Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
|
|
- Wiktoria Jastrzębska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28
2 Kontakt Dr Šukasz Smaga Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Zakªad Rachunku Prawdopodobie«stwa i Statystyki Matematycznej Pokój: B4-8, ul. Umultowska 87, Pozna« ls@amu.edu.pl Tel.: Strona internetowa: Dy»ury: wtorki godz. 12:00-13:00, ±rody godz. 12:30-13:30 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 2 / 28
3 Zasady zaliczenia Egzamin b dzie obejmowaª caªo± materiaªu omawianego na wykªadach. Odb dzie si on w wyznaczonym terminie po zako«czeniu zaj. Aby zda egzamin nale»y uzyska przynajmniej poªow liczby punktów mo»liwych do zdobycia. Zadania egzaminacyjne b d dotyczyªy podania denicji, twierdze«, wªasno±ci oraz przykªadów, a tak»e przeprowadzenia wybranych dowodów. Ocena ko«cowa z egzaminu b dzie wystawiana na bazie sumy uzyskanych punktów z egzaminu oraz kolokwium z wicze«(patrz poni»ej). Oczywi±cie, aby przyst pi do egzaminu nale»y wcze±niej zaliczy wiczenia. wiczenia zostan zaliczone na stopie«. W celu ich zaliczenia student zobowi zany jest: 1 uczestniczy w zaj ciach, tj. dopuszczalna jest co najwy»ej jedna nieusprawiedliwiona nieobecno± na wiczeniach, 2 zaliczy kolokwium, które b dzie obejmowaªo caªo± materiaªu omawianego na wiczeniach. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 3 / 28
4 Plan wykªadu 1 Efektywno± estymatorów nieobci»onych 2 Estymatory zgodne 3 Przydziaªy ufno±ci dla du»ych prób 4 Testy ilorazu wiarogodno±ci dla dwóch prób prostych 5 Graniczne wªasno±ci testu ilorazu wiarogodno±ci 6 Nieparametryczne testy zgodno±ci i jednorodno±ci 7 Testy nieparametryczne - znakowanie i rangowanie Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 4 / 28
5 Literatura - wykªad Wykªad: 1 M. Krzy±ko (2004) Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM. 2 R. Zieli«ski (2004) Siedem wykªadów wprowadzaj cych do statystyki matematycznej, PWN. 3 R. Magiera (2005, 2007) Modele i metody statystyki matematycznej. Cz ± 1: Rozkªady i symulacja stochastyczna. Cz ± 2: Wnioskowanie statystyczne, Ocyna Wydawnicza GiS. wiczenia: 1 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski (1999) Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz ± 2: Statystyka matematyczna, PWN. 2 W. Woªy«ski (2008) Prawdopodobie«stwo i statystyka. Zadania z egzaminów dla aktuariuszy z rozwi zaniami ( ), Wydawnictwo Naukowe UAM. 3 A. Jokiel-Rokita, R. Magiera (2005) Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, Ocyna Wydawnicza GiS. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 5 / 28
6 Wykªad 1 - zagadnienia estymacja punktowa - powtórka warunki regularno±ci Cramera-Rao ilo± informacji Fishera nierówno± Cramera-Rao efektywno± estymatorów nieobci»onych zbie»no± wedªug prawdopodobie«stwa - powtórka zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden - powtórka estymatory zgodne Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 6 / 28
7 Próba prosta Niech badana cecha populacji X ma rozkªad P θ nale» cy do rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa P = {P θ : θ Θ}. O obserwacjach X 1, X 2,..., X n zakªadamy,»e s niezale»nymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkªadzie co badana cecha populacji X. Wówczas prób X = (X 1, X 2,..., X n ) nazywa b dziemy prób prost z populacji o rozkªadzie P θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 7 / 28
8 Estymacja punktowa Niech g(θ) R b dzie funkcj parametryczn. Denicja 1 Ka»d statystyk T (X), o warto±ciach w zbiorze g(θ), nazywamy estymatorem funkcji parametrycznej g(θ) (ozn. ĝ(x)). Statystyk ĝ(x) nazywamy estymatorem nieobci»onym (EN) funkcji parametrycznej g(θ), gdy θ Θ : E θ (ĝ(x)) = g(θ). Dla danej funkcji parametrycznej g(θ) zbiór estymatorów nieobci»onych tej funkcji mo»e by pusty. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 8 / 28
9 Estymacja punktowa - estymatory nieobci»one o minimalnej wariancji Denicja 2 Niech A b dzie niepustym zbiorem estymatorów nieobci»onych funkcji parametrycznej g(θ), maj cych sko«czon wariancj (dla dowolnego θ Θ). Statystyk ĝ A nazywamy estymatorem nieobci»onym o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji parametrycznej g(θ), gdy ĝ A θ Θ : Var θ (ĝ ) Var θ (ĝ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 9 / 28
10 Estymacja punktowa - metoda najwi kszej wiarogodno±ci Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób z populacji o rozkªadzie P θ nale-» cym do rodziny P = {P θ : θ Θ R d }. Ponadto, niech rozkªady P θ z rodziny P opisane b d za pomoc funkcji prawdopodobie«stwa (g sto±ci) p θ. Denicja 3 Funkcj L okre±lon wzorem L(θ; x) = p θ (x) nazywamy funkcj wiarogodno±ci. Estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci (ENW) parametru θ nazywamy statystyk ˆθ(X), speªniaj c warunek ) x X : L (ˆθ(x); x = sup L(θ; x). θ Θ Funkcja wiarogodno±ci jest funkcj parametru θ, natomiast dane x s ustalone (zaznaczamy to pisz c x jako argument funkcji L po ±redniku). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 10 / 28
11 Estymacja punktowa - metoda najwi kszej wiarogodno±ci Uwaga 1 1 Dla danego parametru θ, ENW mo»e nie istnie lub mo»e by wyznaczony niejednoznacznie. 2 Przyjmujemy,»e estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci funkcji parametrycznej g(θ) jest statystyka g(ˆθ(x)), gdzie ˆθ(X) = ENW (θ). 3 Zazwyczaj, podczas wyznaczania ENW, wygodniej jest operowa funkcj ln L ni» funkcj L. 4 W przypadku próby prostej L(θ; x) = p θ (x) = n p θ (x i ), gdzie p θ (x) jest funkcj prawdopodobie«stwa (g sto±ci) cechy X oraz x = (x 1, x 2,..., x n ) jest wektorem zawieraj cym dane. i=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 11 / 28
12 Warunki regularno±ci Cramera-Rao Mówimy,»e rodzina rozkªadów P = {P θ : θ Θ R d } na przestrzeni próby X R n speªnia warunki regularno±ci Cramera-Rao, gdy dla ka»dej g sto±ci f θ rozkªadu P θ P speªnione s warunki: 1 Zbiór A = {x X : f θ (x) > 0} nie zale»y od parametru θ oraz dla dowolnych x A i θ Θ istnieje sko«czona pochodna ln f θ (x). θ 2 Je»eli T jest dowoln statystyk tak,»e E θ ( T ) < dla dowolnego θ Θ, to T (x)f θ (x)dx = T (x) θ A A θ f θ(x)dx. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 12 / 28
13 Ilo± informacji Fishera Denicja 4 Funkcj I n (θ) parametru θ dan wzorem [ ( ) ] 2 I n (θ) = E θ θ ln f θ (X) nazywamy ilo±ci informacji Fishera o parametrze θ z próby X. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 13 / 28
14 Ilo± informacji Fishera Lemat 1 Zaªó»my,»e X jest prób prost z populacji o rozkªadzie P θ. 1 Wówczas I n (θ) = ni 1 (θ). 2 Ponadto, niech dla dowolnych x A i θ Θ istnieje sko«czona pochodna 2 ln f θ (x) oraz θ θ 2 f θ (x)dx = X X θ 2 f θ(x)dx. Wtedy [ ] I n (θ) = E θ 2 θ 2 ln f θ (X). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 14 / 28
15 Ilo± informacji Fishera Przykªad 1 Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób prost z populacji o rozkªadzie Rayleigha R(λ), gdzie λ > 0 jest parametrem. Wtedy ilo± informacji Fishera o parametrze λ z próby X wynosi I n (λ) = n λ 2. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 15 / 28
16 Nierówno± Cramera-Rao Twierdzenie 1 (nierówno± Cramera-Rao) Niech ĝ(x) b dzie estymatorem nieobci»onym o sko«czonej wariancji funkcji parametrycznej g(θ) oraz niech 0 < I n (θ) <. Wówczas θ Θ : Var θ [ĝ(x)] [g (θ)] 2 I n (θ). Ponadto równo± w powy»szej nierówno±ci zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy θ ln f θ(x) = k(θ)[ĝ(x) g(θ)], gdzie k(θ) = g (θ) Var θ [ĝ(x)]. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 16 / 28
17 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Wniosek 1 Estymator nieobci»ony ĝ(x) funkcji parametrycznej g(θ), dla którego θ Θ : Var θ [ĝ(x)] = [g (θ)] 2 I n (θ) (1) jest estymatorem nieobci»onym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej g(θ). Denicja 5 Estymator nieobci»ony ĝ(x) funkcji parametrycznej g(θ), dla którego zachodzi równo± (1) nazywamy estymatorem efektywnym w sensie Cramera- Rao funkcji parametrycznej g(θ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 17 / 28
18 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Denicja 6 Efektywno±ci estymatora nieobci»onego ĝ(x) o sko«czonej wariancji funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy liczb e(ĝ(x)) = [g (θ)] 2 (0, 1]. Var θ [ĝ(x)]i n (θ) Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 18 / 28
19 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Przykªad 2 (ci g dalszy przykªadu 1) Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób prost z populacji o rozkªadzie Rayleigha R(λ), gdzie λ > 0 jest parametrem. 1 Estymator nieobci»ony funkcji parametrycznej g 1 (λ) = λ postaci ĝ 1 (X) = 1 n n i=1 X 2 i jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao tej funkcji. 2 Estymator nieobci»ony funkcji parametrycznej g 2 (λ) = λ ln 2 postaci ĝ 2 (X) = 2 ln 2 π X nie jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao tej funkcji parametrycznej. Ponadto, e (ĝ 2 (X)) 91%. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 19 / 28
20 Estymatory efektywne w sensie Cramera-Rao Twierdzenie 2 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób prost z populacji o rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem. Ponadto niech rodzina rozkªadów badanej cechy populacji speªnia warunki regularno±ci Cramera-Rao. Wówczas, je»eli ˆθ(X) jest estymatorem efektywnym w sensie Cramera-Rao parametru θ, to ˆθ(X) jest estymatorem najwi kszej wiarogodno±ci parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 20 / 28
21 Zbie»no± wedªug prawdopodobie«stwa Denicja 7 Ci g zmiennych losowych (X n ) jest zbie»ny wedªug prawdopodobie«stwa do P zmiennej losowej X (ozn. X n X ), gdy Lemat 2 ɛ > 0 : lim n P ( X n X ɛ) = 0. Niech X n P X, Yn P Y oraz niech h b dzie funkcj ci gª. Wówczas 1 dla dowolnych a, b R: ax n + by n P ax + by, 2 X n Y n P XY, 3 h(x n ) P h(x ). Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 21 / 28
22 Zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden Denicja 8 Ci g zmiennych losowych (X n ) jest zbie»ny do zmiennej losowej X z prawdopodobie«stwem jeden (prawie na pewno, prawie wsz dzie, prawie zawsze, 1 ozn. X n X ), gdy P({ω Ω : lim n X n(ω) = X (ω)}) = 1. Dla zbie»no±ci z prawdopodobie«stwem jeden zachodz takie same wªasno±ci jak dla zbie»no±ci wedªug prawdopodobie«stwa podane w Lemacie 2. Lemat 3 Je»eli X n 1 X, to Xn P X. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 22 / 28
23 Estymatory zgodne Denicja 9 Estymator ĝ n (X) (a dokªadniej ci g estymatorów (ĝ n (X))) funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy (sªabo) zgodnym, gdy ci g (ĝ n (X)) jest zbie»ny wedªug prawdopodobie«stwa do g(θ), tzn. Denicja 10 θ Θ ɛ > 0 : lim n P θ ( ĝ n (X) g(θ) ɛ) = 0. Estymator ĝ n (X) (a dokªadniej ci g estymatorów (ĝ n (X))) funkcji parametrycznej g(θ) nazywamy (mocno) zgodnym, gdy ci g (ĝ n (X)) jest zbie»ny z prawdopodobie«stwem jeden do g(θ), tzn. ( ) θ Θ : P θ lim n ĝn (X) = g(θ) = 1. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 23 / 28
24 Estymatory zgodne Twierdzenie 3 (prawo wielkich liczb Chinczyna) Niech (ξ n ) b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie prawdopodobie«stwa i niech E(ξ n ) = a. Wówczas ci g (ξ n ) speªnia sªabe prawo wielkich liczb, tzn. 1 n n P ξ k a. k=1 Twierdzenie 4 (mocne prawo wielkich liczb Koªmogorowa) Niech (ξ n ) b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie prawdopodobie«stwa i niech E(ξ n ) = a. Wówczas ci g (ξ n ) speªnia mocne prawo wielkich liczb, tzn. 1 n n 1 ξ k a. k=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 24 / 28
25 Estymatory zgodne Przykªad 3 Zaªó»my,»e badana cecha X populacji ma rozkªad normalny N(µ, σ 2 ), gdzie µ i σ 2 s parametrami. Ponadto, niech X = (X 1, X 2,..., X n ), n > 1 b dzie prób z tej populacji. Estymatorem (mocno) zgodnym funkcji parametrycznej g 1 (µ, σ 2 ) = µ jest statystyka ĝ 1 (X) = X n = 1 n n X i, i=1 a funkcji g 2 (µ, σ 2 ) = σ 2 statystyka ĝ 2 (X) = S 2 = 1 n 1 n (X i X n ) 2. i=1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 25 / 28
26 Estymatory zgodne Twierdzenie 5 Niech ĝ n (X) b dzie estymatorem nieobci»onym funkcji parametrycznej g(θ) takim,»e θ Θ : Var θ (ĝ n (X)) 0, przy n. Wówczas ĝ n (X) jest (sªabo) zgodnym estymatorem funkcji parametrycznej g(θ). Lemat 4 (nierówno± Czebyszewa) Je»eli X jest zmienn losow o warto±ci oczekiwanej µ i sko«czonej wariancji σ 2, to ɛ > 0 : P( X µ ɛ) Var(X ) ɛ 2. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 26 / 28
27 Estymatory zgodne Twierdzenie 6 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem. Estymator nieobci»ony o minimalnej wariancji ĝ n (X) funkcji parametrycznej g(θ) jest estymatorem (sªabo) zgodnym tej funkcji parametrycznej. Twierdzenie 7 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie P θ, gdzie θ jest parametrem oraz zbiór {x : f θ (x) > 0} nie zale»y od parametru θ. Je»eli estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru θ jest wyznaczony jednoznacznie, to jest on (mocno) zgodnym estymatorem parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 27 / 28
28 Estymatory zgodne Przykªad 4 Zaªó»my,»e X = (X 1, X 2,..., X n ) jest prób z populacji rozkªadzie jednostajnym U(0, θ), gdzie θ jest parametrem. Z twierdzenia 6 wynika,»e estymator nieobci»ony o minimalnej wariancji parametru θ postaci n + 1 n max{x 1, X 2,..., X n } jest estymatorem zgodnym parametru θ. wiarogodno±ci parametru θ postaci Ponadto, estymator najwi kszej max{x 1, X 2,..., X n } jest równie» estymatorem zgodnym parametru θ. Nie wynika to jednak z twierdzenia 7, poniewa» zbiór {x : f θ (x) > 0} = (0, θ), wi c zale»y on od parametru θ. Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 28 / 28
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE i MIESZANE
MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoO pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA STOSOWANA Nazwa w języku angielskim APPLIED STATISTICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: estymacja punktowa
Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna 2015/2016
Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoWykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób
Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowo1.1 Statystyka matematyczna Literatura Model statystyczny Preliminaria... 3
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Statystyka matematyczna...................... 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Model statystyczny......................... 2 1.4 Preliminaria.............................
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 28 marca 2017 Rozkªady dwumianowe Denicja Zaªó»my,»e wykonujemy n niezale»nych eksperymentów, których rezultatem mo»e by albo sukces z prawdopodobie«stwem p albo
Bardziej szczegółowoSztuczna inteligencja Lista zada«
Sztuczna inteligencja Lista zada«informatyka, WPPT PWr Wrocªaw 2016 / 2017 1 Powtórka z rachunku prawdopodobie«stwa Zad. 1 Zdeniuj przestrze«probabilistyczn. Zad. 2 Przypomnij denicj zdarze«rozª cznych.
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoAndrzej D browski. Analiza danych jako±ciowych
Andrzej D browski Analiza danych jako±ciowych 1 0.1. Wst p Table 1. Typy analizy wielowymiarowej statystycznej typ argumentu kategoryczny ilo±ciowy mieszany odpowiedzi kategoryczny tablice kontyngencji,
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoMonte Carlo Optimization
Monte Carlo Optimization Seminarium szkoleniowe Eliza Bujnowska 28 lutego 2006 Eliza Bujnowska () Monte Carlo Optimization 28 lutego 2006 1 / 38 Zagadnienia optymalizacji metod Monte Carlo Przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowo