1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Transkrypt

1 1 Zbiory przelizlne i nieprzelizlne S ró»ne rodzje niesko«zono±i, mimo i» niesko«zono± oznz si jednym symbolem. Ale niesko«zono± niesko«zono±i nierówn. Uzsdnimy to zrz; le njsmpierw kilk deniji. ef. Mówimy,»e dw zbiory X, Y s równolizne, je±li istnieje bijekj α zbioru X n zbiór Y. rzykª. w zbiory sko«zone s równolizne wtedy i tylko wtedy, gdy mj t sm ilo± elementów. ef. Zbiór X nzywmy przelizlnym, je±li jest równolizny ze zbiorem lizb nturlnyh N. Obrzowo mówimy,»e X jest przelizlny, je±li wszystkie jego elementy mo»n ustwi w i g, lbo te», je±li wszystkie jego elementy mo»n ponumerow lizbmi nturlnymi. rzykª. Zbiór X = N {0} jest przelizlny. Štwo bowiem skonstruow bijekj α zbioru X n N: α(0) = 1, α(1) = 2, α(2) = 3,..., α(k) = k + 1,... RYS. Mo»n powy»sz bijekj zpis symboliznie jko 1 + = rzykª. Zbiór lizb przystyh N p = {2, 4, 6, 8,... } jest przelizlny. Bijekj α : N p N mo»n skonstruow tk: α(2) = 1, α(4) = 2; α(6) = 3;..., α(2k) = k,... RYS. Brdzo podobnie pokzuje si,»e zbiór lizb nieprzystyh te» jest przelizlny. Sytuj t mo»n zobrzow pisz + = rzykª. Zbiór lizb ªkowityh jest przelizlny. Bijekj α : Z N: α(0) = 1; α(1) = 2; α( 1) = 3; α(2) = 4; α( 2) = 5;..., α(k) = 2k, α( k) = 2k+1,... rzykª. Zbiór N 2 = N N jest przelizlny. Ustwmy bowiem jego elementy w i g: {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3),... } RYS. Aby d upust pedntyzno±i, zpiszmy t bijekj wzorkiem (-mi): rze (, b) przyporz dkowujemy numer 1 2 [(+b)2 3b]+1. Troh jest gimnstyki przy sprwdzniu, le sprwdz si,»e odwzorownie N 2 N: (, b) 1 2 [( + b)2 3b] + 1 jest bijekj. Znów to symboliznie podsumowujemy pisz =. rzykª. Z powy»szego przykªdu ªtwo wynik,»e zbiór lizb wymiernyh (n rzie, powiedzmy, dodtnih) jest przelizlny. Bowiem k»d lizb wymiern p mo»n zkodow q 1

2 jko pr lizb nturlnyh (p, q), gdzie p i q s nieskrlne; zbiór tkih pr stnowi podzbiór N N. rzykª. Zbiór lizb rzezywistyh n odinku [0, 1] NIE jest przelizlny. W elu udowodnieni tego stwierdzeni posªu»my si ukªdem dwójkowym zpisu lizby, i zuw»my,»e k»d lizb rzezywist z przedziªu [0, 1] mo»n zpis jko pewien i g zer i jedynek (yfr po przeinku rozwini i dwójkowego lizby). rzypu± my, ze lizby rzezywiste z przedziªu [0, 1] s przelizlne, tzn. ddz si ustwi w pewien i g { 1, 2,... }. ok»emy,»e istnieje lizb rzezywist x, któr nie jest elementem powy»szego i gu. W tym elu zpiszmy rozwini i dziesi tne wszystkih lizb: 1 = ( 1 1, 1 2, 1 3,... ) 2 = ( 2 1, 2 2, 2 3,... ). k = ( k 1, k 2, k 3,... ). (tu i j jest j t yfr rozwini i dwójkowego lizby i ). Lizb x konstruujemy nst puj o: Je±li n pierwszym miejsu rozwini i dziesi tnego lizby 1 jest 0, to jko pierwsz yfr rozwini i dziesi tnego x bierzemy 1; i n odwrót. (tzn. je±li 1 1 = 0, to x 1 1 = 1; orz je±li 1 1 = 1, to x 1 1 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1. je±li 2 2 = 0, to x 2 2 = 1; orz je±li 2 2 = 1, to x 2 2 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1 ni 2. Itd.; ogólnie: je±li k k = 0, to x k k = 1; orz je±li k k = 1, to x k k = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1, 2,... k. W ten sposób znle¹li±my lizb x, któr nie jest równ»dnemu wyrzowi i gu { 1, 2,... }, o ±widzy,»e i g ten nie zwier wszystkih lizb rzezywistyh z przedziªu [0, 1]. A ztem zbiór tyh lizb nie jest przelizlny. CBO 2 Cªk podwójn w prostok ie 2.1 rostok ty, ih podziªy, obj to± dwuwymirow Nieh f(x, y) b dzie ogrnizon funkj okre±lon n prostok ie domkni tym, gdzie jest dny nierówno±imi x b, y d. ef. Obj to±i (dwuwymirow ) prostok t nzywmy ilozyn jego boków: = (b )(d ) ef. Wn trzem prostok t nzywmy zbiór okre±lony nierówno±imi ostrymi: Int = {(x, y) : < x < b, < y < d} odzielmy prostok t n n dowolnyh prostok tów domkni tyh p 1, p 2,..., p n. Tzn. mmy: = n i=1p i, Int p i Int p j = dl i j. 2

3 ef. owy»sze rozbiie prostok t n mniejsze nzywmy podziªem π, tzn.. Zhodzi: π = {p 1, p 2,..., p n } (1) = p 1 + p p n. Nieh π podziª orz π 1 = {q 1,..., q k } inny podziª. Mówimy,»e π 1 jest drobniejszy ni» π, je»eli p i = q i1 q i2... q im, i = 1, 2,..., n. Nieh prostok t p i m boki i, b i. eniujemy ±redni podziªu π (1 jko 2.2 Zbiory o zerowej obj to±i δ π = mx 1 i n { i, b i }. ef. Nieh X R 2. Mówimy,»e X m mir Lebesgue' równ zeru (lub,»e X jest miry zero), je»eli dl k»dego ɛ > 0 istnieje tki i g prostok tów 1, 2,..., n,...,»e rzykª. X i i orz 1. unkt x R 2 jest zbiorem miry zero. i < ɛ i 2. Sko«zony zbiór punktów w R 2 jest zbiorem miry zero. 3. Odinek o sko«zonej dªugo±i α jest zbiorem miry 0. (mo»n go zwrze w prostok ie o dªugo±i α i dowolnie mªej wysoko±i). 4. K»dy przelizlny zbiór punktów R 2 jest zbiorem miry zero. dow. onumerujmy elementy : = d 1 d 2..., nst pnie pokryjmy k»dy element d k kwdrikiem o bokh ɛ k ; sum pól powierzhni tyh kwdrików jest dn szeregiem geometryznym k ɛ 2k = ɛ2, jest wi sko«zon i mo»n j uzyni 1 ɛ 2 dowolnie mª. 5. We¹my R 1 ; zbiór lizb wymiernyh jest miry zero (jko»e jest przelizlny). 2.3 enij ªki Nieh M i m b d kresmi górnymi i dolnymi odpowiednio funkji f w prostok ie, z± M i orz m i kresmi górnymi i dolnymi funkji f w prostok ie p i. Nieh ξ 1 i, ξ 2 i b dzie dowolnym punktem prostok t p i. Zbiór wszystkih punktów {ξ 1 i, ξ 2 i }, i = 1,..., n nzwijmy wypunktowniem podziªu π i nzwijmy ξ. Utwórzmy nlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej trzy sumy: S(f, π) = m 1 p 1 + m 2 p m n p n = n i=1 m i p i ; (2) 3

4 (sum doln), (sum wypunktown), orz σ(f, π, ξ) = n i=1 f(ξ 1 i, ξ 2 i ) (3) S(f, π) = M 1 p 1 + M 2 p M n p n = n i=1 M i p i (4) (sum górn). Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, speªnij one nierówno±i m S(f, π) σ(f, π, ξ) S(f, π) M. (5) Równie» nlogiznie, jk w przypdku funkji jednej zmiennej, deniujemy ªk górn orz doln : ef. Cªk górn z funkji f nzywmy inmum z S(f, π) po wszystkih mo»liwyh podziªh: f = inf π i nlogiznie ªk doln z funkji f nzywmy f = sup π S(f, π) S(f, π) i tko» podobnie, jk dl funkji jednej zmiennej, deniujemy funkje ªkowlne: ef. Mówimy,»e funkj f jest ªkowln w sensie Riemnn, je»eli ªki: górn i doln s równe: f = f. W tkim przypdku t wspóln grni oznzmy jko Mj miejse nst puj e twierdzeni (dowodzi si ih nlogiznie jk dl funkji jednej zmiennej): Tw. Nieh f funkj ogrnizon n prostok ie. Je»eli f jest ªkowln n w sensie Riemnn, to dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0, i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do f. f niezle»nie od sposobu wypunktowni. Zhodzi te» twierdzenie (prwie) odwrotne: Tw. Nieh f funkj rzezywist n prostok ie. (Uwg. Nie zkªdmy,»e f musi by ogrnizon). Je»eli dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0 i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do grniy niezle»nej od sposobu wypunktowni, to f jest ogrnizon i ªkowln w sensie Riemnn. Ozywiste jest 4

5 Tw. Je±li jest sum (mnogo±iow ) dwu prostok tów 1, 2 o rozª znyh wn trzh, f jest funkj ªkowln n, to f = f + f 1 2 odobnie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzi si Tw. Nieh f, g funkje ªkowlne n orz λ R. Wtedy ªkowlne n s te» funkje f + g orz λf, przy zym zhodz równo±i (f + g) = f + g, (6) Zpytjmy terz: λf = λ 2.4 Jkie funkje n pewno s ªkowlne? f. (7) Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzimy,»e s ªkowlne funkje i gªe: Tw. Je»eli f jest i gª n prostok ie, to jest ªkowln (tzn. istnieje f). Równie» niektóre niei gªe funkje s ªkowlne. okªdniej, m miejse Tw. Je»eli funkj f n prostok ie jest ogrnizon i posid zbiór punktów niei gªo±i miry 0, to jest ªkowln. ow. Nieh N b dzie zbiorem punktów niei gªo±i funkji f. We¹my i g rodzin {Π k } prostok tów pokrywj yh N. Zkªdmy,»e k»dy element rodziny (tzn. zbiór prostok tów) jest sko«zony. Oznzmy przez Π k,j j ty prostok t k tej rodziny orz przez ɛ k pole powierzhni zbioru prostok tów Π k, tzn. ɛ k = j Π k,j. Zkªdmy,»e lim ɛ k = 0, poniew» z zªo»eni N jest zbiorem miry zero. K»dy zbiór Π k uzupeªnimy k do podziªu π k prostok t tk, by byª speªniony wrunek lim δ πk = 0. k Nieh M = sup f, m = inf f. Zdeniujmy funkje f +, f f + : Je±li x Π k, to f + (x) = M, je±li x Π k, to f + (x) = f(x). Anlogiznie dl f : Je±li x Π k, to f (x) = M, je±li x Π k, to f (x) = f(x). Zuw»my,»e f + i f s ªkowlne. We¹my jkie± wypunktownie ξ k podziªu π k. Mmy: S(f, π k, ξ k ) S(f, π k, ξ k ) S(f +, π k, ξ k ); ró»ni pomi dzy dwom skrjnymi wyrzmi jest równ ɛ k (M m) i d»y do zer, gdy k, bo wtedy ɛ k 0. Ztem ob skrjne wyrzy d» do wspólnej wrto±i niezle»nej od podziªu ξ k. Tk wi grni wyrzu ±rodkowego istnieje i jest niezle»n od wypunktowni, zyli f jest ªkowln. 2.5 Interpretj geometryzn ªki CBO Wiele ªek posid wyrzisty sens geometryzny lub zyzny 1. Aby brdziej to spreyzow, wprowdzimy poj ie miry Jordn podzbiorów R n ; zznijmy od R 2. 1 Ni dziwnego, bo poj ie ªki byªo odpowiedzi n zpotrzebowni ze strony zyki b d¹ mtemtyki, w szzególno±i geometrii... 5

6 Nieh b dzie obszrem lub dowolnym zbiorem pªskim ogrnizonym. Zwrzyjmy go w pewnym kwdrie Q. We¹my jki± podziª π = {p 1, p 2,..., p n } prostok t Q. Oznzmy: 1. Nieh S π b dzie sum pól tyh prostok tów, które zwierj jki± punkt zbioru ; 2. Nieh s π b dzie sum pól tyh prostok tów, które s zwrte w zbiorze. Je±li tkih prostok tów nle» yh do podziªu nie m, to przyjmujemy s π = 0. RYS. Mmy ozywiste nierówno±i: 0 s π S π Q. Zbiór wszystkih sum S π, odpowidj yh ró»nym podziªom kwdrtu Q, m kres dolny (jko zb. ogrnizony z doªu). Ten kres dolny oznzmy S i nzywmy mir zewn trzn zbioru : S = sup S π π Anlogiznie zbiór wszystkih sum s π m kres dolny (jko zb. ogrnizony z góry), który oznzmy s i nzywmy mir wewn trzn zbioru : s = inf π Ozywi±ie zhodzi: s S. Je»eli zhodzi równo± : s π s = S, to zbiór nzywmy mierzlnym powierzhniowo w sensie Jordn, wspóln wrto± obu mir nzywmy mir pªsk Jordn (lub po prostu polem powierzhni) zbioru. Anlogiznie deniuje si mir Jordn w innyh wymirh (w jednym wymirze wpisuje si w zbiór i opisuje n nim odinki; w trzeh wymirh prostopdªo±iny itd.) Mir Jordn jest brdzo intuiyjnym poj iem, le m t wd,»e mo»e nie istnie ju» w przypdku nieo 'udziwnionyh' zbiorów; i tk np. nie istnieje mir Jordn zbioru lizb wymiernyh n odinku [0, 1] (mir wewn trzn jest tu 0, zewn trzn 1). Ale do elów ªkowni funkji, z którymi b dziemy mie do zynieni, poj ie miry Jordn nm wystrzy 2. B d uzbrojeni w poj ie miry Jordn, ªtwo zobzymy interpretj geometryzn ªki: Nieh f = equivf(x, y) b dzie funkj ªkowln i dodtni w prostok ie. Wówzs zbiór V R 3, okre±lony nierówno±imi: x b; y d; 0 z f(x, y) 2 o mierzeni tkih 'dziwniejszyh' zbiorów wprowdz si mir Lebesgue'. Jest on skutezniejsz ni» mir Jordn: Gdy zbiór jest mierzlny w sensie Jordn, to jest te» mierzlny wg Lebesgue' (np. mir Lebesgue' zb. lizb wymiernyh n [0, 1] jest 0). Mir Lebesgue' obejmuje znkomit wi kszo± przypdków, z którymi przyhodzi zetkn si w zye (zkolwiek s zbiory niemierzlne równie» w sensie Lebesgue'!) le wymg nieo zhrtowni w bstrkji. enije mo»n znle¹ np. w ksi»e F. Lei, 'Rhunek ró»nizkowy i ªkowy'. 6

7 m dobrze okre±lon obj to±, bo ªk górn równ jest mierze zewn trznej zbioru V, z± ªk doln mierze wewn trznej, poniew» f jest ªkowln, to miry te s równe. Oznzj obj to± (trójwymirow mir Jordn) zbioru V jko V, mmy wi V = f. (8) 2.6 Cªki iterowne Nieh f f(x, y) t dzie funkj okre±lon i ogrnizon w prostok ie, gdzie x b, y d. Nieh przy k»dym ustlonym x istnieje ªk pojedynz φ(x) d f(x, y)dy. (9) Cªk t jest funkj zmiennej x i jest okre±lon w przedzile x b; oznzmy j jko φ(x). Je»eli φ(x) jest ªkowln n [, b], to ªk b [ b ] d b d inne ozn. φ(x)dx f(x, y)dy dx = dx dy f(x, y) (10) nzywmy ªk iterown funkji f(x, y) (lizon w kolejno±i: njpierw po y potem po x). Anlogiznie okre±lmy ªk iterown, lizon w drugiej mo»liwej kolejno±i (njpierw po x potem po y): Okre±lmy funkj ψ(y) przez ψ(y) = b f(x, y)dx przy zªo»eniu,»e przy k»dym y [, d] t ªk istnieje, nst pnie d [ d ] b d b inne ozn. ψ(y)dy f(x, y)dx dy = dy dx f(x, y) (11) rzykª. 2.7 Zmin ªki podwójnej n iterown (tw. Fubiniego) Opróz oznzeni f n ªk z funkji f po prostok ie, z sto zhodzi potrzeb jwnego wypisni rgumentów funkji, i wtedy posªugujemy si równow»nym oznzeniem: f = f(x, y)dxdy. W poprzednim przykªdzie obie ªki iterowne okzªy si by równe. Ten fkt jest nieprzypdkowy. M bowiem miejse Tw. Je±li funkj f(x, y) jest i gª w prostok ie, to obie ªki iterowne (10) i (11) istniej i s równe ªe podwójnej: b d dx dy f(x, y) = f(x, y)dxdy = 7 d b dy dx f(x, y) (12)

8 ow. odzielmy prostok t n m n prostok tów, dziel przedziª [, b] (m + 1) punktmi = x 0 < x 1 < < x m = b n m przedziªów p x i = [x i 1, x i ] i nlogiznie, przedziª [, d] dzielimy (n + 1) punktmi = y 0 < y 1 < < y n = d n n przedziªów p y j = [x j 1, x j ], i rysuj odinki równolegªe do osi x, y przehodz e przez punkty podziªu. RYS.. rzez x i oznzmy dªugo± przedziªu p x i orz przez y k dªugo± przedziªu p y k. Zkªdmy przy tym,»e lim m (sup 1 i m x i ) 0 i nlogiznie lim n (sup 1 k n y k ) 0. l prostok t ik = [x i 1, x i ] [y k 1, y k ], nieh m ik (odpowiednio M ik ) oznzj kres dolny ( odp. górny) funkji f n ik. Nieh ξ i oznz dowolny punkt przedziªu x i, orz nieh φ(x) b dzie zdeniown przez (9). Nówzs mmy: φ(ξ i ) = d f(ξ i, y)dy = y1 f(ξ i, y)dy + y2 y 1 f(ξ i, y)dy + + d y n 1 f(ξ i, y)dy Mmy te»: m ik f(ξ i, y) M ik dl y [y k 1, y k ], o prowdzi do i gu nierówno±i: m i1 y 1 y1 y2 f(ξ i, y)dy M i1 y 1, m i2 y 2 f(ξ i, y)dy M i2 y 2, y 1... m in y n d y n 1 f(ξ i, y)dy M in y n. odj te nierówno±i stronmi, nst pnie mno» przez x i i sumuj po i, otrzymmy m n m m n m ik y k x i φ(ξ i ) x i i=1 k=1 i=1 i=1 k=1 M ik y k x i. (13) ierwsz (lew) z tyh sum jest sum doln, osttni (prw) sum górn dl funkji f w prostok ie ; ±rodkow z± jest sum wypunktown funkji φ(x) w przedzile [, b]. We¹my terz grni m, n ; wtedy njdªu»szy z odinków x i, y k d»y do zer, sumy skrjne z nierówno±i (13) d» do wspólnej grniy ªki podwójnej z funkji f. Sum ±rodkow d»y wi do tej smej grniy, przy zym t grni jest ªk iterown (10). W ten sposób pokzli±my pierwsz z równo±i (12). owód drugiej równo±i jest nlogizny. Uwgi. 1. W powy»szym dowodzie korzystli±my jedynie z zªo»e«,»e Istnieje ªk podwójn f(x, y)dxdy, orz istnieje ªk pojedynz φ(x) = d f(x, y)dy dl k»dego x [, b]; CBO dltego te» tez twierdzeni pozostje sªuszn równie» przy tyh sªbszyh zªo»enih je±li s one speªnione, to np. f nie musi by i gª. 8

9 2. Gdy f jest i gª, to powy»sze tw. mówi,»e wszystkie trzy ªki (podwójn i obie iterowne) s równe. Gdy f nie jest i gª, to mog si zdrzy ró»ne sytuje; np. jedn z ªek istnieje, inne nie; lbo gdy istniej, to nie s równe. rzykªdy s w III tomie Fihtenholz. Twierdzenie Fubiniego odgryw w»n rol przy efektywnym wylizniu ªek (nie tylko zreszt tm), poniew» sprowdz obliznie ªki podwójnej do oblizeni dwóh ªek pojedynzyh. rzypdek szzególny: Gdy f(x, y) jest ilozynem dwu funkji, z któryh k»d zle»y od jednej zmiennej: f(x, y) = u(x)v(y), to mmy ( ) ( b ) d f(x, y)dxdy = u(x) dx v(x) dy, (14) bo: [ b ] d [ b ] d f(x, y) dxdy = dx dy u(x)v(y) = dx u(x) dy v(y) to jest ilozyn ªek wyst puj y po prwej stronie równo±i (14). 2.8 Cªk podwójn w zbiorze dowolnym Nieh f b dzie funkj okre±lon i ogrnizon w pewnym zbiorze ogrnizonym R 2 (RYS.) Zwrzyjmy w pewnym prostok ie i funkj f, okre±lon n, rozszerzmy do funkji f 0 okre±lonej n ªym prostok ie w ten sposób,»e f 0 (x, y) = f(x, y) dl (x, y) ; f 0 (x, y) = 0 dl (x, y). (15) ef. Mówimy,»e f jest ªkowln n zbiorze, je±li istnieje ªk f 0 (x, y) dxdy. W tkim przypdku, ªk z funkji f n zbiorze oznzmy f(x, y) dxdy (16) i, zgodnie z powy»sz denij, mmy f(x, y) dxdy = f 0 (x, y) dxdy. (17) Štwo zobzy,»e okre±lenie to nie zle»y od wyboru prostok t. Nieh f(x, y) b dzie funkj nieujemn n zbiorze. Oznzmy przez V zbiór punktów (x, y, z) R 3 okre±lony nierówno±imi 0 z f(x, y) dl (x, y). (18) Sum górn dl ªki (17) jest sum obj to±i prostopdªo±inów zwierj yh zbiór V, z± sum doln sum obj to±i prostopdªo±inów zwrtyh w V. Je±li wi ªk (20) istnieje, to zbiór V jest mierzlny obj to±iowo i jego obj to± wyr» si ªk V = f(x, y) dxdy (19) 9

10 rzypdek szzególny: Zuw»my,»e obj to± prostopdªo±inu o wysoko±i 1 równ jest polu podstwy. Bior terz f(x, y) 1 w ªym zbiorze, widzimy,»e sum górn dl ªki (20) jest sum pól prostok tów zwierj yh zbiór, sum doln sumie pól prostok tów zwrtyh w. St d otrzymujemy Stw. Je±li f(x, y) 1, to ªk (20) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór pªski jest mierzlny powierzhniowo. ole obszru wyr» si wówzs ªk dxdy. (20) Wiemy,»e s zbiory niemierzlne; i w zwi zku z tym n pewno nie po k»dym obszrze b dziemy mogli ªkow. Nsuw si wobe tego pytnie, ªk po jkih obszrh b dzie istniª? Znkomit wi kszo± obszrów, z którymi mmy do zynieni w zye, s to obszry ogrnizone przez krzywe i gªe. B dziemy si zjmow krzywymi, które mo»n zd równniem y = f(x), gdzie f jest funkj i gª. Njsmpierw pok»my: Stw. Krzyw o równniu y = f(x), gdzie f i gª orz x [, b], m dwuwymirow mir Jordn równ zeru. ow. Wiemy,»e funkj f(x) n odinku domkni tym jest tm jednostjnie i gª. Skoro tk, to przedziª mo»n podzieli n sko«zon ilo± odinków tkih,»e n k»- dym z nih whnie funkji (tzn. ró»ni mi dzy wrto±i njmniejsz i njwi ksz ) jest ɛ dowolnie mª; we¹my np., gdzie ɛ jest zdn dowolnie mª nieujemn lizb. Cª b krzyw n przedzile [, b] mo»n wi pokry prostok tmi o ª znej podstwie b i wysoko±i, wi o ª znym polu ɛ dowolnie mªym. RYS. CBO ɛ b Zdeniujmy jeszze: ef. Obszr regulrny to tki, który jest ogrnizony sko«zon ilo±i krzywyh o równniu y = f(x) lub x = g(y), gdzie f, g i gªe. Ze Stw. pokznego wy»ej wyi gmy wniosek: Wniosek Obszr regulrny jest mierzlny. ow. Je±li S n jest sum pól prostok tów pokrywj yh obszr, s n sum pól prostok - tów zwrtyh w, to S n s n jest sum pól prostok tów pokrywj yh brzeg obszru, tzn. krzyw ogrnizj obszr. Z dowodu poprzedniego stw. widzimy, z t ró»ni jest dowolnie mª tk wi obszr jest mierzlny. 2.9 Cªk podwójn w obszrze regulrnym CBO Z fktów pokznyh wy»ej ªtwo wynik Stw. Funkj f(x, y) ogrnizon i i gª w obszrze regulrnym jest ªkowln. ow. Zwrzyjmy obszr w jkim± prostok ie i rozszerzmy funkj f do funkji f 0 n w stndrdowy sposób dny przez (15). Wtedy f 0 jest niei gª o njwy»ej n brzegu obszru, tk wi w my±l tw. CO BYŠO 2 STRONY WCZESNIEJ jest ªkowln n, to znzy,»e f jest ªkowln n. CBO odzielmy obszr jk ± krzyw γ n dw obszry regulrne 1 i 2 ; mmy wi = 1 2 (RYS.). Nieh f(x, y) b dzie funkj ogrnizon i i gª n. Zwrzyjmy 10

11 w pewnym prostok ie i nieh: f 0 (x, y) = f(x, y) n, f 0 (x, y) = 0 n \ ; f 1 (x, y) = f(x, y) n 1, f 1 (x, y) = 0 n \ 1 ; f 2 (x, y) = f(x, y) n 2 \ γ, f 0 (x, y) = 0 n ( \ 2 ) γ. Wtedy: f 0 = f 1 +f 2 w ªym prostok ie, ztem z wzoru (6) dl obszrów prostok tnyh mmy f 0 = f 1 + o jest równow»ne bior pod uwg denije funkji f 1 i f 2 równo±i f = f + f. (21) Obszr normlny i ªki iterowne tm»e ef. Obszr regulrny okre±lony nierówno±imi f 2 x b, φ(x) y ψ(x) (22) gdzie φ(x) i ψ(x) s funkjmi i gªymi w przedzile [, b] orz zhodzi: φ(x) < ψ(x) dl k»dego x [, b], nzywmy obszrem normlnym wzgl dem osi x. RYS. Ok»e si zrz,»e m miejse Stw. Cªk z funkji f(x, y) ogrnizonej i i gªej w obszrze normlnym (22) mo»n zmieni n ªk iterown wedªug wzoru b ψ(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy (23) ow. Zwrzyjmy obszr w prostok ie, gdzie x b, y d. Rozszerzmy funkj f n do funkji (te» nzwijmy j f) n, kªd f(x, y) = 0 w punkth prostok t nie nle» yh do obszru. Cªk po lewej stronie wzoru (23) jest równ f(x, y)dxdy. o tej ªki mo»n stosow tw. Fubiniego dl obszrów prostok tnyh; mmy wi : f(x, y)dxdy = b φ(x) d dx dyf(x, y). (24) Cªk wewn trzn rozªó»my terz, przy jkim± ustlonym x, n trzy ªki: d f(x, y)dy = φ(x) f(x, y)dy + ψ(x) φ(x) f(x, y)dy + d ψ(x) f(x, y)dy ierwsz i trzei z powy»szyh ªek s równe zeru, bo dl y w przedziªh y [, φ(x)] orz y [ψ(x), d] funkj podªkow jest równ zeru. Uwzgl dnij to we wzorze (24), otrzymujemy to o mieli±my pokz, zyli wzór (23). CBO rzykª. Uwg. Je»eli obszr regulrny dje si podzieli n sko«zon ilo± obszrów normlnyh 1, 2,..., n, to ªk w obszrze równ si sumie ªek po poszzególnyh obszrh i (n moy wzoru (21). 11

12 2.11 Odwzorowni R 2 R 2 i przeksztªeni osiowe odrozdziª ten w istotny sposób korzyst z deniji i twierdze«dotyz yh odwzorow«, wi dl Czytelnik wygodne b dzie przypomnienie sobie tre±i rozdziªu temu po±wi onego. Tu w wolnej hwili zostn przytozone twierdzeni, z któryh b dzie korzystne.??? Gdzie± tu: ef. obszru n wym. jko domkni i zbioru otwrtego; i brzeg skªd si ze sko«zonej sumy wykresów funkji n 1 zm.; mo»e to gdzie± przy ªkowniu po obszrh nieprostok tnyh??? ef. Odwzorownie Φ : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = v (25) gdzie φ jest ró»nizkowln w sposób i gªy, nzywmy przeksztªeniem osiowym. Uwg. Z bezpo±redniego rhunku wynik,»e pohodn (mierz Jobiego) odwzorowni Φ jest: [ ] φu φ Φ = v 0 1 jkobin, zyli wyznznik tej»e mierzy, jest Φ = φ u (26) l tyh, o znj denij permutji: ef. Ogólniej, przeksztªeniem osiowym obszru n wymirowego nzywmy dwzorownie Φ : R n (u 1, u 2,..., u n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n, nzywmy odwzorownie okre±lone tk: x i = φ(u 1, u 2,..., u n ) dl pewnego i {1, 2,..., n} (tu φ(u 1,..., u n ) jest funkj n zmiennyh klsy C 1 ), dl pozostªyh zmiennyh x 1,..., x n (opróz x i ) odwzorownie jest okre±lone przez: x j = u π(j), π pewn permutj zbioru (n 1) elementowego, z± j = 1, 2,..., n (opróz jednej lizby k {1, 2,..., n}). A i, o nie znj def. permutji, nieh poznj, je±li nie, to nieh si zdowol poni»szym przykªdem. rzykª. Odwzorowni Φ, Γ : R 3 (u, v, w) (x, y, z) R 3, okre±lone równnimi x = φ(u, v, w) Φ : y = v z = w x = w zy też : Γ : y = ψ(u, v, w) z = u (gdzie φ, ψ s funkjmi klsy C 1 ) s przeksztªenimi osiowymi. Wyk»emy terz Stw. Odwzorownie F : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone jko: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) dje si w otozeniu k»dego punktu (u 0, v 0 ), gdzie F (u 0, v 0 ) 0, przedstwi jko zªo»enie dwu przeksztªe«osiowyh. ow. ohodn (tzn. mierz Jobiego) odwzorowni F jest równ [ ] φu φ F = v ψ u ψ v 12

13 wi by wyznznik F byª ró»ny od zer, musi by φ u 0 lub φ v 0. Zªó»my,»e wi φ u (u 0, v 0 ) 0. Skoro tk, to (z tw. o funkji uwikªnej) mo»n w otozeniu punktu (u 0, v 0 ) jednoznznie rozwi z równnie x = φ(u, v) wzgl dem u, tzn. wyrzi u jko funkj od x, v: u = g(x, v). Funkj g(x, v) speªni: g(φ(u, v), v) = u (27) Nieh terz odwzorowni T : (u, v) (ξ, η) orz S : (ξ, η) (x, y) (ob wi R 2 R 2 ) b d okre±lone nst puj o: T : { ξ = φ(u, v) η = v S : { x = ξ y = ψ(g(ξ, η), η) Ψ(ξ, η) (28) gdzie w odwzorowniu S funkj g jest okre±lon przez (27). Ob odwzorowni S i T s odwzorownimi osiowymi. Zhodzi te»: bowiem z bezpo±redniego rhunku wynik,»e: F = S T (29) x = ξ = φ(u, v); y = ψ(g(ξ, η), η) = ψ(g(φ(u, v), v), v) = ψ(u, v) (w osttniej równo±i skorzystli±my z wªsno±i (27) funkji g). Znle¹li±my wi szukne przedstwienie odwzorowni F jko zªo»eni dwu przeksztªe«osiowyh. CBO Uwg. Anlogizn sytuj m miejse w wy»szyh wymirh: Odwzorownie R n R n w otozeniu punktu, gdzie jego mierz Jobiego jest nieosobliw, dje si przedstwi jko zªo»enie n przeksztªe«osiowyh. Nszkiujemy sposób post powni dl n = 3. Zpiszmy G : R 3 R 3 w skªdowyh jko: x = φ(u, v, w) y = ψ(u, v, w) (30) z = χ(u, v, w) Zkªdmy,»e w punkie (u 0, v 0, w 0 ) mierz Jobiego G(u 0, v 0, w 0 ) jest nieosobliw. Skoro tk, to przynjmniej jedn z pohodnyh z stkowyh skªdowej φ jest ró»n od zer; przyjmijmy,»e φ u 0. Wobe tego mo»emy równnie x = φ(u, v, w) rozwi z wzgl dem u; oznzmy: u = g(x, v, w). Odwzorownie G mo»n wtedy zpis w posti zªo»eni dwóh przeksztªe«: ξ = φ(u, v, w) η = v ζ = w orz x = ξ y = ψ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) z = χ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) ierwsze z nih jest przeksztªeniem osiowym, drugie dje si znowu rozªo»y n ilozyn dwóh przeksztªe«osiowyh. Rozkªd dowolnego odwzorowni n ilozyn przeksztªe«osiowyh jest w»ne, bo tego rozkªdu u»yw si w dowodzie wzoru n zmin zmiennyh w ªkh wielokrotnyh. 13

14 2.12 Tw. o zminie zmiennyh w ªkh podwójnyh Nieh F : R 2 (u, v) (x, y) R 2 b dzie okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) (31) gdzie orz s obszrmi regulrnymi. Nieh w obszrze b dzie okre±lon funkj f(x, y), ogrnizon i i gª. Zhodzi: Tw. Je»eli: 1. Odwzorownie F jest klsy C 1 w obszrze zwierj ym obszr i jego brzeg Γ; 2. F odwzorowuje n bijektywnie; 3. jkobin F wewn trz obszru jest ró»ny od zer, to zhodzi wzór f(x, y)dxdy = f(φ(u, v), η(u, v)) F dudv (32) gdzie (by wszystko mie pod r k ) F = [ φu φ v ψ u ψ v ] (x, y) (u, v) Uwg. Wzór ten jest odpowiednikiem wzoru n zmin zmiennyh w ªkh z funkji jednej zmiennej, które te» tu dl wygody przypomnimy: Nieh funkj ϕ klsy C 1 b dzie bijekj odink [, d] n [, b]; nieh x = ϕ(t), orz ϕ() = i ϕ(d) = b. Wtedy dl dowolnej funkji f i gªej n [, b] zhodzi: b d dϕ f(x) dx = f(ϕ(t)) dt dt (33) Wzór ten zrz b dziemy wykorzystyw, bo dowód wzoru (32) sprowdzimy, z pomo przeksztªe«osiowyh, do dwukrotnego u»yi wzoru (33). ow. Z tw. udowodnionego w poprzednim podrozdzile, odwzorownie F okre±lone przez (31) dje si rozªo»y n ilozyn dwu odwzorow«osiowyh; zªó»my, i» relizujemy to z pomo wzorów (28) i (29). Nieh T : G, z± S : G RYS.. Z tw. o wyznzniku ilozynu mierzy, orz z wzoru (26) n jkobin przeksztªeni osiowego, mmy wyr»enie n jkobin odwzorowni F : F = φ u Ψ η. Nieh 1, 2,..., n b d prostok tmi zwrtymi w, przeinj ymi si o njwy»ej n brzegh. Zªó»my,»e ró»ni pól n i=1 i jest mniejsz ni» ɛ dowolnie zdn lizb. Nieh prostok t i b dzie okre±lony nierówno±imi x b, y d. Oznzmy: b d f(x, y)dxdy, I i = dx dy f(x, y); mmy: I n i=1 I i < Mɛ, gdzie M = sup f(x, y). (x,y) 14

15 Zuw»my,»e przeksztªenie S odwzorowuje n prostok t i pewien obszr G i, ogrnizony prostymi ξ =, ξ = b orz krzywymi η = γ(ξ), η = δ(ξ), RYS. gdzie γ(ξ) i δ(ξ) s rozwi znimi równni Ψ(ξ, η) = orz Ψ(ξ, η) = d wzgl dem η dl ξ b. rzy tym zhodzi: γ(ξ) < δ(ξ), gdy Ψ η > 0, orz γ(ξ) > δ(ξ), gdy Ψ η < 0. Zstosujmy terz do ªki I i zmin zmiennyh okre±lon przez odwzorownie S. oniew», b d osiowym, jest ono identyzno±iowe w zmiennej x, otrzymujemy, u»ywj wzoru (33) n zmin zmiennyh w ªe z funkji jednej zmiennej: I i = b dξ δ(ξ) γ(ξ) f(ξ, Ψ)Ψ η dη = f(ξ, Ψ)Ψ η dξdη. Gdy m miejse sytuj Ψ η < 0, to przed osttni ªk nle»y dopis minus. Obie sytuje mo»n obj jednym wzorem: G i G i I i = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. Gdy terz we¹miemy i g wypeªnie«prostok tmi obszru tk,»e n i=1 i, to zhodzi: n i=1 G i G orz n i=1 I i I; otrzymujemy st d: I = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. (34) G A terz! o otrzymnej powy»ej ªki zstosujmy pierwsze przeksztªenie, tzn. T, przeksztªj e obszr n obszr G. ost pujemy w sposób nlogizny jk wy»ej, bo T te» jest przeksztªeniem osiowym; otrzymujemy: I = f(φ(u, v), ψ(u, v)) Ψ η φ u dudv. A poniew» Ψ η φ u jest ilozynem jkobinów obu przeksztªe«s i T, to mmy Ψ η φ u = F. Otrzymli±my wi wzór (32). CBO Uwg. W trzeh (i wi ej) wymirh post pujemy nlogiznie: Korzystmy z rozkªdu odwzorowni n ilozyn trzeh (n) przeksztªe«osiowyh, i post pujemy jk wy»ej tylko nie dw, trzy (n) rzy. rzykª. rzykª. dx. e x

16 3 Cªki zdni 3.1 Cªki po obszrh prostok tnyh 1. Oblizy ªk z funkji f po prostok ie : () f(x, y) = 1 (x+y) 2, = [3, 4] [1, 2]. Odp. ln (b) f(x, y) = 5x 2 y 2y 3, = [2, 5] [1, 3]. Odp () f(x, y) = x2, = [0, 1] [0, 1]. Odp. π. 1+y 2 12 y (d) f(x, y) =, = [0, 1] [0, 1]. Wsk. W jkiej kolejno±i wygodniej (1+x 2 +y 2 ) 3/2 ªkow? Odp. ln (e) f(x, y) = e x+y, = [0, 1] [0, 1]. Odp. (f) f(x, y) = x sin(x + y), = [0, π] [0, π ]. Odp. 2 (g) f(x, y) = x 2 y e xy, = [0, 1] [0, 2]. Odp. 2. () Znle¹ obj to± bryªy ogrnizonej z doªu pªszzyzn xy, z boków pªszzyznmi x = 0, x =, y = 0, y = b, od góry prboloid eliptyzn : z = x2 2p + y2 2q (wszystkie prmetry, b,, d s dodtnie). Odp. b 6 ( 2 + ) b2 p q. (b) To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyzn xy, powierzhni x 2 + z 2 = R 2 dl z > 0 i pªszzyznmi y = 0 i y = H. Wsk. Brdziej nturlne jest lizenie w ukª. wsp. biegunowyh, le 'nie uprzedzjmy wypdków' i lizmy we wsp. krtezj«skih. Odp. (k»dy powinien wiedzie,»e) 1 2 πr2 H. () To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyznmi z = 0, x =, x = b, y =, y = d (b > > 0, d > > 0) i prboloid hiperbolizn Odp. V = (d2 2 )(b 2 2 ) 4m. 3. * okz,»e z = xy m (m > 0). 1 (xy) xy dxdy = x x dx. 0 Uwg. Funkj podªkow wprwdzie nie jest okre±lon w punkie (0, 0), le mo»- n j tm dookre±li deniuj f(0, 0) = okz nierówno± Cuhy'ego Bunikowskiego Shwrz: l dowolnyh i - gªyh n [, b] funkji f, g zhodzi nierówno± ( b 2 b b f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx g 2 (x)dx Wsk. Sªkow funkj (f(x)g(y) g(x)f(y)) 2 po kwdrie [, b] [, b]. 16

17 5. Udowodni nierówno± b f(x)dx b dx f(x) (b )2. dl f i gªej n [, b]. Wsk. Skorzyst z nierówno±i C-B-Shwrz, b d ej tre±i poprzedniego zdni. 3.2 Cªki po obszrh niekonieznie prostok tnyh 1. Zmieni kolejno± ªkowni w ªkh: () (b) dy dx y dx f(x, y) y 1 x 2 0 dy f(x, y) () (d) (e) r dx 2x dx 2rx x 2 x x dy f(x, y) dy f(x, y) 6 x dx dy f(x, y) 2x 2. Rozstwi grnie ªkowni, tzn. znle¹ grnie ªkowni, zpisuj ªk po k»dym z poni»szyh obszrów w posti ªki iterownej: () trójk t ogrnizony prostymi x = 0, y = 0, x + 2y = 4. (b) obszr dny nierówno±imi: x 2 + y 2 4, x 0, y 0. () obszr dny nierówno±imi: x + y 2, x y 2, x 0. (d) obszr dny nierówno±imi:y x 2, y 9 x 2. (e) obszr dny nierówno±i : (x 3) 2 + (y 2) 2 9. (f) obszr ogrnizony krzywymi: y = x 3 i y = x. (g) obszr dny nierówno±imi: y 2 8x, y 2x, y + 4x 24 0 (h) obszr ogrnizony krzywymi y 2 x 2 = 1 i x 2 +y 2 = 9 i zwierj y punkt (0, 0). (i) zworok t o wierzhoªkh: (1, 1), (2, 3), (4, 3), (6, 1). 3. Oblizy ªki: () T r 2 y2 dxdy, gdzie T jest trójk tem o bokh y = 0, y = rx, x = 1, x2 17

18 (b) () T (6 x y)dxdy, gdzie T jest trójk tem o wierzhoªkh (0, 0), (2, 2), (1, 3) x dxdy, gdzie jest obszrem zdeniownym przez nierówno±i: 2 x y 4, 1 y x 2. x 2 (d) I = dxdy, gdzie jest obszrem ogrnizonym przez krzywe: x = y2 2, y = x, xy = 1. Odp. I = 9. Wsk. Któr kolejno± ªkowni b dzie 4 wygodniejsz? (e) I = (x+5y)dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = x, y = 3x, x = 1. Odp. I = (f) I = 2x 2 y 2 dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = 0, x = 1, y = x. Odp. I = Cªki potrójne 1. Oblizy ªki: () (b) C V ( π (1 + x + y + z) 3 dxdydz, gdzie C jest sze±inem [0, 1]3 ; ). z dxdydz, gdzie V jest ostrosªupem ogrnizonym pªszzyzn x+y+z = 2 i pªszzyznmi wspóªrz dnyh; 18

19 4 Zmin zm. w ªe podwójnej 1. Oblizy ªk z funkji f(x, y) = y 2 R 2 x 2 po kole o promieniu R i ±rodku w poz tku ukªdu wspóªrz dnyh. Odp R5. 2. Oblizy obj to± bryªy ogrnizonej pªszzyznmi x = 0, y = 0, z = 0, wlem x 2 + y 2 = R 2 i prboloid hiperbolizn z = xy; hodzi o bryª le» w pierwszej wirte. Odp. 1 8 R4. 3. Oblizy obj to± bryªy Viviniego, tzn. bryªy wyi tej wlem x 2 + y 2 = Rx z kuli x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Odp. 6π 8 9 R Oblizy obj to± bryªy powstªej przez przei ie pod k tem prostym dwu niesko«- zenie dªugih wlów o jednkowej ±redniy 5. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Wspóªrz dne biegunowe. () (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ) (lemniskt Bernoulliego). Odp (b) (x 2 + y 2 ) 2 = 2x 3. Odp. 5 8 π2. () (x 2 + y 2 ) 3 = 2 (x 4 + y 4 ). Odp. 3 4 π2. 6. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Uogólnione wspóªrz dne biegunowe: x = r os φ, y = br sin φ. olizy jkobin! () ( ) x y2 2 b = xy. Odp. 2 b (b) ( ) x y2 2 b = x 2 + y 2. Odp πb(2 + b 2 ). () ( ) x y2 2 b = x 2. Odp. π3 b Znle¹ pole ogrnizone p tl krzywej o poni»szyh równnih. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne r, θ okre±lone przez: x = r os 2 θ; y = r sin 2 θ. () (x + y) 4 = x 2 y. Odp (b) (x + y) 3 = xy. Odp () (x + y) 5 = x 2 y 2. Odp Znle¹ pole powierzhni steroidy x y 2 3 = 2 3. Wsk. Równnie prmetryzne steroidy jest: x = os 3 t, y = sin 3 t, t [0, 2π]. Wprowdzi wspóªrz dne r, t okre±lone przez: x = r os 3 t, y = r sin 3 t. Ile wynosi jkobin? Odp. 3 8 π2. 9. Oblizy ªki: C xydxdy, gdzie C jest (krzywoliniowym) 'zworok tem' ogrnizonym krzywymi: () y = x 3, y = bx 3, y 2 = px, y 2 = qx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y = ξx 3, y 2 = ηx. 19

20 (b) y 3 = x 2, y 3 = bx 2, y = αx, y = βx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y 3 = ξx 2, y 2 = ηx Oblizy ªk 11. Oblizy ªk C C zdxdydz, gdzie C jest górn poªow elipsoidy x2 2 + y2 b 2 + z zdxdydz, gdzie C jest bryª ogrnizon przez tworz sto»k z 2 = h2 (x 2 + y 2 ) i pªszzyzn z = h. R Oblizy ªk (x + y + z) 2 dxdydz, gdzie C jest wspóln z ±i prboloidy C x 2 + y 2 2z i kuli x 2 + y 2 + z Znle¹ ±rodek i»ko±i bryªy ogrnizonej powierzhnimi prboloidy x 2 + y 2 = 2z orz kuli x 2 + y 2 + z 2 = Znle¹ potenjª wl w ±rodku jego podstwy. 15. Oblizy potenjª grwityjny sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. 16. Oblizy nt»enie pol grwityjnego sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. Wsk. Mo»n wykorzyst poprzednie zdnie. 20