Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Transkrypt

1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie 1 Czy funkcja zadana wzorem f = e e jest jednostajnie ci gªa na przedziale otwartym 0, 1? Odpowied¹ dokªadnie uzasadnij Odpowied¹: TAK Najpierw zauwa»my, ze funkcja f posiada przedªu»enie ci gªe na przedziale [0, 1] W tym celu policzmy prawostronn granic funkcji f w punkcie 0 na dwa sposoby: e e 0 + e 1 = 1 + e = 0 + e e 0 + [ ] 0 H e 1 e + e e = 1 = = Wówczas funkcja f zdeniowana wzorem 0 + dla = 0 f = f dla 0, 1 f1 dla = 1 = dla = 1 f dla 0, 1 e e 1 dla = 1 Zadanie jest funkcj ci gª na przedziale domkni tym Na mocy twierdzenia Cantora jest na tym przedziale jednostajnie ci gªa Poniewa» ka»de obci cie funkcji jednostajnie ci gªej jest funkcj jednostajnie ci gª vide denicja, to funkcja f jest jednostajnie ci gª na 0, 1, gdy» f = f 0, 1 Powoªuj c si na odpowiednie twierdzenia, uzasadnij,»e równanie 1 = cos ma dokªadnie jeden pierwiastek w przedziale 3π, π Rozwa»amy funkcj f = cos 1 okre±lon dla 3π, π Funkcja f jest ewidentnie funkcj ci gª na przedziale [ 3π, π], wi c ma na tym przedziale wªasno± Darbou na mocy twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego Poniewa» f 3π = 0 < 0 3π

2 oraz f π = 1 1 > 0, to istnieje liczba π 3π, π, która jest miejscem zerowym funkcji f, a wi c pierwiastkiem równania z zadania Poka»emy,»e innych pierwiastków nie ma Zaªó»my nie wprost,»e jednak taki - ró»ny od - pierwiastek istnieje w rzeczonym przedziale; bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y,»e < Wtedy f = f = 0 oraz funkcja f jest ró»niczkowalna w [, ] 3π, π Speªnione s wi c zaªo»enia twierdzenia Rolle'a, a st d zachodzi jego teza: istnieje z, taki,»e f z = 0 Oznacza to,»e sin z + 1 = 0, czyli sin z = z z Jednak»e sin z < 0 < z, bo sinus przyjmuje warto±ci ujemne w przedziale 3π, π Sprzeczno± dowodzi,»e powy»szy nie istnieje i jest jedynym miejscem zerowym funkcji f w przedziale 3π, π, a tym samym jest jedynym pierwiastkiem równania z zadania Zadanie 3 Udowodnij,»e dla wszystkich 0, + zachodzi nierówno± 3 sin < + cos Zauwa»my najpierw,»e wystarczy udowodni powy»sz nierowno± dla 0, π]: je±li π, π], to 3 sin < 0 < + cos ; je±li nπ, n + 1π], n N, i nierówno± jest speªniona dla 0, π] to 3 sin + nπ = 3 sin < + cos < + nπ + cos + nπ niezbyt istotny dla rozwi zania detal, którego brak nie kosztowaªby»adnego punktu Nierówno± dowodzimy standardow metod : porównuj c dwie funkcje ró»niczkowalne f i g, pierwsza b dzie wi ksza od drugiej, gdy f bedzie rosªa stale 'szybciej' od g oraz obie b d startowaªy z tego samego punktu, czyli f > g dla > 0, gdy f0 = g0 i f > g oczywi±cie to to samo, co sprawdzi,»e funkcja h = f g jest ±ci±le rosn ca i h0 = 0 Trzeba tylko tak dobra funkcje, aby nie ró»niczkowa okropno±ci - w tym przypadku iloczynu wielomianu i ftrygonometrycznych bo nierówno± mi dzy pochodnymi wci» mo»e nie by 'oczywista' Najlepiej si pozby w trakcie ró»niczkowania jednego z typów funkcji; sinus i cosinus s nieusuwalne ró»niczkuj c je zawsze wyskoczy nam ten sam 'typ'; z wielomianami jest lepiej - tutaj po zró»niczkowaniu staje si liczb Dlatego te» sprawdzimy,»e dla f = i g = 3 sin +cos zachodzi f0 = g0 oraz f > g Tylko to ostatnie nie jest trywialne: f g = 1 3 cos + cos 3 sin sin + cos = + cos cos + cos = = 1 cos + cos + cos = 1 cos > 0, + cos gdy» cos < 1 dla 0, π] po to byl pierwszy akapit -»eby miec ostra nierówno±

3 Zadanie 4 Okre±l, ile trzeba wzi pocz tkowych wyrazów w rozwini ciu Taylora odpowiedniej funkcji, a»eby nie popeªni bª du wi kszego ni» 10 4, szacuj c warto± liczby ln 3 ln Odpowied¹ uzasadnij Poniewa» ln 3 ln = ln1 + 1, wybieramy funkcje f = ln1 + i rozwijamy j wokóª 0 Dlaczego? Bo kolejne pochodne funkcji s ªatwe do policzenia i, szacuj c reszt w rozwini ciu, b dziemy musieli poradzi sobie z wyra»eniem typu C 1 n, n! które jest zno±niejsze przy szacowaniach Licz c kolejne pochodne, dostajemy ªatwy do zauwa»enia wzór f n n 1 n 1! = 1 dla n N + 1 n eby wskaza odpowiednie n wystarczy znale¹ takie, które speªnia nierówno± reszta w postaci Lagrange'a, c 0, 1: f n n c 1 n n = n! 1 n 1 < 1 c + 1 n n 10 4 Šatwo zauwa»y,»e ostatnia nierówno± speªnia n = 10, gdy» 1 1 = 1 1 < Podsumowuj c, trzeba wzi 10 pocz tkowych wyrazów w rozwini ciu Taylora funkcji f = ln1 + wokóª 0, aby mie pewno± niepopeªnienia bª du wi kszego ni» 10 4 przy szacowaniu warto±ci liczby ln 3 ln 10 4 Zadanie 5 Wyznacz caªk nieoznaczon funkcji f = 1 dla [1, + dla [0, 1 0 dla, 0 Liczymy dwie caªki, z których na ko«cu 'skleimy' szukan caªk nieoznaczon F 1 = 1d = t = 1 = 1 + t d = t dt = 1 + t tt dt = t 1 + t dt = = t t + C 1 = t + C 1 = C 1 F = d = d = sin t = 1 t = arcsin1 1 cos tdt = d cos t = = = 1 1 sin t 1 cos tdt = 4 1 cos t dt = 1 1+cos t 4 dt = t sin t + C = [ ] = 8 1 t + sin t cos t + C = 1 8 arcsin C [0, 1 t [ π, π F 1 dla [1, + St d szukana caªka b dzie miaªa posta F = F dla [0, 1 C 3 dla, 0

4 Trzeba tylko tak dobra staªe, aby dosta F ró»niczkowalna Przede wszystkim trzeba zadba o ci gªo± F Musi dlatego zachodzi poni»sze dwie równo±ci F 1 1 = 1 F C 1 = 1 8 arcsin 1 + C = π 16 + C C = C 1 π 16 F 0 = C arcsin 1 + C = C 3 C 3 = C π 16 = C 1 π 8 Zadanie 6 Zatem jedynym kandydatem na nasz funkcj pierwotn mo»e by { F = dla [1, arcsin π dla [0, 1 π dla, 0 8 Šatwo wida,»e faktycznie F jest funkcja ró»niczkowaln : mo»na liczy z denicji pochodne jednostronne w 'podejrzanych' punktach niepolecane, mo»na powoªa si na odpowiedni wniosek z tw Lagrange'a kryterium ró»niczkowalno±ci w zale»no±ci od istnienia i równo±ci odpowiednich granic pochodnych lub mo»na powoªa si na fakt,»e funkcja ci gªa a f jest ci gªa! zawsze ma funkcj pierwotn - funkcj górnej granicy caªkowania - oraz caªka Riemanna jest 'niewra»liwa' na modykacje funkcji podcaªkowej w sko«czonej ilo±ci punktów F R\{0,1} jest ewidentnie funkcj pierwotn funkcji f R\{0,1} + C Niech funkcja f : 0, + 1, + b dzie ró»niczkowalna i zaªó»my,»e istnieje granica f + f + cho by w sensie niewªa±ciwym Poka»,»e wówczas granica funkcji f w + równie» istnieje oraz zachodzi f = f + f + + Z warunków zadania wynika,»e f 1, a st d + e f = + To wraz z zaªo»eniem istnienia granicy f + f uprawnia do korzystania z + reguªy de L'Hospitala w nast puj cy sposób: f = e f [ ] H e f + + e + e = = + 1 e f + e f 1 e = f + f +

5 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA B r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie 1 Czy funkcja zadana wzorem f = sinln+1 jest jednostajnie ci gªa na przedziale otwartym 0, +? Odpowied¹ dokªadnie uzasadnij Zadanie Odpowied¹: TAK Najpierw zauwa»my,»e funkcja f ma ograniczon pochodn na przedziale 0, + : f = sinln + 1 = cosln Zatem funkcja f jest funkcj Lipschitza wniosek z tw Lagrange'a z wicze«ze staª równ 1, a wi c jest funkcj jednostajnie ci gª na swojej dziedzinie vide denicja lub odpowiednie zadanie na wiczeniach Powoªuj c si na odpowiednie twierdzenia, uzasadnij,»e równanie ln = cos ma dokªadnie jeden pierwiastek w przedziale 0, π Rozwa»amy funkcj f = ln cos okre±lon dla 0, π Funkcja f jest funkcj ci gª na przedziale 0, π, wi c ma na tym przedziale wªasno± Darbou na mocy twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego Poniewa» 0 + f = < 0 oraz = ln π > ln 1 = 0, to istnieje liczba 0, π, która jest miejscem zerowym f π funkcji f, a wi c pierwiastkiem równania z zadania Poka»emy,»e innych pierwiastków nie ma Zaªó»my nie wprost,»e jednak taki - ró»ny od - pierwiastek istnieje w rzeczonym przedziale; bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y,»e < Wtedy f = f = 0 oraz funkcja f jest ró»niczkowalna w [, ] 0, π Speªnione s wi c zaªo»enia twierdzenia Rolle'a, a st d zachodzi jego teza: istnieje z, taki,»e f z = 0 Oznacza to,»e 1 + sin z = 0, czyli sin z = z z 1 Jednak»e zachodzi z 1 < 0 < sin z, bo sinus przyjmuje warto±ci dodatnie w przedziale 0, π Sprzeczno± dowodzi,»e powy»szy nie istnieje i jest jedynym miejscem zerowym funkcji f w przedziale 0, π, a tym samym jest jedynym pierwiastkiem równania z zadania

6 Zadanie 3 Udowodnij,»e dla wszystkich 0, π zachodzi nierówno± Zadanie 4 sin > cos Nierówno± dowodzimy standardow metod : porównuj c dwie funkcje ró»niczkowalne f i g, pierwsza b dzie wi ksza od drugiej, gdy f b dzie rosªa stale 'szybciej' od g oraz obie b d startowaªy z tego samego punktu, czyli f > g dla > 0, gdy f0 = g0 i f > g oczywi±cie to to samo, co sprawdzi,»e funkcja h = f g jest ±ci±le rosn ca i h0 = 0 Trzeba tylko tak dobra funkcje, aby nie ró»niczkowa okropno±ci - w tym przypadku iloczynu wielomianu i ftrygonometrycznych bo nierówno± mi dzy pochodnymi wci» mo»e nie by 'oczywista' Najlepiej si pozby w trakcie ró»niczkowania jednego z typów funkcji; sinus i cosinus sa nieusuwalne ró»niczkuj c je zawsze wyskoczy nam ten sam 'typ'; z wielomianami jest lepiej - tutaj po zró»niczkowaniu staje si liczb Dlatego te» sprawdzimy,»e dla f = sin cos i g = zachodzi f0 = g0 oraz f > g Tylko to ostatnie nie jest trywialne: f g = cos cos sin sin cos cos = cos + 1 cos cos cos cos gdy» cos < 1 dla 0, π cos cos + 1 cos cos 1 = cos + sin cos cos 1 = = cos 1 cos cos > 0, Okre±l, ile trzeba wzi pocz tkowych wyrazów w rozwini ciu Taylora odpowiedniej funkcji, a»eby nie popeªni bª du wi kszego ni» 10 4, szacuj c warto± liczby e 4 Odpowied¹ uzasadnij Wybieramy funkcj f = e i rozwijamy j wokóª 0 Dlaczego? Bo kolejne pochodne funkcji s ªatwe do policzenia nie ma tu»adnego skªadania funkcji i, szacuj c reszt w rozwini ciu, b dziemy musieli poradzi sobie z wyra»eniem typu C n 4, które jest n! zno±niejsze przy szacowaniach Oczywi±cie mamy f n = e dla n N eby wskaza odpowiednie n wystarczy znale¹ takie, które speªnia nierówno± reszta w postaci Lagrange'a, c 0, 4 : f n c n! 4 n = ec n! n 10 4 < n! n 1 4 < 10 4 pierwsza nierownosc zachodzi, gdyz e c 4 < e < e < 9 < 10 St d wystarczy znale¹ n takie,»e n 4 1 < 1 Šatwo zauwa»y,»e ostatnia nierówno± speªnia n = 1, gdy» 1 1 n! = 8 = 1 1 < 1 1 = 1 Podsumowuj c, 1! 1! 7!

7 trzeba wzi 1 pocz tkowych wyrazów w rozwini ciu Taylora funkcji f = e wokóª 0, aby mie pewno± niepopeªnienia bª du wi kszego ni» 10 4 przy szacowaniu warto±ci liczby e 4 Zadanie 5 Wyznacz caªk nieoznaczon funkcji f = ln ln e + ln e e dla [ e, + ln dla [1, e ln 0 dla, 1 Liczymy dwie caªki, z których na ko«cu 'skleimy' szukan caªk nieoznaczon Oznaczmy dla skrócenia zapisu D = ln e + ln e e Poniewa» mamy równo± ln + Dd = ln d + D, to skupiamy si na przedostatniej caªce F 1 D = ln u = 1 v = ln d = u = v = 1 ln = ln ln d = = u = 1 v = ln u = v = 1 = ln ln d = ln ln + + C 1 F = ln ln d = t = ln dt = d ln = t + ln = dt t+ln = 1 t+ln ln dt = = t ln dt t+ln = t ln lnt + ln + C = ln ln ln ln + C F 1 dla [ e, + St d szukana caªka b dzie miaªa posta F = F dla [1, e C 3 dla, 1 Trzeba tylko tak dobra staªe, aby dosta F ró»niczkowalna Przede wszystkim trzeba zadba o ci gªo± F Musz dlatego zachodzi poni»sze dwie równo±ci F 1 e = e F e ln e ln e + + D + C 1 = ln e + C C = C 1 + e ln F 1 = C 3 ln ln ln + C = C 3 C 3 = C ln ln ln = C 1 + ln e ln ln Zatem jedynym kandydatem na nasz funkcj pierwotn mo»e by F = { ln ln + + D dla [1, + ln ln ln ln + e ln dla [0, 1 ln e ln ln dla, 0 + C Šatwo wida,»e faktycznie F jest funkcj ró»niczkowalna: mo»na liczy z denicji pochodne jednostronne w 'podejrzanych' punktach niepolecane, mo»na powoªa si na odpowiedni wniosek z tw Lagrange'a kryterium ró»niczkowalno±ci w zale»no±ci od istnienia i równo±ci odpowiednich granic pochodnych lub mo»na powoªa si na fakt,»e funkcja ci gª a f jest ci gª! zawsze ma funkcj pierwotn - funkcj górnej granicy caªkowania - oraz caªka Riemanna jest 'niewra»liwa' na modykacje funkcji podcaªkowej w sko«czonej ilo±ci punktów F R\{1, e } jest ewidentnie funkcj pierwotn funkcji f R\{1, e }

8 Zadanie 6 Niech funkcja f : 0, + 1, + b dzie ró»niczkowalna i zaªó»my,»e istnieje granica f f cho by w sensie niewªa±ciwym Poka»,»e wówczas granica funkcji f w + równie» istnieje oraz zachodzi f = f f Z warunków zadania wynika,»e f 1, a st d + e f = + To wraz z zaªo»eniem istnienia granicy f f uprawnia do korzystania z reguªy de L'Hospitala w nast puj cy sposób: f = + e f [ ] H + e + e f e = e f + e f = = f e + f