª. Udowodnij nierówno±ci ( ) + b f b f() + f(b) f(x) dx. b

10 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Wyj±nij, n czym poleg problem z rchunkiem ( ( )) x = rctg dx = x + x dx >. x + ( x ) Zdnie. Wyzncz wszystkie wrto±ci prmetrów, b, c, d, dl których zbie»ne s cªki () (sin x) (ln(+x)) b dx, (b) / ( cos x) dx, (c) (sin(πx)) b x c (tgx) d (x sin x) b (ln x) c / (ln x) dx. Zdnie 3. Niech p, q R. Zbdj zbie»no± cªek () + sin x dx, (b) + sin x dx, (c) + x p x p x p (ln x) q dx. Zdnie 4. Niech f : [, ) R b dzie funkcj ci gª. Zªó»my,»e f(x). Zbdj zbie»no± cªki + sin x x p + f(x) dx. Zdnie 5. Niech P, Q : R R b d wielominmi, przy czym Q(x) > dl x R orz deg Q deg P +. Zªó»my,»e Q posid jedynie pierwistki jednokrotne z, z,..., z n. Udowodnij,»e + P (x) n Q(x) dx = πi sgn(iz k ) P (z k) Q (z k ). k= Zdnie 6. Niech n > m b d liczbmi nturlnymi. Udowodnij równo± + x m + x dx = π n n sin ( m+ π). n Zdnie 7. Niech, b >. Deniujemy funkcje B orz Γ wzormi B(, b) = Udowodnij,»e dl < < mmy x ( x) b dx, Γ() = + e x x dx. Udowodnij równie» równo±ci B(, ) = + x + x dx = π sin π. B(, b) = Γ()Γ(b) π,, b >, Γ()Γ( ) = Γ( + b) sin π, < <.

11 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª o okresie π. Niech x R. Zªó»my,»e istniej stªe L, δ > tkie,»e f(x + t) f(x ) L t dl t δ. Udowodnij,»e szereg Fourier funkcji f jest zbie»ny do f w punkcie x. Zdnie. Funkcj f(x) = π x okre±lon n [, π) przedªu»my okresowo n R. Wyzncz szereg Fourier funkcji f. Dl jkich x Rszereg ten jest zbie»ny do funkcji f? Zdnie 3. Udowodnij,»e dl k»dego x (, π) prwdziw jest równo± π 4 = sin(n + )x. n + Zdnie 4. Niech < α. Zªó»my,»e funkcj f : R R o okresie π speªni wrunek f(x+h) f(x) C h α dl pewnej stlej C >. Udowodnij,»e wspoªczynniki Fourier speªnij n = O(n α ), b n = O(n α ). Zdnie 5. Zªó»my,»e f jest funkcj π-okresow klsy C k. Udowodnij,»e n = o(n k ) orz b n = o(n k ). Zdnie 6. Niech f : R R b dzie cªkowln w sensie Riemnn funkcj okresow o okresie π. Niech s n b ddzie n-t sum cz ±ciow szeregu Fourier funkcji f. Deniujemy Udowodnij,»e orz s n (x) = π +π π σ n (x) = s (x) + s (x) s n (x). n f(x t) sin ( n+t ) sin ( ) dt = t π σ n (x) = +π nt sin f(x t) πn π sin t +π (f(x t) + f(x + t)) sin ( n+t ) sin ( ) dt. t dt = +π nt sin (f(x t) + f(x + t)) πn sin t Zdnie 7. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª o okresie π. Udowodnij nierówno± inf f(x) σ n(x) sup f(x). x [,π] x [,π] Udowodnij,»e je±li σ n (x) sup x [,π] f(x) to f sup x [,π] f(x). Zdnie 8. Niech f : R R b dzie funkcj π-okresow. Zªó»my, ze wspóªczynniki Fourier funkcji f speªnij nierówno±ci n n A i b n n B. Udowodnij nierowno± s n (x) σ n+ (x) A + B. Wywnioskuj st d nierówno± sin x sin x sin nx n π +, n, x R. Zdnie 9. Niech (b n ) n b dzie mlej cym ci giem zbie»nym do. Udowodnij,»e szereg b n sin nx jest jednostjnie zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy n nb n =. Zdnie. Niech (b n ) n b dzie mlej cym ci giem zbie»nym do. Udowodnij,»e szereg b n sin nx jest szeregiem Fourier funkcji ci gªej wtedy i tylko wtedy, gdy n nb n =. dt.

12 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech t >. Udowodnij nierówno±ci Czy stª + te t e x dx, + e x / dx / π e t. t w pierwszej nierówno±ci jest optymln? Zdnie. Udowodnij,»e dl dowolnego n istnieje liczb < θ n < tk,»e ( n ) n θn n! = πn e. e W tym celu udowodnij to»smo± ( ) ( + x ln = x + x 3 x + 5 x ) k + xk +..., x < i wywnioskuj nierówno± e < ( + ) n+ < e + n t n(n+). Nst pnie udowodnij,»e ci g n = n!en jest mlej cy, le ci g n n+/ n e n jest rosn cy. Wywnioskuj st d,»e istnieje stª tk,»e n e n < < n. Nst pnie udowodnij,»e istniej stªe θ n, θ n (, ) tkie,»e i n tej podstwie wyzncz stª. (n)!! n (n )!! = e 4θn θ n 4n Zdnie 3. Niech f : [, b] R b dzie funkcj ci gª speªnij c wrunek b x n f(x) dx = dl n =,,..., N. Udowodnij,»e f m przynjmniej N + miejsc zerowych w przedzile [, b]. Zdnie 4. Niech f : [, ] R b dzie funkcj nierosn c. Udowodnij,»e dl k»dego θ [, ] prwdziw jest nierówno± θ f(x) dx θ f(x) dx. Zdnie 5. Niech g : [, ] R b dzie funkcj ci gª tk,»e istnieje sko«czon grnic g(x) x +. x Udowodnij,»e dl k»dej funkcji f : [, ] R klsy C prwdziw jest równo± Zdnie 6. Niech >. Wyzncz grnice n f(x)g(x n ) dx = f() n n x n n + x dx, n g(x) x dx. n x n dx. n + xn Zdnie 7. Niech f b dzie ±ci±le rosn c funkcj klsy C okre±lon n przedzile [, c] i niech f() =. Dl dowolnych liczb [, c] orz b [, f(c)] udowodnij nierówno± f(x) dx + b f (x) dx b.

13 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri, P. Nyr, /3 W poni»szych zdniech f n ozncz zwsze n-krotne zªo»enie funkcji f, czyli f n = f f... f. Przyjmujemy równie» f = f. Zdnie ( pkt). Niech f : [, ) R b dzie funkcj wypukª. Rozstrzygnij, czy zwsze prwdziw jest nierówno± f( + b) + f() f() + f(b),, b. Zdnie (3 pkt). Niech f : R R b dzie funkcj ci gª. Przypu± my,»e dl k»dego x R istnieje liczb nturln n(x) tk,»e f n(x) (x) = x. Udowodnij,»e f (x) = x dl wszystkich x R. Zdnie 3 (3 pkt). Niech f : R R b dzie funkcj ci gª. Przypu± my,»e istnieje n tkie,»e f n jest funkcj ogrniczon. Udowodnij,»e f jest funkcj ogrniczon. Zdnie 4. Niech, b >. Dl c (, ] Rozw»my elips E c = {(x, y) R } x + y b = c. Wyzncz dist(e, E c ). Zdnie 5 (5 pkt, ). Niech f : (, ) R b dzie funkcj wypukª. Czy f musi by funkcj ci gª?

14 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Niech f : R R b dzie funkcj ró»niczkowln i niech f() =. Przypu± my,»e f(x) + f (x) dl x R. Udowodnij,»e f() e. Czy to oszcownie jest optymlne? Zdnie (3 pkt). Niech x,..., x n b d liczbmi nturlnymi speªnij cymi wrunek n i= x i =. Udowodnij nierówno± Czy stª / e jest optymln? cos(x ) cos(x )... cos(x n ) < e. Zdnie 3 (3 pkt). Niech f : [, b] R b dzie funkcj ci gª, ró»niczkowln n (, b). Udowodnij,»e istnieje c (, b) tkie,»e c < f (c) < b c. Zdnie 4 (5 pkt). Udowodnij,»e dl x (, π) i n prwdziw jest nierówno± n sin kx >. k k= Zdnie 5 (5 pkt, ). Liczby dodtnie p,..., p n i q,..., q n speªnij wrunek n i= p i = n i= q i. Udowodnij nierówno± n n p i ln p i p i ln q i. i= i= Zdnie 6 (3 pkt). Dl x [, ] udowodnij nierówno± sin πx 4x( x).

15 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª trzykrotnie ró»niczkowln. Zªó»my,»e f() = f () = f () = f () = f () = orz f() =. Udowodnij,»e istnieje c (, ) tkie,»e f (c) 4. Zdnie (3 pkt). Niech f : R (, ) b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowln. Rozstrzygnij, czy zwsze istnieje punkt x R tki,»e f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ). Zdnie 3 (4 pkt). Niech P : [, ] [, ] b dzie wielominem stopni n. Udowodnij,»e P (x) n dl x [, ]. Zdnie 4 (4 pkt). Niech f : R R b dzie funkcj klsy C. Przypu± my,»e dl k»dego x R istnieje liczb nturln n(x) tk,»e f (n(x)) (x) =. Czy funkcj f musi by wielominem? Zdnie 5 (5 pkt, ). Udowodnij nierówno± tg(sin x) > sin(tg x), x (, π/). Zdnie 6 (4 pkt). Niech,..., n, b,..., b n b d liczbmi rzeczywistymi dodtnimi. Rozstrzygnij, czy funkcj f(x) = n k cos(b k x) k= musi mie miejsce zerowe.

16 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 4, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Dl n deniujemy funkcje f n : [, ) R wzormi f n (x) = { ( x n) n x [, n] x > n. Czy ci g funkcyjny (f n ) n jest zbie»ny jednostjnie n [, )? Zdnie (5 pkt, ). Zbdj jednostjn zbie»no± n R ci gu funkcyjnego (f n ) n, gdzie ( π ) f n (x) = x rctg(nx). Zdnie 3 (4 pkt). Niech J I R b d przedziªmi domkni tymi. Niech I orz J oznczj dªugo±ci tych przedziªów. Niech P b dzie wielominem stopni d. Udowodnij nierówno± ( I sup P (x) T d x I J gdzie T d jest wielominem Czebyszew stopni d. ) sup P (x), x J Zdnie 4 (4 pkt). Niech ( n ) n b dzie dowolnym ci giem liczb rzeczywistych. Czy zwsze istnieje funkcj klsy C (R) tk,»e f (n) () = n? Zdnie 5 (3 pkt). Niech f n : R R b d funkcjmi ci gªymi zbie»nymi punktowo do funkcji f : R R, czyli f(x) = n f n (x). Czy funkcj f musi mie punkt ci gªo±ci? Zdnie 6 (3 pkt). Przypu± my,»e ci g f n : [, ] R speªni n f n (x) = dl k»dego x [, ]. Czy musi istnie przedziª I [, ] tki,»e ci g (f n ) jest bie»ny jednostjnie n I?

17 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 5, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Przypu± my,»e szereg n jest zbie»ny. Czy funkcj f(x) = x n jest gªdk n zbiorze R\{,,...}? Zdnie (3 pkt). Wyzncz punkty ró»niczkowlno±ci funkcji e n x p dl p =,. n Zdnie 3 ( pkt). Czy szereg n= ( )n jest sumowlny metod Abel? Czy szereg ten jest sumowlny metod Cesro? Zdnie 4 ( pkt). Czy szereg ( )n+ n jest sumowlny metod Abel? Czy szereg ten jest sumowlny metod Cesro? Zdnie 5 ( pkt). Niech n= n b dzie szeregiem zbie»nym i niech A k = k n= n. Udowodnij,»e x e x x n A n n! = n. n= n= Zdnie 6 (3 pkt). Wyzncz grnic x ( ) n x n. n= Zdnie 7 (5 pkt, ). Wyzncz sum uogólnion w sensie Cesro i w sensie Abel szeregu sin(nx). Zdnie 8 (5 pkt). Zªó»my,»e szereg n sin nx jest zbie»ny dl k»dego x R. Zªó»my pondto,»e funkcj f(x) = n sin nx jest funkcj stª. Czy wynik st d,»e n = dl wszystkich n? Zdnie 9 (5 pkt). Zbdj zbie»no± jednostjn n przedzile [, ] szeregu x n ( + x n ) n.

18 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 6, P. Nyr, /3 Zdnie (4 pkt). Niech α > i niech f : (, ) R b dzie zdn wzorem cos(πnx) f(x) =. n α Wyzncz wszystkie wrto±ci k, dl których f C k ((, )). Zdnie (3 pkt). Niech n, m b d liczbmi nturlnymi. Udowodnij równo± n xm dx = m xn dx. Zdnie 3 (4 pkt). Udowodnij równo± n := n! π x n (π x) n sin x dx = n k n ( ) k+n n! (n k)! πn k. Udowodnij,»e dl k»dej liczby cªkowitej q mmy n q n n =. Wywnioskuj st d,»e π jest liczb niewymiern. Zdnie 4 (3 pkt). Niech C [, ] b dzie stndrdowym zbiorem Cntor. Deniujemy funkcj f : [, ] R wzorem { x C f(x) = x / C. Czy funkcj t jest cªkowln w sensie Riemnn? Zdnie 5 (3 pkt). Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª. () Czy z równo±ci f(x)xn dx = speªnionej dl wszystkich liczb nturlnych n wynik,»e f? (b) Czy z równo±ci f(x)xn dx = speªnionej dl wszystkich liczb nturlnych n wynik,»e f jest funkcj nieprzyst? Zdnie 6 (4 pkt). Zªó»my,»e f : R R jest funkcj klsy C, speªnij c wrunek f() = f() =. Udowodnij nierówno± f (x) 4 dx 9 f(x)f (x) dx. Zdnie 7 (5 pkt, ). Niech f : [, ] [, ] b dzie funkcj niemlej c. Udowodnij nierówno± f(x) dx xf(x) dx.

19 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 7, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª. Udowodnij równo± n x n f(x) dx = f(). n Zdnie (4 pkt). Wyzncz liczb r > speªnij c zle»no± + dx =. ( + x r ) r Zdnie 3 (3+4 pkt). () Niech f : R R b dzie funkcj ró»niczkowln. Zªó»my pondto,»e f jest cªkowln w sensie Riemnn n [, ]. Udowodnij równo± ( n ( ) ) k f n f(x) dx = f (x) dx. n n k= (b) Niech f : R R b dzie funkcj gªdk i niech k b dzie liczb nturln. Udowodnij,»e istniej liczby rzeczywiste,..., k zle» ce od funkcji f tkie,»e n f n l= ( ) l = + n n + n ( ) k n + O k n k+ i wyzncz liczby,..., k. Co mo»n powiedzie o tych liczbch, je±li f jest funkcj - okresow? Zdnie 4 (4 pkt). Niech f : [, ] R b dzie funkcj cªkowln w sensie Riemnn speªnij c wrunek f(x) x dl x [, ]. Udowodnij nierówno± ( f(x) Czy stª po prwej stronie jest optymln? ) f(t) dt dx 5(3 5). 4 Zdnie 5 (5 pkt, ). Niech f, g : R R b d funkcjmi ci gªymi. Zªó»my,»e g jest funkcj -okresow. Udowodnij równo± ( ) ( ) f(x)g(nx) dx = f(x) dx g(x) dx. n

20 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 8, P. Nyr, /3 Zdnie (4 pkt). Niech f : [, ] (, ) b dzie funkcj ci gª. Deniujemy ( ) ( ) Φ(f) = f(x) ln f(x) dx f(x) dx ln f(x) dx. Udowodnij,»e { } Φ(f) = sup f(x)g(x) dx e g(x) dx, g C([, ]). Wskzówk. Udowodnij,»e dl u > i v R mmy uv u ln u u + e v. Zdnie (5 pkt). Niech f, g : [, ] R bed funkcjmi ci gªymi speªnij cymi wrunek f(x) dx = g(x) dx =. Udowodnij,»e istnieje przedziª I [, ] tki,»e f(x) dx = g(x) dx =. I Zdnie 3 (4 pkt). Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª speªnij c wrunek Udowodnij nierówno± f (x) dx 4. f(x) dx = I xf(x) dx =. Zdnie 4 (6 pkt). Niech f : R R b dzie wielominem. Deniujemy f = + f(x)e x / dx. π Udowodnij,»e powy»sz cªk jest zbie»n. Dl n deniujemy H n = ( ) n e x / d n ( e x / dx n Udowodnij,»e H n H m = n!δ n,m. Udowodnij równie»,»e dl dowolnego wielominu f prwdziw jest nierówno± f f (f ). ). Udowodnij,»e je±li f jest funkcj przyst, to f f (f ). Czy powy»sze nierówno±ci s prwdziwe dl dowolnej funkcji ci gªej o zwrtym no±niku? Zdnie 5 (4 pkt). Niech f, g : [, ] R b d funkcjmi wkl sªymi speªnij cymi wrunek f() = g() = f() = g() = orz f(x) g(x) dl x [, ]. Rozstrzygnij, czy prwdziw jest nierówno± + f (x) dx + g (x) dx. Uwg! Nie m pisemnego.

21 Anliz Mtemtyczn I. Zdni domowe, seri 9, P. Nyr, /3 Zdnie (3 pkt). Oblicz + dx + x + x 4 + x 6. Zdnie (, 5 pkt). Zbdj zbie»no± cªek () + sin(x α ) dx, α R, (b) sin(xα ) dx, α R, (c) + sin x dx, α [, ), (d) π e (sin x)α dx, α >. x+x α sin x e e cos x Zdnie 3 (3 pkt). Oblicz funkcj pierwotn dx sin 4 x + cos 4 x. Zdnie 4 (3 pkt). Wyzncz rozwini cie w szereg Fourier funkcji f : [ π, π) R zdnej wzorem f(x) = e x, rozszerzonej n R do funkcji π-okresowej. W jkich punktch szereg Fourier funkcji f jest zbie»ny do f? Zdnie 5 (3 pkt). Rozwi«w szereg Fourier funkcj { ln sin( x) x kπ, f(x) = x = kπ. Zdnie 6 (3+3 pkt). () Niech (B n ) n= b dzie ci giem zdnym równnimi rekurencyjnymi, n ( ) n + B k =, B =. k k= Zdeniujmy funkcj { x e x x x =. Udowodnij,»e B n = f (n) (). (b) Wyzncz wszystkie x R, dl których prwdziw jest równo± f(x) = n= B n n! xn.

22 Zdni treningowe z Am.. Piotr Nyr, czerwc 3 Zdnie. Udowodnij,»e funkcj f(x) = ( x ) n sin n jest klsy C (R). Czy f jest funkcj okresow? Zdnie. Niech f : R R b dzie funkcj ci gª π-okresow. Udowodnij równo± f() + f() f(n) n n = π π f(t) dt. Wskzówk. Pok» njpierw tez dl funkcji f k (t) = e πik, k Z. Zdnie 3. () Niech R i b [, ]. Udowodnij nierówno± + b b. (b) Niech f : [, ] R b dzie funkcj klsy C. Przypu± my,»e dªugo± wykresu funkcji f jest równ wrto±ci funkcji f w punkcie. Udowodnij,»e f(x) dx π/4. Dl jkiej funkcji w powy»szej nierówno±ci zchodzi równo±? Zdnie 4. Niech f : R R b dzie funkcj klsy C. Zªó»my,»e dl wszystkich n mmy f( ) = n orz f (n) (x) dl k»dego x R. Udowodnij,»e f jest funkcj stª. Czy tez jest prwdziw bez zªo»eni f (n) (x) dl x R? Czy ) = dl n? tez jest prwdziw bez zªo»eni f( n

23 Zdnie 5. Niech n. Zªó»my,»e funkcj f : R R jest funkcj ogrniczon klsy C n i f (n) jest lipschitzowsk. Udowodnij,»e funkcje f, f,..., f (n) s ogrniczone. Zdnie 6. Udowodnij nierówno± (sin x) sin x (cos x) cos x, x [, π/4]. Zdnie 7. Niech f : (, ) R. Udowodnij,»e funkcj xf(x) jest wypukª wtedy i tylko wtedy gdy wypukª jest funkcj f(/x). Zdnie 8. Niech f : [, ] [, ] b dzie rosn c funkcj wkl sª speªnij c f() = i f() =. Udowodnij nierówno± f(x)f (x) x dl x [, ]. Zdnie 9. Zªó»my,»e p, q s liczbmi wzgl dnie pierwszymi. Udowodnij równo± ( {px} ) ( {qx} ) dx = pq. Zdnie. Niech f : [, ] R b dzie funkcj ci gª. Zªó»my,»e xk f(x) dx = dl k =,,..., n orz xn f(x) dx =. Udowodnij,»e istnieje punkt x [, ] tki,»e f(x ) n (n + ).