1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne"

Transkrypt

1 1 Zbiory przelizlne i nieprzelizlne S ró»ne rodzje niesko«zono±i, mimo i» niesko«zono± oznz si jednym symbolem. Ale niesko«zono± niesko«zono±i nierówn. Uzsdnimy to zrz; le njsmpierw kilk deniji. ef. Mówimy,»e dw zbiory X, Y s równolizne, je±li istnieje bijekj α zbioru X n zbiór Y. rzykª. w zbiory sko«zone s równolizne wtedy i tylko wtedy, gdy mj t sm ilo± elementów. ef. Zbiór X nzywmy przelizlnym, je±li jest równolizny ze zbiorem lizb nturlnyh N. Obrzowo mówimy,»e X jest przelizlny, je±li wszystkie jego elementy mo»n ustwi w i g, lbo te», je±li wszystkie jego elementy mo»n ponumerow lizbmi nturlnymi. rzykª. Zbiór X = N {0} jest przelizlny. Štwo bowiem skonstruow bijekj α zbioru X n N: α(0) = 1, α(1) = 2, α(2) = 3,..., α(k) = k + 1,... RYS. Mo»n powy»sz bijekj zpis symboliznie jko 1 + = rzykª. Zbiór lizb przystyh N p = {2, 4, 6, 8,... } jest przelizlny. Bijekj α : N p N mo»n skonstruow tk: α(2) = 1, α(4) = 2; α(6) = 3;..., α(2k) = k,... RYS. Brdzo podobnie pokzuje si,»e zbiór lizb nieprzystyh te» jest przelizlny. Sytuj t mo»n zobrzow pisz + = rzykª. Zbiór lizb ªkowityh jest przelizlny. Bijekj α : Z N: α(0) = 1; α(1) = 2; α( 1) = 3; α(2) = 4; α( 2) = 5;..., α(k) = 2k, α( k) = 2k+1,... rzykª. Zbiór N 2 = N N jest przelizlny. Ustwmy bowiem jego elementy w i g: {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3),... } RYS. Aby d upust pedntyzno±i, zpiszmy t bijekj wzorkiem (-mi): rze (, b) przyporz dkowujemy numer 1 2 [(+b)2 3b]+1. Troh jest gimnstyki przy sprwdzniu, le sprwdz si,»e odwzorownie N 2 N: (, b) 1 2 [( + b)2 3b] + 1 jest bijekj. Znów to symboliznie podsumowujemy pisz =. rzykª. Z powy»szego przykªdu ªtwo wynik,»e zbiór lizb wymiernyh (n rzie, powiedzmy, dodtnih) jest przelizlny. Bowiem k»d lizb wymiern p mo»n zkodow q 1

2 jko pr lizb nturlnyh (p, q), gdzie p i q s nieskrlne; zbiór tkih pr stnowi podzbiór N N. rzykª. Zbiór lizb rzezywistyh n odinku [0, 1] NIE jest przelizlny. W elu udowodnieni tego stwierdzeni posªu»my si ukªdem dwójkowym zpisu lizby, i zuw»my,»e k»d lizb rzezywist z przedziªu [0, 1] mo»n zpis jko pewien i g zer i jedynek (yfr po przeinku rozwini i dwójkowego lizby). rzypu± my, ze lizby rzezywiste z przedziªu [0, 1] s przelizlne, tzn. ddz si ustwi w pewien i g { 1, 2,... }. ok»emy,»e istnieje lizb rzezywist x, któr nie jest elementem powy»szego i gu. W tym elu zpiszmy rozwini i dziesi tne wszystkih lizb: 1 = ( 1 1, 1 2, 1 3,... ) 2 = ( 2 1, 2 2, 2 3,... ). k = ( k 1, k 2, k 3,... ). (tu i j jest j t yfr rozwini i dwójkowego lizby i ). Lizb x konstruujemy nst puj o: Je±li n pierwszym miejsu rozwini i dziesi tnego lizby 1 jest 0, to jko pierwsz yfr rozwini i dziesi tnego x bierzemy 1; i n odwrót. (tzn. je±li 1 1 = 0, to x 1 1 = 1; orz je±li 1 1 = 1, to x 1 1 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1. je±li 2 2 = 0, to x 2 2 = 1; orz je±li 2 2 = 1, to x 2 2 = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1 ni 2. Itd.; ogólnie: je±li k k = 0, to x k k = 1; orz je±li k k = 1, to x k k = 0). Lizb x ztem nie jest równ 1, 2,... k. W ten sposób znle¹li±my lizb x, któr nie jest równ»dnemu wyrzowi i gu { 1, 2,... }, o ±widzy,»e i g ten nie zwier wszystkih lizb rzezywistyh z przedziªu [0, 1]. A ztem zbiór tyh lizb nie jest przelizlny. CBO 2 Cªk podwójn w prostok ie 2.1 rostok ty, ih podziªy, obj to± dwuwymirow Nieh f(x, y) b dzie ogrnizon funkj okre±lon n prostok ie domkni tym, gdzie jest dny nierówno±imi x b, y d. ef. Obj to±i (dwuwymirow ) prostok t nzywmy ilozyn jego boków: = (b )(d ) ef. Wn trzem prostok t nzywmy zbiór okre±lony nierówno±imi ostrymi: Int = {(x, y) : < x < b, < y < d} odzielmy prostok t n n dowolnyh prostok tów domkni tyh p 1, p 2,..., p n. Tzn. mmy: = n i=1p i, Int p i Int p j = dl i j. 2

3 ef. owy»sze rozbiie prostok t n mniejsze nzywmy podziªem π, tzn.. Zhodzi: π = {p 1, p 2,..., p n } (1) = p 1 + p p n. Nieh π podziª orz π 1 = {q 1,..., q k } inny podziª. Mówimy,»e π 1 jest drobniejszy ni» π, je»eli p i = q i1 q i2... q im, i = 1, 2,..., n. Nieh prostok t p i m boki i, b i. eniujemy ±redni podziªu π (1 jko 2.2 Zbiory o zerowej obj to±i δ π = mx 1 i n { i, b i }. ef. Nieh X R 2. Mówimy,»e X m mir Lebesgue' równ zeru (lub,»e X jest miry zero), je»eli dl k»dego ɛ > 0 istnieje tki i g prostok tów 1, 2,..., n,...,»e rzykª. X i i orz 1. unkt x R 2 jest zbiorem miry zero. i < ɛ i 2. Sko«zony zbiór punktów w R 2 jest zbiorem miry zero. 3. Odinek o sko«zonej dªugo±i α jest zbiorem miry 0. (mo»n go zwrze w prostok ie o dªugo±i α i dowolnie mªej wysoko±i). 4. K»dy przelizlny zbiór punktów R 2 jest zbiorem miry zero. dow. onumerujmy elementy : = d 1 d 2..., nst pnie pokryjmy k»dy element d k kwdrikiem o bokh ɛ k ; sum pól powierzhni tyh kwdrików jest dn szeregiem geometryznym k ɛ 2k = ɛ2, jest wi sko«zon i mo»n j uzyni 1 ɛ 2 dowolnie mª. 5. We¹my R 1 ; zbiór lizb wymiernyh jest miry zero (jko»e jest przelizlny). 2.3 enij ªki Nieh M i m b d kresmi górnymi i dolnymi odpowiednio funkji f w prostok ie, z± M i orz m i kresmi górnymi i dolnymi funkji f w prostok ie p i. Nieh ξ 1 i, ξ 2 i b dzie dowolnym punktem prostok t p i. Zbiór wszystkih punktów {ξ 1 i, ξ 2 i }, i = 1,..., n nzwijmy wypunktowniem podziªu π i nzwijmy ξ. Utwórzmy nlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej trzy sumy: S(f, π) = m 1 p 1 + m 2 p m n p n = n i=1 m i p i ; (2) 3

4 (sum doln), (sum wypunktown), orz σ(f, π, ξ) = n i=1 f(ξ 1 i, ξ 2 i ) (3) S(f, π) = M 1 p 1 + M 2 p M n p n = n i=1 M i p i (4) (sum górn). Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, speªnij one nierówno±i m S(f, π) σ(f, π, ξ) S(f, π) M. (5) Równie» nlogiznie, jk w przypdku funkji jednej zmiennej, deniujemy ªk górn orz doln : ef. Cªk górn z funkji f nzywmy inmum z S(f, π) po wszystkih mo»liwyh podziªh: f = inf π i nlogiznie ªk doln z funkji f nzywmy f = sup π S(f, π) S(f, π) i tko» podobnie, jk dl funkji jednej zmiennej, deniujemy funkje ªkowlne: ef. Mówimy,»e funkj f jest ªkowln w sensie Riemnn, je»eli ªki: górn i doln s równe: f = f. W tkim przypdku t wspóln grni oznzmy jko Mj miejse nst puj e twierdzeni (dowodzi si ih nlogiznie jk dl funkji jednej zmiennej): Tw. Nieh f funkj ogrnizon n prostok ie. Je»eli f jest ªkowln n w sensie Riemnn, to dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0, i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do f. f niezle»nie od sposobu wypunktowni. Zhodzi te» twierdzenie (prwie) odwrotne: Tw. Nieh f funkj rzezywist n prostok ie. (Uwg. Nie zkªdmy,»e f musi by ogrnizon). Je»eli dl dowolnego i gu {π k } podziªów tkiego,»e δ k πk 0 i g wypunktownyh sum Riemnn jest zbie»ny do grniy niezle»nej od sposobu wypunktowni, to f jest ogrnizon i ªkowln w sensie Riemnn. Ozywiste jest 4

5 Tw. Je±li jest sum (mnogo±iow ) dwu prostok tów 1, 2 o rozª znyh wn trzh, f jest funkj ªkowln n, to f = f + f 1 2 odobnie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzi si Tw. Nieh f, g funkje ªkowlne n orz λ R. Wtedy ªkowlne n s te» funkje f + g orz λf, przy zym zhodz równo±i (f + g) = f + g, (6) Zpytjmy terz: λf = λ 2.4 Jkie funkje n pewno s ªkowlne? f. (7) Anlogiznie jk w przypdku funkji jednej zmiennej, dowodzimy,»e s ªkowlne funkje i gªe: Tw. Je»eli f jest i gª n prostok ie, to jest ªkowln (tzn. istnieje f). Równie» niektóre niei gªe funkje s ªkowlne. okªdniej, m miejse Tw. Je»eli funkj f n prostok ie jest ogrnizon i posid zbiór punktów niei gªo±i miry 0, to jest ªkowln. ow. Nieh N b dzie zbiorem punktów niei gªo±i funkji f. We¹my i g rodzin {Π k } prostok tów pokrywj yh N. Zkªdmy,»e k»dy element rodziny (tzn. zbiór prostok tów) jest sko«zony. Oznzmy przez Π k,j j ty prostok t k tej rodziny orz przez ɛ k pole powierzhni zbioru prostok tów Π k, tzn. ɛ k = j Π k,j. Zkªdmy,»e lim ɛ k = 0, poniew» z zªo»eni N jest zbiorem miry zero. K»dy zbiór Π k uzupeªnimy k do podziªu π k prostok t tk, by byª speªniony wrunek lim δ πk = 0. k Nieh M = sup f, m = inf f. Zdeniujmy funkje f +, f f + : Je±li x Π k, to f + (x) = M, je±li x Π k, to f + (x) = f(x). Anlogiznie dl f : Je±li x Π k, to f (x) = M, je±li x Π k, to f (x) = f(x). Zuw»my,»e f + i f s ªkowlne. We¹my jkie± wypunktownie ξ k podziªu π k. Mmy: S(f, π k, ξ k ) S(f, π k, ξ k ) S(f +, π k, ξ k ); ró»ni pomi dzy dwom skrjnymi wyrzmi jest równ ɛ k (M m) i d»y do zer, gdy k, bo wtedy ɛ k 0. Ztem ob skrjne wyrzy d» do wspólnej wrto±i niezle»nej od podziªu ξ k. Tk wi grni wyrzu ±rodkowego istnieje i jest niezle»n od wypunktowni, zyli f jest ªkowln. 2.5 Interpretj geometryzn ªki CBO Wiele ªek posid wyrzisty sens geometryzny lub zyzny 1. Aby brdziej to spreyzow, wprowdzimy poj ie miry Jordn podzbiorów R n ; zznijmy od R 2. 1 Ni dziwnego, bo poj ie ªki byªo odpowiedzi n zpotrzebowni ze strony zyki b d¹ mtemtyki, w szzególno±i geometrii... 5

6 Nieh b dzie obszrem lub dowolnym zbiorem pªskim ogrnizonym. Zwrzyjmy go w pewnym kwdrie Q. We¹my jki± podziª π = {p 1, p 2,..., p n } prostok t Q. Oznzmy: 1. Nieh S π b dzie sum pól tyh prostok tów, które zwierj jki± punkt zbioru ; 2. Nieh s π b dzie sum pól tyh prostok tów, które s zwrte w zbiorze. Je±li tkih prostok tów nle» yh do podziªu nie m, to przyjmujemy s π = 0. RYS. Mmy ozywiste nierówno±i: 0 s π S π Q. Zbiór wszystkih sum S π, odpowidj yh ró»nym podziªom kwdrtu Q, m kres dolny (jko zb. ogrnizony z doªu). Ten kres dolny oznzmy S i nzywmy mir zewn trzn zbioru : S = sup S π π Anlogiznie zbiór wszystkih sum s π m kres dolny (jko zb. ogrnizony z góry), który oznzmy s i nzywmy mir wewn trzn zbioru : s = inf π Ozywi±ie zhodzi: s S. Je»eli zhodzi równo± : s π s = S, to zbiór nzywmy mierzlnym powierzhniowo w sensie Jordn, wspóln wrto± obu mir nzywmy mir pªsk Jordn (lub po prostu polem powierzhni) zbioru. Anlogiznie deniuje si mir Jordn w innyh wymirh (w jednym wymirze wpisuje si w zbiór i opisuje n nim odinki; w trzeh wymirh prostopdªo±iny itd.) Mir Jordn jest brdzo intuiyjnym poj iem, le m t wd,»e mo»e nie istnie ju» w przypdku nieo 'udziwnionyh' zbiorów; i tk np. nie istnieje mir Jordn zbioru lizb wymiernyh n odinku [0, 1] (mir wewn trzn jest tu 0, zewn trzn 1). Ale do elów ªkowni funkji, z którymi b dziemy mie do zynieni, poj ie miry Jordn nm wystrzy 2. B d uzbrojeni w poj ie miry Jordn, ªtwo zobzymy interpretj geometryzn ªki: Nieh f = equivf(x, y) b dzie funkj ªkowln i dodtni w prostok ie. Wówzs zbiór V R 3, okre±lony nierówno±imi: x b; y d; 0 z f(x, y) 2 o mierzeni tkih 'dziwniejszyh' zbiorów wprowdz si mir Lebesgue'. Jest on skutezniejsz ni» mir Jordn: Gdy zbiór jest mierzlny w sensie Jordn, to jest te» mierzlny wg Lebesgue' (np. mir Lebesgue' zb. lizb wymiernyh n [0, 1] jest 0). Mir Lebesgue' obejmuje znkomit wi kszo± przypdków, z którymi przyhodzi zetkn si w zye (zkolwiek s zbiory niemierzlne równie» w sensie Lebesgue'!) le wymg nieo zhrtowni w bstrkji. enije mo»n znle¹ np. w ksi»e F. Lei, 'Rhunek ró»nizkowy i ªkowy'. 6

7 m dobrze okre±lon obj to±, bo ªk górn równ jest mierze zewn trznej zbioru V, z± ªk doln mierze wewn trznej, poniew» f jest ªkowln, to miry te s równe. Oznzj obj to± (trójwymirow mir Jordn) zbioru V jko V, mmy wi V = f. (8) 2.6 Cªki iterowne Nieh f f(x, y) t dzie funkj okre±lon i ogrnizon w prostok ie, gdzie x b, y d. Nieh przy k»dym ustlonym x istnieje ªk pojedynz φ(x) d f(x, y)dy. (9) Cªk t jest funkj zmiennej x i jest okre±lon w przedzile x b; oznzmy j jko φ(x). Je»eli φ(x) jest ªkowln n [, b], to ªk b [ b ] d b d inne ozn. φ(x)dx f(x, y)dy dx = dx dy f(x, y) (10) nzywmy ªk iterown funkji f(x, y) (lizon w kolejno±i: njpierw po y potem po x). Anlogiznie okre±lmy ªk iterown, lizon w drugiej mo»liwej kolejno±i (njpierw po x potem po y): Okre±lmy funkj ψ(y) przez ψ(y) = b f(x, y)dx przy zªo»eniu,»e przy k»dym y [, d] t ªk istnieje, nst pnie d [ d ] b d b inne ozn. ψ(y)dy f(x, y)dx dy = dy dx f(x, y) (11) rzykª. 2.7 Zmin ªki podwójnej n iterown (tw. Fubiniego) Opróz oznzeni f n ªk z funkji f po prostok ie, z sto zhodzi potrzeb jwnego wypisni rgumentów funkji, i wtedy posªugujemy si równow»nym oznzeniem: f = f(x, y)dxdy. W poprzednim przykªdzie obie ªki iterowne okzªy si by równe. Ten fkt jest nieprzypdkowy. M bowiem miejse Tw. Je±li funkj f(x, y) jest i gª w prostok ie, to obie ªki iterowne (10) i (11) istniej i s równe ªe podwójnej: b d dx dy f(x, y) = f(x, y)dxdy = 7 d b dy dx f(x, y) (12)

8 ow. odzielmy prostok t n m n prostok tów, dziel przedziª [, b] (m + 1) punktmi = x 0 < x 1 < < x m = b n m przedziªów p x i = [x i 1, x i ] i nlogiznie, przedziª [, d] dzielimy (n + 1) punktmi = y 0 < y 1 < < y n = d n n przedziªów p y j = [x j 1, x j ], i rysuj odinki równolegªe do osi x, y przehodz e przez punkty podziªu. RYS.. rzez x i oznzmy dªugo± przedziªu p x i orz przez y k dªugo± przedziªu p y k. Zkªdmy przy tym,»e lim m (sup 1 i m x i ) 0 i nlogiznie lim n (sup 1 k n y k ) 0. l prostok t ik = [x i 1, x i ] [y k 1, y k ], nieh m ik (odpowiednio M ik ) oznzj kres dolny ( odp. górny) funkji f n ik. Nieh ξ i oznz dowolny punkt przedziªu x i, orz nieh φ(x) b dzie zdeniown przez (9). Nówzs mmy: φ(ξ i ) = d f(ξ i, y)dy = y1 f(ξ i, y)dy + y2 y 1 f(ξ i, y)dy + + d y n 1 f(ξ i, y)dy Mmy te»: m ik f(ξ i, y) M ik dl y [y k 1, y k ], o prowdzi do i gu nierówno±i: m i1 y 1 y1 y2 f(ξ i, y)dy M i1 y 1, m i2 y 2 f(ξ i, y)dy M i2 y 2, y 1... m in y n d y n 1 f(ξ i, y)dy M in y n. odj te nierówno±i stronmi, nst pnie mno» przez x i i sumuj po i, otrzymmy m n m m n m ik y k x i φ(ξ i ) x i i=1 k=1 i=1 i=1 k=1 M ik y k x i. (13) ierwsz (lew) z tyh sum jest sum doln, osttni (prw) sum górn dl funkji f w prostok ie ; ±rodkow z± jest sum wypunktown funkji φ(x) w przedzile [, b]. We¹my terz grni m, n ; wtedy njdªu»szy z odinków x i, y k d»y do zer, sumy skrjne z nierówno±i (13) d» do wspólnej grniy ªki podwójnej z funkji f. Sum ±rodkow d»y wi do tej smej grniy, przy zym t grni jest ªk iterown (10). W ten sposób pokzli±my pierwsz z równo±i (12). owód drugiej równo±i jest nlogizny. Uwgi. 1. W powy»szym dowodzie korzystli±my jedynie z zªo»e«,»e Istnieje ªk podwójn f(x, y)dxdy, orz istnieje ªk pojedynz φ(x) = d f(x, y)dy dl k»dego x [, b]; CBO dltego te» tez twierdzeni pozostje sªuszn równie» przy tyh sªbszyh zªo»enih je±li s one speªnione, to np. f nie musi by i gª. 8

9 2. Gdy f jest i gª, to powy»sze tw. mówi,»e wszystkie trzy ªki (podwójn i obie iterowne) s równe. Gdy f nie jest i gª, to mog si zdrzy ró»ne sytuje; np. jedn z ªek istnieje, inne nie; lbo gdy istniej, to nie s równe. rzykªdy s w III tomie Fihtenholz. Twierdzenie Fubiniego odgryw w»n rol przy efektywnym wylizniu ªek (nie tylko zreszt tm), poniew» sprowdz obliznie ªki podwójnej do oblizeni dwóh ªek pojedynzyh. rzypdek szzególny: Gdy f(x, y) jest ilozynem dwu funkji, z któryh k»d zle»y od jednej zmiennej: f(x, y) = u(x)v(y), to mmy ( ) ( b ) d f(x, y)dxdy = u(x) dx v(x) dy, (14) bo: [ b ] d [ b ] d f(x, y) dxdy = dx dy u(x)v(y) = dx u(x) dy v(y) to jest ilozyn ªek wyst puj y po prwej stronie równo±i (14). 2.8 Cªk podwójn w zbiorze dowolnym Nieh f b dzie funkj okre±lon i ogrnizon w pewnym zbiorze ogrnizonym R 2 (RYS.) Zwrzyjmy w pewnym prostok ie i funkj f, okre±lon n, rozszerzmy do funkji f 0 okre±lonej n ªym prostok ie w ten sposób,»e f 0 (x, y) = f(x, y) dl (x, y) ; f 0 (x, y) = 0 dl (x, y). (15) ef. Mówimy,»e f jest ªkowln n zbiorze, je±li istnieje ªk f 0 (x, y) dxdy. W tkim przypdku, ªk z funkji f n zbiorze oznzmy f(x, y) dxdy (16) i, zgodnie z powy»sz denij, mmy f(x, y) dxdy = f 0 (x, y) dxdy. (17) Štwo zobzy,»e okre±lenie to nie zle»y od wyboru prostok t. Nieh f(x, y) b dzie funkj nieujemn n zbiorze. Oznzmy przez V zbiór punktów (x, y, z) R 3 okre±lony nierówno±imi 0 z f(x, y) dl (x, y). (18) Sum górn dl ªki (17) jest sum obj to±i prostopdªo±inów zwierj yh zbiór V, z± sum doln sum obj to±i prostopdªo±inów zwrtyh w V. Je±li wi ªk (20) istnieje, to zbiór V jest mierzlny obj to±iowo i jego obj to± wyr» si ªk V = f(x, y) dxdy (19) 9

10 rzypdek szzególny: Zuw»my,»e obj to± prostopdªo±inu o wysoko±i 1 równ jest polu podstwy. Bior terz f(x, y) 1 w ªym zbiorze, widzimy,»e sum górn dl ªki (20) jest sum pól prostok tów zwierj yh zbiór, sum doln sumie pól prostok tów zwrtyh w. St d otrzymujemy Stw. Je±li f(x, y) 1, to ªk (20) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór pªski jest mierzlny powierzhniowo. ole obszru wyr» si wówzs ªk dxdy. (20) Wiemy,»e s zbiory niemierzlne; i w zwi zku z tym n pewno nie po k»dym obszrze b dziemy mogli ªkow. Nsuw si wobe tego pytnie, ªk po jkih obszrh b dzie istniª? Znkomit wi kszo± obszrów, z którymi mmy do zynieni w zye, s to obszry ogrnizone przez krzywe i gªe. B dziemy si zjmow krzywymi, które mo»n zd równniem y = f(x), gdzie f jest funkj i gª. Njsmpierw pok»my: Stw. Krzyw o równniu y = f(x), gdzie f i gª orz x [, b], m dwuwymirow mir Jordn równ zeru. ow. Wiemy,»e funkj f(x) n odinku domkni tym jest tm jednostjnie i gª. Skoro tk, to przedziª mo»n podzieli n sko«zon ilo± odinków tkih,»e n k»- dym z nih whnie funkji (tzn. ró»ni mi dzy wrto±i njmniejsz i njwi ksz ) jest ɛ dowolnie mª; we¹my np., gdzie ɛ jest zdn dowolnie mª nieujemn lizb. Cª b krzyw n przedzile [, b] mo»n wi pokry prostok tmi o ª znej podstwie b i wysoko±i, wi o ª znym polu ɛ dowolnie mªym. RYS. CBO ɛ b Zdeniujmy jeszze: ef. Obszr regulrny to tki, który jest ogrnizony sko«zon ilo±i krzywyh o równniu y = f(x) lub x = g(y), gdzie f, g i gªe. Ze Stw. pokznego wy»ej wyi gmy wniosek: Wniosek Obszr regulrny jest mierzlny. ow. Je±li S n jest sum pól prostok tów pokrywj yh obszr, s n sum pól prostok - tów zwrtyh w, to S n s n jest sum pól prostok tów pokrywj yh brzeg obszru, tzn. krzyw ogrnizj obszr. Z dowodu poprzedniego stw. widzimy, z t ró»ni jest dowolnie mª tk wi obszr jest mierzlny. 2.9 Cªk podwójn w obszrze regulrnym CBO Z fktów pokznyh wy»ej ªtwo wynik Stw. Funkj f(x, y) ogrnizon i i gª w obszrze regulrnym jest ªkowln. ow. Zwrzyjmy obszr w jkim± prostok ie i rozszerzmy funkj f do funkji f 0 n w stndrdowy sposób dny przez (15). Wtedy f 0 jest niei gª o njwy»ej n brzegu obszru, tk wi w my±l tw. CO BYŠO 2 STRONY WCZESNIEJ jest ªkowln n, to znzy,»e f jest ªkowln n. CBO odzielmy obszr jk ± krzyw γ n dw obszry regulrne 1 i 2 ; mmy wi = 1 2 (RYS.). Nieh f(x, y) b dzie funkj ogrnizon i i gª n. Zwrzyjmy 10

11 w pewnym prostok ie i nieh: f 0 (x, y) = f(x, y) n, f 0 (x, y) = 0 n \ ; f 1 (x, y) = f(x, y) n 1, f 1 (x, y) = 0 n \ 1 ; f 2 (x, y) = f(x, y) n 2 \ γ, f 0 (x, y) = 0 n ( \ 2 ) γ. Wtedy: f 0 = f 1 +f 2 w ªym prostok ie, ztem z wzoru (6) dl obszrów prostok tnyh mmy f 0 = f 1 + o jest równow»ne bior pod uwg denije funkji f 1 i f 2 równo±i f = f + f. (21) Obszr normlny i ªki iterowne tm»e ef. Obszr regulrny okre±lony nierówno±imi f 2 x b, φ(x) y ψ(x) (22) gdzie φ(x) i ψ(x) s funkjmi i gªymi w przedzile [, b] orz zhodzi: φ(x) < ψ(x) dl k»dego x [, b], nzywmy obszrem normlnym wzgl dem osi x. RYS. Ok»e si zrz,»e m miejse Stw. Cªk z funkji f(x, y) ogrnizonej i i gªej w obszrze normlnym (22) mo»n zmieni n ªk iterown wedªug wzoru b ψ(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy (23) ow. Zwrzyjmy obszr w prostok ie, gdzie x b, y d. Rozszerzmy funkj f n do funkji (te» nzwijmy j f) n, kªd f(x, y) = 0 w punkth prostok t nie nle» yh do obszru. Cªk po lewej stronie wzoru (23) jest równ f(x, y)dxdy. o tej ªki mo»n stosow tw. Fubiniego dl obszrów prostok tnyh; mmy wi : f(x, y)dxdy = b φ(x) d dx dyf(x, y). (24) Cªk wewn trzn rozªó»my terz, przy jkim± ustlonym x, n trzy ªki: d f(x, y)dy = φ(x) f(x, y)dy + ψ(x) φ(x) f(x, y)dy + d ψ(x) f(x, y)dy ierwsz i trzei z powy»szyh ªek s równe zeru, bo dl y w przedziªh y [, φ(x)] orz y [ψ(x), d] funkj podªkow jest równ zeru. Uwzgl dnij to we wzorze (24), otrzymujemy to o mieli±my pokz, zyli wzór (23). CBO rzykª. Uwg. Je»eli obszr regulrny dje si podzieli n sko«zon ilo± obszrów normlnyh 1, 2,..., n, to ªk w obszrze równ si sumie ªek po poszzególnyh obszrh i (n moy wzoru (21). 11

12 2.11 Odwzorowni R 2 R 2 i przeksztªeni osiowe odrozdziª ten w istotny sposób korzyst z deniji i twierdze«dotyz yh odwzorow«, wi dl Czytelnik wygodne b dzie przypomnienie sobie tre±i rozdziªu temu po±wi onego. Tu w wolnej hwili zostn przytozone twierdzeni, z któryh b dzie korzystne.??? Gdzie± tu: ef. obszru n wym. jko domkni i zbioru otwrtego; i brzeg skªd si ze sko«zonej sumy wykresów funkji n 1 zm.; mo»e to gdzie± przy ªkowniu po obszrh nieprostok tnyh??? ef. Odwzorownie Φ : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = v (25) gdzie φ jest ró»nizkowln w sposób i gªy, nzywmy przeksztªeniem osiowym. Uwg. Z bezpo±redniego rhunku wynik,»e pohodn (mierz Jobiego) odwzorowni Φ jest: [ ] φu φ Φ = v 0 1 jkobin, zyli wyznznik tej»e mierzy, jest Φ = φ u (26) l tyh, o znj denij permutji: ef. Ogólniej, przeksztªeniem osiowym obszru n wymirowego nzywmy dwzorownie Φ : R n (u 1, u 2,..., u n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n, nzywmy odwzorownie okre±lone tk: x i = φ(u 1, u 2,..., u n ) dl pewnego i {1, 2,..., n} (tu φ(u 1,..., u n ) jest funkj n zmiennyh klsy C 1 ), dl pozostªyh zmiennyh x 1,..., x n (opróz x i ) odwzorownie jest okre±lone przez: x j = u π(j), π pewn permutj zbioru (n 1) elementowego, z± j = 1, 2,..., n (opróz jednej lizby k {1, 2,..., n}). A i, o nie znj def. permutji, nieh poznj, je±li nie, to nieh si zdowol poni»szym przykªdem. rzykª. Odwzorowni Φ, Γ : R 3 (u, v, w) (x, y, z) R 3, okre±lone równnimi x = φ(u, v, w) Φ : y = v z = w x = w zy też : Γ : y = ψ(u, v, w) z = u (gdzie φ, ψ s funkjmi klsy C 1 ) s przeksztªenimi osiowymi. Wyk»emy terz Stw. Odwzorownie F : R 2 (u, v) (x, y) R 2, okre±lone jko: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) dje si w otozeniu k»dego punktu (u 0, v 0 ), gdzie F (u 0, v 0 ) 0, przedstwi jko zªo»enie dwu przeksztªe«osiowyh. ow. ohodn (tzn. mierz Jobiego) odwzorowni F jest równ [ ] φu φ F = v ψ u ψ v 12

13 wi by wyznznik F byª ró»ny od zer, musi by φ u 0 lub φ v 0. Zªó»my,»e wi φ u (u 0, v 0 ) 0. Skoro tk, to (z tw. o funkji uwikªnej) mo»n w otozeniu punktu (u 0, v 0 ) jednoznznie rozwi z równnie x = φ(u, v) wzgl dem u, tzn. wyrzi u jko funkj od x, v: u = g(x, v). Funkj g(x, v) speªni: g(φ(u, v), v) = u (27) Nieh terz odwzorowni T : (u, v) (ξ, η) orz S : (ξ, η) (x, y) (ob wi R 2 R 2 ) b d okre±lone nst puj o: T : { ξ = φ(u, v) η = v S : { x = ξ y = ψ(g(ξ, η), η) Ψ(ξ, η) (28) gdzie w odwzorowniu S funkj g jest okre±lon przez (27). Ob odwzorowni S i T s odwzorownimi osiowymi. Zhodzi te»: bowiem z bezpo±redniego rhunku wynik,»e: F = S T (29) x = ξ = φ(u, v); y = ψ(g(ξ, η), η) = ψ(g(φ(u, v), v), v) = ψ(u, v) (w osttniej równo±i skorzystli±my z wªsno±i (27) funkji g). Znle¹li±my wi szukne przedstwienie odwzorowni F jko zªo»eni dwu przeksztªe«osiowyh. CBO Uwg. Anlogizn sytuj m miejse w wy»szyh wymirh: Odwzorownie R n R n w otozeniu punktu, gdzie jego mierz Jobiego jest nieosobliw, dje si przedstwi jko zªo»enie n przeksztªe«osiowyh. Nszkiujemy sposób post powni dl n = 3. Zpiszmy G : R 3 R 3 w skªdowyh jko: x = φ(u, v, w) y = ψ(u, v, w) (30) z = χ(u, v, w) Zkªdmy,»e w punkie (u 0, v 0, w 0 ) mierz Jobiego G(u 0, v 0, w 0 ) jest nieosobliw. Skoro tk, to przynjmniej jedn z pohodnyh z stkowyh skªdowej φ jest ró»n od zer; przyjmijmy,»e φ u 0. Wobe tego mo»emy równnie x = φ(u, v, w) rozwi z wzgl dem u; oznzmy: u = g(x, v, w). Odwzorownie G mo»n wtedy zpis w posti zªo»eni dwóh przeksztªe«: ξ = φ(u, v, w) η = v ζ = w orz x = ξ y = ψ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) z = χ(g(ξ, η, ζ), η, ζ) ierwsze z nih jest przeksztªeniem osiowym, drugie dje si znowu rozªo»y n ilozyn dwóh przeksztªe«osiowyh. Rozkªd dowolnego odwzorowni n ilozyn przeksztªe«osiowyh jest w»ne, bo tego rozkªdu u»yw si w dowodzie wzoru n zmin zmiennyh w ªkh wielokrotnyh. 13

14 2.12 Tw. o zminie zmiennyh w ªkh podwójnyh Nieh F : R 2 (u, v) (x, y) R 2 b dzie okre±lone wzorem: { x = φ(u, v) y = ψ(u, v) (31) gdzie orz s obszrmi regulrnymi. Nieh w obszrze b dzie okre±lon funkj f(x, y), ogrnizon i i gª. Zhodzi: Tw. Je»eli: 1. Odwzorownie F jest klsy C 1 w obszrze zwierj ym obszr i jego brzeg Γ; 2. F odwzorowuje n bijektywnie; 3. jkobin F wewn trz obszru jest ró»ny od zer, to zhodzi wzór f(x, y)dxdy = f(φ(u, v), η(u, v)) F dudv (32) gdzie (by wszystko mie pod r k ) F = [ φu φ v ψ u ψ v ] (x, y) (u, v) Uwg. Wzór ten jest odpowiednikiem wzoru n zmin zmiennyh w ªkh z funkji jednej zmiennej, które te» tu dl wygody przypomnimy: Nieh funkj ϕ klsy C 1 b dzie bijekj odink [, d] n [, b]; nieh x = ϕ(t), orz ϕ() = i ϕ(d) = b. Wtedy dl dowolnej funkji f i gªej n [, b] zhodzi: b d dϕ f(x) dx = f(ϕ(t)) dt dt (33) Wzór ten zrz b dziemy wykorzystyw, bo dowód wzoru (32) sprowdzimy, z pomo przeksztªe«osiowyh, do dwukrotnego u»yi wzoru (33). ow. Z tw. udowodnionego w poprzednim podrozdzile, odwzorownie F okre±lone przez (31) dje si rozªo»y n ilozyn dwu odwzorow«osiowyh; zªó»my, i» relizujemy to z pomo wzorów (28) i (29). Nieh T : G, z± S : G RYS.. Z tw. o wyznzniku ilozynu mierzy, orz z wzoru (26) n jkobin przeksztªeni osiowego, mmy wyr»enie n jkobin odwzorowni F : F = φ u Ψ η. Nieh 1, 2,..., n b d prostok tmi zwrtymi w, przeinj ymi si o njwy»ej n brzegh. Zªó»my,»e ró»ni pól n i=1 i jest mniejsz ni» ɛ dowolnie zdn lizb. Nieh prostok t i b dzie okre±lony nierówno±imi x b, y d. Oznzmy: b d f(x, y)dxdy, I i = dx dy f(x, y); mmy: I n i=1 I i < Mɛ, gdzie M = sup f(x, y). (x,y) 14

15 Zuw»my,»e przeksztªenie S odwzorowuje n prostok t i pewien obszr G i, ogrnizony prostymi ξ =, ξ = b orz krzywymi η = γ(ξ), η = δ(ξ), RYS. gdzie γ(ξ) i δ(ξ) s rozwi znimi równni Ψ(ξ, η) = orz Ψ(ξ, η) = d wzgl dem η dl ξ b. rzy tym zhodzi: γ(ξ) < δ(ξ), gdy Ψ η > 0, orz γ(ξ) > δ(ξ), gdy Ψ η < 0. Zstosujmy terz do ªki I i zmin zmiennyh okre±lon przez odwzorownie S. oniew», b d osiowym, jest ono identyzno±iowe w zmiennej x, otrzymujemy, u»ywj wzoru (33) n zmin zmiennyh w ªe z funkji jednej zmiennej: I i = b dξ δ(ξ) γ(ξ) f(ξ, Ψ)Ψ η dη = f(ξ, Ψ)Ψ η dξdη. Gdy m miejse sytuj Ψ η < 0, to przed osttni ªk nle»y dopis minus. Obie sytuje mo»n obj jednym wzorem: G i G i I i = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. Gdy terz we¹miemy i g wypeªnie«prostok tmi obszru tk,»e n i=1 i, to zhodzi: n i=1 G i G orz n i=1 I i I; otrzymujemy st d: I = f(ξ, Ψ) Ψ η dξdη. (34) G A terz! o otrzymnej powy»ej ªki zstosujmy pierwsze przeksztªenie, tzn. T, przeksztªj e obszr n obszr G. ost pujemy w sposób nlogizny jk wy»ej, bo T te» jest przeksztªeniem osiowym; otrzymujemy: I = f(φ(u, v), ψ(u, v)) Ψ η φ u dudv. A poniew» Ψ η φ u jest ilozynem jkobinów obu przeksztªe«s i T, to mmy Ψ η φ u = F. Otrzymli±my wi wzór (32). CBO Uwg. W trzeh (i wi ej) wymirh post pujemy nlogiznie: Korzystmy z rozkªdu odwzorowni n ilozyn trzeh (n) przeksztªe«osiowyh, i post pujemy jk wy»ej tylko nie dw, trzy (n) rzy. rzykª. rzykª. dx. e x

16 3 Cªki zdni 3.1 Cªki po obszrh prostok tnyh 1. Oblizy ªk z funkji f po prostok ie : () f(x, y) = 1 (x+y) 2, = [3, 4] [1, 2]. Odp. ln (b) f(x, y) = 5x 2 y 2y 3, = [2, 5] [1, 3]. Odp () f(x, y) = x2, = [0, 1] [0, 1]. Odp. π. 1+y 2 12 y (d) f(x, y) =, = [0, 1] [0, 1]. Wsk. W jkiej kolejno±i wygodniej (1+x 2 +y 2 ) 3/2 ªkow? Odp. ln (e) f(x, y) = e x+y, = [0, 1] [0, 1]. Odp. (f) f(x, y) = x sin(x + y), = [0, π] [0, π ]. Odp. 2 (g) f(x, y) = x 2 y e xy, = [0, 1] [0, 2]. Odp. 2. () Znle¹ obj to± bryªy ogrnizonej z doªu pªszzyzn xy, z boków pªszzyznmi x = 0, x =, y = 0, y = b, od góry prboloid eliptyzn : z = x2 2p + y2 2q (wszystkie prmetry, b,, d s dodtnie). Odp. b 6 ( 2 + ) b2 p q. (b) To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyzn xy, powierzhni x 2 + z 2 = R 2 dl z > 0 i pªszzyznmi y = 0 i y = H. Wsk. Brdziej nturlne jest lizenie w ukª. wsp. biegunowyh, le 'nie uprzedzjmy wypdków' i lizmy we wsp. krtezj«skih. Odp. (k»dy powinien wiedzie,»e) 1 2 πr2 H. () To smo dl bryªy ogrnizonej pªszzyznmi z = 0, x =, x = b, y =, y = d (b > > 0, d > > 0) i prboloid hiperbolizn Odp. V = (d2 2 )(b 2 2 ) 4m. 3. * okz,»e z = xy m (m > 0). 1 (xy) xy dxdy = x x dx. 0 Uwg. Funkj podªkow wprwdzie nie jest okre±lon w punkie (0, 0), le mo»- n j tm dookre±li deniuj f(0, 0) = okz nierówno± Cuhy'ego Bunikowskiego Shwrz: l dowolnyh i - gªyh n [, b] funkji f, g zhodzi nierówno± ( b 2 b b f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx g 2 (x)dx Wsk. Sªkow funkj (f(x)g(y) g(x)f(y)) 2 po kwdrie [, b] [, b]. 16

17 5. Udowodni nierówno± b f(x)dx b dx f(x) (b )2. dl f i gªej n [, b]. Wsk. Skorzyst z nierówno±i C-B-Shwrz, b d ej tre±i poprzedniego zdni. 3.2 Cªki po obszrh niekonieznie prostok tnyh 1. Zmieni kolejno± ªkowni w ªkh: () (b) dy dx y dx f(x, y) y 1 x 2 0 dy f(x, y) () (d) (e) r dx 2x dx 2rx x 2 x x dy f(x, y) dy f(x, y) 6 x dx dy f(x, y) 2x 2. Rozstwi grnie ªkowni, tzn. znle¹ grnie ªkowni, zpisuj ªk po k»dym z poni»szyh obszrów w posti ªki iterownej: () trójk t ogrnizony prostymi x = 0, y = 0, x + 2y = 4. (b) obszr dny nierówno±imi: x 2 + y 2 4, x 0, y 0. () obszr dny nierówno±imi: x + y 2, x y 2, x 0. (d) obszr dny nierówno±imi:y x 2, y 9 x 2. (e) obszr dny nierówno±i : (x 3) 2 + (y 2) 2 9. (f) obszr ogrnizony krzywymi: y = x 3 i y = x. (g) obszr dny nierówno±imi: y 2 8x, y 2x, y + 4x 24 0 (h) obszr ogrnizony krzywymi y 2 x 2 = 1 i x 2 +y 2 = 9 i zwierj y punkt (0, 0). (i) zworok t o wierzhoªkh: (1, 1), (2, 3), (4, 3), (6, 1). 3. Oblizy ªki: () T r 2 y2 dxdy, gdzie T jest trójk tem o bokh y = 0, y = rx, x = 1, x2 17

18 (b) () T (6 x y)dxdy, gdzie T jest trójk tem o wierzhoªkh (0, 0), (2, 2), (1, 3) x dxdy, gdzie jest obszrem zdeniownym przez nierówno±i: 2 x y 4, 1 y x 2. x 2 (d) I = dxdy, gdzie jest obszrem ogrnizonym przez krzywe: x = y2 2, y = x, xy = 1. Odp. I = 9. Wsk. Któr kolejno± ªkowni b dzie 4 wygodniejsz? (e) I = (x+5y)dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = x, y = 3x, x = 1. Odp. I = (f) I = 2x 2 y 2 dxdy, gdzie jest trójk tem ogrnizonym przez proste: y = 0, x = 1, y = x. Odp. I = Cªki potrójne 1. Oblizy ªki: () (b) C V ( π (1 + x + y + z) 3 dxdydz, gdzie C jest sze±inem [0, 1]3 ; ). z dxdydz, gdzie V jest ostrosªupem ogrnizonym pªszzyzn x+y+z = 2 i pªszzyznmi wspóªrz dnyh; 18

19 4 Zmin zm. w ªe podwójnej 1. Oblizy ªk z funkji f(x, y) = y 2 R 2 x 2 po kole o promieniu R i ±rodku w poz tku ukªdu wspóªrz dnyh. Odp R5. 2. Oblizy obj to± bryªy ogrnizonej pªszzyznmi x = 0, y = 0, z = 0, wlem x 2 + y 2 = R 2 i prboloid hiperbolizn z = xy; hodzi o bryª le» w pierwszej wirte. Odp. 1 8 R4. 3. Oblizy obj to± bryªy Viviniego, tzn. bryªy wyi tej wlem x 2 + y 2 = Rx z kuli x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Odp. 6π 8 9 R Oblizy obj to± bryªy powstªej przez przei ie pod k tem prostym dwu niesko«- zenie dªugih wlów o jednkowej ±redniy 5. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Wspóªrz dne biegunowe. () (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ) (lemniskt Bernoulliego). Odp (b) (x 2 + y 2 ) 2 = 2x 3. Odp. 5 8 π2. () (x 2 + y 2 ) 3 = 2 (x 4 + y 4 ). Odp. 3 4 π2. 6. Oblizy pol powierzhni gur ogrnizonyh krzywymi o podnyh ni»ej równnih. Wylizeni poprzedzi rozpoznniem kszteªtu krzywyh. Wsk. Uogólnione wspóªrz dne biegunowe: x = r os φ, y = br sin φ. olizy jkobin! () ( ) x y2 2 b = xy. Odp. 2 b (b) ( ) x y2 2 b = x 2 + y 2. Odp πb(2 + b 2 ). () ( ) x y2 2 b = x 2. Odp. π3 b Znle¹ pole ogrnizone p tl krzywej o poni»szyh równnih. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne r, θ okre±lone przez: x = r os 2 θ; y = r sin 2 θ. () (x + y) 4 = x 2 y. Odp (b) (x + y) 3 = xy. Odp () (x + y) 5 = x 2 y 2. Odp Znle¹ pole powierzhni steroidy x y 2 3 = 2 3. Wsk. Równnie prmetryzne steroidy jest: x = os 3 t, y = sin 3 t, t [0, 2π]. Wprowdzi wspóªrz dne r, t okre±lone przez: x = r os 3 t, y = r sin 3 t. Ile wynosi jkobin? Odp. 3 8 π2. 9. Oblizy ªki: C xydxdy, gdzie C jest (krzywoliniowym) 'zworok tem' ogrnizonym krzywymi: () y = x 3, y = bx 3, y 2 = px, y 2 = qx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y = ξx 3, y 2 = ηx. 19

20 (b) y 3 = x 2, y 3 = bx 2, y = αx, y = βx. Wsk. Wprowdzi wspóªrz dne ξ, η zdeniowne przez: y 3 = ξx 2, y 2 = ηx Oblizy ªk 11. Oblizy ªk C C zdxdydz, gdzie C jest górn poªow elipsoidy x2 2 + y2 b 2 + z zdxdydz, gdzie C jest bryª ogrnizon przez tworz sto»k z 2 = h2 (x 2 + y 2 ) i pªszzyzn z = h. R Oblizy ªk (x + y + z) 2 dxdydz, gdzie C jest wspóln z ±i prboloidy C x 2 + y 2 2z i kuli x 2 + y 2 + z Znle¹ ±rodek i»ko±i bryªy ogrnizonej powierzhnimi prboloidy x 2 + y 2 = 2z orz kuli x 2 + y 2 + z 2 = Znle¹ potenjª wl w ±rodku jego podstwy. 15. Oblizy potenjª grwityjny sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. 16. Oblizy nt»enie pol grwityjnego sto»k o jednorodnej g sto±i msy: () w wierzhoªku (b) w ±rodku podstwy. Wsk. Mo»n wykorzyst poprzednie zdnie. 20

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia: XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,

Bardziej szczegółowo

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny! TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Matematyka II dla studentów Technologii Chemicznej

Matematyka II dla studentów Technologii Chemicznej Mtemtyk II dl studentów Technologii Chemicznej Ilon IglewskNowk 17 lutego 16 r. Cªki oznczone Denicj 1 Podziªem odcink [, b] n n cz ±ci, n N, nzywmy zbiór gdzie = x < x 1 < < x n = b. P = {x, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzmin mturlny mj 009 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Informtyk poziom podstwowy CZ I Nr zdni Nr podpunktu Mks. punktj z z zdni Mks. punktj z zdnie 1. Z poprwne uzupe nienie

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Rys.1. str.1. 19h 20h 21h 22h 23h 24h 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h. kopia. Nr1

Rys.1. Rys.1. str.1. 19h 20h 21h 22h 23h 24h 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h. kopia. Nr1 niewidoczny skrypt Romny (R) dl wszystkich ludzi świt NIESAMWITE MŻLIWŚCI SZABLNÓW LISTWWYCH: "A"; "B", "C" ZWIĄZANE Z ŁUKAMI, PDZIAŁEM RÓWNMIERNIE RZŁŻNYM. KPIA FRAGMENTU PLIKU: SKRYPT (R).001. STRNA

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania całki oznaczonej

Zastosowania całki oznaczonej Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Pobrno ze strony www.sqlmedi.pl Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 9 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZEOŁU SZKÓŁ Bni nkietowe zostły przeprowzono w rmh relizji projektu eukyjnego Nie wyrzuj jk lei. Celem tyh ń yło uzysknie informji n temt świomośi ekologiznej uzniów

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.2

Analiza Matematyczna I.2 Anliz Mtemtyczn I. wiczeni, seri, P. Nyr, /3 Zdnie. Niech f, g : (, ) R b d jednostjne ci gªe. Czy fg te» jest jednostjnie ci gª? Co si stnie, je±li zbiór (, ) zst pimy zbiorem (, )? Zdnie. Funkcj f :

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyk zkres podstwowy Proponowny rozkłd mteriłu kl. I (100 h) Temt lekcji Liczb 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby nturlne 1 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Obliczanie caªek. Kwadratury

Obliczanie caªek. Kwadratury Rozdziª 6 Oblicznie cªek. Kwdrtury W tym rozdzile zjmiemy si zdniem obliczeni przybli»onego cªek postci: dl funkcji f, czy ogólniej: dl ρ dnej wgi. f(t) dt, f(t)ρ(t) dt, 6.1 Funkcj octve' qud() Do obliczni

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

A = ε c l. T = I x I o. A=log 1 T =log I o I x

A = ε c l. T = I x I o. A=log 1 T =log I o I x Podstawowym prawem wykorzystywanym w analizie opartej na metodah optyznyh (spektrometrii) jest prawo Lamberta (zwane też prawem Lamberta-Beera-Waltera). Chodzi tu o zależność absorbanji od stężenia i grubośi

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Co i czym mo»na skonstruowa

Co i czym mo»na skonstruowa Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo