1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne"

Transkrypt

1 1 Zbiory przelizlne i nieprzelizlne S ró»ne rodzje niesko«zono±i, mimo i» niesko«zono± oznz si jednym symbolem. Ale niesko«zono± niesko«zono±i nierówn. Uzsdnimy to zrz; le njsmpierw kilk deniji. ef. Mówimy,»e dw zbiory X, Y s równolizne, je±li istnieje bijekj α zbioru X n zbiór Y. rzykª. w zbiory sko«zone s równolizne wtedy i tylko wtedy, gdy mj t sm ilo± elementów. ef. Zbiór X nzywmy przelizlnym, je±li jest równolizny ze zbiorem lizb nturlnyh N. Obrzowo mówimy,»e X jest przelizlny, je±li wszystkie jego elementy mo»n ustwi w i g, lbo te», je±li wszystkie jego elementy mo»n ponumerow lizbmi nturlnymi. rzykª. Zbiór X = N {0} jest przelizlny. Štwo bowiem skonstruow bijekj α zbioru X n N: α(0) = 1, α(1) = 2, α(2) = 3,..., α(k) = k + 1,... RYS. Mo»n powy»sz bijekj zpis symboliznie jko 1 + = rzykª. Zbiór lizb przystyh N p = {2, 4, 6, 8,... } jest przelizlny. Bijekj α : N p N mo»n skonstruow tk: α(2) = 1, α(4) = 2; α(6) = 3;..., α(2k) = k,... RYS. Brdzo podobnie pokzuje si,»e zbiór lizb nieprzystyh te» jest przelizlny. Sytuj t mo»n zobrzow pisz + = rzykª. Zbiór lizb ªkowityh jest przelizlny. Bijekj α : Z N: α(0) = 1; α(1) = 2; α( 1) = 3; α(2) = 4; α( 2) = 5;..., α(k) = 2k, α( k) = 2k+1,... rzykª. Zbiór N 2 = N N jest przelizlny. Ustwmy bowiem jego elementy w i g: {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3),... } RYS. Aby d upust pedntyzno±i, zpiszmy t bijekj wzorkiem (-mi): rze (, b) przyporz dkowujemy numer 1 2 [(+b)2 3b]+1. Troh jest gimnstyki przy sprwdzniu, le sprwdz si,»e odwzorownie N 2 N: (, b) 1 2 [( + b)2 3b] + 1 jest bijekj. Znów to symboliznie podsumowujemy pisz =. rzykª. Z powy»szego przykªdu ªtwo wynik,»e zbiór lizb wymiernyh (n rzie, powiedzmy, dodtnih) jest przelizlny. Bowiem k»d lizb wymiern p mo»n zkodow q 1

2 jko pr lizb nturlnyh (p, q), gdzie p i q s nieskrlne; zbiór tkih pr stnowi podzbiór N N. rzykª. Zbiór lizb rzezywistyh n odinku [0, 1] NIE jest przelizlny. W elu udowodnieni tego stwierdzeni posªu»my si ukªdem dwójkowym zpisu lizby, i zuw»my,»e k»d lizb rzezywist z przedziªu [0, 1] mo»n zpis jko pewien i g zer i jedynek (yfr po przeinku rozwini i dwójkowego lizby). rzypu± my, ze lizby rzezywiste z przedziªu [0, 1] s przelizlne, tzn. ddz si ustwi w pewien i g { 1, 2,... }. ok»emy,»e istnieje lizb rzezywist x, któr nie jest elementem powy»szego i gu. W tym elu zpiszmy rozwini i dziesi tne wszystkih lizb: 1 = ( 1 1, 1 2, 1 3,... ) 2 = ( 2 1, 2 2, 2 3,... ). k = ( k 1, k 2, k 3,... ). (tu i j jest j t yfr rozwini i dwójkowego lizby i ). Lizb x konstruujemy nst puj o: Je±li n pierwszym miejsu rozwini i dziesi tnego lizby 1 jest 0, to jko pierwsz yfr rozwini i dziesi tnego x bierzemy 1; i n odwrót. (tzn. je±li 1 1 = 0, to x 1 1 = 1; orz je±li 1 1 = 1, to x 1 1 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1. je±li 2 2 = 0, to x 2 2 = 1; orz je±li 2 2 = 1, to x 2 2 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1 ni 2. Itd.; ogólnie: je±li k k = 0, to x k k = 1; orz je±li k k = 1, to x k k = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1, 2,... k. W ten sposób znle¹li±my lizb x, któr nie jest równ»dnemu wyrzowi i gu { 1, 2,... }, o ±widzy,»e i g ten nie zwier wszystkih lizb rzezywistyh z przedziªu [0, 1]. A ztem zbiór tyh lizb nie jest przelizlny. CBO 2 Cªk podwójn w prostok ie 2.1 rostok ty, ih podziªy, obj to± dwuwymirow Nieh f(x, y) b dzie ogrnizon funkj okre±lon n prostok ie domkni tym, gdzie jest dny nierówno±imi x b, y d. ef. Obj to±i (dwuwymirow ) prostok t nzywmy ilozyn jego boków: = (b )(d ) ef. Wn trzem prostok t nzywmy zbiór okre±lony nierówno±imi ostrymi: Int = {(x, y) : < x < b, < y < d} odzielmy prostok t n n dowolnyh prostok tów domkni tyh p 1, p 2,..., p n. Tzn. mmy: = n i=1p i, Int p i Int p j = dl i j. 2

3 ef. owy»sze rozbiie prostok t n mniejsze nzywmy podziªem π, tzn.. Zhodzi: π = {p 1, p 2,..., p n } (1) = p 1 + p p n. Nieh π podziª orz π 1 = {q 1,..., q k } inny podziª. Mówimy,»e π 1 jest drobniejszy ni» π, je»eli p i = q i1 q i2... q im, i = 1, 2,..., n. Nieh prostok t p i m boki i, b i. eniujemy ±redni podziªu π (1 jko 2.2 Zbiory o zerowej obj to±i δ π = mx 1 i n { i, b i }. ef. Nieh X R 2. Mówimy,»e X m mir Lebesgue' równ zeru (lub,»e X jest miry zero), je»eli dl k»dego ɛ > 0 istnieje tki i g prostok tów 1, 2,..., n,...,»e rzykª. X i i orz 1. unkt x R 2 jest zbiorem miry zero. i < ɛ i 2. Sko«zony zbiór punktów w R 2 jest zbiorem miry zero. 3. Odinek o sko«zonej dªugo±i α jest zbiorem miry 0. (mo»n go zwrze w prostok ie o dªugo±i α i dowolnie mªej wysoko±i). 4. K»dy przelizlny zbiór punktów R 2 jest zbiorem miry zero. dow. onumerujmy elementy : = d 1 d 2..., nst pnie pokryjmy k»dy element d k kwdrikiem o bokh ɛ k ; sum pól powierzhni tyh kwdrików jest dn szeregiem geometryznym k ɛ 2k = ɛ2, jest wi sko«zon i mo»n j uzyni 1 ɛ 2 dowolnie mª. 5. We¹my R 1 ; zbiór lizb wymiernyh jest miry zero (jko»e jest przelizlny). 2.3 enij ªki Nieh M i m b d kresmi górnymi i dolnymi odpowiednio funkji f w prostok ie, z± M i orz m i kresmi górnymi i dolnymi funkji f w prostok ie p i. Nieh ξ 1 i, ξ 2 i b dzie dowolnym punktem prostok t p i. Zbiór wszystkih punktów {ξ 1 i, ξ 2 i }, i = 1,..., n nzwijmy wypunktowniem podziªu π i nzwijmy ξ. Utwórzmy nlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej trzy sumy: S(f, π) = m 1 p 1 + m 2 p m n p n = n i=1 m i p i ; (2) 3

4 (sum doln), (sum wypunktown), orz σ(f, π, ξ) = n i=1 f(ξ 1 i, ξ 2 i ) (3) S(f, π) = M 1 p 1 + M 2 p M n p n = n i=1 M i p i (4) (sum górn). Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, speªnij one nierówno±i m S(f, π) σ(f, π, ξ) S(f, π) M. (5) Równie» nlogiznie, jk w przypdku funkji jednej zmiennej, deniujemy ªk górn orz doln : ef. Cªk górn z funkji f nzywmy inmum z S(f, π) po wszystkih mo»liwyh podziªh: f = inf π i nlogiznie ªk doln z funkji f nzywmy f = sup π S(f, π) S(f, π) i tko» podobnie, jk dl funkji jednej zmiennej, deniujemy funkje ªkowlne: ef. Mówimy,»e funkj f jest ªkowln w sensie Riemnn, je»eli ªki: górn i doln s równe: f = f. W tkim przypdku t wspóln grni oznzmy jko Mj miejse nst puj e twierdzeni (dowodzi si ih nlogiznie jk dl funkji jednej zmiennej): Tw. Nieh f funkj ogrnizon n prostok ie. Je»eli f jest ªkowln n w sensie Riemnn, to dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0, i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do f. f niezle»nie od sposobu wypunktowni. Zhodzi te» twierdzenie (prwie) odwrotne: Tw. Nieh f funkj rzezywist n prostok ie. (Uwg. Nie zkªdmy,»e f musi by ogrnizon). Je»eli dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0 i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do grniy niezle»nej od sposobu wypunktowni, to f jest ogrnizon i ªkowln w sensie Riemnn. Ozywiste jest 4

5 Tw. Je±li jest sum (mnogo±iow ) dwu prostok tów 1, 2 o rozª znyh wn trzh, f jest funkj ªkowln n, to f = f + f 1 2 odobnie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzi si Tw. Nieh f, g funkje ªkowlne n orz λ R. Wtedy ªkowlne n s te» funkje f + g orz λf, przy zym zhodz równo±i (f + g) = f + g, (6) Zpytjmy terz: λf = λ 2.4 Jkie funkje n pewno s ªkowlne? f. (7) Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzimy,»e s ªkowlne funkje i gªe: Tw. Je»eli f jest i gª n prostok ie, to jest ªkowln (tzn. istnieje f). Równie» niektóre niei gªe funkje s ªkowlne. okªdniej, m miejse Tw. Je»eli funkj f n prostok ie jest ogrnizon i posid zbiór punktów niei gªo±i miry 0, to jest ªkowln. ow. Nieh N b dzie zbiorem punktów niei gªo±i funkji f. We¹my i g rodzin {Π k } prostok tów pokrywj yh N. Zkªdmy,»e k»dy element rodziny (tzn. zbiór prostok tów) jest sko«zony. Oznzmy przez Π k,j j ty prostok t k tej rodziny orz przez ɛ k pole powierzhni zbioru prostok tów Π k, tzn. ɛ k = j Π k,j. Zkªdmy,»e lim ɛ k = 0, poniew» z zªo»eni N jest zbiorem miry zero. K»dy zbiór Π k uzupeªnimy k do podziªu π k prostok t tk, by byª speªniony wrunek lim δ πk = 0. k Nieh M = sup f, m = inf f. Zdeniujmy funkje f +, f f + : Je±li x Π k, to f + (x) = M, je±li x Π k, to f + (x) = f(x). Anlogiznie dl f : Je±li x Π k, to f (x) = M, je±li x Π k, to f (x) = f(x). Zuw»my,»e f + i f s ªkowlne. We¹my jkie± wypunktownie ξ k podziªu π k. Mmy: S(f, π k, ξ k ) S(f, π k, ξ k ) S(f +, π k, ξ k ); ró»ni pomi dzy dwom skrjnymi wyrzmi jest równ ɛ k (M m) i d»y do zer, gdy k, bo wtedy ɛ k 0. Ztem ob skrjne wyrzy d» do wspólnej wrto±i niezle»nej od podziªu ξ k. Tk wi grni wyrzu ±rodkowego istnieje i jest niezle»n od wypunktowni, zyli f jest ªkowln. 2.5 Interpretj geometryzn ªki CBO Wiele ªek posid wyrzisty sens geometryzny lub zyzny 1. Aby brdziej to spreyzow, wprowdzimy poj ie miry Jordn podzbiorów R n ; zznijmy od R 2. 1 Ni dziwnego, bo poj ie ªki byªo odpowiedzi n zpotrzebowni ze strony zyki b d¹ mtemtyki, w szzególno±i geometrii... 5

6 Nieh b dzie obszrem lub dowolnym zbiorem pªskim ogrnizonym. Zwrzyjmy go w pewnym kwdrie Q. We¹my jki± podziª π = {p 1, p 2,..., p n } prostok t Q. Oznzmy: 1. Nieh S π b dzie sum pól tyh prostok tów, które zwierj jki± punkt zbioru ; 2. Nieh s π b dzie sum pól tyh prostok tów, które s zwrte w zbiorze. Je±li tkih prostok tów nle» yh do podziªu nie m, to przyjmujemy s π = 0. RYS. Mmy ozywiste nierówno±i: 0 s π S π Q. Zbiór wszystkih sum S π, odpowidj yh ró»nym podziªom kwdrtu Q, m kres dolny (jko zb. ogrnizony z doªu). Ten kres dolny oznzmy S i nzywmy mir zewn trzn zbioru : S = sup S π π Anlogiznie zbiór wszystkih sum s π m kres dolny (jko zb. ogrnizony z góry), który oznzmy s i nzywmy mir wewn trzn zbioru : s = inf π Ozywi±ie zhodzi: s S. Je»eli zhodzi równo± : s π s = S, to zbiór nzywmy mierzlnym powierzhniowo w sensie Jordn, wspóln wrto± obu mir nzywmy mir pªsk Jordn (lub po prostu polem powierzhni) zbioru. Anlogiznie deniuje si mir Jordn w innyh wymirh (w jednym wymirze wpisuje si w zbiór i opisuje n nim odinki; w trzeh wymirh prostopdªo±iny itd.) Mir Jordn jest brdzo intuiyjnym poj iem, le m t wd,»e mo»e nie istnie ju» w przypdku nieo 'udziwnionyh' zbiorów; i tk np. nie istnieje mir Jordn zbioru lizb wymiernyh n odinku [0, 1] (mir wewn trzn jest tu 0, zewn trzn 1). Ale do elów ªkowni funkji, z którymi b dziemy mie do zynieni, poj ie miry Jordn nm wystrzy 2. B d uzbrojeni w poj ie miry Jordn, ªtwo zobzymy interpretj geometryzn ªki: Nieh f = equivf(x, y) b dzie funkj ªkowln i dodtni w prostok ie. Wówzs zbiór V R 3, okre±lony nierówno±imi: x b; y d; 0 z f(x, y) 2 o mierzeni tkih 'dziwniejszyh' zbiorów wprowdz si mir Lebesgue'. Jest on skutezniejsz ni» mir Jordn: Gdy zbiór jest mierzlny w sensie Jordn, to jest te» mierzlny wg Lebesgue' (np. mir Lebesgue' zb. lizb wymiernyh n [0, 1] jest 0). Mir Lebesgue' obejmuje znkomit wi kszo± przypdków, z którymi przyhodzi zetkn si w zye (zkolwiek s zbiory niemierzlne równie» w sensie Lebesgue'!) le wymg nieo zhrtowni w bstrkji. enije mo»n znle¹ np. w ksi»e F. Lei, 'Rhunek ró»nizkowy i ªkowy'. 6

7 m dobrze okre±lon obj to±, bo ªk górn równ jest mierze zewn trznej zbioru V, z± ªk doln mierze wewn trznej, poniew» f jest ªkowln, to miry te s równe. Oznzj obj to± (trójwymirow mir Jordn) zbioru V jko V, mmy wi V = f. (8) 2.6 Cªki iterowne Nieh f f(x, y) t dzie funkj okre±lon i ogrnizon w prostok ie, gdzie x b, y d. Nieh przy k»dym ustlonym x istnieje ªk pojedynz φ(x) d f(x, y)dy. (9) Cªk t jest funkj zmiennej x i jest okre±lon w przedzile x b; oznzmy j jko φ(x). Je»eli φ(x) jest ªkowln n [, b], to ªk b [ b ] d b d inne ozn. φ(x)dx f(x, y)dy dx = dx dy f(x, y) (10) nzywmy ªk iterown funkji f(x, y) (lizon w kolejno±i: njpierw po y potem po x). Anlogiznie okre±lmy ªk iterown, lizon w drugiej mo»liwej kolejno±i (njpierw po x potem po y): Okre±lmy funkj ψ(y) przez ψ(y) = b f(x, y)dx przy zªo»eniu,»e przy k»dym y [, d] t ªk istnieje, nst pnie d [ d ] b d b inne ozn. ψ(y)dy f(x, y)dx dy = dy dx f(x, y) (11) rzykª. 2.7 Zmin ªki podwójnej n iterown (tw. Fubiniego) Opróz oznzeni f n ªk z funkji f po prostok ie, z sto zhodzi potrzeb jwnego wypisni rgumentów funkji, i wtedy posªugujemy si równow»nym oznzeniem: f = f(x, y)dxdy. W poprzednim przykªdzie obie ªki iterowne okzªy si by równe. Ten fkt jest nieprzypdkowy. M bowiem miejse Tw. Je±li funkj f(x, y) jest i gª w prostok ie, to obie ªki iterowne (10) i (11) istniej i s równe ªe podwójnej: b d dx dy f(x, y) = f(x, y)dxdy = 7 d b dy dx f(x, y) (12)

8 ow. odzielmy prostok t n m n prostok tów, dziel przedziª [, b] (m + 1) punktmi = x 0 < x 1 < < x m = b n m przedziªów p x i = [x i 1, x i ] i nlogiznie, przedziª [, d] dzielimy (n + 1) punktmi = y 0 < y 1 < < y n = d n n przedziªów p y j = [x j 1, x j ], i rysuj odinki równolegªe do osi x, y przehodz e przez punkty podziªu. RYS.. rzez x i oznzmy dªugo± przedziªu p x i orz przez y k dªugo± przedziªu p y k. Zkªdmy przy tym,»e lim m (sup 1 i m x i ) 0 i nlogiznie lim n (sup 1 k n y k ) 0. l prostok t ik = [x i 1, x i ] [y k 1, y k ], nieh m ik (odpowiednio M ik ) oznzj kres dolny ( odp. górny) funkji f n ik. Nieh ξ i oznz dowolny punkt przedziªu x i, orz nieh φ(x) b dzie zdeniown przez (9). Nówzs mmy: φ(ξ i ) = d f(ξ i, y)dy = y1 f(ξ i, y)dy + y2 y 1 f(ξ i, y)dy + + d y n 1 f(ξ i, y)dy Mmy te»: m ik f(ξ i, y) M ik dl y [y k 1, y k ], o prowdzi do i gu nierówno±i: m i1 y 1 y1 y2 f(ξ i, y)dy M i1 y 1, m i2 y 2 f(ξ i, y)dy M i2 y 2, y 1... m in y n d y n 1 f(ξ i, y)dy M in y n. odj te nierówno±i stronmi, nst pnie mno» przez x i i sumuj po i, otrzymmy m n m m n m ik y k x i φ(ξ i ) x i i=1 k=1 i=1 i=1 k=1 M ik y k x i. (13) ierwsz (lew) z tyh sum jest sum doln, osttni (prw) sum górn dl funkji f w prostok ie ; ±rodkow z± jest sum wypunktown funkji φ(x) w przedzile [, b]. We¹my terz grni m, n ; wtedy njdªu»szy z odinków x i, y k d»y do zer, sumy skrjne z nierówno±i (13) d» do wspólnej grniy ªki podwójnej z funkji f. Sum ±rodkow d»y wi do tej smej grniy, przy zym t grni jest ªk iterown (10). W ten sposób pokzli±my pierwsz z równo±i (12). owód drugiej równo±i jest nlogizny. Uwgi. 1. W powy»szym dowodzie korzystli±my jedynie z zªo»e«,»e Istnieje ªk podwójn f(x, y)dxdy, orz istnieje ªk pojedynz φ(x) = d f(x, y)dy dl k»dego x [, b]; CBO dltego te» tez twierdzeni pozostje sªuszn równie» przy tyh sªbszyh zªo»enih je±li s one speªnione, to np. f nie musi by i gª. 8

9 2. Gdy f jest i gª, to powy»sze tw. mówi,»e wszystkie trzy ªki (podwójn i obie iterowne) s równe. Gdy f nie jest i gª, to mog si zdrzy ró»ne sytuje; np. jedn z ªek istnieje, inne nie; lbo gdy istniej, to nie s równe. rzykªdy s w III tomie Fihtenholz. Twierdzenie Fubiniego odgryw w»n rol przy efektywnym wylizniu ªek (nie tylko zreszt tm), poniew» sprowdz obliznie ªki podwójnej do oblizeni dwóh ªek pojedynzyh. rzypdek szzególny: Gdy f(x, y) jest ilozynem dwu funkji, z któryh k»d zle»y od jednej zmiennej: f(x, y) = u(x)v(y), to mmy ( ) ( b ) d f(x, y)dxdy = u(x) dx v(x) dy, (14) bo: [ b ] d [ b ] d f(x, y) dxdy = dx dy u(x)v(y) = dx u(x) dy v(y) to jest ilozyn ªek wyst puj y po prwej stronie równo±i (14). 2.8 Cªk podwójn w zbiorze dowolnym Nieh f b dzie funkj okre±lon i ogrnizon w pewnym zbiorze ogrnizonym R 2 (RYS.) Zwrzyjmy w pewnym prostok ie i funkj f, okre±lon n, rozszerzmy do funkji f 0 okre±lonej n ªym prostok ie w ten sposób,»e f 0 (x, y) = f(x, y) dl (x, y) ; f 0 (x, y) = 0 dl (x, y). (15) ef. Mówimy,»e f jest ªkowln n zbiorze, je±li istnieje ªk f 0 (x, y) dxdy. W tkim przypdku, ªk z funkji f n zbiorze oznzmy f(x, y) dxdy (16) i, zgodnie z powy»sz denij, mmy f(x, y) dxdy = f 0 (x, y) dxdy. (17) Štwo zobzy,»e okre±lenie to nie zle»y od wyboru prostok t. Nieh f(x, y) b dzie funkj nieujemn n zbiorze. Oznzmy przez V zbiór punktów (x, y, z) R 3 okre±lony nierówno±imi 0 z f(x, y) dl (x, y). (18) Sum górn dl ªki (17) jest sum obj to±i prostopdªo±inów zwierj yh zbiór V, z± sum doln sum obj to±i prostopdªo±inów zwrtyh w V. Je±li wi ªk (20) istnieje, to zbiór V jest mierzlny obj to±iowo i jego obj to± wyr» si ªk V = f(x, y) dxdy (19) 9

10 rzypdek szzególny: Zuw»my,»e obj to± prostopdªo±inu o wysoko±i 1 równ jest polu podstwy. Bior terz f(x, y) 1 w ªym zbiorze, widzimy,»e sum górn dl ªki (20) jest sum pól prostok tów zwierj yh zbiór, sum doln sumie pól prostok tów zwrtyh w. St d otrzymujemy Stw. Je±li f(x, y) 1, to ªk (20) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór pªski jest mierzlny powierzhniowo. ole obszru wyr» si wówzs ªk dxdy. (20) Wiemy,»e s zbiory niemierzlne; i w zwi zku z tym n pewno nie po k»dym obszrze b dziemy mogli ªkow. Nsuw si wobe tego pytnie, ªk po jkih obszrh b dzie istniª? Znkomit wi kszo± obszrów, z którymi mmy do zynieni w zye, s to obszry ogrnizone przez krzywe i gªe. B dziemy si zjmow krzywymi, które mo»n zd równniem y = f(x), gdzie f jest funkj i gª. Njsmpierw pok»my: Stw. Krzyw o równniu y = f(x), gdzie f i gª orz x [, b], m dwuwymirow mir Jordn równ zeru. ow. Wiemy,»e funkj f(x) n odinku domkni tym jest tm jednostjnie i gª. Skoro tk, to przedziª mo»n podzieli n sko«zon ilo± odinków tkih,»e n k»- dym z nih whnie funkji (tzn. ró»ni mi dzy wrto±i njmniejsz i njwi ksz ) jest ɛ dowolnie mª; we¹my np., gdzie ɛ jest zdn dowolnie mª nieujemn lizb. Cª b krzyw n przedzile [, b] mo»n wi pokry prostok tmi o ª znej podstwie b i wysoko±i, wi o ª znym polu ɛ dowolnie mªym. RYS. CBO ɛ b Zdeniujmy jeszze: ef. Obszr regulrny to tki, który jest ogrnizony sko«zon ilo±i krzywyh o równniu y = f(x) lub x = g(y), gdzie f, g i gªe. Ze Stw. pokznego wy»ej wyi gmy wniosek: Wniosek Obszr regulrny jest mierzlny. ow. Je±li S n jest sum pól prostok tów pokrywj yh obszr, s n sum pól prostok - tów zwrtyh w, to S n s n jest sum pól prostok tów pokrywj yh brzeg obszru, tzn. krzyw ogrnizj obszr. Z dowodu poprzedniego stw. widzimy, z t ró»ni jest dowolnie mª tk wi obszr jest mierzlny. 2.9 Cªk podwójn w obszrze regulrnym CBO Z fktów pokznyh wy»ej ªtwo wynik Stw. Funkj f(x, y) ogrnizon i i gª w obszrze regulrnym jest ªkowln. ow. Zwrzyjmy obszr w jkim± prostok ie i rozszerzmy funkj f do funkji f 0 n w stndrdowy sposób dny przez (15). Wtedy f 0 jest niei gª o njwy»ej n brzegu obszru, tk wi w my±l tw. CO BYŠO 2 STRONY WCZESNIEJ jest ªkowln n, to znzy,»e f jest ªkowln n. CBO odzielmy obszr jk ± krzyw γ n dw obszry regulrne 1 i 2 ; mmy wi = 1 2 (RYS.). Nieh f(x, y) b dzie funkj ogrnizon i i gª n. Zwrzyjmy 10

11 w pewnym prostok ie i nieh: f 0 (x, y) = f(x, y) n, f 0 (x, y) = 0 n \ ; f 1 (x, y) = f(x, y) n 1, f 1 (x, y) = 0 n \ 1 ; f 2 (x, y) = f(x, y) n 2 \ γ, f 0 (x, y) = 0 n ( \ 2 ) γ. Wtedy: f 0 = f 1 +f 2 w ªym prostok ie, ztem z wzoru (6) dl obszrów prostok tnyh mmy f 0 = f 1 + o jest równow»ne bior pod uwg denije funkji f 1 i f 2 równo±i f = f + f. (21) Obszr normlny i ªki iterowne tm»e ef. Obszr regulrny okre±lony nierówno±imi f 2 x b, φ(x) y ψ(x) (22) gdzie φ(x) i ψ(x) s funkjmi i gªymi w przedzile [, b] orz zhodzi: φ(x) < ψ(x) dl k»dego x [, b], nzywmy obszrem normlnym wzgl dem osi x. RYS. Ok»e si zrz,»e m miejse Stw. Cªk z funkji f(x, y) ogrnizonej i i gªej w obszrze normlnym (22) mo»n zmieni n ªk iterown wedªug wzoru b ψ(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy (23) ow. Zwrzyjmy obszr w prostok ie, gdzie x b, y d. Rozszerzmy funkj f n do funkji (te» nzwijmy j f) n, kªd f(x, y) = 0 w punkth prostok t nie nle» yh do obszru. Cªk po lewej stronie wzoru (23) jest równ f(x, y)dxdy. o tej ªki mo»n stosow tw. Fubiniego dl obszrów prostok tnyh; mmy wi : f(x, y)dxdy = b φ(x) d dx dyf(x, y). (24) Cªk wewn trzn rozªó»my terz, przy jkim± ustlonym x, n trzy ªki: d f(x, y)dy = φ(x) f(x, y)dy + ψ(x) φ(x) f(x, y)dy + d ψ(x) f(x, y)dy ierwsz i trzei z powy»szyh ªek s równe zeru, bo dl y w przedziªh y [, φ(x)] orz y [ψ(x), d] funkj podªkow jest równ zeru. Uwzgl dnij to we wzorze (24), otrzymujemy to o mieli±my pokz, zyli wzór (23). CBO rzykª. Uwg. Je»eli obszr regulrny dje si podzieli n sko«zon ilo± obszrów normlnyh 1, 2,..., n, to ªk w obszrze równ si sumie ªek po poszzególnyh obszrh i (n moy wzoru (21). 11

12 2.11 Odwzorowni R 2 R 2 i przeksztªeni osiowe odrozdziª ten w istotny sposób korzyst z deniji i twierdze«dotyz yh odwzorow«, wi dl Czytelnik wygodne b dzie przypomnienie sobie tre±i rozdziªu temu po±wi onego. Tu w wolnej hwili zostn przytozone twierdzeni, z któryh b dzie korzystne.??? Gdzie± tu: ef. obszru n wym. jko domkni i zbioru otwrtego; i brzeg skªd si ze sko«zonej sumy wykresów funkji n 1 zm.; mo»e to gdzie± przy ªkowniu po obszrh nieprostok tnyh??? ef. Odwzorownie Φ : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = v (25) gdzie φ jest ró»nizkowln w sposób i gªy, nzywmy przeksztªeniem osiowym. Uwg. Z bezpo±redniego rhunku wynik,»e pohodn (mierz Jobiego) odwzorowni Φ jest: [ ] φu φ Φ = v 0 1 jkobin, zyli wyznznik tej»e mierzy, jest Φ = φ u (26) l tyh, o znj denij permutji: ef. Ogólniej, przeksztªeniem osiowym obszru n wymirowego nzywmy dwzorownie Φ : R n (u 1, u 2,..., u n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n, nzywmy odwzorownie okre±lone tk: x i = φ(u 1, u 2,..., u n ) dl pewnego i {1, 2,..., n} (tu φ(u 1,..., u n ) jest funkj n zmiennyh klsy C 1 ), dl pozostªyh zmiennyh x 1,..., x n (opróz x i ) odwzorownie jest okre±lone przez: x j = u π(j), π pewn permutj zbioru (n 1) elementowego, z± j = 1, 2,..., n (opróz jednej lizby k {1, 2,..., n}). A i, o nie znj def. permutji, nieh poznj, je±li nie, to nieh si zdowol poni»szym przykªdem. rzykª. Odwzorowni Φ, Γ : R 3 (u, v, w) (x, y, z) R 3, okre±lone równnimi x = φ(u, v, w) Φ : y = v z = w x = w zy też : Γ : y = ψ(u, v, w) z = u (gdzie φ, ψ s funkjmi klsy C 1 ) s przeksztªenimi osiowymi. Wyk»emy terz Stw. Odwzorownie F : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone jko: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) dje si w otozeniu k»dego punktu (u 0, v 0 ), gdzie F (u 0, v 0 ) 0, przedstwi jko zªo»enie dwu przeksztªe«osiowyh. ow. ohodn (tzn. mierz Jobiego) odwzorowni F jest równ [ ] φu φ F = v ψ u ψ v 12

13 wi by wyznznik F byª ró»ny od zer, musi by φ u 0 lub φ v 0. Zªó»my,»e wi φ u (u 0, v 0 ) 0. Skoro tk, to (z tw. o funkji uwikªnej) mo»n w otozeniu punktu (u 0, v 0 ) jednoznznie rozwi z równnie x = φ(u, v) wzgl dem u, tzn. wyrzi u jko funkj od x, v: u = g(x, v). Funkj g(x, v) speªni: g(φ(u, v), v) = u (27) Nieh terz odwzorowni T : (u, v) (ξ, η) orz S : (ξ, η) (x, y) (ob wi R 2 R 2 ) b d okre±lone nst puj o: T : { ξ = φ(u, v) η = v S : { x = ξ y = ψ(g(ξ, η), η) Ψ(ξ, η) (28) gdzie w odwzorowniu S funkj g jest okre±lon przez (27). Ob odwzorowni S i T s odwzorownimi osiowymi. Zhodzi te»: bowiem z bezpo±redniego rhunku wynik,»e: F = S T (29) x = ξ = φ(u, v); y = ψ(g(ξ, η), η) = ψ(g(φ(u, v), v), v) = ψ(u, v) (w osttniej równo±i skorzystli±my z wªsno±i (27) funkji g). Znle¹li±my wi szukne przedstwienie odwzorowni F jko zªo»eni dwu przeksztªe«osiowyh. CBO Uwg. Anlogizn sytuj m miejse w wy»szyh wymirh: Odwzorownie R n R n w otozeniu punktu, gdzie jego mierz Jobiego jest nieosobliw, dje si przedstwi jko zªo»enie n przeksztªe«osiowyh. Nszkiujemy sposób post powni dl n = 3. Zpiszmy G : R 3 R 3 w skªdowyh jko: x = φ(u, v, w) y = ψ(u, v, w) (30) z = χ(u, v, w) Zkªdmy,»e w punkie (u 0, v 0, w 0 ) mierz Jobiego G(u 0, v 0, w 0 ) jest nieosobliw. Skoro tk, to przynjmniej jedn z pohodnyh z stkowyh skªdowej φ jest ró»n od zer; przyjmijmy,»e φ u 0. Wobe tego mo»emy równnie x = φ(u, v, w) rozwi z wzgl dem u; oznzmy: u = g(x, v, w). Odwzorownie G mo»n wtedy zpis w posti zªo»eni dwóh przeksztªe«: ξ = φ(u, v, w) η = v ζ = w orz x = ξ y = ψ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) z = χ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) ierwsze z nih jest przeksztªeniem osiowym, drugie dje si znowu rozªo»y n ilozyn dwóh przeksztªe«osiowyh. Rozkªd dowolnego odwzorowni n ilozyn przeksztªe«osiowyh jest w»ne, bo tego rozkªdu u»yw si w dowodzie wzoru n zmin zmiennyh w ªkh wielokrotnyh. 13

14 2.12 Tw. o zminie zmiennyh w ªkh podwójnyh Nieh F : R 2 (u, v) (x, y) R 2 b dzie okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) (31) gdzie orz s obszrmi regulrnymi. Nieh w obszrze b dzie okre±lon funkj f(x, y), ogrnizon i i gª. Zhodzi: Tw. Je»eli: 1. Odwzorownie F jest klsy C 1 w obszrze zwierj ym obszr i jego brzeg Γ; 2. F odwzorowuje n bijektywnie; 3. jkobin F wewn trz obszru jest ró»ny od zer, to zhodzi wzór f(x, y)dxdy = f(φ(u, v), η(u, v)) F dudv (32) gdzie (by wszystko mie pod r k ) F = [ φu φ v ψ u ψ v ] (x, y) (u, v) Uwg. Wzór ten jest odpowiednikiem wzoru n zmin zmiennyh w ªkh z funkji jednej zmiennej, które te» tu dl wygody przypomnimy: Nieh funkj ϕ klsy C 1 b dzie bijekj odink [, d] n [, b]; nieh x = ϕ(t), orz ϕ() = i ϕ(d) = b. Wtedy dl dowolnej funkji f i gªej n [, b] zhodzi: b d dϕ f(x) dx = f(ϕ(t)) dt dt (33) Wzór ten zrz b dziemy wykorzystyw, bo dowód wzoru (32) sprowdzimy, z pomo przeksztªe«osiowyh, do dwukrotnego u»yi wzoru (33). ow. Z tw. udowodnionego w poprzednim podrozdzile, odwzorownie F okre±lone przez (31) dje si rozªo»y n ilozyn dwu odwzorow«osiowyh; zªó»my, i» relizujemy to z pomo wzorów (28) i (29). Nieh T : G, z± S : G RYS.. Z tw. o wyznzniku ilozynu mierzy, orz z wzoru (26) n jkobin przeksztªeni osiowego, mmy wyr»enie n jkobin odwzorowni F : F = φ u Ψ η. Nieh 1, 2,..., n b d prostok tmi zwrtymi w, przeinj ymi si o njwy»ej n brzegh. Zªó»my,»e ró»ni pól n i=1 i jest mniejsz ni» ɛ dowolnie zdn lizb. Nieh prostok t i b dzie okre±lony nierówno±imi x b, y d. Oznzmy: b d f(x, y)dxdy, I i = dx dy f(x, y); mmy: I n i=1 I i < Mɛ, gdzie M = sup f(x, y). (x,y) 14

15 Zuw»my,»e przeksztªenie S odwzorowuje n prostok t i pewien obszr G i, ogrnizony prostymi ξ =, ξ = b orz krzywymi η = γ(ξ), η = δ(ξ), RYS. gdzie γ(ξ) i δ(ξ) s rozwi znimi równni Ψ(ξ, η) = orz Ψ(ξ, η) = d wzgl dem η dl ξ b. rzy tym zhodzi: γ(ξ) < δ(ξ), gdy Ψ η > 0, orz γ(ξ) > δ(ξ), gdy Ψ η < 0. Zstosujmy terz do ªki I i zmin zmiennyh okre±lon przez odwzorownie S. oniew», b d osiowym, jest ono identyzno±iowe w zmiennej x, otrzymujemy, u»ywj wzoru (33) n zmin zmiennyh w ªe z funkji jednej zmiennej: I i = b dξ δ(ξ) γ(ξ) f(ξ, Ψ)Ψ η dη = f(ξ, Ψ)Ψ η dξdη. Gdy m miejse sytuj Ψ η < 0, to przed osttni ªk nle»y dopis minus. Obie sytuje mo»n obj jednym wzorem: G i G i I i = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. Gdy terz we¹miemy i g wypeªnie«prostok tmi obszru tk,»e n i=1 i, to zhodzi: n i=1 G i G orz n i=1 I i I; otrzymujemy st d: I = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. (34) G A terz! o otrzymnej powy»ej ªki zstosujmy pierwsze przeksztªenie, tzn. T, przeksztªj e obszr n obszr G. ost pujemy w sposób nlogizny jk wy»ej, bo T te» jest przeksztªeniem osiowym; otrzymujemy: I = f(φ(u, v), ψ(u, v)) Ψ η φ u dudv. A poniew» Ψ η φ u jest ilozynem jkobinów obu przeksztªe«s i T, to mmy Ψ η φ u = F. Otrzymli±my wi wzór (32). CBO Uwg. W trzeh (i wi ej) wymirh post pujemy nlogiznie: Korzystmy z rozkªdu odwzorowni n ilozyn trzeh (n) przeksztªe«osiowyh, i post pujemy jk wy»ej tylko nie dw, trzy (n) rzy. rzykª. rzykª. dx. e x

16 3 Cªki zdni 3.1 Cªki po obszrh prostok tnyh 1. Oblizy ªk z funkji f po prostok ie : () f(x, y) = 1 (x+y) 2, = [3, 4] [1, 2]. Odp. ln (b) f(x, y) = 5x 2 y 2y 3, = [2, 5] [1, 3]. Odp () f(x, y) = x2, = [0, 1] [0, 1]. Odp. π. 1+y 2 12 y (d) f(x, y) =, = [0, 1] [0, 1]. Wsk. W jkiej kolejno±i wygodniej (1+x 2 +y 2 ) 3/2 ªkow? Odp. ln (e) f(x, y) = e x+y, = [0, 1] [0, 1]. Odp. (f) f(x, y) = x sin(x + y), = [0, π] [0, π ]. Odp. 2 (g) f(x, y) = x 2 y e xy, = [0, 1] [0, 2]. Odp. 2. () Znle¹ obj to± bryªy ogrnizonej z doªu pªszzyzn xy, z boków pªszzyznmi x = 0, x =, y = 0, y = b, od góry prboloid eliptyzn : z = x2 2p + y2 2q (wszystkie prmetry, b,, d s dodtnie). Odp. b 6 ( 2 + ) b2 p q. (b) To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyzn xy, powierzhni x 2 + z 2 = R 2 dl z > 0 i pªszzyznmi y = 0 i y = H. Wsk. Brdziej nturlne jest lizenie w ukª. wsp. biegunowyh, le 'nie uprzedzjmy wypdków' i lizmy we wsp. krtezj«skih. Odp. (k»dy powinien wiedzie,»e) 1 2 πr2 H. () To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyznmi z = 0, x =, x = b, y =, y = d (b > > 0, d > > 0) i prboloid hiperbolizn Odp. V = (d2 2 )(b 2 2 ) 4m. 3. * okz,»e z = xy m (m > 0). 1 (xy) xy dxdy = x x dx. 0 Uwg. Funkj podªkow wprwdzie nie jest okre±lon w punkie (0, 0), le mo»- n j tm dookre±li deniuj f(0, 0) = okz nierówno± Cuhy'ego Bunikowskiego Shwrz: l dowolnyh i - gªyh n [, b] funkji f, g zhodzi nierówno± ( b 2 b b f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx g 2 (x)dx Wsk. Sªkow funkj (f(x)g(y) g(x)f(y)) 2 po kwdrie [, b] [, b]. 16

17 5. Udowodni nierówno± b f(x)dx b dx f(x) (b )2. dl f i gªej n [, b]. Wsk. Skorzyst z nierówno±i C-B-Shwrz, b d ej tre±i poprzedniego zdni. 3.2 Cªki po obszrh niekonieznie prostok tnyh 1. Zmieni kolejno± ªkowni w ªkh: () (b) dy dx y dx f(x, y) y 1 x 2 0 dy f(x, y) () (d) (e) r dx 2x dx 2rx x 2 x x dy f(x, y) dy f(x, y) 6 x dx dy f(x, y) 2x 2. Rozstwi grnie ªkowni, tzn. znle¹ grnie ªkowni, zpisuj ªk po k»dym z poni»szyh obszrów w posti ªki iterownej: () trójk t ogrnizony prostymi x = 0, y = 0, x + 2y = 4. (b) obszr dny nierówno±imi: x 2 + y 2 4, x 0, y 0. () obszr dny nierówno±imi: x + y 2, x y 2, x 0. (d) obszr dny nierówno±imi:y x 2, y 9 x 2. (e) obszr dny nierówno±i : (x 3) 2 + (y 2) 2 9. (f) obszr ogrnizony krzywymi: y = x 3 i y = x. (g) obszr dny nierówno±imi: y 2 8x, y 2x, y + 4x 24 0 (h) obszr ogrnizony krzywymi y 2 x 2 = 1 i x 2 +y 2 = 9 i zwierj y punkt (0, 0). (i) zworok t o wierzhoªkh: (1, 1), (2, 3), (4, 3), (6, 1). 3. Oblizy ªki: () T r 2 y2 dxdy, gdzie T jest trójk tem o bokh y = 0, y = rx, x = 1, x2 17

18 (b) () T (6 x y)dxdy, gdzie T jest trójk tem o wierzhoªkh (0, 0), (2, 2), (1, 3) x dxdy, gdzie jest obszrem zdeniownym przez nierówno±i: 2 x y 4, 1 y x 2. x 2 (d) I = dxdy, gdzie jest obszrem ogrnizonym przez krzywe: x = y2 2, y = x, xy = 1. Odp. I = 9. Wsk. Któr kolejno± ªkowni b dzie 4 wygodniejsz? (e) I = (x+5y)dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = x, y = 3x, x = 1. Odp. I = (f) I = 2x 2 y 2 dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = 0, x = 1, y = x. Odp. I = Cªki potrójne 1. Oblizy ªki: () (b) C V ( π (1 + x + y + z) 3 dxdydz, gdzie C jest sze±inem [0, 1]3 ; ). z dxdydz, gdzie V jest ostrosªupem ogrnizonym pªszzyzn x+y+z = 2 i pªszzyznmi wspóªrz dnyh; 18

19 4 Zmin zm. w ªe podwójnej 1. Oblizy ªk z funkji f(x, y) = y 2 R 2 x 2 po kole o promieniu R i ±rodku w poz tku ukªdu wspóªrz dnyh. Odp R5. 2. Oblizy obj to± bryªy ogrnizonej pªszzyznmi x = 0, y = 0, z = 0, wlem x 2 + y 2 = R 2 i prboloid hiperbolizn z = xy; hodzi o bryª le» w pierwszej wirte. Odp. 1 8 R4. 3. Oblizy obj to± bryªy Viviniego, tzn. bryªy wyi tej wlem x 2 + y 2 = Rx z kuli x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Odp. 6π 8 9 R Oblizy obj to± bryªy powstªej przez przei ie pod k tem prostym dwu niesko«- zenie dªugih wlów o jednkowej ±redniy 5. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Wspóªrz dne biegunowe. () (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ) (lemniskt Bernoulliego). Odp (b) (x 2 + y 2 ) 2 = 2x 3. Odp. 5 8 π2. () (x 2 + y 2 ) 3 = 2 (x 4 + y 4 ). Odp. 3 4 π2. 6. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Uogólnione wspóªrz dne biegunowe: x = r os φ, y = br sin φ. olizy jkobin! () ( ) x y2 2 b = xy. Odp. 2 b (b) ( ) x y2 2 b = x 2 + y 2. Odp πb(2 + b 2 ). () ( ) x y2 2 b = x 2. Odp. π3 b Znle¹ pole ogrnizone p tl krzywej o poni»szyh równnih. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne r, θ okre±lone przez: x = r os 2 θ; y = r sin 2 θ. () (x + y) 4 = x 2 y. Odp (b) (x + y) 3 = xy. Odp () (x + y) 5 = x 2 y 2. Odp Znle¹ pole powierzhni steroidy x y 2 3 = 2 3. Wsk. Równnie prmetryzne steroidy jest: x = os 3 t, y = sin 3 t, t [0, 2π]. Wprowdzi wspóªrz dne r, t okre±lone przez: x = r os 3 t, y = r sin 3 t. Ile wynosi jkobin? Odp. 3 8 π2. 9. Oblizy ªki: C xydxdy, gdzie C jest (krzywoliniowym) 'zworok tem' ogrnizonym krzywymi: () y = x 3, y = bx 3, y 2 = px, y 2 = qx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y = ξx 3, y 2 = ηx. 19

20 (b) y 3 = x 2, y 3 = bx 2, y = αx, y = βx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y 3 = ξx 2, y 2 = ηx Oblizy ªk 11. Oblizy ªk C C zdxdydz, gdzie C jest górn poªow elipsoidy x2 2 + y2 b 2 + z zdxdydz, gdzie C jest bryª ogrnizon przez tworz sto»k z 2 = h2 (x 2 + y 2 ) i pªszzyzn z = h. R Oblizy ªk (x + y + z) 2 dxdydz, gdzie C jest wspóln z ±i prboloidy C x 2 + y 2 2z i kuli x 2 + y 2 + z Znle¹ ±rodek i»ko±i bryªy ogrnizonej powierzhnimi prboloidy x 2 + y 2 = 2z orz kuli x 2 + y 2 + z 2 = Znle¹ potenjª wl w ±rodku jego podstwy. 15. Oblizy potenjª grwityjny sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. 16. Oblizy nt»enie pol grwityjnego sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. Wsk. Mo»n wykorzyst poprzednie zdnie. 20

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny! TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Rys.1. str.1. 19h 20h 21h 22h 23h 24h 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h. kopia. Nr1

Rys.1. Rys.1. str.1. 19h 20h 21h 22h 23h 24h 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h. kopia. Nr1 niewidoczny skrypt Romny (R) dl wszystkich ludzi świt NIESAMWITE MŻLIWŚCI SZABLNÓW LISTWWYCH: "A"; "B", "C" ZWIĄZANE Z ŁUKAMI, PDZIAŁEM RÓWNMIERNIE RZŁŻNYM. KPIA FRAGMENTU PLIKU: SKRYPT (R).001. STRNA

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZEOŁU SZKÓŁ Bni nkietowe zostły przeprowzono w rmh relizji projektu eukyjnego Nie wyrzuj jk lei. Celem tyh ń yło uzysknie informji n temt świomośi ekologiznej uzniów

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyk zkres podstwowy Proponowny rozkłd mteriłu kl. I (100 h) Temt lekcji Liczb 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby nturlne 1 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

A = ε c l. T = I x I o. A=log 1 T =log I o I x

A = ε c l. T = I x I o. A=log 1 T =log I o I x Podstawowym prawem wykorzystywanym w analizie opartej na metodah optyznyh (spektrometrii) jest prawo Lamberta (zwane też prawem Lamberta-Beera-Waltera). Chodzi tu o zależność absorbanji od stężenia i grubośi

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7 Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI. Rys. 7.7.1. Pomiar impedancji pętli zwarcia dla obwodu L2

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI. Rys. 7.7.1. Pomiar impedancji pętli zwarcia dla obwodu L2 6.7. ntrukcj zczegółow Grup:... 4.. 6.7. Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jet zpoznnie ię z metodmi pomirowymi i przepimi dotyczącymi ochrony przeciwporżeniowej w zczególności ochrony przed dotykiem pośrednim.

Bardziej szczegółowo

Etyka procesów sieci Petriego w wietle teorii ladów

Etyka procesów sieci Petriego w wietle teorii ladów U n i w e r s y t e t W r s z w s k i Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mehniki Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów rozprw doktorsk Jonn Jółkowsk Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROS-ALUMINIUM.COM

Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROS-ALUMINIUM.COM Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROSALUMINIUM.COM Tolerancje standardowe gwarantowane przez Albatros Aluminium obowiązują dla wymiarów co do których nie dokonano innych uzgodnień podczas potwierdzania

Bardziej szczegółowo

Ronda, skrzyżowania i inne trudne zjawiska (3 pytania) 1. Korzystając z pasa rozpędowego

Ronda, skrzyżowania i inne trudne zjawiska (3 pytania) 1. Korzystając z pasa rozpędowego Ronda, skrzyżowania i inne trudne zjawiska (3 pytania) 1. Korzystają z pasa rozpędowego a. można jadą nim wyprzedza ć samohody jadą e po naszej lewej stronie (Nie. Pas rozpędowy nie służy do wyprzedzania

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i Ukły yrow (loizn) 1.1. Ukły o zminy koów (kory, kory, nkory) i Są to ukły kominyjn, zminiją sposó koowni lu przstwini ny yrowy. 1.1.1. kory kory to ukły kominyjn, zminiją n yrow, zpisn w owolnym kozi innym

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH Politehni Śląs WYDZIŁ CHEMICZNY KTEDR FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW WYZNCZNIE STŁEJ RÓWNOWGI KWSOWO ZSDOWEJ W ROZTWORCH WODNYCH Opieun: Miejse ćwizeni: Ktrzyn Kruiewiz Ktedr Fizyohemii i Tehnoii

Bardziej szczegółowo

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy 04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) Szkic rozwiązania: Znajdujemy miejsca zerowe funkcji spod znaków wartości bezwzględnej.

Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) Szkic rozwiązania: Znajdujemy miejsca zerowe funkcji spod znaków wartości bezwzględnej. Poziom rozszerzony Zdnie (pkt) RozwiąŜ nierówność + + 6 Znjdujemy miejsc zerowe funkcji spod znków wrtości bezwzględnej + = 0 = = 0 = Zznczmy je n osi liczbowej - Zznczone punkty dzielą oś liczbową n trzy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Strategiczna polityka handlowa. Jan J. Michałek Leszek Wincenciak

Strategiczna polityka handlowa. Jan J. Michałek Leszek Wincenciak Strtegizn polityk hndlow Jn J. Mihłek Lezek Winenik Argumenty n rzez ktywnej polityki hndlowej Prolem efektów zewntrznyh (np. głzie wyokih tehnologii) Firmy, które inwetuj w nowe tehnologie, wpływj n rozprzetrzeninie

Bardziej szczegółowo