CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

Transkrypt

1 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06

2 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego x A. [sin x] = cos x, [sin x + 3] = cos x [sin x π] = cos x Zatem funkcja pierwotn funkcji f (x) = cos x jest ka»da funkcja postaci: F (x) = sin x + c, c R Twierdzenie Niech F b dzie funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A. Wtedy G(x) = F (x) + C, C R jest funkcja pierwotn funkcji f na A Ka»da funkcje pierwotn funkcji f na A mo»na przedstawi w postaci F (x) + C, C R.

3 Uwaga Powy»sze twierdzenie mówi o postaci funkcji pierwotnej dla ustalonej funkcji. Funkcje pierwotne maj posta F (x) + C i tylko takie s funkcjami pierwotnymi. Twierdzenie Je»eli funkcja jest ci gªa na przedziale A to ma funkcj pierwotn na tym przedziale Denicja Niech F b dzie funkcj pierwotn funkcji f na przedziale A. Caªk nieoznaczon z funkcji f na przedziale A nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f. Caªk nieoznaczon funkcji f oznaczany f (x)dx = F (x) + C

4 Z denicji wynikaj nast pujce wªasno±ci: ( f (x)dx ) = f (x) f (x)dx = f (x) + C

5 PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŠKOWEGO: () 0 dx = C; x R; () dx = x + C; x R; (3) x α dx = α + x α+ + C, α ; zakres zmiennej x zale»y od α (4) dx = ln x + C; x 0 x (5) a x dx = ax + C; a > 0, a, x R ln a (6) e x dx = e x + C; x R; (7) sin x dx = cos x + C; x R; (8) cos x dx = sin x + C; x R;

6 (9) (0) () () (3) (4) (5) (6) cos x dx = x + C; x ( π tg + kπ, π + kπ), k Z sin x dx = x + C; x (kπ, (k + ctg )π) k Z dx = arc sin x + C = arc cos x + C; x (, ) x dx = arctg x + C; x R; + x sinh x dx = cosh x + C; x R; cosh x dx = sinh x + C x R; dx = ctgh x + C; x 0; sinh x dx = tgh x + C x R. cosh x

7 Ponadto przydatne s wzory: f (x) dx = ln f (x) + C. f (x) f (x) dx = f (x) + C. f (x) f (x) f (x) dx = f (x) + C. f (ax) dx = F (ax) + C, gdzie F jest funkcj pierwotn a funkcji f. W powy»szych wzorach symbol C oznacza dowoln staª rzeczywist.

8 Twierdzenie Niech funkcje f i g maja funkcje pierwotne oraz α, β R. Wówczas: (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx. Uwaga Wzór ten jest prawdziwy dla dowolnej liczby skªadników. Twierdzenie (Caªkowanie przez cz ±ci) Je»eli funkcje f i g maja ci gªe pochodne to f (x)g (x)dx = f (x)g(x) f (x)g(x)dx.

9 Twierdzenie (Caªkowanie przez podstawianie) Je»eli funkcja f : (a, b) R ma funkcj pierwotn F, a funkcja g : (α, β) (a, b) jest ró»niczkowalna to funkcja pierwotn funkcji f (g(x))g (x) jest funkcja F g oraz f (g(x))g (x)dx = f (t)dt, gdzie g(x) = t. Uwaga Czasem w obliczeniu caªki f (x)dx wygodne jest podstawienie x = g(t) i wtedy f (x)dx = f (g(t))g (t)dt.

10 Caªkowanie funkcji wymiernych Funkcja wymiern postaci A (x a) r, gdzie A i a oznaczaj liczby rzeczywiste, za± r jest liczb naturaln nazywamy uªamkiem prostym pierwszego rodzaju. Funkcj wymiern postaci Ax + B (x px + q) r gdzie A, B, p i q oznaczaj liczby rzeczywiste, p 4q < 0, za± r jest liczb naturaln nazywamy uªamkiem prostym drugiego rodzaju.

11 Caªkowanie uªamków prostych pierwszego rodzaju: dla r=. A dx = {t = x a} = A dt = A ln t +C = A ln x a +C x a t dla r A dx = {t = x a} = A (x a) r t r dt = A t r r + C = A + C. r (x a) r

12 Caªkowanie uªamków prostych drugiego rodzaju: dla r=. Ax + B x + px + q dx = A x + p x + px + q dx ( + B Ap ) x + px + q dx. Pierwsza z caªek obliczmy przez podstawienie t = x + px + q otrzymuj c x + p x + px + q dx = ln x + px + q + C.

13 Aby obliczy drug caªk zauwa»my,»e x + px + q = (x + p ) 4. Zatem kªad c x + p = 4 t mamy = x + px + q dx = ( ) 4 t + dt = = gdzie = p 4q. ( 4 ( 4 ) arc tg x + p 4 4 ) (t + ) dt ( ) arc tg t + C 4 + C

14 Ostatecznie otrzymujemy: Ax + B x + px + q dx = A ln x + px + q ( + B Ap ) 4q p 4q p arc tg x + p 4q p + C

15 Dla r Ax + B (x + px + q) r dx = A + ( B Ap x + p (x + px + q) r dx ) (x + px + q) r dx. Pierwsza z caªek obliczmy analogicznie jak wy»ej stosuj c podstawienie t = x + px + q.mamy x + p (x + px + q) r dx = r (x + px + q) r + C.

16 Podobnie obliczmy drug caªk, tzn stosujemy podstawienie x + p = 4 t (x + px + q) r dx = = ( ) r 4 ( 4 4 (t + ) r dt ) r (t + ) r dt gdzie = p 4q. Nast pnie obliczmy ostatni caªk stosuj c wzór rekurencyjny dx (x + ) r = x n 3 dx + n ( + x ) r n ( + x ) r

17 Caªkowanie funkcji wymiernych wªa±ciwych. Funkcja wymiern f (x) = L(x) M(x) nazywamy wªa±ciw, gdy stopie«wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Niech dany b dzie rozkªad mianownika na czynniki M(x) = a(x a ) k...(x a m ) km (x +p x+q ) l...(x +p s x+q s ) ls ( ) gdzie a, a,..., a m, p, q,..., p s, q s s to liczby rzeczywiste przy czym a 0, p i 4q < 0, i =,,.., s a wykªadniki k,...k m, l,..., l m s liczbami naturalnymi.

18 Twierdzenie (O rozkªadzie funkcji wymiernej wªa±ciwej na uªamki proste) Je»eli mianownik funkcji f (x) = L(x) M(x) jest postaci (*) to funkcje f mo»na przedstawi jako sum uªamków prostych L(x) m k M(x) = j l A i,j s j (x a j ) i + B i,j x + C i,j (x + p j x + q j ) i j= i= gdzie A i,j, i =,..., k j, j =,..., m oraz B i,j, C i,j, i =,..., l j, j =,..., s sa to,liczby rzeczywiste okre±lone jednoznacznie. j= i=

19 W przypadku gdy funkcja wymierna nie jest funkcj wymiern wªa±ciw (tzn stopie«wielomianu w liczniku jest nie mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku )dzielimy wielomian b d cy w liczniku przez wielomian znajduj cy si w mianowniku, sprowadzaj c caªkowanie tej funkcji do caªkowania wielomianu i ewentualnie pewnej funkcji wymiernej wªa±ciwej.

20 Caªkowanie funkcji trygonometrycznych R(sin x, cos x)dx (R(u,v)- funkcja wymierna zmiennych u, v.) Podstawienie t = tg x Stosujemy wzory: czyli x = arc tg t, dx = + t dt. Zatem sin x = tg x + tg x sinx = ; cos α = tg x + tg x ; t t ; cos x = + t + t ; Podstawienie to sprowadza caªk R(sin x, cos x)dx do caªki z funkcji wymiernej zmiennej t.

21 Uwaga. Je»eli funkcja R(u,v) ma dodatkowo pewne wªasno±ci tzn. R( u, v) = R(u, v) to podstawiamy t = cos x R(u, v) = R(u, v) to podstawiamy t = sin x R( u, v) = R(u, v) to podstawiamy t = tg x

22 R(sin x, cos x, sin x cos x)dx (R- funkcja wymierna trzech zmiennych.) Podstawienie t = tg x czyli x = arc tg t, dx = dt. Ze wzorów + t sin x = otrzymujemy sin x = tg x + tg x ; cos α = tg x ; sin x cos x = + tg x + tg x t + t ; cos x = + t ; sin x cos x = t + t.

23 Caªkowanie funkcji trygonometrycznych Caªki o postaci sin m x cos n xdx, m,n -liczby naturalne: je»eli m i n s liczbami parzystymi to mamy caªki typu. je»eli m jest liczb nieparzyst to podstawiamy t = cos x; je»eli n jest liczb nieparzyst to podstawiamy t = sin x.

24 Caªkowanie funkcji trygonometrycznych Caªki o postaci sin(mx) cos(nx)dx, sin(mx) sin(nx)dx, i cos(mx) cos(nx)dx, m,n -staªe wyznaczamy wykorzystuj c to»samo±ci: sin mx sin nx = [cos(m n)x cos(m + n)x] ; sin mx cos nx = [sin(m n)x + sin(m + n)x] ; cos mx cos nx = [cos(m n)x + cos(m + n)x].

25 Caªkowanie pewnych funkcji niewymiernych R ( x, n ax + b cx + d ) dx,; ad bc 0, R(u, v) jest ilorazem wielomianów zmiennych u, v. Do caªki tej stosujemy podstawienie: t = n ax + b cx + d Powy»sza caªka sprowadza si do caªki z funkcji wymiernej.

26 R ( x, ) ax + bx + c dx,; a 0, 0. Przy obliczaniu tej caªki stosujemy podstawienia Eulera.. Pierwsze podstawienie Eulera stosujemy gdy a > 0: ax + bx + c = t ± x a. Drugie podstawienie Eulera stosujemy gdy c > 0: ax + bx + c = tx c 3. Trzecie podstawienie Eulera stosujemy gdy > 0: ax + bx + c = a(x x )(x x ) = t(x x ) Powy»sza caªka sprowadza si do caªki z funkcji wymiernej.