Zadania. 4 grudnia k=1

Transkrypt

1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy staªe A i B, AB 0 takie,»e ci g Aa n + Bb n jest zbie»ny? Zadanie 3. Niech a n b dzie ci giem, którego wyrazy speªniaj nast puj ce warunki: 0 a n dla n N oraz a 0. Niech ponadto k= S n = a + + a n, T n = S + + S n. Zbada zbie»no± szeregu a n w zale»no±ci od parametru α > 0. Zadanie 4. Poka»,»e je±li a 0 = i to T α n= n a n = a n 2 + a n 3 + a n 6, a n lim n n = 2 log 432 Zadanie 5. Dla z C, z obliczy : lim n n n sin e 2πi k n. ze 2πi k n k=

2 Zadanie 6. Dla α C okre±lmy funkcj φ α : C C 2 wzorem φ α (z) = (e z, e αz ). Opisz domkni cie obrazu φ α w zale»no±ci od parametru α: dla α πq, dla α π(r \ Q), dla α C \ R. Zadanie 7 (lokalnie jednostajna zbie»no± ). Niech A i B b d podzbiorami R. Mówimy,»e ci g funkcji f n : A B jest lokalnie jednostajnie zbie»ny do funkcji f : A B, je±li ka»dy punkt x A ma otoczenie otwarte U x = (x δ, x + δ) A (dla pewnego δ > 0), takie,»e f n Ux f Ux. (i) (zadanie wyª cznie domowe) Kontempluj przez co najmniej 0 minut denicje lokalnie jednostajnej zbie»no±ci i jednostajnej zbie»no±ci. W szczególno±ci: Zrozum,»e jednostajna zbie»no± implikuje lokalnie jednostajn zbie»no±. Zrozum,»e A, B w denicji jednostajnej zbie»no±ci mo»e byc dowolnym zbiorem, na którym mamy sensowne poj cie odlegªo±ci dwóch punktów (tzw przestrzeni metryczn ). Je±li nie chcesz wnika w przestrzenie metryczne, to rozwa»aj wyª cznie podzbiory R n i C n (ni»ej te»). Zrozum,»e B w denicji lokalnie jednostajnej zbie»no±ci mo»e byc dowoln przestrzeni metryczn. Zmodykuj denicj lokalnie jednostajnej zbie»no±ci, aby A mogªo by dowoln przestrzeni metryczn. (ii) Poka»,»e granica lokalnie jednostajna funkcji ci gªych jest ci gªa. (iii) Udowodnij,»e je±li A R jest podzbiorem domkni tym, ograniczonym (ogólniej: zwartym), to lokalnie jednostajna zbie»no± implikuje jednostajn zbie»no±. (iv) Podaj przykªad ci gu funkcji ci gªych, który jest lokalnie jednostajnie zbie»ny, ale nie jest jednostajnie zbie»ny. Zadanie 8 (o wielomianach symetrycznych). Wst p. Niech K[x, x 2,..., x n ] oznacza zbiór wielomianów wielu zmiennych x,..., x n o wspóªczynnikach w 2

3 ciele K. Czyli K[x, x 2,..., x n ] to (niesko«czenie wymiarowa) przestrze«liniowa nad K skªadaj ca si z elementów: f = f(x,..., x n ) = k a j x D j, j= gdzie a j K, D j = (d j,..., d jn ) Z n 0 oraz x D j = x d j x d j2 2 x d jn n. Stopie«wielomianu f jak wy»ej to deg f := max { D j j {,..., n}}. Wielomiany mo»na mno»y i skªada, np., je±li f, g,..., g n K[x,..., x n ], to f(g,..., g n ) te» jest elementem K[x,..., x n ]. Permutacja zbioru {,..., n} to bijekcja σ : {,..., n} {,..., n}. Wielomian f K[x,..., x n ] jest symetryczny, je±li dla dowolnej permutacji σ mamy f(x,..., x n ) = f(x σ(),..., x σ(n) ). Polecenie. Poka»,»e je±li f K[x, x 2,..., x n ] jest wielomianem symetrycznym, to istnieje dokªadnie jeden wielomian g K[x, x 2,..., x n ], taki,»e f(x, x 2,..., x n ) = g(s, S 2,..., S n ), gdzie S k jest k-tym elementarnym wielomianem symetrycznym: S k = x i. I {,..., n}, #I = k Polecenie 2. Zaªó»my,»e K = R, lub K = C. Znajd¹ odwzorowanie ci gªe na φ: K n K n, takie,»e dla ka»dego x = (x,..., x n ) mamy: φ (y) = { (x σ(),..., x σ(n) ) σ jest permutacj {,..., n} }, gdzie y := φ(x). Zadanie 9 (zaproponowane przez pana Wojciecha Zwoli«skiego). Znajd¹ wszystkie liczby zespolone z C, takie,»e ) sin(πz) = πz ( z2. n= Zadanie 0. Niech A R n b dzie podzbiorem. Odwzorowanie φ: A R m jest ci gªe (w sensie l p ), je±li x A ɛ>0 δ>0 y A ρ lp (x, y) δ = ρ lp (φ(x), φ(y)) ɛ. 3 i I n 2

4 Poka»,»e φ jest ci gªe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego otwartego U R m przeciwobraz φ (U) = V A, gdzie V R n jest otwarty. (Mówimy,»e przeciwobraz jest otwarty w A.) W szczególno±ci, ci gªo± nie zale»y od wyboru p. Zadanie. Poka»,»e U R jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najwy»ej przeliczaln sum rozª cznych przedziaªów i póªprostych: U = N (a i, b i ), i= gdzie N {0} N { } oraz < a i < b i < a i+ < b i+ < (dopuszczamy a 0 = oraz b N = + ). Zadanie 2. Odwzorowanie φ: A B jest homeomorzmem, je±li jest ci - gªe, bijekcj, oraz odwzorowanie odwrotne jest ci gªe. Niech A R n b dzie podzbiorem domkni tym i ograniczonym. Poka»,»e ka»da izometria φ: A A jest homeomorzmem. Zadanie 3. Je±li U R jest podzbiorem otwartym, x 0 U, a f : U R jest pewn funkcj, to ró»niczk funkcji f w x 0 nazywamy nast puj c granic (o ile istnieje i jest sko«czona): f (x 0 ) = f () (x 0 ) = df dx (x f(x 0 + t) f(x 0 ) 0) = lim. t 0 t Je±li ró»niczka w x 0 istnieje, to f jest ró»nicznowalna w x 0. Czy istnieje funkcja ci gªa f : R R, która nie jest ró»niczkowalna w»adnym punkcie? Oznaczamy f (i+) := (f (i) ) (o ile istnieje). Ewentualnie f := f (2), f := f (3). Zadanie 4 (27 linii na kubice). Niech S b dzie zespolon powierzchni stopnia 3 w C 3 (kubik ). To znaczy wybieramy wielomian F (x, y, z) stopnia 3 o wspóªczynnikach zespolonych w trzech zmiennych, nast pnie deniujemy: S := { (x, y, z) C 3 F (x, y, z) = 0 }. Nale»y zaªo»y,»e F jest wystarczaj co ogólne. Intucyjnie, je±li np we¹miemy F = x 3, lub F = (ax + by + cz) 2 (a x + b y + c z), to S jest maªo ciekawe. Formalnie, powiedzenie,»e wªasno± P (F ) zachodzi dla wystarczaj co ogólnego wielomianu F stopnia 3 oznacza,»e w zbiorze wszystkich wielomianów stopnia 3 (jest to po prostu C 20 ), istnieje otwarty g sty podzbiór U, taki,»e P (F ) zachodzi dla ka»dego F U. 4

5 Poka»,»e wystarczaj co ogólna kubika zawiera dokªadnie 27 prostych zespolonych, czyli obrazów ró»nowarto±ciowego odwzorowania liniowego C C 3. Wariant by mo»e ciut prostszy (przynajmiej ªatwiej sobie wyobrazi ): We¹my F = x 3 + y 3 + z 3 + w 3 (x + y + z + w) 3, gdzie w = ax + by + cz + d, a, b, c, d R, d 0, np. w =, lub w = (x + y + z). Poka»,»e { (x, y, z) R 3 F (x, y, z) = 0 } zawiera dokªadnie 27 prostych rzeczywistych. Zasadnicze Twierdzenie Algebry: Ka»dy wielomian jednej zmiennej o wspóªczynnikach w C ma pierwiastek w C. Dowód zasadniczego Twiedzenia Algebry nie jest banalny. Potrzebne jest u»ycie aksjomatu ci gªo±ci dla R. W trakcie studiów poznacie co najmniej kilka istotnie ró»nych dowodów. Wnioski: ) Ka»dy wielomian jednej zmiennej o wspóªczynnikach w C ma rozkªad na sko«czony iloczyn czynników liniowych. 2) Ka»dy wielomian jednej zmiennej o wspóªczynnikach w R ma rozkªad na sko«czony iloczyn czynników liniowych i kwadratowych (o wspóªczynnikach w R), gdzie czynniki kwadratowe nie maj pierwiastków rzeczywistych. (W wolnej chwili mo»na sprawdzi, czy na pewno wiemy jak si dowodzi wnioski.) Zadanie 5. Zakªadaj c Zasadnicze Twierdzenie Algebry poka»,»e: (i) dowolna funkcja wymierna p(x) o wspóªczynnikach w C ma rozkªad na q(x) sko«czon sum : p(x) q(x) = w(x) + a (b x + c ) + + a k, n (b k x + c k ) n k gdzie a i, b i, c i C, n i N, a w(x) jest wielomianem o wspóªczynnikach zespolonych. (ii) dowolna funkcja wymierna p(x) o wspóªczynnikach w R ma rozkªad na q(x) sko«czon sum : p(x) q(x) = w(x) + a (b x + c ) + + a k n (b k x + c k ) n k d x + e + (f x 2 + g x + h ) + + d l x + e l m (f l x 2 + g l x + h l ) m l 5

6 gdzie a i,..., h i R, n i, m i N oraz f i x 2 + g i x + h i nie maj pierwiastków w R, a w(x) jest wielomianem o wspóªczynnikach rzeczywistych. Zadanie 6. U»ywaj c rozkªadów z Zadania 5 podaj eleganckie warunki przy których jeste±my w stanie policzy p(n) q(n). n=n 0 Sumowanie zaczynamy od dostacznie du»ego n 0. funkcj wymiern o wspóªczynnikach w C lub R. Zakªadamy,»e p(x) q(x) jest Zadanie 7 (Caªkowanie funkcji wymiernych). Funkcja pierwotna funkcji f(x), to taka funkcja F (x),»e F = f. (i) Znajd¹ funkcj pierwotn a, dla a, b, c R. bx+c dx+e (ii) Znajd¹ funkcj pierwotn dla d, e, f, g, h R, takich,»e fx 2 +gx+h fx2 + gx + h nie ma pierwiastków rzeczywistych. (iii) U»ywaj c rozkªadów z Zadania 5 znajd¹ funkcj pierwotn dowolnej funkcji wymiernej o wspóªczynnikach rzeczywistych. Zadanie 8. Deniujemy przestrze«l p jako zbiór tych ci gów (a n ), takich,»e a n p <, n= oraz l jako przestrze«wszystkich ci gów ograniczonych. Poka»,»e dla p, p [, ] mamy l p l p wtedy i tylko wtedy, gdy p p. Zadanie 9. Zaªó»my,»e mamy ci gi A = (a n ), B = (b n ) nale» do l p. Czy lim ρ l q (A, B) = ρ l (A, B)? q Zadanie 20 (Zbiory otwarte w l p ). Ustalmy p, p [, ] takie,»e p p. (i) Zaªó»my,»e U l p jest zbiorem otwartym. Czy istnieje otwarty podzbiór U l p, taki,»e U = U l p. (ii) Zaªó»my,»e U l p jest zbiorem otwartym. Czy U = U l p jest otwarty w l p? 6

7 Zadanie 2. Zaªó»my,»e A R n jest podzbiorem domkni tym i ograniczonym. Udowodni,»e ka»da izometria φ: A A ma punkt staªy (to znaczy taki,»e φ(x) = x), lub poda przykªad izometrii, która takiego punktu nie ma. Zadanie 22. Rozstrzygnij, czy nast puj ce szeregi s zbie»ne: (i) 6+( 2) n n= n2 n (ii) n 2 n= n 5 + (iii) e n log n n= n (iv) log n n= n 2 (v) n= tg π. n n Zadanie 23. Rozstrzygnij, dla jakich q (0, ) szereg jest zbie»ny. n= (n 2 + n) q Zadanie 24. Oznaczmy przez P k zbiór {0, k, 2k,... }. Oblicz Zadanie 25. Poka»,»e lim x n x e x n!. n P k x 2 n= n = 0, gdzie {x n n =, 2, 3, } jest zbiorem dodatnich rozwi za«równania tg x = x. 7