Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania

Transkrypt

1 Środowiskowe Studi Doktornckie z Nuk Mtemtycznych Uniwersytet Mrii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Józef Bnś Ktedr Mtemtyki Politechnik Rzeszowsk Wricje Funkcji, Ich Włsności i Zstosowni Lublin 2014

2 Spis treści Wstęp Funkcje mierzlne i regulrne Wricj funkcji w sensie Jordn Funkcje o wricji ogrniczonej w sensie Wiener Funkcje o wricji ogrniczonej w sensie Wiener-Young Wricj funkcji w sensie Wtermn Cłk Riemnn-Stieltjes Bibliogrfi

3 Wstęp Celem przedkłdnego skryptu jest przedstwienie podstwowych fktów dotyczących różnych rodzjów definicji pojęci wricji (whni) funkcji. Główny ncisk zostnie położony n podnie podstwowych fktów dotyczących klsycznej wricji funkcji. Pojęcie to zostło wprowdzone do mtemtyki przez znkomitego frncuskiego mtemtyk C. Jordn pod koniec XIX wieku. Jordn odkrył też podstwową włsność funkcji o wricji ogrniczonej. Włsność t pozwl kżdą funkcję o wricji ogrniczonej n zdnym przedzile [, b] przedstwić jko różnicę dwóch funkcji rosnących n tym przedzile. Odkrycie tej włsności pozwoliło n znczne uproszczenie teorii funkcji o wricji ogrniczonej, przede wszystkim n zbudownie poręcznej teorii cłki Riemnn-Stieltjes. To osttnie pojęcie okzło się niezwykle użyteczne w teorii prwdopodobieństw orz w pewnych dziłch mechniki [2,3,5]. W przedkłdnym oprcowniu wskżemy również n pewne uogólnienie wspomninego, klsycznego pojęci wricji i funkcji o wricji ogrniczonej. Minowicie, przedstwimy pojęcie wricji funkcji w sensie Wiener, w sensie Wiener-Young i w sensie Wtermn. Oczywiście uogólnieni te nie wyczerpują listy wszystkich, obecnie znnych uogólnień pojęci wricji funkcji. Tym niemniej, przedstwiją one njwżniejsze z tych uogólnień, które mją njwięcej włsności, njwięcej zstosowń i których teori jest obecnie njbrdziej rozwinięt. Niniejszy skrypt zostł oprcowny głównie n podstwie monogrfii [1], któr cłkowicie poświęcon jest przedstwieniu pojęci wricji funkcji w różnym ujęciu orz omówieniu ich włsności i zstosowń. Pondto, wykorzystne zostły również pozycje [6,7,8,9]. W pozycjch tych omwi się również pojęcie wricji funkcji i wskzuje n różnorkie zstosowni tego pojęci. 3

4 1. Funkcje monotoniczne i regulrne Niech D będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R orz niech dn będzie funkcj f : D R. Dlej, niech dny będzie zbiór A D, A. Definicj 1.1. Mówimy, że funkcj f jest n zbiorze A: ) rosnąc, jeżeli x1,x 2 A[x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 )]; piszemy wtedy, że f A b) ściśle rosnąc, jeżeli x1,x 2 A[x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )]; piszemy wtedy: f A c) mlejąc, jeżeli x1,x 2 A[x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 )]; piszemy, że f A d) ściśle mlejąc, jeżeli x1,x 2 A[x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )]; piszemy wtedy, że f A Funkcję f nzyw się funkcją monotoniczną (ściśle monotoniczną) n zbiorze A, jeżeli f jest rosnąc n zbiorze A lub mlejąc n zbiorze A (ściśle rosnąc lub ściśle mlejąc n zbiorze A). Oczywiście, kżd funkcj ściśle monotoniczn n zbiorze A jest n tym zbiorze monotoniczn. Zuwżmy, że sum dwóch funkcji rosnących (mlejących) n zbiorze A jest funkcją rosnącą (mlejącą) n zbiorze A. Pondto, iloczyn funkcji rosnącej (mlejącej) n zbiorze A przez stłą c 0 jest funkcją rosnącą (mlejącą) n zbiorze A. Zuwżmy, że jeżeli f jest rosnąc (mlejąc) n zbiorze A orz c < 0 to cf jest mlejąc (rosnąc) n zbiorze A. Stąd np. wynik, że jeżeli oznczymy przez S A zbiór wszystkich funkcji rosnących (mlejących) n zbiorze A, to zbiór ten m włsność: f S A, f S A f 0 n zbiorze A. Ozncz to, że zbiór S A funckji rosnących (lbo mlejących) n zbiorze A, będący podzbiorem przestrzeni liniowej R A, m strukturę stożk. Niestety, nie jest to podprzestrzeń przestrzeni R A. Podobnie, zbiór M A funckji monotonicznych n zbiorze A nie m nwet struktury stożk! Później pokżemy, jk tą niedogodną sytucję możn obejść (w pewnien sposób). Jeżeli X, Y są zbiormi niepustymi, to symbolem Y X oznczmy zbiór wszystkich funkcji f : X Y. 4

5 W dlszym ciągu złóżmy, że I jest przedziłem (otwrtym, domkniętym, jednostronnie otwrtym, ogrniczonym lub nieogrniczonym). Symbolem I będziemy oznczć wnętrze przedziłu I, np. jeżeli I = (, b], to I = (, b) itd. Mmy nstępujące, wżne twierdzenie. Twierdzenie 1.2. Złóżmy, że f jest funkcją monotoniczną n przedzile I(f : I R). Wtedy dl dowolnego x I istnieją grnice jednostronne funkcji f w punkcie x (skończone), tzn. istnieją f(x ) = lim y x f(y), f(x+) = lim y x+ f(x). Pondto, jeżeli f jest rosnąc n przedzile I, to ntomist, jeżeli f jest mlejąc n I, to f(x ) f(x) f(x+), f(x ) f(x) f(x+). Dowód. Dl ustleni uwgi złóżmy, że f jest rosnąc n przedzile I. Pokżemy, że f(x ) = sup{f(y) : y < x, y I} f(x+) = inf{f(y) : y > x, y I}. Złóżmy njpierw, że y I, y < x. Wtedy z złożeni mmy, że f(y) < f(x) to ozncz, że zbiór {f(y) : y I, y < x} jest ogrniczony z góry i jedną z jego mjornt jest f(x). Ztem zbiór ten m kres górny - oznczmy ten kres górny przez f (x), tzn. kłdziemy: f (x) = sup{f(y) : y I, y < x}. Poniewż f(x) jest mjorntą zbioru {f(y) : y I, y < x}, więc mmy f (x) f(x). (1.1) Przy okzji otrzymujemy, że f (x) R. 5

6 W dlszym ciągu pokżemy, że f(x ) istnieje orz, że f(x ) = f (x). (1.2) W tym celu ustlmy dowolnie liczbę ε > 0. Z definicji kresu górnego wynik, że istnieje liczb w zbiorze {f(y) : y I, y < x} - tzn. istnieje liczb y < x, y I tk, że f (x) ε < f(y) f (x). (1.3) Weźmy terz dowolny ciąg {x n } tki, że {x n } I, x n < x dl n = 1, 2,... orz x n x. Stąd: i z definicji grnicy ciągu wynik, że istnieje liczb nturln n 0 tk, że dl n N, n n 0, zchodzi, że y < x n x. Stąd i z (1.3) mmy: f (x) ε < f(y) f(x n ) f (x), (1.4) przy czym osttni nierówność (po prwej stronie) w (1.4) wynik z definicji kresu górnego, bowiem {x n } {y I : y < x}. Z nierówności (1.4) otrzymujemy, że lim f(x n) = f (x). n Poniewż tk jest dl dowolnego ciągu {x n } (byle tylko x n < x, x n x, x n {y I : y < x}), więc stąd mmy, że co dowodzi (1.2). Dowód, że f(x+) = f (x) = inf{f(y) : również, że lim f(x) = f(x ) = f (x), y x f(x+) f(x). y I, y > x} przebieg podobnie. Mmy Koniec dowodu. Uwg 1.3. Jeżeli x jest lewym (prwym) końcem przedziłu I, mmy podobne stwierdzeni. Np. gdy przedził I m postć I = (, b) lub I = [, b) itp., b +, 6

7 to mmy, że lim f(x) istnieje, orz x + (oczywiście dl funkcji rosnącej). f(+) = lim f(x) f() x + Twierdzenie 1.4. Rodzin przedziłów otwrtych i rozłącznych jest co njwyżej przeliczln. Dowód. Widomo, że w kżdym przedzile otwrtym znjduje się przynjmniej jedn liczb wymiern. Złóżmy, że (U λ ) λ Λ jest rodziną przedziłów otwrtych i rozłącznych. Weźmy odwzorownie f : Λ Q (Q ozncz zbiór liczb wymiernych) określone w ten sposób, że kżdemu wskźnikowi λ Λ przyporządkowujemy dokłdnie jedną liczbę wymierną z przedziłu U λ. Jest to funkcj różnowrtościow, bowiem dl λ 1 λ 2, λ 1, λ 2 Λ, przedziły U λ1 i U λ2 są rozłączne, więc liczby wymierne f(λ 1 ) i f(λ 2 ) są różne. Ztem f : Λ f(λ) Q jest bijekcją. Poniewż f(λ), jko podzbiór zbioru przeliczlnego Q, jest skończony lub przeliczlny, więc zbiór Λ, co ztem idzie rodzin {U λ } λ Λ, jest co njwyżej przeliczln. Sformułujemy terz i udowodnimy kilk lemtów o funkcjch monotonicznych. Lemt 1.5. Niech f : I R będzie funkcją rosnącą (mlejącą) n przedzile I. Niech x, y, z I będą tkie, że x < z < y (wtedy oczywiście z I). Wtedy zchodzą nierówności f(x+) f(z) f(y ), gdy f I f(x+) f(z) f(y ), gdy f I. Dowód. Złóżmy np., że f jest rosnąc n I. Wtedy, z dowodu poprzedniego Twierdzeni 1.2 mmy, że (bo z (x, + ) I), orz f(x+) = f(z) (bo z (, y) I). Koniec dowodu. inf f(u) f(z) u (x,+ ) I sup f(v) v (,y) I 7

8 Lemt 1.6. Niech x I będzie punktem nieciągłości funkcji rosnącej f. Wtedy przedził (f(x ), f(x+)) jest przedziłem niepustym (i otwrtym). Podobnie, gdy x jest punktem nieciągłości funkcji mlejącej f, to przedził (f(x+), f(x )) jest niepusty. Dowód. Złóżmy np., że f I. Jeżeli x jest punktem nieciągłości funkcji f, to z poprzednio ustlonych włsności mmy, że lbo f(x ) f(x) < f(x+), lbo f(x ) < f(x) f(x+) lbo f(x ) < f(x) < f(x+). W kżdym z trzech przypdków mmy, że f(x ) < f(x+), więc przedził (f(x ), f(x+)) jest niepusty. Lemt 1.7. Niech x, y I, x < y. Złóżmy, że x, y są punktmi nieciągłości funkcji f, rosnącej n przedzile I. Wtedy przedziły (f(x ), f(x+)), (f(y ), f(y+)) są niepuste i rozłączne. Podobne stwierdzenie m miejsce dl funkcji mlejącej. Dowód. Tk jk poprzednio, dl ustleni uwgi złóżmy, że f I. Wtedy, z Lemtu 1.5 mmy, że f(x+) f(y ), więc przedziły otwrte (f(x ), f(x+)), (f(y ), f(x+)) są rozłączne i niepuste. Twierdzenie 1.8. Zbiór punktów nieciągłości funkcji f : I R, któr jest monotoniczn n przedzile I, jest co njwyżej przeliczlny. Dowód. Oznczmy przez D I zbiór wszystkich punktów nieciągłości funkcji f n przedzile I. Wtedy I jest oczywiście też przedziłem i mmy, że D I = D I {} lub D I = D I {b} lub D I = D I {, b} lub D I = D I. Wystrczy pokzć, że zbiór D I jest co njwyżej przeliczlny. Dl ustleni uwgi złóżmy, że f I. Weźmy odwzorownie T, które kżdemu punktowi x D przyporządkowuje przedził niepusty i otwrty (f(x ), f(x+)). Z Lemtu 1.7 wynik, że odwzorownie T jest injektywne. Ztem T (D) złożone jest z przedziłów otwrtych, niepustych i rozłącznych orz T : D T (D) jest bijekcją. N podstwie Twierdzeni 1.4 wiemy, że T (D) jest zbiorem co njwyżej przeliczlnym. Poniewż T : D T (D) jest bijekcją, więc D jest co njwyżej przeliczlny. Koniec dowodu. W dlszym ciągu wskżemy n pewne istotne uogólnienie zrówno funkcji monotonicznych jk i ciągłych. W tym celu wprowdzimy njpierw pewne oznczeni. I tk, zbiór wszystkich funkcji f : [, b] R, które są ogrniczone n przedzile [, b], oznczć będziemy symbolem B([, b]). Widomo, że ten zbiór tworzy przestrzeń Bnch 8

9 z normą supremum, tzn. dl f B([, b]) przyjmujemy, że f = sup{ f(x) : x [, b]}. (1.5) Wżną w wielu rozwżnich przestrzenią jest przestrzeń C([, b]) złożon z funkcji f : [, b] R, które są ciągłe n [, b]. Przestrzeń tę również wyposżmy w normę (1.5). Oczywiście, ze znnych włsności funkcji ciągłych wynik, że normę (1.5) możn zstąpić normą mksimum f = mx{ f(x) : x [, b]}. (1.6) Możn pokzć, że C([, b]) jest domknietą podprzestrzenią przestrzeni B([, b]), więc jest przestrzenią Bnch. Przestrzeń t nzyw się przestrzenią funkcji ciągłych z normą (metryką) zbieżności jednostjnej, poniewż zbieżność względem normy (1.6) pokryw się ze zbieżnością jednostjną. Oczywiście n funkcje monotoniczne n przedzile [, b], tzn. n zbiór M [,b], możemy ptrzeć jko n zbiór w przestrzeni B([, b]). Jk udowodniliśmy to wyżej, kżd funkcj monotoniczn f B([, b]) m w kżdym punkcie przedziłu [, b] (skończone) grnice jednostronne. Punkt nieciągłości tkiej funkcji jest to tzw. skok. N ogół przyjęto mówić, że jeżeli funkcj f B([, b]) m w punkcie x 0 grnice jednostronne orz jest w tym punkcie nieciągł, to tk nieciągłość jest nzywn nieciągłością I-tego rodzju. Żeby nsze rozwżni ujednolicić, wprowdzimy dlej pewne definicje i oznczeni. Definicj 1.9. Funkcję f B([, b]) będziemy nzywć funkcją regulrną, jeżeli w kżdym punkcie x [, b] funkcj f m grnice jednostronne (skończone). Oczywiście w punkcie x = m grnicę prwostronną, ntomist w punkcie x = b grnicę lewostronną. Zbiór wszystkich funkcji regulrnych n przedzile [, b] będziemy oznczć symbolem R([, b]). Oczywiście R([, b]) B([, b]). Jeżeli f R([, b]), to w dowolnie ustlonym punkcie x [, b] funkcj f może być ciągł lub nieciągł. Jeżeli w punkcie x funkcj f jest nieciągł, to w przypdku, gdy grnice jednostronne f(x ) = lim f(y), f(x+) = lim f(y) są różne (f(x ) f(x+)), y x y x+ punkt x nzywmy skokiem. Jeżeli f(x ) = f(x+), to liczbę x nzywmy nieciągłością usuwlną. 9

10 Dl f R([, b]) wprowdzimy nstępujące oznczeni: D(f) = {x [, b] : f jest nieciągł w punkcie x}, (1.7) D 0 (f) = {x [, b] : f m nieciągłość usuwlną w x}, (1.8) D 1 (f) = {x [, b] : f m skok w punkcie x}. (1.9) Mmy, że: D(f) = D 0 (f) D 1 (f) dl f R([, b]). Jeżeli f jest monotoniczn n [, b] to D(f) = D 1 (f), D 0 (f) =. Chociż wydje się, że kls funkcji regulrnych jest brdzo odległ od klsy funkcji monotonicznych, to jednk funkcje regulrne zchowują jedną brdzo wżną włsność funkcji monotnicznych. Mmy bowiem nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Zbiór punktów nieciągłości funkcji regulrnej f : [, b] R jest co njwyżej przeliczlny. Dowód. Rozwżmy uśrednienie f funkcji f określone wzorem 1 f(x) = (f(x ) + f(x+)) dl x D 2 1(f) f(x) dl x pozostłych. Oczywiście mmy, że D(f) = D(f), D 0 (f) = D 0 (f), D 1 (f) = D 1 (f), więc wystrczy pokzć, że zbiór D(f) jest co njwyżej przeliczlny. Złóżmy njpierw, że x 0 D 0 (f) (, b). Wtedy f(x 0 ) = f(x 0 +) f(x 0 ). Złóżmy np., że f(x 0 ) = f(x 0 +) < f(x 0 ) i połóżmy ε = 1 2 (f(x 0) f(x 0 +)) > 0. Dobierzmy liczbę δ > 0 tk, żeby dl x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) zchodził nierówność f(x) < f(x 0 ) ε. Stąd wynik, że koło w R 2 o środku w punkcie (x 0, f(x 0 )) i promieniu min{δ, ε} nie zwier innych punktów wykresu funkcji f (lub f) z wyjątkiem środk (x 0, f(x 0 )). Złóżmy dlej, że x 0 D 1 (f) (, b). Wtedy f(x 0 ) f(x 0 +). Niech np. będzie, że f(x 0 ) < f(x 0 +). Połóżmy ε = 1 3 (f(x 0+) f(x 0 )) > 0 i dobierzmy liczbę δ > 0 tką, żeby f(x) < f(x 0 ) + ε dl x (x 0 δ, x 0 ) 10

11 orz f(x) > f(x 0 +) ε dl x (x 0, x 0 + δ). Stąd wynik, że koło o środku w punkcie (x 0, f(x 0 )) i promieniu min{ε, δ} nie zwier innych punktów wykresu funkcji f poz punktem (x 0, f(x 0 )). Osttecznie widzimy, że zbiór tych wszystkich punktów wykresu funkcji f, które są środkmi kół wyżej opisnych, skłd sie wyłącznie z punktów izolownych. Z fktów zwrtych w niżej podnych zdnich (zd. 1 i 2) łtwo wywnioskowć, że zbiór ten jest co njwyżej przeliczlny. Stąd wynik, że zbiór D(f) jest co njwyżej przeliczlny. Wżne twierdzenie, chrkteryzujące funkcje regulrne, udowodnił w 1933 roku Wcłw Sierpiński. Przytoczymy to twierdzenie bez dowodu (por. [1]). Twierdzenie Funkcj f nleży do zbioru R([, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy możn ją przedstwić w postci złożeni f = g τ, gdzie τ : [, b] [c, d] jest funkcją ściśle rosnącą, ntomist g C([, b]). Zuwżmy n zkończenie tego rozdziłu, że zbiór R([, b]) m strukturę przestrzeni liniowej nd ciłem R. Pozostwimy Czytelnik z problemem: Czy R([, b]) jest domknietą podprzestrzenią przestrzeni B([, b])? Inczej: Czy R([, b]) jest przestrzenią Bnch z normą (1.5)? Zdni 1. Pokzć, że jeżeli funkcj f : [, b] R jest ściśle rosnąc n przedzile [, b], to funkcj odwrotn f 1 jest ciągł n zbiorze f([, b]). 2. Pokzć, że funkcj f : R R jest monotoniczn wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 ([α, β]) jest przedziłem dl kżdego przedziłu [α, β] R. Czy twierdzenie to jest prwdziwe w przypdku, gdy f : [, b] R? 3. Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X z metryką d. Zbiór A nzywć będziemy zbiorem izolownym, jeżeli kżdy punkt zbioru A jest punktem izolownym tego zbioru. Pokzć, że zbiór wszystkich punktów izolownych zbioru A jest zbiorem izolownym. 11

12 4. Niech X będzie przestrzenią metryczną ośrodkową. Pokzć, że kżdy podzbiór A przestrzeni X, który jest zbiorem izolownym, jest co njwyżej przeliczlny. 5. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Pokzć, że jeżeli istnieje zbiór A (A X), który jest nieprzeliczlny orz jeżeli istnieje liczb ε > 0 tk, że dl dowolnych x, y A, x y zchodzi, że d(x, y) ε, to przestrzeń X nie jest ośrodkow. 6. Pokzć, że przestrzeń l złożon ze wszystkich ciągów rzeczywistych ogrniczonych, z normą supremum, nie jest ośrodkow. 7. Udowodnić Twierdzenie 1.11 (Sierpińskiego). 8. Niech f : [, b] R będzie zdną funkcją ogrniczoną. Rodzinę {I n } (skończoną lub nie) nie zchodzących n siebie podprzedziłów przedziłu [, b] będziemy nzywć f-uporządkowną, jeżeli f(i n ) f(i n+1 ) dl kżdego n = 1, 2,..., przy czym symbol A (dl A będącego ogrniczonym podzbiorem zbioru R) ozncz długość zbioru A, tzn. A = sup A inf A. Pokzć, że jeżeli f jest funkcją regulrną n przedzile [, b], to kżdy ciąg nie zchodzących n siebie podprzedziłów przedziłu [, b] możn f-uporządkowć. Uwg. Jeżeli U i V są podzbiormi przestrzeni metrycznej X, to mówimy, że zbiory U, V nie zchodzą n siebie, jeżeli Ů V=. 12

13 2. Wricj funkcji w sensie Jordn W rozdzile tym omówimy pojęcie wricji funkcji w sensie klsycznym, które zostło wprowdzone pod koniec XIX wieku przez znkomitego mtemtyk frncuskiego Cmile Jordn (por. [1]). Wrto w tym miejscu wspomnieć, że C. Jordn odkrył fundmentlną włsność funkcji o wricji ogrniczonej n przedzile, mówiącą, że tką funkcję możn przedstwić jko różnicę dwóch funkcji rosnących n tym przedzile. W celu wprowdzeni pojęci wricji (whni) funkcji złóżmy, że f jest funkcją rzeczywistą określoną n przedzile [, b] (tzn. f : [, b] R), ogrniczoną. Skończony zbiór P = {t 0, t 1, t 2,..., t m } złożony z puntów przedziłu [, b] tkich, że = t 0 < t 1 < < t m 1 < t m = b będziemy nzywć podziłem przedziłu [, b]. Występując w tej definicji liczb m jest dowolną liczbą nturlną, m 2. Zbiór wszystkich podziłów przedziłu [, b] oznczć będziemy przez P([, b]). Liczbę określoną równością µ(p ) = mx{t j t j 1 : j = 1, 2,..., m} nzywć będziemy rozmirem podziłu P. Jeżeli to podził P nzywmy równoodległym. t 1 t 0 = t 2 t 1 = = t m t m 1 Definicj 2.1. Dl zdnej dowolnie funkcji f : [, b] R, ogrniczonej n [, b] orz dl zdnego podziłu P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]), liczbę nieujemną Vr(f, P ), określoną wzorem Vr(f, P ) = Vr(f, P ; [, b]) = f(t j ) f(t j 1 ) (2.1) będziemy nzywć wricją (w sensie Jordn) funkcji f n przedzile [, b] względem podziłu P. Ntomist wielkość (możliwie nieskończoną) Vr(f), określoną równością Vr(f) = Vr(f; [, b]) = sup{vr(f, P ; [, b]) : P P([, b])} (2.2) będziemy nzywć wricją cłkowitą (Jordn) funkcji f n przedzile [, b]. 13

14 Zuwżmy, że zmist nzwy wricj używ się też nzwy whnie. Pondto, w miejsce nzwy wricj cłkowit będziemy używć terminu wricj. Definicj 2.2. Jeżeli Vr(f; [, b]) <, to wtedy mówimy, że f jest funkcją o wricji ogrniczonej (lub funkcją o ogrniczonej wricji Jordn) n [, b]. Zbiór wszystkich funkcji o wricji ogrniczonej n przedzile [, b] oznczć będziemy symbolem BV ([, b]). Podmy terz twierdzenie przedstwijące podstwowe włsności wricji funkcji. Twierdzenie 2.3. Wielkości określone wzormi (2.1) i (2.2) mją nstępujące włsności: () Wricj (2.2) jest podddytywn ze względu n funkcje, tzn. dl dowolnych funkcji f, g : [, b] R spełnion jest nierówność Vr(f + g; [, b]) Vr(f; [, b]) + Vr(g; [, b]). (b) Wricj (2.2) jest dodtnio jednorodn ze względu n funkcje, tzn. Vr(λf; [, b]) = λ Vr(f; [, b]) dl λ R. (c) Dl dowolnych x, y [, b] tkich, że x < y m miejsce nierówność f(x) f(y) Vr(f; [x, y]). (d) Jeżeli f BV ([, b]), to f jest ogrniczon orz m miejsce nierówność f f() + Vr(f; [, b]), gdzie norm zdn jest wzorem (1.5). (e) Kżd funkcj monotoniczn f : [, b] R nleży do zbioru BV ([, b]) orz Vr(f; [, b]) = f(b) f(). (f) Wricj (2.1) jest monotoniczn ze względu n podziły, tzn. jeżeli P, Q P([, b]) orz P Q to Vr(f, P ; [, b]) Vr(f, Q; [, b]). 14

15 (g) Wricj (2.2) jest ddytywn ze względu n przedziły, tzn. Vr(f; [, b]) = Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]) dl < c < b. Dowód. Ustlmy dowolnie funkcje f, g : [, b] R orz liczbę λ R. Weźmy podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]). Wtedy otrzymujemy: Vr(f + g, P ) = (f + g)(t j ) (f + g)(t j 1 ) = [f(t j ) f(t j 1 )] + [g(t j ) g(t j 1 )] f(t j ) f(t j 1 ) + g(t j ) g(t j 1 ) = Vr(f, P ) + Vr(g, P ) Vr(f) + Vr(g). Stąd otrzymujemy Vr(f + g) Vr(f) + Vr(g), co dowodzi nierówności z punktu (). Dl dowodu (b) npiszmy: Vr(λf, P ) = (λf)(t j ) (λf)(t j 1 ) = λ f(t j ) f(t j 1 ) = λ Vr(f, P ). Stąd i z włsności kresu górnego otrzymujemy równość z punktu (b). Żeby udowodnić (c) wystrczy wziąć podził {x, y} P([x, y]). Wtedy mmy f(x) f(y) = Vr(f, P ; [x, y]) Vr(f; [x, y]) i otrzymujemy żądną nierówność. Dlej, zkłdjąc, że < x < b i biorąc podził P x = {, x, b} P([, b]), otrzymujemy f(x) f() f(b) f(x) + f(x) f() = Vr(f, P x ; [, b]). 15

16 Stąd dostjemy f(x) f() f(x) f() f(x) f() Vr(f; [, b]) i dlej mmy f(x) f() + Vr(f; [, b]) (2.3) dl dowolnego x (, b). Powyższ nierówność jest również w sposób trywilny prwdziw dl x =. Biorąc dlej w nierówności z punktu (c) x =, y = b, otrzymujemy: f(b) f() f(b) f() f(b) f() = f() f(b) Vr(f; [, b]) Stąd f(b) f() + Vr(f; [, b]). Łącząc powyższą nierówność z nierównością (2.3) wnioskujemy o prwdziwości nierówności z (d). Złóżmy terz, że f : [, b] R jest funkcją monotoniczną n [, b]. Rozwżmy przypdek, gdy f jest rosnąc. Wtedy, dl dowolnie ustlonego podziłu P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]) otrzymujemy: Vr(f, P ; [, b]) = f(t j ) f(t j 1 ) = [f(t j ) f(t j 1 )] = f(b) f() = f(b) f(). Stąd wnioskujemy, że Vr(f; [, b]) = f(b) f(). Dowód w przypdku, gdy f jest mlejąc, przebieg podobnie. Dowodzi to punktu (e). Dl dowodu (f) złóżmy, że P = {t 0, t 1,...t m } P([, b]). Niech Q P([, b]) będzie tkim podziłem, że P Q. Złóżmy njpierw, że podził Q powstje z podziłu P przez dołączenie jednego punktu c. Wtedy istnieje i {1, 2,..., m} tkie, że t i 1 < c < t i. Dlej mmy: Vr(f, P ) = f(t j ) f(t j 1 ) 16

17 i 1 = f(t j ) f(t j 1 ) + f(t i ) f(t i 1 ) + i 1 j=i+1 f(t j ) f(t j 1 ) f(t j ) f(t j 1 ) + f(t i ) f(c) + f(c) f(t i 1 ) + j=i+1 f(t j ) f(t j 1 ) = Vr(f; Q). Terz, stosując zsdę indukcji mtemtycznej łtwo dowodzimy nierówności z punktu (f) dl dowolnego skończonego podziłu Q tkiego, że P Q. Dl dowodu (g) weźmy dowolny podził P = {t 0, t 1, t 2,..., t m } P([, b]). Jeżeli istnieje tkie j {1, 2,..., m 1}, że t j = c, to wtedy mmy, że P 1 = {t 0, t 1,..., t j } P([, c]) orz Q 1 = {t j, t j+1,..., t m } P([c, b]). Ztem: j f(t i ) f(t i 1 ) = f(t i ) f(t i 1 ) + f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=1 i=j+1 Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]) (2.4) Jeżeli ntomist tk nie jest, to istnieje j {0, 1, 2,..., m 1} tkie, że Wtedy mmy: Dlej, dostjemy: t j < c < t j+1. P {c} = {t 0, t 1,..., t j 1, t j, c, t j+1,..., t m } P([, b]). j f(t i ) f(t i 1 ) = f(t i ) f(t i 1 ) + f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=1 i=j+1 j = f(t i ) f(t i 1 ) + f(t j+1 f(t j )) + f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=j+2 j f(t i ) f(t i 1 ) + f(t j+1 f(c)) + f(c) f(t j ) + f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=j+2 j f(t i ) f(t i 1 ) + f(c) f(t j ) + f(t j+1) f(c) + f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=j+2 Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]). (2.5) 17

18 Z (2.4) i (2.5) otrzymujemy, że Vr(f; [, b]) Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]). (2.6) Dl dowodu nierówności przeciwnej do nierówności (2.6) ustlmy dowolne ε > 0 i dobierzmy tkie podziły P 1 = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } P([, c]) orz Q 1 = {t n, t n+1,..., t m 1, t m } P([c, b]), że Vr(f; [, c]) ε n 2 f(t i ) f(t i 1 ), i=1 Vr(f; [c, b]) ε m 2 f(t i ) f(t i 1 ). i=n+1 Mmy oczywiście, że t 0 =, t n = c, t m = b. Zuwżmy, że wtedy P = P 1 Q 1 P([, b]) i stąd otrzymujemy: Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]) ε f(t i ) f(t i 1 ) i=1 = Vr(f, P ; [, b]). Z powyższej nierówności dostjemy: Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]) ε Vr(f; [, b]). Ze względu n dowolność ε otrzymujemy stąd nierówność: Vr(f; [, c]) + Vr(f; [c, b]) Vr(f; [, b]). (2.7) Łcząc terz (2.6) i (2.7) otrzymujemy tezę twierdzeni. Wniosek 2.4. Funkcj x Vr(f; [, x]) jest rosnąc n przedzile [, b]. Rzeczywiście, biorąc x, y [, b] tkie, że x < y i korzystjąc z Twierdzeni 2.3(g), mmy Vr(f; [, y]) = Vr(f; [, x]) + Vr(f; [x, y]) Vr(f; [, x]). 18

19 Rozwżmy terz zbiór BV ([, b]) złożony ze wszystkich funkcji o wricji ogrniczonej n [, b]. Oczywiście mmy, że BV ([, b]) R [,b]. Zuwżmy, że z nszego twierdzeni wynik, że sum dwóch funkcji o wricji ogrniczonej n [, b] jest funkcją o wricji ogrniczonej n [, b] orz iloczyn funkcji f o wricji ogrniczonej n [, b] przez liczbę rzeczywistą jest również funkcją o wricji ogrniczonej n [, b]. Stąd wynik, że zbiór BV ([, b]) z dziłnimi dodwni funkcji i ich mnożeni przez liczby rzeczywiste tworzy podprzestrzeń przestrzeni liniowej R [,b] (z tymi smymi dziłnimi), więc m strukturę przestrzeni liniowej. Możn jednk udowodnić coś więcej, bowiem mmy twierdzenie: Twierdzenie 2.5. Niech f, g BV ([, b]). Wtedy: (i) f g BV ([, b]) (ii) Jeżeli istnieje stł σ > 0 tk, że x [,b] g(x) σ, to f g BV ([, b]). Dowód (i). Ustlmy dowolny podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]). Z punktu (d) poprzedniego twierdzeni wynik, że f, g są funkcjmi ogrniczonymi n [, b]. Ztem istnieją stłe M 1 > 0, M 2 > 0 tkie, że f(x) M 1, g(x) M 2 dl x [, b]. Mmy dlej: (fg)(t i ) (fg)(t i 1 ) = f(t i )g(t i ) f(t i 1 )g(t i 1 ) i=1 i=1 = f(t i )g(t i ) f(t i )g(t i 1 ) + f(t i )g(t i 1 ) f(t i 1 )g(t i 1 ) i=1 [ f(t i ) g(t i ) g(t i 1 ) + g(t i 1 ) f(t i ) f(t i 1 ) ] i=1 f(t i ) g(t i ) g(t i 1 ) + g(t i 1 ) f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=1 m m M 1 g(t i ) g(t i 1 ) + M 2 f(t i ) f(t i 1 ) i=1 i=1 M 1 Vr(g; [, b]) + M 2 Vr(f, [, b]). 19

20 Stąd Vr(fg; [, b]) M 1 Vr(g; [, b]) + M 2 Vr(f; [, b]) <, co dowodzi pierwszej części twierdzeni. Dowód (ii). Zuwżmy, że biorąc ten sm podził P mmy: f(t i ) i=1 g(t i ) f(t i 1) m g(t i 1 ) = i=1 f(t i )g(t i 1 ) g(t i )f(t i 1 ) g(t i ) g(t i 1 ) f(t i )g(t i 1 ) f(t i 1 )g(t i 1 ) + f(t i 1 )g(t i 1 ) g(t i )f(t i 1 ) i=1 g(t i 1 ) g(t i ) [ g(ti 1 ) f(t i ) f(t i 1 ) + f(t ] i 1) g(t i 1 ) g(t i ) i=1 g(t i 1 ) g(t i ) g(t i 1 ) g(t i ) f(t i ) f(t i 1 ) f(t i 1 ) + i=1 g(t i ) i=1 g(t i 1 ) g(t i ) g(t i) g(t i 1 ) 1 f(t i ) f(t i 1 ) + M 1 g(t σ i=1 σ 2 i ) g(t i 1 ) i=1 1 σ Vr(f; [, b]) + M 1 Vr(g; [, b]) <. σ2 Otrzymn nierówność dowodzi (ii). Zuwżmy, że z punktu (i) powyższego twierdzeni wynik, że przestrzeń BV ([, b]) jest lgebrą ze zwykłymi dziłnimi n funkcjch. Przejdziemy terz do przedstwieni zpowidnego wcześniej fundmentlnego twierdzeni Jordn chrkteryzującego funkcje o wricji ogrniczonej przy pomocy funkcji rosnących. Twierdzenie to nzyw się twierdzenim o rozkłdzie Jordn. Twierdzenie 2.6. Funkcj f : [, b] R m wricję ogrniczoną n przedzile [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy t funkcj może być przedstwion w postci różnicy dwóch funkcji rosnących n przedzile [, b] tzn. istnieją funkcje p f, n f, które są określone i rosnące n [, b] i tkie, że f(x) = p f (x) n f (x) dl x [, b]. Dowód. Jeżeli funkcj f dje się przedstwić w postci różnicy dwóch funkcji rosnących n przedzile [, b], to z Twierdzeni 2.3 (), (b) i (e) wynik, że f BV ([, b]). Złóżmy terz, że f jest funkcją o wricji ogrniczonej n przedzile [, b]. 20

21 Rozwżmy funkcję V f : [, b] R określoną równością V f (x) = Vr(f; [, x]). Z Wniosku 2.4 wynik, że funkcj V f jest rosnąc n przedzile [, b]. Połóżmy p f = V f nstępnie zdefiniujmy funkcję n f : [, b] R, kłdąc n f (x) = p f (x) f(x) dl x [, b]. Pokżemy, że funkcj n f jest rosnąc n przedzile [, b]. W tym celu ustlmy dowolne x, y [, b] tkie, że x < y. Wtedy mmy n f (y) n f (x) = p f (y) f(y) p f (x) + f(x) = V f (y) V f (x) f(y) + f(x) = Vr(f; [, y]) Vr(f; [, x]) [f(y) f(x)]. Stąd i z Twierdzeni 2.3(g) dostjemy: n f (y) n f (x) = Vr(f; [x, y]) [f(y) f(x)]. Z powyższej równości orz z Twierdzeni 2.3(c) otrzymujemy: n f (y) n f (x) Vr(f; [x, y]) f(y) f(x) 0. Ozncz to, że funkcj n f nszego twierdzeni. jest rosnąc n przedzile [, b] i tym smym kończy dowód Zuwżmy, że z powyższego twierdzeni możemy otrzymć nstępujący wniosek. Wniosek 2.7. Przestrzeń BV ([, b]) jest przestrzenią rozpiętą n zbiorze M [,b] złożonym ze wszystkich funkcji monotonicznych n przedzile [, b]. Twierdzenie Jordn pozwl również wyciągnąć inny, brdzo wżny wniosek. W celu sformułowni tego wniosku przypomnijmy njpierw, że kżd funkcj monotoniczn n przedzile [, b] m tylko nieciągłości I-tego rodzju (skoki), więc zgodnie z Definicją 1.9 jest funkcją regulrną n tym przedzile. Ztem zbiór M [,b] funkcji monotonicznych 21

22 n [, b] jest podzbiorem przestrzeni funkcji regulrnych R([, b]). Stąd i z Wniosku 2.7 otrzymujemy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 2.8. Przestrzeń BV ([, b]) jest podprzestrzenią przestrzeni R([, b]). Innymi słowy, kżd funkcj o wricji ogrniczonej n przedzile [, b] jest funkcją regulrną n tym przedzile. Przypomnijmy, że podne osttnio twierdzenie Jordn mówiło, że jeżeli f : [, b] R to f BV ([, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy f może być przedstwione w postci f(x) = p f (x) n f (x), gdzie p f i n f są funkcjmi rosnącymi n przedzile [, b]. Dowód twierdzeni poległ n tym, że określliśmy funkcję V f : [, b] R przyjmując, że V f (x) = Vr(f; [, x]) (2.8) dl dowolnego x [, b]. Nstępnie przyjmowliśmy, że p f (x) = V f (x) (2.9) orz n f (x) = V f (x) f(x) (2.10) dl x [, b]. O funkcjch p f orz n f pokzywliśmy, że są to funkcje rosnące n przedzile [, b]. Oczywiście mmy, że f(x) = p f (x) n f (x) dl x [, b]. Okzuje się, że rozkłd funkcji f o whniu ogrniczonym n przedzile [, b] n różnicę dwóch funkcji rosnących n tym przedzile (tzn. rozkłd Jordn) nie jest jednoznczny. Co więcej, możn ten rozkłd zrobić tk, że jest on z pewnego punktu widzeni njlepszy. Rzeczywiście, złóżmy, że f BV ([, b]). Określmy funkcje ϕ, ψ : [, b] R przyjmując: ϕ(x) = 1 2 [V f(x) + f(x)] (2.11) ψ(x) = 1 2 [V f(x) f(x)]. (2.12) Wtedy zchodzi twierdzenie. Twierdzenie 2.9. Funkcje ϕ i ψ są funkcjmi rosnącymi n przedzile [, b] orz f(x) = ϕ(x) ψ(y) 22

23 dl x [, b]. Pondto, funkcje ϕ i ψ są możliwie njsłbiej rosnące n przedzile [, b] w tym sensie, że jeżeli f jest przedstwion w postci f(x) = ϕ(x) ψ(x) (2.13) dl x [, b], gdzie ϕ i ψ są rosnące n [, b], to ϕ(y) ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x), (2.14) dl wszystkich x, y [, b], x < y. Oprócz tego, m miejsce równość ψ(y) ψ(x) ψ(y) ψ(x) (2.15) Vr(f; [x, y]) = Vr(ϕ; [x, y]) + Vr(ψ; [x, y]) dl dowolnych x, y [, b], x < y. Dowód. Ustlmy dowolnie x, y [, b], x < y. Korzystjąc z nierówności udowodnionej w Twierdzeniu 2.3(c), otrzymujemy f(x) f(y) f(x) f(y) Vr(f; [x, y]). (2.16) Mmy terz: ϕ(y) ϕ(x) = 1 2 [V f(y) + f(y)] 1 2 [V f(x) + f(x)] = 1 2 [V f(y) V f (x) + f(y) f(x)] = 1 [Vr(f; [, y]) Vr(f; [, x]) + f(y) f(x)] 2 = 1 [Vr(f; [, x] [x, y]) Vr(f; [, x]) + f(y) f(x)] 2 = 1 [Vr(f; [, x]) + Vr(f; [x, y]) Vr(f; [, x]) + f(y) f(x)] 2 przy czym osttni nierówność wynik z (2.16). Podobnie, otrzymujemy terz z (2.12): = 1 [Vr(f; [x, y]) + f(y) f(x)] 0, (2.17) 2 ψ(y) ψ(x) = 1 2 [V f(y) f(y)] 1 2 [V f(x) f(x)] 23

24 = 1 [Vr(f; [x, y]) (f(y) f(x))] 0, (2.18) 2 przy czym t nierówność również wynik z (2.16). Nierówności (2.17) i (2.18) dowodzą, że funkcje ϕ, ψ są rosnące n przedzile [x, y]. Oczywiście, jk łtwo sprowdzić bezpośrednim rchunkiem, zchodzi równość f(x) = ϕ(x) ψ(x) dl x [, b], co dowodzi pierwszej części nszego twierdzeni. Dl dowodu drugiej części złóżmy, że m miejsce przedstwienie (2.13), gdzie ϕ, ψ : [, b] R są funkcjmi rosnącymi n [, b]. Dlej, weźmy dowolne x, y [, b], x < y. Wtedy mmy, n podstwie (2.17), (2.13), (2.11) orz włsności whni funkcji: ϕ(y) ϕ(x) = 1 [Vr(f; [x, y]) + f(y) f(x)] 2 = 1 { } Vr(f; [x, y]) + [ϕ(y) ψ(y)] [ϕ(x) ψ(x)] 2 = 1 { } Vr(ϕ ψ; [x, y]) + [ϕ(y) ϕ(x)] [ψ(y) ψ(x)] 2 1 { } Vr(ϕ; [x, y]) + Vr(ψ; [x, y]) + [ϕ(y) ϕ(x)] [ψ(y) ψ(x)] 2 = 1 { } [ϕ(y) ϕ(x)] + [ψ(y) ψ(x)] + [ϕ(y) ϕ(x)] [ψ(y) ψ(x)] 2 Dowodzi to nierówności (2.14). = ϕ(y) ϕ(x). Dowód nierówności (2.15) prowdzimy podobnie. Mmy, z (2.18), (2.13), (2.12) orz z włsności whni funkcji: ψ(y) ψ(x) = 1 {Vr(f; [x, y]) (f(y) f(x))} 2 = 1 { { }} Vr(f; [x, y]) [ϕ(y) ψ(y)] [ϕ(x) ψ(x)] 2 = 1 { { }} Vr(ϕ ψ; [x, y]) [ϕ(y) ϕ(x)] [ψ(y) ψ(x)] 2 = 1 { } Vr(ϕ ψ; [x, y]) [ϕ(y) ϕ(x)] + [ψ(y) ψ(x)] 2 1 { } Vr(ϕ; [x, y]) + Vr(ψ; [x, y]) [ϕ(y) ϕ(x)] + [ψ(y) ψ(x)] 2 = 1 { } [ϕ(y) ϕ(x)] + [ψ(y) ψ(x)] [ϕ(y) ϕ(x)] + [ψ(y) ψ(x)] 2 = ψ(y) ψ(x). 24

25 Zuwżmy dlej, że z (2.17) i (2.18) otrzymujemy dl x, y [, b] tkich, że x < y: (ϕ(y) ϕ(x)) + (ψ(y) ψ(x)) = = 1 {Vr(f; [x, y]) + [f(y) f(x)] + Vr(f; [x, y]) [f(y) f(x)]} 2 = Vr(f; [x, y]). Stąd i z włsności whni, dostjemy osttecznie Vr(f; [x, y]) = Vr(ϕ; [x, y]) + Vr(ψ; [x, y]) i koniec dowodu. Jko bezpośrednią konsekwencję twierdzeni Jordn otrzymujemy nstępujący wniosek, który sformułujemy tutj jko twierdzenie. Twierdzenie Jeżeli f BV ([, b]), to f m co njwyżej przeliczlną ilość punktów nieciągłości. Funkcj V f (x) = Vr(f; [, x]) używn w dowodch osttnich twierdzeń, m wiele interesujących włsności i jest ściśle związn z funkcją f. Prześledzimy to w nszych dlszych rozwżnich i twierdzenich. Rozpoczniemy od nstępującego prostego twierdzeni, zwnego zsdą mjornty. Twierdzenie Niech f : [, b] R. Funkcj f m whnie ogrniczone n przedzile [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcj g : [, b] R, któr jest rosnąc n przedzile [, b] i tk, że f(y) f(x) g(y) g(x) (2.19) dl dowolnych x, y [, b], x < y. Dowód. Złóżmy njpierw, że istnieje funkcj g o żądnych włsnościch. Wtedy, z nierówności (2.19), dl dowolnego podziłu P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]) mmy: Vr(f, P ; [, b]) = f(t i ) f(t i 1 ) [g(t i ) g(t i 1 )] i=1 i=1 = g(b) g(). 25

26 Stąd, wobec dowolności podziłu P, otrzymujemy: Vr(f; [, b]) g(b) g() <. N odwrót, jeżeli f BV ([, b]) to biorąc funkcję g : [, b] R, określoną wzorem g(x) = V f (x) = Vr(f; [, x]) dl x [, b] (funkcj t jest rosnąc n podstwie twierdzeni opisującego włsności whni), n postwie nierówności (2.16) dostjemy dl x, y [, b], x < y: f(y) f(x) Vr(f; [x, y]) = Vr(f; [, y]) Vr(f; [, x]) = V f (y) V f (x) = g(y) g(x), co kończy dowód. Okzuje się, że między funkcją f BV ([, b]) jej funkcją whni V f (x) = Vr(f; [, x]) istnieje brdzo ścisł współzleżność. Zchodzi bowiem nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Niech f BV ([, b]) i niech x 0 będzie dowolnie ustlonym punktem przedziłu [, b]. Funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy funkcj V f jest ciągł w punkcie x 0 Dowód. Złóżmy njpierw, że f jest ciągł w punkcie x 0, przy czym x 0 < b. Weźmy x (x 0, b) tzn. x 0 < x < b. Rozwżmy różnicę V f (x) V f (x 0 ). Korzystjąc z definicji kresu górnego dobierzmy podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([x 0, b]) tki, że Vr(f; [x 0, b]) ε < Vr(f, P ; [x 0, b]) lub, równowżnie Vr(f; [x 0, b]) < Vr(f, P ; [x 0, b]) + ε. (2.20) Nstępnie, wykorzystując fkt, że funkcj f jest ciągł w punkcie x 0, dobierzmy δ tkie, że 0 < δ < t 1 x 0 orz f(x) f(x 0 ) < ε dl 0 < x x 0 < δ. Wtedy, dl tkich włśnie x (tzn. x (x 0, x 0 + δ)) mmy: V f (x) V f (x 0 ) = Vr(f; [, x]) Vr(f; [, x 0 ]) = Vr(f; [x 0, x]) 26

27 = Vr(f; [x 0, b]) Vr(f; [x, b]) < Vr(f, P ; [x 0, b]) + ε Vr(f; [x, b]). Ale δ < t 1 x 0, x x 0 < δ x x 0 < t 1 x 0 x < t 1 więc x 0 < x < t 1. Stąd i z powyższego oszcowni dostjemy: V f (x) V f (x 0 ) < f(x) f(x 0 ) + f(t 1 ) f(x) + f(t j ) f(t j 1 ) j=2 Vr(f; [x, b]) + ε f(x) f(x 0 ) + ε < 2ε, poniewż Vr(f; [x, b]) f(t 1 ) f(x) + m f(t j ) f(t j 1 ). j=2 Z osttniej nierówności wynik, że funkcj V f jest ciągł prwostronnie w punkcie x 0. W podobny sposób pokzujemy, że V f jest ciągł z lewej strony w punkcie x 0, co osttecznie dowodzi ciągłości funkcji V f w punkcie x 0 (włączjąc przypdki x 0 = i x 0 = b). N odwrót, złóżmy, że V f jest ciągł w punkcie x 0 [, b]. Wtedy, dl x x 0 mmy: f(x) f(x 0 ) Vr(f; [x 0, x]) = Vr(f; [, x]) Vr(f; [, x 0 ]) = V f (x) V f (x 0 ) 0 przy x x 0 +. Ntomist, dl x x 0 otrzymujemy f(x) f(x 0 ) Vr(f; [x, x 0 ]) = Vr(f; [, x 0 ]) Vr(f; [, x]) = V f (x 0 ) V f (x) 0 przy x x 0. W konkluzji dostjemy, że funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i koniec dowodu. Zuwżmy terz, że rozkłd Jordn funkcji f BV ([, b]) n różnicę dwóch funkcji rosnących n przedzile [, b] pozwl nie tylko uzyskć informcje o tym, że funkcj f m co njwyżej przeliczlną ilość punktów nieciągłości. Tych konsekwencji jest więcej. Np. z nlizy mtemtycznej widomo, że funkcj monotoniczn n przedzile [, b] jest n tym przedzile cłkowln w sensie Riemnn. Stąd i z twierdzeni Jordn wynik nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Jeżeli f BV ([, b]) to f jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile [, b]. 27

28 Mimo, że funkcj o wricji ogrniczonej n przedzile m n tym przedzile co njwyżej przeliczlną ilość punktów nieciągłości, to implikcj odwrotn nie jest prwdziw. Mło tego, istnieją funkcje ciągłe, które mją wricję nieogrniczoną. Przykłd Niech f : [0, 1] R będzie określon wzorem x sin 1 dl x (0, 1] x f(x) = 0 dl x = 0. Oczywiście f(0) = 0 orz lim f(x) = lim x sin 1 = 0, więc funkcj f jest ciągł w x 0 x 0 x punkcie x = 0. Ciągłość funkcji f n przedzile (0, 1] jest konsekwencją twierdzeń o ciągłości funkcji złożonej i o ciągłości iloczynu funkcji ciągłych. Ztem f jest ciągł n przedzile [0, 1]. Pokżemy, że f / BV ([0, 1]). W tym celu weźmy podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([0, 1]) tki, że t 0 = 0, t k = I tk, mmy n przykłd: t 1 = 2 [2m (2k 1)]π dl k = 1, 2,..., m 1 orz t m = 1. 2 (2m 1)π, t 2 = 2 (2m 3)π, t 3 = 2 (2m 5)π, , t m 2 = {2m [2(m 2) 1]}π = 2 [2m (2m 5)]π = 2 5π, 2 t m 1 = {2m [2(m 1) 1]}π = 2 [2m (2m 3)]π = 2 3π. Ustlmy terz j, 2 j m 1. Wtedy kolejne punkty t j 1, t j nszego podziłu są tkie, że 1 t j 1 t j 1 = [2m (2j 1)]π {2m [2(j 1) 1]}π 2 (2m 2j + 1)π (2m 2j + 3)π = = 2π = π 2 2 więc funkcj x sin 1 przyjmuje w tych punktch n przemin wrtości 1 i 1. Rzeczy- x wiście mmy: sin 1 t j = sin [ (2m 2j + 1) π ] = sin(2p + 1) π ( ) π 2 2 = sin 2 + pπ. Dlej mmy: f(t j ) f(t j 1 ) = t j sin 1 t j 1 sin 1 t j t j 1 = t j + t j 1 28

29 2t j 1. Ztem: Vr(f, P ; [0, 1]) m 1 j=2 ( 2 f(t j ) f(t j 1 ) 2(t 1 + t t m 2 ) = 2 5π + 2 ) 7π (2m 1)π ( ) = 4 π 2m 1 Z fktu, że szereg hrmoniczny jest rozbieżny wynik, że Vr(f; [0, 1]) =. Nstępne twierdzenie, które podmy, mówić będzie o możliwości przechodzeni do grnicy przy zbieżności punktowej ciągu funkcji o wricji ogrniczonej. Twierdzenie Niech (f n ) będzie ciągiem funkcyjnym tkim, że f n BV ([, b]) dl kżdego n = 1, 2,.... O ciągu tym zkłdmy, że jest punktowo zbieżny do pewnej funkcji f, tzn. istnieje funkcj f : [, b] R tk, że f(x) = lim n f n (x) dl dowolnego x [, b]. Wtedy Vr(f; [, b]) lim inf n Vr(f n; [, b]). (2.21) W szczególności, jeżeli (f n ) jest ciągiem funkcji rzeczywistych, określonych n przedzile [, b], o wricjch wspólnie ogrniczonych n [, b], zbieżnym punktowo do pewnej funkcji f : [, b] R, to f BV ([, b]). Dowód. Jeżeli wielkość po prwej stronie nierówności (2.21) jest równ +, to oczywiście nierówność (2.21) jest spełnion. Przypuśćmy więc, że tk nie jest, tzn. istnieje stł L > 0 tk, że Ustlmy dlej dowolnie liczbę ε > 0. lim inf n Vr(f n; [, b]) = L. Wtedy, biorąc pod uwgę definicję grnicy dolnej ciągu liczbowego wnioskujemy, że istnieje podciąg (f kn ) ciągu (f n ) tki, że dl n = 1, 2,.... Vr(f kn ; [, b]) L + ε 29

30 Ustlmy terz dowolny podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]). Wtedy dostjemy: Vr(f kn, P ; [, b]) = f kn (t j ) f kn (t j 1 ) L + ε. Przechodząc terz z n otrzymujemy stąd Vr(f, P ; [, b]) = f(t j ) f(t j 1 ) L + ε. że Poniewż t nierówność zchodzi dl kżdego podziłu P P([, b]), więc stąd wynik, Vr(f; [, b]) L + ε. Stąd, ze względu n dowolność liczby ε otrzymujemy, że Vr(f; [, b]) L, co dowodzi nierówności (2.21). Drug część twierdzeni jest bezpośrednią konsekwencją pierwszej części. Jk już wcześniej zuwżyliśmy, zbiór BV ([, b]) tworzy przestrzeń liniową nd ciłem liczb rzeczywistych R. Terz, dl dowolnie zdnej funkcji f BV ([, b]) połóżmy: f BV = f() + Vr(f; [, b]). (2.22) Mmy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Wielkość BV zdn wzorem (2.22) jest normą w przestrzeni BV ([, b]). Norm t jest zupełn, tzn. przestrzeń BV ([, b]) z tą normą jest przestrzenią Bnch. Dowód. Z definicji wielkości BV widzimy, że w przestrzeni BV ([, b]) przyjmuje on wrtości rzeczywiste nieujemne. Wrunek f BV = 0 f 0 n [, b] jest łtwy do sprwdzeni i jest on konsekwencją fktu, że jeżeli Vr(f; [, b]) = 0 to funkcj f jest stł n przedzile [, b]. Wrunek λf BV = λ f BV wynik z dodtniej jednorodności wricji funkcji. Ntomist wrunek trójkąt dl BV jest prostą kosekwencją podddytywności wricji ze względu n funkcje. 30

31 Ztem wielkość BV spełni wrunki normy w przestrzeni liniowej BV ([, b]). Pokżemy terz, że t norm jest zupełn. W tym celu złóżmy, że (f n ) jest ciągiem funkcyjnym z BV ([, b]) spełnijącym wrunek Cuchy ego względem normy BV. Ozncz to, że dl ustlonego dowolnie ε > 0 znjdziemy liczbę nturlną n 0 tką, że dl m, n N, m, n n 0 mmy, że f n f m BV = f n () f m () + Vr(f n f m ; [, b]) ε 2. (2.23) Z powyższej nierówności wynik w szczególności, że f n () f m () ε 2 (2.24) dl n, m n 0, to ozncz, że ciąg liczbowy (f n ()) jest ciągiem Cuchy ego. Ztem ten ciąg jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej, którą oznczymy przez f(). Biorąc terz m w nierówności (2.24) i korzystjąc z ciągłości bezwzględnej wrtości, otrzymujemy f n () f() ε (2.25) 2 dl n N, n n 0. Dlej, z nierówności (2.23), dl n, m N, n, m n 0 otrzymujemy: Vr(f n f m ; [, b]) ε 2. (2.26) Ustlmy dlej dowolnie x (, b]. Wtedy, z (2.26) i z włsności wricji wnioskujemy, że Vr(f n f m ; [, x]) ε 2. Ztem, biorąc podził {, x} przedziłu [, x], z powyższej nierówności otrzymujemy: f n (x) f m (x) f n () f m () [f n (x) f m (x)] [f n () f m ()] = Vr(f n f m, {, x}; [, x]) Vr(f n f m ; [, x]) ε 2. Stąd otrzymujemy, że f n (x) f m (x) f n () f m () + ε 2 ε (2.27) 31

32 dl x [, b]. Nierówność (2.27) implikuje, że dl kżdego x [, b] ciąg liczbowy (f n (x)) jest ciągiem Cuchy ego, więc ten ciąg jest zbieżny do liczby, którą oznczymy przez f(x). Mmy ztem określoną funkcję f : [, b] R tką, że ciąg (f n ) jest punktowo zbieżny do tej funkcji. Pokżemy terz, że ciąg (f n ) jest zbieżny do funkcji f w sensie normy (2.22). W tym celu odnotujmy njpierw, że ciąg (f n ) jest ogrniczony w normie BV, jko ciąg Cuchy ego tzn. istnieje stł M > 0 tk, że f n BV M dl n N. Stąd w szczególności otrzymujemy, że Vr(f n ; [, b]) M dl wszystkich n N. Ztem wricje Vr(f n ; [, b]) są wspólnie ogrniczone, co n podstwie Twierdzeni 2.15 pozwl wywnioskowć, że f BV ([, b]). Dlej zuwżmy, że z (2.26), po przejściu z m, n podstwie Twierdzeni 2.15 otrzymujemy Vr(f n f; [, b]) lim inf m Vr(f n f m ; [, b]) ε 2 dl n n 0. Stąd i z (2.25) wynik, że f n f BV ε to ozncz, że ciąg funkcyjny (f n ) jest zbieżny w przestrzeni BV ([, b]) do funkcji f i kończy dowód. Jk to wcześniej zuwżyliśmy omwijąc włsności funkcji o wricji ogrniczonej, iloczyn dwóch funkcji o wricji ogrniczonej jest funkcją o wricji ogrniczonej. Ozncz to, że przestrzeń liniow (Bnch) BV ([, b]) z dziłniem mnożeni funkcji m lgebriczną strukturę lgebry Bnch (tzn. określone jest mnożenie jko opercj wewnętrzn, socjtywn i mjąc dodtkowo jedynkę - funkcj tożsmościowo równ 1 n przedzile [, b] - orz opercj t jest przemienn). Ztem BV ([, b]) (z opercjmi dodwni funkcji, ich mnożeni przez liczby rzeczywiste orz z opercją mnożeni) jest przemienną lgebrą z jednością. Ogólnie przyjmujemy nstępującą definicję. 32

33 Definicj Niech V będzie lgebrą nd ciłem K (K = R lub K = C), któr jest dodtkowo przestrzenią Bnch z normą określoną n V. Algebrę V będziemy nzywć lgebrą Bnch, jeżeli istnieje c > 0 tkie, że x y c x y (2.28) dl dowolnych x, y V. Jeżeli w nierówności (2.28) możn przyjąć c = 1, tzn. jeżeli dl dowolnych x, y V zchodzi nierówność: xy x y, to lgebrę V nzywmy znormlizowną lgebrą Bnch. Udowodnimy terz nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Algebr BV ([, b]) z normą określoną wzorem (2.22), tzn. z normą określoną dl dowolnej funkcji f BV ([, b]) wzorem f BV = f() + Vr(f; [, b]) jest lgebrą Bnch. Pondto, dl dowolnych funkcji f, g BV ([, b]) m miejsce nierówność: Vr(fg; [, b]) f Vr(g; [, b]) + g Vr(f; [, b]), (2.29) gdzie symbol ozncz normę w przestrzeni B([, b]), określoną wzorem: f = sup{ f(x) : x [, b]}. Dowód. W dowodzie będziemy korzystć z fktu, że kżd funkcj o wricji ogrniczonej n przedzile [, b] jest ogrniczon n tym przedzile. Weźmy dlej dowolnie ustlone funkcje f, g BV ([, b]). Nstępnie ustlmy dowolny podził = t 0 < t 1 < t 2 <... < t m = b, tzn. podził P = {t 0, t 1,..., t m } P([, b]). Wtedy mmy: Vr(fg, P ; [, b]) = f(t j )g(t j ) f(t j 1 )g(t j 1 ) = f(t j )g(t j ) f(t j )g(t j 1 ) + f(t j )g(t j 1 ) f(t j 1 )g(t j 1 ) 33

34 { f(t j ) g(t j ) g(t j 1 ) + g(t j 1 ) f(t j ) f(t j 1 ) } { f g(t j ) g(t j 1 ) + g f(t j ) f(t j 1 ) } m = f g(t j ) g(t j 1 ) + g m f(t j ) f(t j 1 ) = f Vr(g, P ; [, b]) + g Vr(f, P ; [, b]) f Vr(g; [, b]) + g Vr(f; [, b]). Stąd otrzymujemy nierówność (2.29), co kończy dowód. W dlszym ciągu, dl dowolnej funkcji f BV ([, b]) połóżmy f 1 BV = f + Vr(f; [, b]). (2.30) Wtedy, możemy sformułowć nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Wielkość 1 BV określon wzorem (2.30) jest normą w przestrzeni BV ([, b]) równowżną normie BV. Dowód. Fkt, że 1 BV spełni wrunki normy w przestrzeni BV ([, b]) dowodzi się łtwo wykorzystując włsności wricji funkcji wykzne w Twierdzeniu 2.3 orz to, że jest normą w przestrzeni B([, b]). Ustlmy terz dowolną funkcję f BV ([, b]). Wtedy dostjemy f BV = f() + Vr(f; [, b]) f + Vr(f; [, b]) = f 1 BV. (2.31) Z drugiej strony, korzystjąc z nierówności udowodnionej w Twierdzeniu 2.3(d), otrzymujemy f 1 BV = f + Vr(f; [, b]) f() + Vr(f; [, b]) + Vr(f; [, b]) = f() + 2Vr(f; [, b]) 2 f() + 2Vr(f; [, b]) = 2 f BV. (2.32) 34

35 Osttecznie, z (2.31) i (2.32) wnioskujemy, że mją miejsce nierówności 1 2 f 1 BV f BV f 1 BV. (2.33) Powyższ nierówność ozncz, że norm 1 BV jest równowżn normie BV i kończy dowód. Wniosek Przestrzeń BV ([, b]) z normą BV tworzy lgebrę Bnch tką, że fg BV 4 f BV g BV (2.34) dl dowolnych f, g BV ([, b]). Pondto, BV ([, b]) z normą 1 BV tworzy znormlizowną lgebrę Bnch. Dowód. Zuwżmy, że z fktu orzekjącego, że BV ([, b]) jest przestrzenią Bnch z normą BV (por. Twierdzenie 2.16) orz z Twierdzeni 2.19 wynik, że norm 1 BV jest zupełn w przestrzeni BV ([, b]). Dlej, dl f, g BV ([, b]), korzystjąc z (2.29), otrzymujemy: fg 1 BV = fg + Vr(fg; [, b]) f g + f Vr(g; [, b]) + g Vr(f; [, b]) f g + f Vr(g; [, b]) + g Vr(f; [, b]) + Vr(f; [, b]) Vr(g; [, b]) = ( f + Vr(f; [, b]))( g + Vr(g; [, b])) = f 1 BV g 1 BV. Powyższ nierówność ozncz, że BV ([, b]) z normą 1 BV jest znormlizowną lgebrą Bnch. Terz, wykorzystując wyżej ustlony fkt i (2.33), dl dowolnych f, g BV ([, b]) dostjemy: fg BV fg 1 BV f 1 BV g 1 BV 2 f BV 2 g BV = 4 f BV g BV, co dowodzi nierówności (2.34) i kończy dowód. Podmy terz kilk uwg związnych z omwiną wyżej temtyką funkcji o wricji ogrniczonej. 35

36 Uwg Zuwżmy, że kżd funkcj f : [, b] R, spełnijąc wrunek Lipschitz n przedzile [, b] (ze stłą L), jest funkcją o wricji ogrniczonej n [, b] orz Vr(f; [, b]) L(b ). Pominiemy proste uzsdnienie tego fktu. Uwg Mówimy, że funkcj f : [, b] R spełni wrunek Hölder n przedzile [, b], jeżeli istnieją stłe L > 0 orz α (0, 1] tkie, że dl dowolnych x, y [, b]. f(x) f(y) L x y α Okzuje się, że funkcj spełnijąc n przedzile [, b] wrunek Hölder nie musi mieć wricji ogrniczonej n [, b]. Przykłd tkiej funkcji możn skonstruowć w nstępujący sposób (por. [1]): Ustlmy liczbę α (0, 1). Nstępnie, zdefiniujmy stłą γ i ciąg (t n ) w przedzile [0, 1] kłdąc: dl n = 1, 2,... γ = t n = 1 γ k=1 1 k 1/α, k=n 1 k 1/α Zuwżmy, że t 1 = 1 orz, że ciąg (t n ) jest mlejący tkże, że lim n t n = 0. Rozwżmy dlej funkcję f : [0, 1] R, określoną wzorem 0 dl x = 0 ( 1) f(x) = n dl x = t n n liniow i łącząc kolejne punkty ( ) t n, ( 1)n n odpowiednio. Biorąc terz podził P n = {0, t n, t n 1,..., t 2, t 1 } P([0, 1]) łtwo zuwżyć, że Vr(f, P n ; [0, 1]) n więc f BV ([0, 1]). Terz, niech 0 < x < y 1. Dobierzmy m, n N tk, żeby t n+1 t m+1 y t m. Wtedy mmy trzy przypdki. x t n orz 36

37 (1) n = m. W tym przypdku mmy, że 0 < y x t n t n+1 = 1 γn 1/α, skąd f(x) f(y) = (y x) f(t n) f(t n+1 ) t n t n+1 = 2γ x y α x y 1 α n (1 α)/α (y x) 2γn1/α n 2γ x y α t n t n+1 1 α n (1 α)/α 2γ x y α n (1 α)/α γ 1 α n (1 α)/α = 2γα x y α. (2) n = m + 1. Wtedy t n = t m+1 i stąd dostjemy: f(x) f(y) f(x) f(t n ) + f(t m+1 ) f(y) 2γ α ( x t n α + t m+1 y α ) 4γ α x y α Zuwżmy, że w dowodzie powyższej nierówności skorzystliśmy z oczywistej nierówności x α + y α (x + y) α + (x + y) α = 2(x + y) α. (3) n m + 2. Wtedy możemy znleźć punkty s [t n, t n 1 ], t [t m+2, t m+1 ] tkie, że f(s) = f(t) = 0. Stąd mmy: f(x) f(y) f(x) f(s) + f(s) f(t) + f(t) f(y) 4γ α ( x s α + t y α ) 8γ α x y α. Podsumowując widzimy, że w kżdym z trzech możliwych rozwżnych przypdków funkcj f spełni wrunek Hölder z wykłdnikiem α i ze stłą L = 8γ α dl 0 < x < y 1. Dołączenie sytucji x = 0 nie przedstwi trudności (ciągłość funkcji f w punkcie x = 0). 37

38 Uwg Brdzo wżną podklsę klsy funkcji o wricji ogrniczonej n ustlonym przedzile [, b] stnowi kls tzw. funkcji bezwzględnie ciągłych. Przedstwimy kilk fktów dotyczących tej włśnie klsy. Zczniemy od wprowdzeni pewnych oznczeń. Minowicie, symbolem ([, b]) będziemy oznczć rodzinę wszystkich skończonych zbiorów S = {[ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],..., [ n, b n ]} złożoną z prmi niezchodzących n siebie podprzedziłów przedziłu [, b]. Podobnie, symbolem ([, b]) będziemy oznczć rodzinę wszystkich nieskończonych i przeliczlnych zbiorów S = {[ n, b n ] : n N} złożonych z niezchodzących n siebie podprzedziłów przedziłu [, b]. Definicj Funkcję f : [, b] R będziemy nzywć bezwzględnie ciągłą, jeżeli dl kżdej liczby ε > 0 istnieje δ > 0 tkie, że dl kżdego zbioru S = {[ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],..., [ n, b n ]} ([, b]) tkiego, że n (b i i ) δ (2.35) i=1 spełnion jest nierówność n f(b i ) f( i ) ε. (2.36) i=1 Zuwżmy, że równowżnie możemy zżądć, że dl kżdego ε > 0 istnieje δ > 0 tkie, że dl kżdego nieskończonego zbioru S = {[ n, b n ] : n N} ([, b]) tkiego, że (b i i ) δ (2.37) i=1 mmy, że f(b i ) f( i ) ε. (2.38) i=1 Rzeczywiście, zuwżmy njpierw, że definicj, w której występuje ([, b]) implikuje Definicję W tym celu ustlmy dowolnie ε > 0 i dobierzmy δ > 0 zgodnie z (2.37)- (2.38). Dlej, weźmy dowolny zbiór S = {[ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],..., [ n, b n ]} ([, b]) tki, że spełnion jest nierówność (2.35). Zstąpmy przedził [ n, b n ] zbiorem S = {[α i, α i+1 ] : i N, i n} ([ n, b n ]), gdzie α n = n, α n+1 = 1(α 2 n + b n ), α n+2 = 1(α 2 n+1 + b n ),

39 Wtedy ztem zbiór b n n = (α i+1 α i ), i=n {[ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],..., [ n 1, b n 1 ], [α n, α n+1 ], [α n+1, α n+2 ],...} tworzy nieskończony ciąg niezchodzących n siebie przedziłów tkich, że Stąd, zgodnie z złożeniem, dostjemy n n 1 (b i i ) = (b i i ) + (α i+1 α i ) δ. i=1 i=1 i=n n n 1 f(b i ) f( i ) f(b i ) f( i ) + f(α i+1 ) f(α i ) ε. i=1 i=1 i=n Dowodzi to bezwzględnej ciągłości funkcji w sensie Definicji N odwrót, złóżmy, że funkcj f jest bezwzględnie ciągł w sensie Definicji Ustlmy ε > 0 i dobierzmy δ > 0 zgodnie z tą definicją. Weźmy dowolny nieskończony ciąg {[ i, b i ] : i N} ([, b]) tki, że spełnion jest nierówność (2.37). Wtedy, dl kżdego dowolnie ustlonego n N mmy, że zbiór {[ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],..., [ n, b n ]} ([, b]) orz n (b i i ) δ. Wtedy, zgodnie z Definicją 2.24 spełnion jest nierówność (2.36). i=1 Stąd wynik, że f(b i ) f( i ) ε, i=1 to ozncz, że funkcj f jest bezwzględnie ciągł n przedzile [, b] w sensie sformułownej wyżej definicji równowżnej Definicji Zbiór wszystkich funkcji bezwzględnie ciągłych n przedzile [, b] będziemy dlej oznczć symbolem AC([, b]). Zuwżmy dlej, że bezwzględn ciągłość implikuje ciągłość (jednostjną) n przedzile [, b]. Pondto, prwdziwe jest również nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Kżd funkcj bezwzględnie ciągł n przedzile [, b] jest n tym przedzile funkcją o wricji ogrniczonej. Dowód. Niech f będzie funkcją bezwzględnie ciągłą n [, b]. Wtedy np. do liczby ε = 1 możemy dobrć tką liczbę δ > 0, że nierówność (2.35) implikuje, że n f(b i ) f( i ) 1. (2.39) i=1 39