Matematyka dla biologów wykład 10.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka dla biologów wykład 10."

Transkrypt

1 Mtemtyk dl biologów wykłd 10. Driusz Wrzosek 13 grudni 2016

2 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłki zstosowni Zstosowni cłek: obliczni pól i objętości figur, długości krzywych; rozwizywnie równń różniczkowych służcych do opisu różnych procesów; oblicznie położeni obiektu (wrtości funkcji) korzystjc ze znjomości prędkości tego obiektu (pochodnej funkcji). Cłkownie jest w pewnym sensie dziłniem odwrotnym do różniczkowni. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

3 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Definicje Definicj Funkcję F : D, tk że F = f nzywmy funkcj pierwotn funkcji f. Definicj Cłk nieoznczon funkcji f nzywmy jej dowoln funkcję pierwotn i oznczmy f (x)dx. Wtedy f (x)dx = F(x) + c, gdzie c jest dowoln stł zś F (x) = f (x). Funkcj pierwotn i cłk nieoznczon to nieml to smo, mimo to w prktyce używ się jednk obu terminów. Funkcję f w tym kontekście nzyw się funkcj podcłkow. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

4 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłki podstwowych funkcji f (x) = cos x, f (x) = sin x, F(x) = sin x + c F(x) = cos x + c f (x) = x p, F(x) = 1 p + 1 xp+1 + c, p 1 f (x) = x, f (x) = x 3, F(x) = 1 2 x2 + c F(x) = 1 4 x4 + c f (x) = x = x 1/2, F(x) = 2 3 x3/2 + c = 2 3 x 3 + c f (x) = e x, f (x) = 1 x, F(x) = e x + c F(x) = ln x + c Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

5 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Podstwowe wzory (f (x) + g(x)) dx = (f (x) g(x)) dx = dl kżdej zchodzi f (x)dx + g(x)dx f (x)dx g(x)dx (f (x)) dx = f (x)dx Cłkownie przez części f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx Cłkownie przez podstwienie [ ] y = g(x) f (g(x))g (x)dx = = dy = g (x)dx f (y)dy. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

6 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

7 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C [ ] f 1 ln xdx = (x) = 1 g(x) = ln x f (x) = x g (x) = 1 = x ln x x 1 x x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C = x (ln x 1) + C Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

8 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C [ ] f 1 ln xdx = (x) = 1 g(x) = ln x f (x) = x g (x) = 1 = x ln x x 1 x x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C = x (ln x 1) + C [ ] f x sin x dx = (x) = sin x g(x) = x f (x) = cos x g = x ( cos x) 1 ( cos x) dx = (x) = 1 = x cos x + cos x dx = sin x x cos x + C Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

9 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłkownie jest dużo trudniejsze niż różniczkownie Nie istniej ogólne wzory n cłkę z iloczynu lub ilorzu funkcji ni n cłkę funkcji złożonej. Zwykle, by policzyć cłkę (znleźć funkcję pierwotn) trzeb umiejętnie stosowć dostępne wzory n cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie. Który wzór i w jki sposób zstosowć nie zwsze jest oczywiste. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

10 Definicj Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłk oznczon funkcji f : [, b] w grnicch od do b nzywmy liczbę b f (x)dx = F(b) F() = F(x) b, gdzie F jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f. Przykłd 2 1 x 3 dx = x4 = = = Określmy funkcję górnej grnicy cłkowni Wtedy x x f (s)ds. d x f (s)ds = d (F(x) F()) = f (x). dx dx Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

11 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przy obliczniu cłek często wykorzystuje się nstępujc włsność. Niech F będzie funkcj pierwotn do f : [x 1, x 2 ]. Rozptrzmy funkcję złożon g(x) = f (x + b), gdzie i b to pewne stłe. Funkcj pierwotn do g jest funkcj G(x) = 1 F(x + b), ztem x2 x2 g(x)dx = f (x + b)dx = 1 x 1 x 1 (F(x 2 + b) F(x 1 + b)). Przykłdy e 5x+2 dx = x dx = 1 2 (e 12 e 7) ln 1 + 2x 1 0 = 1 2 ln ln 1 = ln 3 2 Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

12 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Podstwowe włsności cłki oznczonej dl c b mmy c f (s)ds + c b c f (s)ds + b c f (s)ds = b f (s)ds bo f (s)ds = F(c) F() + (F(b) F(c)) = = F(b) F() = b f (s)ds. Jeśli α jest dowoln liczb i g pewn funkcj cigł, to b (f (s) + αg(s))ds = = b b f (s)ds + b f (s)ds + α b αg(s)ds = g(s)ds. Pierwsz włsność sugeruje, że definicję cłki oznczonej możn rozszerzyć n funkcje kwłkmi cigłe mówic, że cłk z funkcji kwłkmi cigłej jest sum cłek obliczonych n przedziłch cigłości funkcji. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

13 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłk oznczon jko pole pod wykresem funkcji y 1 xdx = x2 0 = = 1 2 Wrtość tej cłki jest równ polu trójkt prostoktnego wyznczonego przez oś poziom ukłdu współrzędnych i wykres funkcji f (x) = x. y = x 1 0 x dx 1 x Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

14 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przez pole podzbioru płszczyzny możn rozumieć liczbę równ sumie (n ogół nieskończonej) liczby wszystkich pól kwdrtów zwrtych cłkowicie w tej figurze rozmieszczonych tk, że mog one mieć wspólne jedynie frgmenty swoich krwędzi. Im dokłdniej chcemy pokryć zbiór kwdrtmi, tym mniejszych kwdrtów musimy użyć. Pole trójkt prostoktnego chcemy przybliżyć z pomoc sumy pól kwdrtów zwrtych w trójkcie. Im dokłdniejsze przybliżenie, tym mniejsze musz być kwdrty wypełnijce w sumie trójkt, le żdn skończon liczb kwdrtów nie wystrczy do cłkowitego pokryci trójkt. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

15 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Jeśli figur nie jest ptologiczn, to tk nieskończon sumę szeregu pól kwdrtów zdefiniowć możn jko pole zbioru. T definicj wystrcz do tego, by określić pole figury ogrniczonej wykresem funkcji cigłej i osimi współrzędnych, pondto umożliwi w prktyce oblicznie przybliżonych wrtości pół figur. Funkcj f : [, b] cigł, niemlejc i nieujemn. Dl x [, b] P(x) pole figury ogrniczonej od góry przez wykres funkcji od punktu (, f ()) do punktu (x, f (x)) i od dołu przez oś poziom. Wtedy dl h > 0, tkiego że x + h [, b] hf (x) P(x + h) P(x) hf (x + h) i dzielc stronmi przez h dostjemy f (x) P(x + h) P(x) h f (x + h). h f (x) f (x + h) P(x) x x + h b Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

16 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przechodzc do grnicy z h 0 i korzystjc z definicji cigłości i definicji pochodnej otrzymujemy P (x) = f (x) więc P jest funkcj pierwotn f, ztem x f (s)ds = P(x) P() = P(x), gdyż P() = 0 z definicji P. Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x wynosi P(b) = b f (s)ds. Anlogiczne rozumownie możn przeprowdzić dl funkcji nieujemnej i nierosncej. Jeżeli dziedzinę [, b] dnej funkcji f cigłej możn rozbić n skończenie wiele przedziłów, tkich że n kżdym z nich funkcj jest nierosnc lub niemlejc (czyli monotoniczn), to (korzystjc z tego, że cłkę z tej funkcji możn przedstwić jko sumę cłek po odcinkch, n których funkcj jest monotoniczn), otrzymujemy wniosek, że i w tym przypdku pole pod wykresem funkcji f i osi x równe jest cłce b f (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

17 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru S funkcje cigłe n odcinku, których dziedziny nie możn rozbić n skończenie wiele przedziłów monotoniczności (tę włsność m np. sinusoid wrszwsk). Mimo to, brdziej subtelne rgumenty wykorzystujce koncepcję sum Riemnn umożliwij udowodnienie: Stwierdzenie Pole P obszru pomiędzy wykresem dowolnej funkcji cigłej i nieujemnej f : [, b] i osi x jest równe cłce oznczonej b f (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

18 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru x 1 x 2 x 3 x 4 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

19 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

20 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

21 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

22 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

23 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

24 n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=0 b

25 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Objętość bryły obrotowej Podobnie wyprowdz się wzór n objętość bryły obrotowej. Rozwżmy funkcję f : [, b], tk że f (x) > 0 dl x (, b) i bryłę w przestrzeni 3, której powierzchni boczn powstje poprzez obrót wykresu funkcji f wokół osi x. x Aby obliczyć przybliżon wrtość objętości tej bryły trzeb pocić j cięcimi prostopdłymi do osi x n plstry i zsumowć objętości wszystkich plstrów. Kżdy plster po wyrównniu brzegów to wlec. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

26 Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Objętość wlc o promieniu podstwy r i wysokości h wynosi πr 2 h. Dzielimy odcinek [, b] n n mniejszych odcinków o końcch x 0 =, x 1 <... x i < x i+1... x n = b wyznczjc punkty, przez które przechodz cięci. Sum wszystkich objętości wlców plstrów wynosi n 1 π i=0 (f (x i )) 2 x i. Po przejściu do grnicy przy zgęszczeniu podziłów odcink [, b] otrzymuje się wzór n objętość V f bryły obrotowej powstłej przez obrót funkcji f : [, b], b V f = π f 2 (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

27 Definicj Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Wrtości średni funkcji f : [, b] nzywmy liczbę Przykłd f = 1 b b f (x)dx. Smochód porusz się po prostej strtujc w chwili t = 0 z punktu x 0 z prędkości v(t)[ m s ]. W chwili t = T położenie smochodu wynosi x(t) = x 0 + T 0 v(t)dt[m], gdyż funkcj określjc położenie (współrzędn) smochodu jest funkcj pierwotn do funkcji określjcej prędkość smochodu. Wrtość średni funkcji określjcej prędkość smochodu to v = 1 T v(t)dt [ m T s ], czyli 0 v = x(t) x 0. T Ten ilorz to po prostu prędkość średni. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

28 Cłki i krzywe Cłk niewłściw Cłki niewłściwe Rozwżymy terz cłki z funkcji określonych n przedziłch nieogrniczonych typu [, + ) lub (, ], lub (, + ). Niech F będzie funkcj pierwotn funkcji f i złóżmy, że istnieje grnic lim F(x). Poniewż x + x f (s)ds = F(x) F(), to Definicj Cłk niewłściw funkcji f n odcinku [, + ) nzyw się liczbę + f (s)ds = lim F(x) F(). x + Cłk niewłściw funkcji f n odcinku (, ] nzyw się liczbę f (s)ds = F() lim F(x). x Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

29 Cłki i krzywe Cłk niewłściw Grnic funkcji lim x + F(x) może nie istnieć odpowiedni cłk niewłściw nie jest wtedy określon. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f (x) = cos x jest F(x) = sin x. Nie istniej lim sin x i lim sin x, x + x ztem żdn z cłek niewłściwych nie jest określon. Jeśli lim x + F(x) = ±, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do ±. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f (x) = 2x jest F(x) = x 2, orz lim x + x2 = +. Dltego mówimy, że x dx jest rozbieżn do +. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

30 Cłki i krzywe Cłk niewłściw Jeśli f (x) 0 dl x, to funkcj pierwotn F jest funkcj niemlejc (bo F (x) = f (x) 0), więc grnic lim x + F(x) jest lbo liczb dodtni, lbo cłk jest rozbieżn do +. Przykłd: e s ds = 1 s ds = 1 s ds = lim x + ( e x ) ( e 1 ) = e 1 ; lim x + ( ) 1 (1 )x = 1 1, > 1; lim ln x ln 1 = +. x + W powyższych przykłdch funkcje podcłkowe s dodtnie i mlej do 0. Funkcj 1 mleje do zer n tyle wolno wrz ze wzrostem x, że pole x obszru pomiędzy wykresem tej funkcji i osi x jest nieskończone, w odróżnieniu od dwóch pozostłych funkcji. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

31 Definicj Cłki i krzywe Krzywe Krzyw głdk nzywmy podzbiór przestrzeni n, który jest zbiorem wrtości funkcji różniczkowlnej [, b] t ϕ(t) n ϕ(t) = [ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)... ϕ n (t)] T zwnej prmetryzcj krzywej, tkiej że dl kżdego t [, b] (ϕ 1 (t))2 + (ϕ 2 (t))2 + + (ϕ n(t)) 2 = i=n (ϕ i (t))2 0. ( ) Możn sobie wyobrzić, że krzyw powstje jko śld, który w przestrzeni pozostwi poruszjcy się punkt. Tki śld punktu nzyw się trjektori. Wtedy prędkość tkiego punktu to włśnie pochodn ϕ (t) = [ϕ 1(t), ϕ 2(t)... ϕ n(t)] T, któr jest wektorem w przestrzeni zczepionym w punkcie ϕ(t). Wektor ten wyzncz kierunek styczny do krzywej (trjektorii) w punkcie ϕ(t). Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36 i=1

32 Cłki i krzywe Krzywe Wrunek ( ) ozncz ztem, że długość wektor prędkości nie zeruje się, czyli punkt w żdnej chwili się nie ztrzymuje. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

33 Uwg Cłki i krzywe Krzywe Krzyw głdk zwrt w przestrzeni chciłoby się nzwć zbiór, który powstje poprzez powyginnie, czyli cigłe odksztłcenie odcink umieszczonego w przestrzeni n, podobnie jk wygin się kwłek drutu. Tk podpowid intuicj, le precyzyjne mtemtyczne sformułownie prowdzi do nieoczekiwnych konsekwencji. Gdyby nie przyjć wrunku ( ), czyli dopuścić ztrzymywnie się punktu zkreśljcego krzyw, to wtedy możemy otrzymć krzywe niegłdkie, tzn. z kntmi lub kolcmi włśnie w tkim kncie lbo n końcu kolc trzeb się ztrzymć, by poruszć się dlej w innym kierunku. Cigłość prmetryzcji nie wystrcz do tego, by zdefiniowć zbiory, które chcemy nzywć krzywymi. Znny jest przykłd funkcji cigłej zwnej krzyw Pen, któr jest określon n odcinku [0, 1] jej obrzem jest kwdrt o boku 1. Funkcj t jest grnic cigu funkcji, których wrtości stopniowo wypełnij cły kwdrt. (Ptrz wikipedi.org/wiki/krzyw Pen) Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

34 Cłki i krzywe Krzywe Tę sm krzyw możn sprmetryzowć n wiele sposobów tk smo jk dn drogę możn przejść wolniej lub szybciej, poczwszy od jednego końc lub od drugiego. Przykłd: Po okręgu możemy poruszć się w brdzo różny sposób z kżdym rzem zdjemy wtedy inn prmetryzcję tego smego okręgu. Rozwżmy prmetryzcję zdn przez ϕ(t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) dl t [0, 2π), gdzie orz przez ψ(t) dl t [0, π), gdzie ϕ 1 (t) = A sin t, ϕ 2 (t) = A cos t, ψ 1 (t) = A sin 2t, ψ 2 (t) = A cos 2t. W obu przypdkch podliśmy prmetryzcję okręgu n płszczyźnie w metryce euklidesowej o środku w (0, 0) i promieniu A. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

35 Cłki i krzywe Krzywe Korzystjc z jedynki trygonometrycznej mmy (ϕ 1 (t) 0) 2 + (ϕ 2 (t) 0) 2 = (A sin t) 2 + (A cos t) 2 = A 2 (sin 2 t + cos 2 t) = A 2 dl kżdego t [0, 2π), czyli ϕ 1 (t) 2 + ϕ 2 (t) 2 = A. Punkt (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) jest dl kżdego t odległy o A od środk ukłdu współrzędnych, leży więc n okręgu. Podobnie jest w przypdku funkcji ψ. Różnic poleg n prędkości poruszni się punktu po okręgu ϕ (t) = A[cos t, sin t] T, ψ (t) = 2A[cos 2t, sin 2t] T. W drugim przypdku punkt porusz się dw rzy szybciej, gdyż długość wektor ϕ (t) = ϕ 1 (t)2 + ϕ 2 (t)2 = (A cos t) 2 + ( A sin t) 2 = A jest dw rzy mniejsz od długości wektor ψ (t) = 2A (cos 2t) 2 + (sin 2t) 2 = 2A. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

36 Cłki i krzywe Krzywe Helis Definicj njsłynniejszej krzywej w biologii, czyli helisy lub inczej linii śrubowej. Jest to krzyw w przestrzeni 3, któr powstje ze złożeni dwóch ruchów: ruchu po okręgu w płszczyźnie poziomej ruchu jednostjnego w kierunku prostopdłym. Prmetryzcj helisy jest ztem nstępujc dl t [0, 4π]. ϕ 1 (t) = A sin t, ϕ 2 (t) = A cos t, ϕ 3 (t) = t. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

37 Cłki i krzywe Krzywe Helis Spróbujmy utożsmić prmetr t z czsem: chwili t = 0 odpowid punkt (A, 0, 0), chwili t = π odpowid punkt ( A, 0, π). Po czsie 2π zwędrujemy ztem do punktu (A, 0, 2π) znjdujcego się dokłdnie nd (A, 0, 0) i tk dlej, kończc n punkcie (A, 0, 4π). Otrzymliśmy linię śrubow o skoku 2π. Modyfikujc nieco trzecie równnie prmetryzcji ϕ 3 (t) = D 2π t. otrzym się helisę o skoku równym D, gdzie D > 0 to dowoln liczb. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

38 Krzyw Koch Krzyw Koch Przegld zgdnień nlizy mtemtycznej zkończymy słynnym przykłdem krzywej cigłej ogrniczonej o nieskończonej długości zwnej od Helge von Koch( ) krzyw Koch lub płtkiem śniegu Koch. Krzyw Koch otrzymuje się w grnicy wykonujc kolejne kroki. Figur wyjściow jest trójkt równoboczny o boku d. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

39 Krzyw Koch Krzyw Koch Przegld zgdnień nlizy mtemtycznej zkończymy słynnym przykłdem krzywej cigłej ogrniczonej o nieskończonej długości zwnej od Helge von Koch( ) krzyw Koch lub płtkiem śniegu Koch. Krzyw Koch otrzymuje się w grnicy wykonujc kolejne kroki. Figur wyjściow jest trójkt równoboczny o boku d. W pierwszym kroku dzielimy kżdy z boków n trzy części z których usuwmy środkow i w to miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d 3 z usuniętym jednym bokiem, tk by powstł zmknięty wielokt. Otrzymujemy ztem wielokt o 3 4 = 12 bokch. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

40 Krzyw Koch Krzyw Koch Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

41 Krzyw Koch Krzyw Koch W drugim kroku kżdy z boków tego wielokt dzielimy n trzy części, usuwmy środkow i w jej miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d, czyli trzykrotnie krótszym niż 3 2 poprzedni. Otrzymujemy wielokt o = bokch. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

42 Krzyw Koch Krzyw Koch W drugim kroku kżdy z boków tego wielokt dzielimy n trzy części, usuwmy środkow i w jej miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d, czyli trzykrotnie krótszym niż 3 2 poprzedni. Otrzymujemy wielokt o = bokch. Powtrzmy tę sm procedurę otrzymujc w trzecim kroku wielokt o d bokch o długości kżdy. 3 3 Ogólnie w kroku n. otrzymmy wielokt o 3 4 n bokch długości 3 n kżdy. Długość L n wszystkich boków wielokt w n. kroku konstrukcji wynosi ( ) 4 n L n = 3 d. 3 d Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

43 Krzyw Koch Definicj Krzyw Von Koch nzyw się krzyw cigł, któr definiuje się jko zbiór otrzymny w grnicy po przejściu wszystkich nieskończenie wielu kroków. Poniewż ( ( 4 n ) lim L n = lim 3 d = +, n + n + 3) jej długość jest nieskończon, mimo że jest to krzyw ogrniczon. Krzyw Von Koch jest przykłdem obiektu mtemtycznego, który nie m bezpośredniej reprezentcji empirycznej. Powyższ procedur oczywiście w świecie rzeczywistości empirycznej musi ztrzymć się n tym kroku, w którym dojdziemy do subtomowej skli długości. Wżne jest to, że ten obiekt idelny możemy przybliżć z dowoln dokłdności wieloktmi o skończonej liczbie boków. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

44 Krzyw Koch Frktle Ciekw cech krzywej Von Koch jest smopodobieństwo. Wyobrźmy sobie mikroskop powiększjcy w skli 1:10 nkierowny centrlnie n punkt n krzywej Koch. Zwiększmy sklę dziesięciokrotnie, nstępnie stokrotnie itd. Z kżdym rzem widzimy to smo dowolnie mły frgment wygld tk jk frgment powiększony. Figury o tej włsności nzyw się frktlmi. Pojęcie to wprowdził Benoit Mndelbrot w ltch siedemdziesitych XX wieku. W literturze spotkć możn różne definicje zbiorów frktlnych różnice się zkresmi. Ich zrozumienie wymg znjomości zwnsownych pojęć mtemtycznych i dltego poprzestniemy n przedstwieniu ogólnych idei. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

45 Krzyw Koch Frktle Frktle fscynuj nukowców z różnych dziedzin między innymi dltego, że wiele z nich przypomin obiekty o skomplikownej morfologii znne ze świt przyrody ożywionej i nieożywionej. Wielokty przybliżjce krzyw Von Koch przypominj płtki śniegu. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

46 Krzyw Koch Smopodobn strukturę m niewtpliwie kwitostn klfior i brokuł. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

47 Krzyw Koch Pproć frktl i roślin Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

48 Krzyw Koch Klifow, pełn młych ztoczek o różnej skli wielkości lini brzegow Wlii m również pewne cechy frktl, nstręczjc rzeczywistych problemów z dokłdnym obliczeniem długości linii brzegowej Wielkiej Brytnii, podobne do npotyknych przy liczeniu długości krzywej Von Koch. Do tej pory nie m ogólnej teorii, któr wyjśniłby skd bierze się zdziwijce podobieństwo między frktlmi mtemtycznymi i frktlopodobn struktur wielu obiektów przyrodniczych. N pewno zrozumienie tego zwizku wymg lepszego zrozumieni mechnizmów wzrostu, które w wielu przypdkch polegj n dobudowywniu podobnych struktur do już istniejcych, le w zmniejszonej skli. Mtemtyczn teori frktli dł nrzędzi umożliwijce klsyfikcję różnych struktur o skomplikownej, nieregulrnej budowie. Wrto odwiedzić choć jedn z licznych stron internetowych bogto ilustrownych zdjęcimi frktli. Mtemtyk dl biologów Wykłd grudni / 36

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7. Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1 Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i

Bardziej szczegółowo

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P. Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć? Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja 2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. III

Sprawdzian całoroczny kl. III Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe

Bardziej szczegółowo

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się

Bardziej szczegółowo

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2 Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1) Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna

Analiza Matematyczna Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Transformata Fouriera

Wykład 3: Transformata Fouriera Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Dariusz Wrzosek 14 listopada 2018 Matematyka dla biologów Zajęcia 6. 14 listopada 2018 1 / 25 Pochodna funkcji przypomnienie Dzięki pochodnej można określić czy funkcja

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia 1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki krzywoliniowe 8.04.018 1. efinicj cłki krzywoliniowej nieskierownej Rozwżmy nstępujący problem. ny jest przewód elektryczny n którym rozmieszczone

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo