Analiza Matematyczna /19

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn 8/9 dr hb. Jn Iwniszewski AM-8/9 Wykªd (dl studentów I roku kierunków: Fizyk, Fizyk Techniczn, Astronomi, Automtyk i Robotyk, Informtyk Stosown) wprowdz podstwowe poj ci, opercje i metody nlizy mtemtycznej stosowne w zyce i technice. Gªówny ncisk poªo»ony jest n intuicyjne zrozumienie istoty poszczególnych opercji, przede wszystkim n zdobycie biegªo±ci rchunkowej. Do wykªdu prowdzone s wiczeni rchunkowe. Zliczenie przedmiotu nst puje po zliczeniu wicze«i zdniu egzminu ko«cowego. Tre± wykªdu. liczby, zbiory liczb, relcje, funkcje - bdne obiekty. ci gi, szeregi, grnice, zbie»no± 3. rchunek ró»niczkowy - pochodn, ró»niczk, szereg Tylor 4. rchunek cªkowy - cªk nieoznczon i oznczon 5. równni ró»niczkowe 6. metody przybli»one 7. prktyczne wykorzystnie nrz dzi nlizy mtemtycznej Zlecn litertur. W. Krysicki, L. Wªodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich, T. I-II (PWN, Wrszw, 5, 8). G. M. Fichtenholz, Rchunek ró»niczkowy i cªkowy, T. I-III (PWN, Wrszw, 8, 7, ) 3. W. Korczk, M. Trjdos, Wektory, pochodne, cªki ((PWN, Wrszw, 8) 4. K. Niedziªomski, R. Kowlczyk, C. Obczy«ski, Grnice i pochodne. Metody rozwi zywni zd«(pwn, Wrszw, 3) 5. C. Obczy«ski, R. Kowlczyk, K. Niedziªomski, Cªki. Metody rozwi zywni zd«(pwn, Wrszw, ) 6. R. Leitner, W. Mtuszewski, Z. Rojek, Zdni z mtemtyki wy»szej cz., (WNT, Wrszw, 7) 7. J. Bn±, S. W drychowicz, Zbiór zd«z nlizy mtemtycznej, (PWN, Wrszw, 8) 8. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn : Denicje, twierdzeni, wzory, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, 5) Przykªdy i zdni, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, 4) Kolokwi i egzminy, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, 7) 9. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn : Denicje, twierdzeni, wzory, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, 6) Przykªdy i zdni, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, 6) Kolokwi i egzminy, (Ocyn Wydwnicz GIS, Wrszw, ). W. Leksi«ski, I. Nbiªek, W. kowski, Mtemtyk dl studiów eksperymentlnych (WNT, Wrszw, 977). K. Szªjko, Mtemtyk T. (PWN, Wrszw, 984). S. Romnowski, W. Wron, Mtemtyk wy¹sz dl studiów technicznych (PWN, Wrszw, 96) Pordniki, tblice, I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendijew, Mtemtyk, pordnik encyklopedyczny (PWN, Wrszw, 8) 4. G. A. Korn, T. M. Korn, Mtemtyk dl prcowników nukowych i technicznych, cz. i (PWN, Wrszw, 983) 5. red. I Dziubi«ski, T. wi tkowski, Pordnik Mtemtyczny, cz. i (PWN, Wrszw, 985) 6. B. Piªt, M. J. Wsilewski, Tblice cªek (WNT, Wrszw, 983)

2 Zsdy zliczeni wiczeni Wykªd AM-8/9 krtkówki, zdni domowe ok. zd«, 3 kolokwi ocen ko«cow: krt. (%) + zd. dom. (%) + kol. (7%) = sum (%) egzmin: I termin 3..9 II termin 5..9 ocen ko«cow: kolokwi (3%) + zd. egzmin. (7%) = sum (%) uzyskne punkty (w %), ocen ko«cow: [ 5) ndst [5 59) dost [68 77) dob [59 68) dost+ [77 86) dob+ [86 ] bdb

3 Zbiory i liczby Zbiory liczbowe AM-8/9 3 zbiory A, B,..., elementy zbioru (liczby), b, c,...,,, k np. A := {, b, c,...}, B := {b : wrunek}, X := { k : k = k } k= = {k } k= liczby nturlne N = {,, 3,...} liczby cªkowite Z = {m : m N lub m = lub m N} liczby wymierne Q = {q : q = m } n, m Z i n N liczby rzeczywiste R = Q Q (Q liczby niewymierne) Dl zbiorów A i B deniujemy opercje n zbiorch: A B := {c : c A lub c B} sum A B := {c : c A i c B} iloczyn, przekrój A \ B := {c : c A i c B} ró»nic A B := {c : c A c B} zwiernie si, inkluzj, A jest podzbiorem B A B = {(, b) : A, b B} iloczyn krtezj«ski R R R, R R R R 3 N Z Q R C liczby zespolone C = { c = + i b : R i b R i i = } Kwntyktory: kwntyktor ogólny: lub "dl k»dego", k»dy element zbioru speªni wrunek, np., A < kwntyktor szczegóªowy: lub "istnieje", przynjmniej jeden element zbioru speªni wrunek, np. Zbiór ogrniczony A R ogrniczenie od góry: je»eli M R A M, to zbiór A jest ogrniczony z góry, M - krniec górny zbioru, je»eli zbiór jest nieogrniczony z góry, to M =, njmniejszy krniec górny to kres górny M = min {M} = sup A (supremum) ogrniczenie od doªu: m R A m zbiór A ogrniczony z doªu, m - krniec dolny zbioru, je»eli zbiór jest nieogrniczony z doªu, to m =, njwi kszy krniec dolny to kres dolny m = m {m} = inf A (infimum) zbiór ogrniczony z góry i z doªu zbiór ogrniczony Reguªy zokr gle«: metod liczby, których cz ± odrzucn w wyniku zokr glni m post : 4 - zokr glenie w dóª, np , 5 i 5 - zokr glenie w gór, np , metod liczby, których cz ± odrzucn w wyniku zokr glni m post : 4 - zokr glenie w dóª, np , 5 - zokr glenie w gór, np , 5 - zokr glenie do przystej, np..75.8,.85.8, (po wybrniu metody nle»y w dnym oprcowniu systemtycznie stosow tylko t metod ) Szcownie nieznnej wielko±ci:. wyr»enie poszukiwnej wielko±ci mo»liwie prostym wzorem,. oszcownie wrto±ci wielko±ci wyst puj cych we wzorze, 3. oszcownie wyr»eni liczbowego, A >

4 Przedrostki liczbowe wielokrotno±ci podwielokrotno±ci 3 kilo k 3 mili m 6 meg M 6 mikro µ 9 gig G 9 nno n ter T piko p 5 pet P 5 femto f 8 eks E 8 tto AM-8/9 4 dek d decy d hekto h centy c Zdni Szcownie rz du wielko±ci. Oszcow wrto± liczbow π ( ) (.4 3 ) 8. Ile wentyltorów o wydjno±ci m 3 /godz nle»y zmontow w sli 6, by powietrze byªo cªkowicie wymienine rzy n godzin? 3. Promie«Wszech±wit szcuje si n 6 m, liczb nukleonów we Wszech±wiecie n 8. Oszcow ms Wszech- ±wit, ±redni g sto± mterii i ±redni ilo± nukleonów w m (Feynmn T I cz. s. 365) Dwno temu, w erze pleozoicznej kropl popoªudniowej ulewy updª n bªotnist równin, pozostwij c trwªy ±ld. ld ten w postci skmieliny odkopª pewnego uplnego dni w wiele lt pó¹niej student geologii. Wys czywszy do dn wod ze swojej mnierki student ten bezskutecznie si zstnwiª, ile cz steczek wody z tej stro»ytnej kropli mogªo znjdow si w mnierce, któr przed chwil opró»niª. Spróbuj Ty oceni t liczb. 5. Oszcow jki rezultt osi gn ªby skoczek wzwy» n Ksi»ycu, je»eli przyspieszenie grwitcyjne jest tm 6-krotnie mniejsze ni» n Ziemi. 6. Ciekªy hel m g sto± ρ =.3 g/cm 3. Oszcow wrto± promieni tomu He zkªdj c,»e tomy s upkowne w njg stszej mo»liwej kongurcji, któr wypeªni 74% przestrzeni. 7. Jki wpªyw n wyniki konkurencji biegowych miªo ustwienie strzelj cego z pistoletu strter n murwie stdionu? Dlczego obecnie zwodnicy mj gªo±niki wmontowne w bloki strtowe? Jk to pogodzi z fktem,»e n mecie fotokomórk ustwion jest w dlszym ci gu z boku bie»ni? 8. Cegª w»y kilogrm i póª cegªy. Ile elektronów zwier jedn cegª? (Gªównym skªdnikiem glinek cermicznych jest kolinit Al Si O 9 H 4.)

5 Ci gi liczbowe Denicje: ci g liczb nturlnych,, 3, 4,..., n,,... ci g liczbowy,, 3, 4,..., n,... = { n } n=, { n} N R AM-8/9 5 Klsy ci gów: ci gi monotoniczne: rosn cy n < n+ mlej cy n > n+ n N n N ci gi ogrniczone: z doªu n m z góry n M m R n N M R n N Ci g ogrniczony z doªu i z góry to ci g ogrniczony. Zbie»no± i grnice ci gów Je»eli n < ε, to jest grnic ci gu. Zpisujemy: lim n =, ε> N n>n szczególny przypdek = : lim n =, n Je»eli n i <, to ( n ). Ci g, który m grnic, to ci g zbie»ny. Ci g, który nie jest zbie»ny, jest rozbie»ny. n. Je»eli E < n, to ci g m grnic niesko«czon. Zpisujemy: lim n =, E> N n>n Podobnie: lim n =, n. W tych przypdkch ci g { n } jest rozbie»ny do ± n +. Twierdzeni o grnicch ci gów kryterium zbie»no±ci Bolzno: Ci g { n } m grnic sko«czon n m < ε. ε> N n,m>n dziªni n ci gch: Je»eli lim n =, lim y n = b i c = const, to: grnic iloczynu przez liczb lim [c n] = c grnic sumy lim [ n + y n ] = + b grnic iloczynu lim [ n y n ] = b [ ] n grnic ilorzu lim = (dl b ) b Je»eli lim n = i {y n } jest ci giem ogrniczonym, to Je»eli n n y n z n, orz lim n = lim z n =, to y n lim [ n y n ] =. lim y n =. Twierdzenie: Je»eli ci g monotonicznnie rosn cy { n } jest ogrniczony z góry M n n M to m on grnic sko«czon. Je±li nie jest ogrniczony to grnic jest +. Anlogicznie dl ci gu monotonicznie mlej cego. ( liczb Euler e n = + n) n e.788

6 3 Funkcje AM-8/9 6 Liczb zmienn liczb ozncz konkretny element zbioru (liczbowego), konkretn wrto± dnej wielko±ci (zycznej), zmienn ozncz dowolny element zbioru (liczbowego), pewn wielko± (zyczn ) bez precyzowni jej konkretnej wrto±ci zmienn zdn jest przez zbiór swoich wrto±ci X, czyli X, zbiór X to obszr zmienno±ci zmiennej gdy X Z to jest zmienn dyskretn, gdy X R to jest zmienn ci gª funkcj opisuje relcj zchodz c mi dzy ró»nymi zmiennymi, ró»nymi wielko±cimi (zycznymi) Odwzorownie i funkcj odwzorownie: wzjemne przyporz dkownie sobie elementów (liczb) dwóch zbiorów: X y Y Je»eli odwzorownie jest jednoznczne (jednej wrto±ci odpowid tylko jedn wrto± y), to odwzorownie nzyw si funkcj : X y = f() Y, X - dziedzin, zbiór rgumentów, Y - przeciwdziedzin, zbiór wrto±ci Je»eli jednej wrto±ci y odpowid tylko jedn wrto±, to funkcj jest wzjemnie jednoznczn. oznczeni funkcji np.: y = f(), y = g(), = h(b),..., le te» np. y = y() Rodzje funkcji funkcje zªo»one funkcje odwrotne y = f(g()) y = f (), czyli = f(y) Klsy funkcji przyst f( ) = f(), ogrniczon z doªu nieprzyst f( ) = f(), ogrniczon z góry okresow f( + ) = f(), ogrniczon monotoniczne rosn c < f( ) < f( ), monotoniczne mlej c < f( ) > f( ), Funkcje elementrne i do nich odwrotne pot gowe y = p m R M R m,m R f() m, f() M, m f() M, wykªdnicze y = ( > ), e ep, logrytmiczne y = log ( > ), log e ln, log lg

7 trygonometryczne y = sin, cos, y = tn (= tg), cot (= ctg) AM-8/9 7 cyklometryczne y = rcsin, rccos, y = rctn (= rctg), rccot (= rcctg) Zdni. Okre±li dziedzin i przeciwdziedzin wszystkich funkcji elementrnych (w przypdku funkcji wykªdniczej i logrytmicznej uwzgl dni wszystkie mo»liwe wrto±ci prmetru ).. Korzystj c z wzorów n sin( + b), cos( + b) i jedynki trygonometrycznej: () znle¹ wzór n tg( + b) i ctg( + b), (b) przedstwi sin() ± sin(b) orz cos() ± cos(b) w postci iloczynu funkcji sin i cos, (c) przedstwi k»d funkcj trygonometryczn przez k»d inn funkcj (wzi pod uwg wrto±ci w ró»nych wirtkch ukªdu wspóªrz dnych) (d) przedstwi wszystkie funkcje trygonometryczne od rgumentu poªówkowego / (np. sin(/)) przy pomocy funkcji od rgumentu i odwrotnie. 3. Upro±ci wyr»eni: () (b) (c) (d) (e) sin ± sin y cos ± cos y sin + sin y sin sin y cos cos y cos + cos y tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b tn + tn b cot + cot b + tn tn b cot cot b (f) cos(4 rccos()) (g) sin( rctn()) ( ) tn() (h) rcsin + tn() [ ( (i) rccos cos() + cos( π ) ] ) ( ) (j) rctn tn + cot y cot + tn y [ ] sin() (k) rccot sin() [ ( )) ] (l) rcsin cos + rcsin ( cos (m) ln [ (cos (rctn )) cos ( π 3 ) ]

8 Grnic funkcji Je»eli ε> δ <δ grnic lewostronn ( < ): grnic prwostronn ( > ): f() < ε, to jest grnic funkcji. Zpisujemy: lim f() = lub f(). lim f() = lim f() =, lim f() = lim f() =, + Je»eli istnieje grnic lewostronn lim f() = i pr- wostronn lim f() =. Dziªni n grnicch: Je»eli lim f() = i lim g() = b, to: grnic iloczynu przez sklr lim [c f()] = c (c-dowoln stª) grnic sumy grnic iloczynu grnic ilorzu grnic funkcji zªo»onej lim [f() + g()] = + b lim [f() g()] = b [ ] f() = (dl b ) g() b lim Je»eli lim f() = i lim g() = b, to lim g(f()) = b AM-8/9 8 lim f() = b, orz = b, to istnieje grnic Je»eli dl k»dego w pewnym otoczeniu punktu zchodzi f() g() h() orz lim f() = lim h() =, to lim g() =. ( pewne grnice: lim + sin() ln( + ) = e lim = lim = ) Ci gªo± funkcji Je»eli w punkcie = istnieje grnic funkcji lim f() = orz = f( ), to funkcj f() jest ci gª w tym punkcie. Je»eli funkcj f() jest ci gª w k»dym punkcie zbioru X, to jest ci gª n tym zbiorze. Wªsno±ci ci gªo±ci: Je»eli f() i g() s ci gªe w =, to iloczyn przez liczb, sum, iloczyn, ilorz, zªo»enie tych funkcji s ci gªe (por. wªsno±ci grnicy). Pewne twierdzeni dotycz ce ci gªo±ci Twierdzenie o wrto±ci ±redniej funkcji Je»eli funkcj f() jest ci gª n [, b] orz f() = A, f(b) = B i A < B, to dl dowolnej liczby C tkiej,»e A < C < B istnieje [, b] tki,»e f() = C. Twierdzenie o ogrniczono±ci funkcji Je»eli funkcj f() jest ci gª n [, b] (przedziª domkni ty), to funkcj jest ogrniczon, tzn. istniej liczby m i M tkie,»e m f() M dl k»dego [, b]. Twierdzenie o wrto±ci njwi kszej i njmniejszej funkcji Je»eli funkcj f() jest ci gª n [, b] (przedziª domkni ty), to osi g on w tym przedzile swój kres górny i kres dolny, tzn. istniej, [, b] tkie,»e f( ) f() f( ) dl k»dego [, b]. Twierdzenie o istnieniu funkcji odwrotne Je»eli funkcj f() jest monotoniczn (rosn c lub mlej c) i ci gª n [, b], to n przedzile wrto±ci tej funkcji okre±lon jest funkcj do niej odwrotn = f (y) tk»e monotoniczn (odpowiednio rosn c lub mlej c).

9 Zdni Wyznczy nst puj ce grnice (znk ± ozncz,»e nle»y policzy dwie ró»ne grnice dl tej smej funkcji): +. lim ± 3 +. lim ± 3. lim ± lim, ±, ±, ± lim, dl > 6. lim tn tn 7. lim rctn cos 8. lim sin 4 ( tn + 9. lim π/ ) π/ Pokz,»e: + 3. lim + 5. lim = 5 3 ( + ) = e. lim ( + ) = e ln( + ) 3. lim = log ( + ) 4. lim = ln() e 5. lim = 6. lim = ln() sin() 7. lim = 8. lim cos() = AM-8/9 9

10 4 Ró»niczkownie (Pochodne) Denicj pochodnej grnic ilorzu ró»nicowego y = (f()) = f f( + ) f() () = lim f( ) f() = lim AM-8/9 Interpretcj: pochodn funkcji w dnym punkcie równ jest wrto±ci wspóªczynnik nchyleni (wspóªczynnik kierunkowego) stycznej do krzywej dnej przez wykres funkcji w tym punkcie. Wªsno±ci: Pochodn sumy [f() + g()] = f () + g () d df() [f() + g()] = + dg() Pochodn iloczynu Pochodn ilorzu Pochodn funkcji zªo»onej [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() (f [g()]) = f (y) y=g() g () d d df() [f()g()] = g() + f()dg() [ ] [ f() df() = g() f()dg() g() d df(y) f [g()] = y=g() dg() dy ] g() Pochodn funkcji odwrotnej Ró»niczk: ( f () ) = [ f (y) [ ] ] d df(y) y=f () f () = dy y=f () - ró»niczk zmiennej - niesko«czenie mªy (innitezymlny) przyrost wrto±ci zmiennej dy = df = df() = f () - ró»niczk funkcji y = f() - liniow cz ± przyrostu y wrto±ci funkcji przy innitezymlnej zminie wrto±ci rgumentu Pochodne wy»szego rz du: drug pochodn pochodn n-tego rzedu Zdni y y = lim = d y = d y (n) = f() (n) = dn f() n { } ( ) d d y = y = d y = d y = y() = d f() = f () (). Wyprowdzi wzór n pochodn ilorzu dwóch funkcji: () bdj c grnic ilorzu ró»nicowego, (b) korzystj c ze wzorów n pochodn iloczynu, funkcji zªo»onej i funkcji pot gowej,. Wyznczy ró»niczk sumy, iloczynu i ilorzu dwóch funkcji, orz funkcji zªo»onej i odwrotnej. 3. Korzystj c z denicji (grnic ilorzu ró»nicowego) znle¹ pochodne nst puj cych funkcji:, +, 3,, 3, e cos,. 4. Obliczy pochodne wszystkich funkcji elementrnych korzystj c tylko z denicji (grnic ilorzu ró»nicowego), z wzorów n pochodn sumy, iloczynu, funkcji zªo»onej i funkcji odwrotnej, z obliczonych ju» pochodnych innych funkcji elementrnych, orz ze znnych relcji mi dzy funkcjmi. 5. Korzystj c ze znjomo±ci pochodnych funkcji elementrnych orz ze wzorów n pochodn sumy, iloczynu, itd., obliczy pochodne nst puj cych funkcji (rezultt pod w mo»liwie njprostszej postci):. y = ,. y = ( + 3 ) 5, 4 3. y = 3 3, 3 ( ) y =, 3 + ( ) sin 5. y = log, + sin 6. cot(3) cot() + y = cot() cot(3), 7. y = ln ( sin(3)), ( ) 8. y = rctn +, 9. y = ( ) ( +.5) ( ) 3. y =,. y = ln ( e e ),. y = log b (), ( 3 ) ( + ) 5 (3 3), 3. y = log, 3 4. y = e w [A sin() + B cos(b)], 5. y = sin (tn()), 6. y = rctn() ln ( + ), [ ( )] 7. y = cos rcsin. +

11 5 Bdnie przebiegu funkcji AM-8/9 Wªsno±ci funkcji jej pochodne funkcj rosn c f () > funkcj mlej c f () < ekstremum funkcji f () = funkcj wypukª f () > funkcj wkl sª f () < punkt przegi ci f () = miejsc zerowe i : f( i ) = mksimum m : f ( m ) =, f ( m ) < minimum min : f ( min ) =, f ( min ) > punkt przegi ci przeg : f ( przeg ) = Pewne twierdzeni dotycz ce pochodnych Twierdzenie Drbou Je»eli funkcj f() m pochodn sko«czon n [, b], to funkcj f () przyjmuje przynjmniej rz k»d wrto± pomi dzy wrto±cimi f () i f (b). Twierdzenie Lgrnge' o wrto±ci ±redniej rchunku ró»niczkowego Je»eli funkcj f() jest ci gª n [, b] i m pochodn sko«czon n (, b), to istnieje tki punkt c (, b),»e f(b) f() = f (c). b Twierdzenie Cuchy'ego uogólnione twierdzenie o wrto±ci ±redniej rchunku ró»niczkowego Je»eli funkcje f() i g() s ci gªe n [, b], mj pochodne sko«czone n (, b), orz g () n (, b), to istnieje tki f(b) f() punkt c (, b),»e g(b) g() = f (c) g (c). Wyr»eni nieoznczone lim f() =, lim g() = b lim [ ] f() = g() b. Co je±li b =, le tk»e =? Wyr»enie nieoznczone (zpis symboliczny). Podobnie symbolicznie:,,. Reguªy de l'hospitl : lim f() g() = lim f () g () : f() g() = f() g() Asymptoty = g() f() zbie»no± do prostej równolegªej do osi ukªdu lim f() =, lim f() = ± ± zbie»no± do dowolnej prostej lim f() = +b, ± lim f () = ± g() = f() b, lim ± zbie»no± do innej (prostszej) funkcji f() = ϕ(), lim ± g() = f() ϕ(), lim g() = ± lub : f() g() = g() f() : f() g() = f() Bdnie przebiegu funkcji lim f() g() = lim f () g () g() dziedzin (osobliwo±ci s ) denicj f(), przeciwdziedzin denicj f(), = g() f() g() f() szczególne wªsno±ci (symetrie), np. przysto±, periodyczno± denicj f(), punkty nieci gªo±ci (osobliwo±ci) lim s f(), zchowni symptotyczne miejsc zerowe f( ) =, lim f(), ± obszry wzrostu i spdku wrto±ci funkcji znk f (), ekstrem f ( e ) =, wkl sªo± i wypukªo± funkcji, chrkter ekstremów znk f (), punkty przegi ci f ( p ) =.

12 Zdni Wyznczy nst puj ce grnice: lim ± e 3. lim sin() 3. lim ±π 4. lim sin() sin() lim lim 7. lim sin( + π(π )) cos(3) + = 5 3 ln() ln( + + 3) 8. lim ± p e (wszystkie przypdki i p) 9. lim [ ln()] [. lim ln() + ] [ 3. lim ] 5 Zbd przebieg funkcji:. y = + 3. y = + 4. y = + 5. y = y = y = 8. y = 9. y =. y = 3. y = + +. y = y = e 4. y = e 5. y = ep( ) 6. y = ep( ) 7. y = ep( ) 8. y = ± rctn() 9. y = rctn() 3. y = rctn() 3. y = ( ) 3. y = ( 4) 33. y = 3 ( + ) 3 ( ) 34. y = e cos( 3) AM-8/9

13 6 Cªk nieoznczon AM-8/9 3 Funkcj pierwotn Zwi zek z pochodn Liniowo± d f() = df (), f() = f(), f() = F () + const [f() + bg()] = df() f() + b = f() + const g() Cªkownie przez cz ±ci f ()g() = f()g() f()g () Cªkownie przez podstwienie (zmin zmiennych) f() = dyf (g(y)) g (y), gdzie = g(y) Typowe podstwieni f( ) = dy f(y), gdzie y = e f(e ) = dy f(y), gdzie y = e cos() f(sin()) = dy f(y), gdzie y = sin() h () f(h()) = dy f(y), gdzie y = h() Cªkownie funkcji wymiernych f() = V m() dl n =, W n () (wyr»eni typu W n (), V m (),... oznczj wielominy stopni n, m,...) I. je±li m n, to dzielimy licznik przez minownik f() = P m n () + U n () W n (), II. je±li n =, to cªkujemy uªmek U () W () przez podstwienie y = W (), III. je±li n =, to bdmy rozwi zni równni W () =,. je±li istniej rozwi zni,, to:. fktoryzujemy minownik W () = ( )( ) b. rozkªdmy U () n uªmki proste, W () c. post pujemy jk w p. II. je±li nie istniej rozwi zni to:. przedstwimy licznik jko W () + b, gdzie, b odpowiednie stªe b. cªkujemy W () W () przez podstwienie y = W (), b c. w uªmku W () przedstwimy minownik w postci knonicznej W () = ( p) + q, [ ( ) d. przeksztªcmy minownik do postci W () = q ( p) + ], q e. cªkujemy uªmek przez podstwieni y = q ( p)

14 Zdni AM-8/9 4. Obliczy cªki nieoznczone wszystkich funkcji elementrnych.. Obliczy poni»sze cªki. Je»eli w której± pojwi sie prmetr, b, itd, to cªkuj c rozw»y wszystkie mo»liwe wrto±ci prmetru(trów) cos cos 3 cos 4 sin sin( 3) ( 3) sin cos + 4 sin cos + 4 sin sin() 4 cos + cos + cos sin + cos e + 3e e + e + e e e e ln ln( 3) ln ln( ) (sin ) (cos ) [ (cos( )] cot cot + rctn() cos rccos(sin ) cos rccos(sin ) sin rccos(sin 3) ( + 5) ( + 5) b [5 + 6 cos()] sin 4 cos ( 3) e 6 ( 6) e 3 tn() ln(cos ) ) ( rccot( 3 ) sin() cos(b)

15 sin cos sin cos sin sin cos rccos rccos rctn() + 4 cot() cos() sin cos e 3 ( ) rcsin e [b sin(w) + c cos(w)] (e + e ) rctn(e ) AM-8/9 5 Pochodne i cªki funkcji elementrnych UWAGA: zwróci uwg n dziedziny wszystkich funkcji!!! d f() f() f() (bez stªej cªkowni) ( + ) + ( ) ln ( = ) e e e (ln ) (ln ) ln ln log (ln ) log (ln ) sin cos cos cos sin sin tn (cos ) ln cos cot (sin ) ln sin rcsin ( ) rcsin + ( ) rccos ( ) rccos ( ) rctn ( + ) rctn ln ( + ) rccot ( + ) rccot + ln ( + )

16 7 Cªk oznczon AM-8/9 6 Problem - pole trpezu krzywoliniowego: Jkie jest pole powierzchni zwrtej pomi dzy krzyw y = f(), osi OX, orz prostymi równolegªymi do osi OY przechodz cymi przez punkty = i = b? P n k= k f( k ), k = k k, k [ k, k ] Sum i cªk Riemnn n P = lim k f( k ) = k=. lim m { k} = b f(). grnic nie zle»y od sposobu podziªu odcink (, b) 3. grnic nie zle»y od punktów, w których liczone s wrto±ci f() (cªk oznczon, i b - doln i górn grnic cªkowni) Podstwowe wªsno±ci f() =, b f() = b f(), b f() = c f() + b c f() f() dl (, b) f() g() dl (, b) Twierdzenie o wrto±ci ±redniej Je±li f() jest cigª i ogrniczon n (, b), to: b Podstwowy wzór rchunku cªkowego b b b f() f() b g() f() = f( )(b ), dl pewnego [, b] d dy f(y) = f() f() = F (b) F (), gdzie Cªkownie przez podstwienie (zmin zmiennych) Je±li = g(y) jest funkcj wzjemnie jednoznczn, to: b f() = v u f() = F () + C dyf (g(y)) g (y), gdzie u = g (), v = g (b)

17 Zdni Obliczy nst puj ce cªki oznczone : AM-8/ ln 3 + ( 3 + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ln e e e e e + e e, > e, > e, > e, > ln e ln e e e e π π π π π π π π 4 5π 6 π 6 π 4 π 6 π π ln(π) (ln ) + (ln ) cos 3 () sin 3 () cos 3 () sin 5 () cos() sin(3) cos() sin cos () sin(4) cos + sin ( π 6 ) sin( 4) /3 3 3 / π 3 π cos(3π) ( ) e cos rccos ( ) ( + )rccot rtn() (4 3)rcos() rctn ( ) + 4 [ ( sin + sin π )] ( ) ln π