Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka matematyczna - ZSTA LMO"

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28

2 Kontakt Dr Šukasz Smaga Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Zakªad Rachunku Prawdopodobie«stwa i Statystyki Matematycznej Pokój: B4-8, ul. Umultowska 87, Pozna« ls@amu.edu.pl Tel.: Strona internetowa: Dy»ury: wtorki godz. 12:00-13:00, ±rody godz. 12:30-13:30 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 2 / 28

3 Zasady zaliczenia Egzamin b dzie obejmowaª caªo± materiaªu omawianego na wykªadach. Odb dzie si on w wyznaczonym terminie po zako«czeniu zaj. Aby zda egzamin nale»y uzyska przynajmniej poªow liczby punktów mo»liwych do zdobycia. Zadania egzaminacyjne b d dotyczyªy podania denicji, twierdze«, wªasno±ci oraz przykªadów, a tak»e przeprowadzenia wybranych dowodów. Ocena ko«cowa z egzaminu b dzie wystawiana na bazie sumy uzyskanych punktów z egzaminu oraz kolokwium z wicze«(patrz poni»ej). Oczywi±cie, aby przyst pi do egzaminu nale»y wcze±niej zaliczy wiczenia. wiczenia zostan zaliczone na stopie«. W celu ich zaliczenia student zobowi zany jest: 1 uczestniczy w zaj ciach, tj. dopuszczalna jest co najwy»ej jedna nieusprawiedliwiona nieobecno± na wiczeniach, 2 zaliczy kolokwium, które b dzie obejmowaªo caªo± materiaªu omawianego na wiczeniach. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 3 / 28

4 Plan wykªadu 1 Efektywno± estymatorów nieobci»onych 2 Estymatory zgodne 3 Przydziaªy ufno±ci dla du»ych prób 4 Testy ilorazu wiarogodno±ci dla dwóch prób prostych 5 Graniczne wªasno±ci testu ilorazu wiarogodno±ci 6 Nieparametryczne testy zgodno±ci i jednorodno±ci 7 Testy nieparametryczne - znakowanie i rangowanie Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 4 / 28

5 Literatura - wykªad Wykªad: 1 M. Krzy±ko (2004) Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM. 2 R. Zieli«ski (2004) Siedem wykªadów wprowadzaj cych do statystyki matematycznej, PWN. 3 R. Magiera (2005, 2007) Modele i metody statystyki matematycznej. Cz ± 1: Rozkªady i symulacja stochastyczna. Cz ± 2: Wnioskowanie statystyczne, Ocyna Wydawnicza GiS. wiczenia: 1 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski (1999) Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz ± 2: Statystyka matematyczna, PWN. 2 W. Woªy«ski (2008) Prawdopodobie«stwo i statystyka. Zadania z egzaminów dla aktuariuszy z rozwi zaniami ( ), Wydawnictwo Naukowe UAM. 3 A. Jokiel-Rokita, R. Magiera (2005) Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, Ocyna Wydawnicza GiS. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 5 / 28

6 Wykªad 1 - zagadnienia estymacja punktowa - powtórka warunki regularno±ci Cramera-Rao ilo± informacji Fishera nierówno± Cramera-Rao efektywno± estymatorów nieobci»onych zbie»no± wedªug prawdopodobie«stwa - powtórka zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden - powtórka estymatory zgodne Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 6 / 28

7 Próba prosta Niech badana cecha populacji X ma rozkªad P θ nale» cy do rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa P = {P θ : θ Θ}. O obserwacjach X 1, X 2,..., X n zakªadamy,»e s niezale»nymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkªadzie co badana cecha populacji X. Wówczas prób X = (X 1, X 2,..., X n ) nazywa b dziemy prób prost z populacji o rozkªadzie P θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 7 / 28

8 Estymacja punktowa Niech g(θ) R b dzie funkcj parametryczn. Denicja 1 Ka»d statystyk T (X), o warto±ciach w zbiorze g(θ), nazywamy estymatorem funkcji parametrycznej g(θ) (ozn. ĝ(x)). Statystyk ĝ(x) nazywamy estymatorem nieobci»onym (EN) funkcji parametrycznej g(θ), gdy θ Θ : E θ (ĝ(x)) = g(θ). Dla danej funkcji parametrycznej g(θ) zbiór estymatorów nieobci»onych tej funkcji mo»e by pusty. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 8 / 28

9 Estymacja punktowa - estymatory nieobci»one o minimalnej wariancji Denicja 2 Niech A b dzie niepustym zbiorem estymatorów nieobci»onych funkcji parametrycznej g(θ), maj cych sko«czon wariancj (dla dowolnego θ Θ). Statystyk ĝ A nazywamy estymatorem nieobci»onym o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji parametrycznej g(θ), gdy ĝ A θ Θ : Var θ (ĝ ) Var θ (ĝ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 9 / 28

10 Estymacja punktowa - metoda najwi kszej wiarogodno±ci Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób z populacji o rozkªadzie P θ nale-» cym do rodziny P = {P θ : θ Θ R d }. Ponadto, niech rozkªady P θ z rodziny P opisane b d za pomoc funkcji prawdopodobie«stwa (g sto±ci) p θ. Denicja 3 Funkcj L okre±lon wzorem L(θ; x) = p θ (x) nazywamy funkcj wiarogodno±ci. Estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci (ENW) parametru θ nazywamy statystyk ˆθ(X), speªniaj c warunek ) x X : L (ˆθ(x); x = sup L(θ; x). θ Θ Funkcja wiarogodno±ci jest funkcj parametru θ, natomiast dane x s ustalone (zaznaczamy to pisz c x jako argument funkcji L po ±redniku). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 10 / 28

11 Estymacja punktowa - metoda najwi kszej wiarogodno±ci Uwaga 1 1 Dla danego parametru θ, ENW mo»e nie istnie lub mo»e by wyznaczony niejednoznacznie. 2 Przyjmujemy,»e estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci funkcji parametrycznej g(θ) jest statystyka g(ˆθ(x)), gdzie ˆθ(X) = ENW (θ). 3 Zazwyczaj, podczas wyznaczania ENW, wygodniej jest operowa funkcj ln L ni» funkcj L. 4 W przypadku próby prostej L(θ; x) = p θ (x) = n p θ (x i ), gdzie p θ (x) jest funkcj prawdopodobie«stwa (g sto±ci) cechy X oraz x = (x 1, x 2,..., x n ) jest wektorem zawieraj cym dane. i=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 11 / 28

12 Warunki regularno±ci Cramera-Rao Mówimy,»e rodzina rozkªadów P = {P θ : θ Θ R d } na przestrzeni próby X R n speªnia warunki regularno±ci Cramera-Rao, gdy dla ka»dej g sto±ci f θ rozkªadu P θ P speªnione s warunki: 1 Zbiór A = {x X : f θ (x) > 0} nie zale»y od parametru θ oraz dla dowolnych x A i θ Θ istnieje sko«czona pochodna ln f θ (x). θ 2 Je»eli T jest dowoln statystyk tak,»e E θ ( T ) < dla dowolnego θ Θ, to T (x)f θ (x)dx = T (x) θ A A θ f θ(x)dx. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 12 / 28

13 Ilo± informacji Fishera Denicja 4 Funkcj I n (θ) parametru θ dan wzorem [ ( ) ] 2 I n (θ) = E θ θ ln f θ (X) nazywamy ilo±ci informacji Fishera o parametrze θ z próby X. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 13 / 28

14 Ilo± informacji Fishera Lemat 1 Zaªó»my,»e X jest prób prost z populacji o rozkªadzie P θ. 1 Wówczas I n (θ) = ni 1 (θ). 2 Ponadto, niech dla dowolnych x A i θ Θ istnieje sko«czona pochodna 2 ln f θ (x) oraz θ θ 2 f θ (x)dx = X X θ 2 f θ(x)dx. Wtedy [ ] I n (θ) = E θ 2 θ 2 ln f θ (X). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 14 / 28

15 Ilo± informacji Fishera Przykªad 1 Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób prost z populacji o rozkªadzie Rayleigha R(λ), gdzie λ > 0 jest parametrem. Wtedy ilo± informacji Fishera o parametrze λ z próby X wynosi I n (λ) = n λ 2. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 15 / 28

16 Nierówno± Cramera-Rao Twierdzenie 1 (nierówno± Cramera-Rao) Niech ĝ(x) b dzie estymatorem nieobci»onym o sko«czonej wariancji funkcji parametrycznej g(θ) oraz niech 0 < I n (θ) <. Wówczas θ Θ : Var θ [ĝ(x)] [g (θ)] 2 I n (θ). Ponadto równo± w powy»szej nierówno±ci zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy θ ln f θ(x) = k(θ)[ĝ(x) g(θ)], gdzie k(θ) = g (θ) Var θ [ĝ(x)]. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 16 / 28

17 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Wniosek 1 Estymator nieobci»ony ĝ(x) funkcji parametrycznej g(θ), dla którego θ Θ : Var θ [ĝ(x)] = [g (θ)] 2 I n (θ) (1) jest estymatorem nieobci»onym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej g(θ). Denicja 5 Estymator nieobci»ony ĝ(x) funkcji parametrycznej g(θ), dla którego zachodzi równo± (1) nazywamy estymatorem efektywnym w sensie Cramera- Rao funkcji parametrycznej g(θ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 17 / 28

18 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Denicja 6 Efektywno±ci estymatora nieobci»onego ĝ(x) o sko«czonej wariancji funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy liczb e(ĝ(x)) = [g (θ)] 2 (0, 1]. Var θ [ĝ(x)]i n (θ) Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 18 / 28

19 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Przykªad 2 (ci g dalszy przykªadu 1) Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób prost z populacji o rozkªadzie Rayleigha R(λ), gdzie λ > 0 jest parametrem. 1 Estymator nieobci»ony funkcji parametrycznej g 1 (λ) = λ postaci ĝ 1 (X) = 1 n n i=1 X 2 i jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao tej funkcji. 2 Estymator nieobci»ony funkcji parametrycznej g 2 (λ) = λ ln 2 postaci ĝ 2 (X) = 2 ln 2 π X nie jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao tej funkcji parametrycznej. Ponadto, e (ĝ 2 (X)) 91%. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 19 / 28

20 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Twierdzenie 2 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób prost z populacji o rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem. Ponadto niech rodzina rozkªadów badanej cechy populacji speªnia warunki regularno±ci Cramera-Rao. Wówczas, je»eli ˆθ(X) jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao parametru θ, to ˆθ(X) jest estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 20 / 28

21 Zbie»no± wedªug prawdopodobie«stwa Denicja 7 Ci g zmiennych losowych (X n ) jest zbie»ny wedªug prawdopodobie«stwa do P zmiennej losowej X (ozn. X n X ), gdy Lemat 2 ɛ > 0 : lim n P ( X n X ɛ) = 0. Niech X n P X, Yn P Y oraz niech h b dzie funkcj ci gª. Wówczas 1 dla dowolnych a, b R: ax n + by n P ax + by, 2 X n Y n P XY, 3 h(x n ) P h(x ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 21 / 28

22 Zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden Denicja 8 Ci g zmiennych losowych (X n ) jest zbie»ny do zmiennej losowej X z prawdopodobie«stwem jeden (prawie na pewno, prawie wsz dzie, prawie zawsze, 1 ozn. X n X ), gdy P({ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)}) = 1. Dla zbie»no±ci z prawdopodobie«stwem jeden zachodz takie same wªasno±ci jak dla zbie»no±ci wedªug prawdopodobie«stwa podane w Lemacie 2. Lemat 3 Je»eli X n 1 X, to Xn P X. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 22 / 28

23 Estymatory zgodne Denicja 9 Estymator ĝ n (X) (a dokªadniej ci g estymatorów (ĝ n (X))) funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy (sªabo) zgodnym, gdy ci g (ĝ n (X)) jest zbie»ny wedªug prawdopodobie«stwa do g(θ), tzn. Denicja 10 θ Θ ɛ > 0 : lim n P θ ( ĝ n (X) g(θ) ɛ) = 0. Estymator ĝ n (X) (a dokªadniej ci g estymatorów (ĝ n (X))) funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy (mocno) zgodnym, gdy ci g (ĝ n (X)) jest zbie»ny z prawdopodobie«stwem jeden do g(θ), tzn. ( ) θ Θ : P θ lim n ĝn (X) = g(θ) = 1. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 23 / 28

24 Estymatory zgodne Twierdzenie 3 (prawo wielkich liczb Chinczyna) Niech (ξ n ) b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie prawdopodobie«stwa i niech E(ξ n ) = a. Wówczas ci g (ξ n ) speªnia sªabe prawo wielkich liczb, tzn. 1 n n P ξ k a. k=1 Twierdzenie 4 (mocne prawo wielkich liczb Koªmogorowa) Niech (ξ n ) b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie prawdopodobie«stwa i niech E(ξ n ) = a. Wówczas ci g (ξ n ) speªnia mocne prawo wielkich liczb, tzn. 1 n n 1 ξ k a. k=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 24 / 28

25 Estymatory zgodne Przykªad 3 Zaªó»my,»e badana cecha X populacji ma rozkªad normalny N(µ, σ 2 ), gdzie µ i σ 2 s parametrami. Ponadto, niech X = (X 1, X 2,..., X n ), n > 1 b dzie prób z tej populacji. Estymatorem (mocno) zgodnym funkcji parametrycznej g 1 (µ, σ 2 ) = µ jest statystyka ĝ 1 (X) = X n = 1 n n X i, i=1 a funkcji g 2 (µ, σ 2 ) = σ 2 statystyka ĝ 2 (X) = S 2 = 1 n 1 n (X i X n ) 2. i=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 25 / 28

26 Estymatory zgodne Twierdzenie 5 Niech ĝ n (X) b dzie estymatorem nieobci»onym funkcji parametrycznej g(θ) takim,»e θ Θ : Var θ (ĝ n (X)) 0, przy n. Wówczas ĝ n (X) jest (sªabo) zgodnym estymatorem funkcji parametrycznej g(θ). Lemat 4 (nierówno± Czebyszewa) Je»eli X jest zmienn losow o warto±ci oczekiwanej µ i sko«czonej wariancji σ 2, to ɛ > 0 : P( X µ ɛ) Var(X ) ɛ 2. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 26 / 28

27 Estymatory zgodne Twierdzenie 6 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem. Estymator nieobci»ony o minimalnej wariancji ĝ n (X) funkcji parametrycznej g(θ) jest estymatorem (sªabo) zgodnym tej funkcji parametrycznej. Twierdzenie 7 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem oraz zbiór {x : f θ (x) > 0} nie zale»y od parametru θ. Je»eli estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru θ jest wyznaczony jednoznacznie, to jest on (mocno) zgodnym estymatorem parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 27 / 28

28 Estymatory zgodne Przykªad 4 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie jednostajnym U(0, θ), gdzie θ jest parametrem. Z twierdzenia 6 wynika,»e estymator nieobci»ony o minimalnej wariancji parametru θ postaci n + 1 n max{x 1, X 2,..., X n } jest estymatorem zgodnym parametru θ. wiarogodno±ci parametru θ postaci Ponadto, estymator najwi kszej max{x 1, X 2,..., X n } jest równie» estymatorem zgodnym parametru θ. Nie wynika to jednak z twierdzenia 7, poniewa» zbiór {x : f θ (x) > 0} = (0, θ), wi c zale»y on od parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 28 / 28

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie

Bardziej szczegółowo

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu) Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE i MIESZANE

MODELE LINIOWE i MIESZANE MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody

Bardziej szczegółowo

Stacjonarne szeregi czasowe

Stacjonarne szeregi czasowe e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka

Elementarna statystyka Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA STOSOWANA Nazwa w języku angielskim APPLIED STATISTICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Metody probablistyczne i statystyka stosowana Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna 2015/2016

Statystyka matematyczna 2015/2016 Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek; EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª

Bardziej szczegółowo

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

1.1 Statystyka matematyczna Literatura Model statystyczny Preliminaria... 3

1.1 Statystyka matematyczna Literatura Model statystyczny Preliminaria... 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Statystyka matematyczna...................... 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Model statystyczny......................... 2 1.4 Preliminaria.............................

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka

Elementarna statystyka Elementarna statystyka Alexander Bendikov 28 marca 2017 Rozkªady dwumianowe Denicja Zaªó»my,»e wykonujemy n niezale»nych eksperymentów, których rezultatem mo»e by albo sukces z prawdopodobie«stwem p albo

Bardziej szczegółowo

Sztuczna inteligencja Lista zada«

Sztuczna inteligencja Lista zada« Sztuczna inteligencja Lista zada«informatyka, WPPT PWr Wrocªaw 2016 / 2017 1 Powtórka z rachunku prawdopodobie«stwa Zad. 1 Zdeniuj przestrze«probabilistyczn. Zad. 2 Przypomnij denicj zdarze«rozª cznych.

Bardziej szczegółowo

Na podstawie dokonanych obserwacji:

Na podstawie dokonanych obserwacji: PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

Andrzej D browski. Analiza danych jako±ciowych

Andrzej D browski. Analiza danych jako±ciowych Andrzej D browski Analiza danych jako±ciowych 1 0.1. Wst p Table 1. Typy analizy wielowymiarowej statystycznej typ argumentu kategoryczny ilo±ciowy mieszany odpowiedzi kategoryczny tablice kontyngencji,

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Tablice wzorów z probabilistyki

Tablice wzorów z probabilistyki Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo Optimization

Monte Carlo Optimization Monte Carlo Optimization Seminarium szkoleniowe Eliza Bujnowska 28 lutego 2006 Eliza Bujnowska () Monte Carlo Optimization 28 lutego 2006 1 / 38 Zagadnienia optymalizacji metod Monte Carlo Przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku

Bardziej szczegółowo