Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Transkrypt

1 Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: () 5 pa¹dziernika / 1

2 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2006 W. Kryszewski, Wykªad analizy matematycznej. Cz ± I. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Kuratowski, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN 1964 () 5 pa¹dziernika / 1

3 Literatura uzupeªniaj ca G.M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2007 W. Koªodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009 K. Maurin, Analiza, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2010 () 5 pa¹dziernika / 1

4 Rachunek zda«spójniki logiczne Zdania proste: x X, a < b, x = 0, p q, itp. Zdania proste wypowiedziane w j zyku matematyki ª czymy za pomoc spójników logicznych w zdania zªo»one, dzi ki którym mo»emy wypowiada twierdzenia matematyczne. Spójniki logiczne: negacja ( a lub a); czytamy: nie a koniunkcja (a b); czytamy: a i b alternatywa (a b); czytamy: a lub b implikacja (a b); czytamy je±li a, to b równowa»no± (a b); czytamy: a wtedy i tylko wtedy, gdy b. Prawa rachunku zda«, to np. (a b) ( b a) (a b) (a b) () 5 pa¹dziernika / 1

5 Rachunek zda«kwantykatory Kwantykator ogólny ; czyt. dla ka»dego (wszystkich) Kwantykator szczegóªowy ; czyt. istnieje x X y Y u(x, y) x X y Y u(x, y) () 5 pa¹dziernika / 1

6 Rachunek zda«denicje zbiorów Napis {x X ; u(x)} oznacza zbiór wszystkich x X dla których zdanie u jest prawdziwe. { n N; n 2 < 4 } = {1} Iloczyn kartezja«ski zbiorów X i Y X Y := {(x, y); x X y Y } () 5 pa¹dziernika / 1

7 Relacje Denicja Relacj (dwuargumentow ) nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezja«skiego R X Y. Przykªadowe wªasno±ci relacji R X X : zwrotna x X (x, x) R, symetryczna (x, y) (z, y) R, przechodnia x, y, z X (x, y) R (y, z) R (x, z) R. Relacj maj c powy»sze trzy wªasno±ci nazywamy równowa»no±ci. () 5 pa¹dziernika / 1

8 Denicja Funkcj okre±lon na zbiorze X i dziaªaj c do zbioru Y nazywamy relacj f X Y speªniaj c warunki: x X y Y (x, y) f, x X y, z Y [(x, y) f (x, z) f ] y = z. Oznaczenie. f : X Y X - dziedzina funkcji, Y - przeciwdziedzina. Jedyny y przyporz dkowany x oznaczamy f (x) i nazywamy warto±ci. () 5 pa¹dziernika / 1

9 Funkcje Niech f : X Y, A X, B Y. Obraz zbioru A poprzez f to zbiór f (A) = {y Y ; x A y = f (x)}. Przeciwobraz zbioru B to zbiór f 1 (B) = {x X ; f (x) B}. () 5 pa¹dziernika / 1

10 Funkcje c.d. Funkcja f : X Y jest injekcj lub ró»nowarto±ciowa ( 1-1), je±li speªnia surjekcj ( na Y ), je»eli x, x X, x x f (x) f (x ), y Y x X y = f (x), bijekcj lub wzajemnie jednoznaczn, je»eli jest jednocze±nie injekcj i surjekcj. () 5 pa¹dziernika / 1

11 Denicja Niech f : X Y, g : Y Z b d funkcjami. Zªo»eniem funkcji f i g nazywamy funkcj g f : X Z okre±lon wzorem g f (x) = g(f (x)). Denicja Mówimy,»e funkcja f : X Y jest odwracalna, je»eli istnieje funkcja g : Y X, taka»e x X g(f (x)) = x, y Y f (g(y)) = y. Funk cj g nazywamy odwrotn do f i oznaczamy f 1. () 5 pa¹dziernika / 1

12 Twierdzenie Funkcja f jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcj. Wniosek Je»eli f jest odwracalna, to ma tylko jedn funkcj odwrotn. () 5 pa¹dziernika / 1

13 Zbiór uporz dkowany Denicja Niech X b dzie dowolnym zbiorem. Relacj < X X nazywamy porz dkiem w X, je»eli x, y, X zachodzi tylko jedna z mo»liwo±ci x < y, x = y lub y < x; x, y, z X [x < y y < z] x < z Zbiór wraz z wyró»nion relacj porz dku nazywamy zbiorem uporz dkowanym. Oznaczenie: x y x < y x = y. Umowa: A, B X, A < B a < b a A, b B. () 5 pa¹dziernika / 1

14 Zbiór uporz dkowany Denicja Niech X b dzie dowolnym zbiorem. Relacj < X X nazywamy porz dkiem w X, je»eli x, y, X zachodzi tylko jedna z mo»liwo±ci x < y, x = y lub y < x; x, y, z X [x < y y < z] x < z Zbiór wraz z wyró»nion relacj porz dku nazywamy zbiorem uporz dkowanym. Oznaczenie: x y x < y x = y. Umowa: A, B X, A < B a < b a A, b B. () 5 pa¹dziernika / 1

15 Aksjomatyczna denicja zbioru liczb rzeczywistych Niepusty zbiór R nazywa b dziemy zbiorem liczb rzeczywistych, je±li w R okre±lona jest relacja porz dku oraz speªnia on nast puj ce aksjomaty: A. W zbiorze R okre±lone s dwa dziaªania (umownie nazywane dodawaniem (+) i mno»eniem( )) oraz dwa ró»ne elementy 0 i 1 (umownie nazywane zerem i jedynk ) takie,»e x, y, z R x + y = y + x oraz xy = yx (x + y) + z = x + (y + z) oraz (xy)z = x(yz) x + 0 = x oraz 1x = x x R x R x + x = 0 oraz x 0 x R xx = 1 x(y + z) = xy + xz () 5 pa¹dziernika / 1

16 Aksjomatyczna denicja zbioru liczb rzeczywistych Niepusty zbiór R nazywa b dziemy zbiorem liczb rzeczywistych, je±li w R okre±lona jest relacja porz dku oraz speªnia on nast puj ce aksjomaty: A. W zbiorze R okre±lone s dwa dziaªania (umownie nazywane dodawaniem (+) i mno»eniem( )) oraz dwa ró»ne elementy 0 i 1 (umownie nazywane zerem i jedynk ) takie,»e x, y, z R x + y = y + x oraz xy = yx (x + y) + z = x + (y + z) oraz (xy)z = x(yz) x + 0 = x oraz 1x = x x R x R x + x = 0 oraz x 0 x R xx = 1 x(y + z) = xy + xz () 5 pa¹dziernika / 1

17 Aksjomatyczna denicja zbioru liczb rzeczywistych c.d. B. Dla dowolnych x, y, z R zachodzi je±li x < y, to x + z < y + z je±li x < y oraz z > 0, to xz < yz C. (Ci gªo± ) Je±li A, B R, A, B oraz A B, to istnieje c R taki,»e a c b dla dowolnych a A oraz b B () 5 pa¹dziernika / 1

18 Aksjomatyczna denicja zbioru liczb rzeczywistych c.d. B. Dla dowolnych x, y, z R zachodzi je±li x < y, to x + z < y + z je±li x < y oraz z > 0, to xz < yz C. (Ci gªo± ) Je±li A, B R, A, B oraz A B, to istnieje c R taki,»e a c b dla dowolnych a A oraz b B () 5 pa¹dziernika / 1

19 Kresy zbioru Denicja 1 Mówimy,»e M R jest kresem górnym (supremum, ozn. sup A) zbioru A, je»eli x A x M ε>0 x A M ε < x 2 Mówimy,»e m R jest kresem dolnym (inmum, ozn. inf A) zbioru A, je»eli x A m x ε>0 x A x < m + ε Przykªady. 1. sup[a, b] = sup(a, b) = b 2. inf(a, b) = inf[a, b) = a. () 5 pa¹dziernika / 1

20 Ograniczenia górne (dolne) Denicja Powiemy,»e zbiór A R jest ograniczony z góry (odp. z doªu), je»eli istnieje liczba M R (odp. m R) taka,»e dla wszystkich a A zachodzi nierówno± a M (odp. m a). Zbiór ogranicze«górnych zbioru A: U(A) = {M R; a M dla wszystkich a A}; Zbiór ogranicze«dolnych zbioru A: L(A) = {m R; m a dla wszystkich a A}; () 5 pa¹dziernika / 1

21 Zasada istnienia kresów Aksjomat ci gªo±ci zbioru R C. Zasada istnienia kresów. Twierdzenie Niech A R, A. (i) Je»eli A jest ograniczony z góry, to istnieje kres górny sup A. (ii) Je»eli A jest ograniczony z doªu, to istnieje kres dolny inf A. Dowód: Rozwa»my U(A) = {M R; a M dla wszystkich a A}. Mamy A U(A), wi c z aksjomatu ci gªo±ci istnieje c R takie,»e dla a A, b U(A) mamy a c b. Sprawdzamy,»e c = sup A. Pierwszy warunek jest speªniony. Niech ε > 0. Gdyby dla wszystkich a A byªo a c ε, to c ε U(A). Zatem c ε c. Otrzymana sprzeczno± ko«czy dowód. () 5 pa¹dziernika / 1

22 Elementy najmniejsze i najwi ksze Denicja Niech X b dzie zbiorem uporz dkowanym i A X. Mówimy»e element a X jest: elementem najmniejszym zbioru A (ozn. min A), je±li a A a A a a elementem najwi kszym zbioru A (ozn. max A), je±li a A a A a a () 5 pa¹dziernika / 1

23 Najmniejsze (najwi ksze) ograniczenie górne (dolne) Lemat Niech A R, A. Je±li A jest ograniczony z góry, to sup A = min U(A); Je±li A jest ograniczony z doªu, to inf A = max L(A). () 5 pa¹dziernika / 1

24 Zbiór liczb wymiernych nie speªnia zasady istnienia kresów Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych, czyli uªamków postaci p/q; p Z, q N. Dla zbiorów A = { p Q; p > 0, p 2 2 < 0 } i B = { p Q; p > 0, p 2 2 > 0 } mamy U(A) = B oraz L(B) = A. Stwierdzenie. Zbiór U(A) nie ma elementu najmniejszego, za± L(B) nie ma elementu najwi kszego. () 5 pa¹dziernika / 1

25 Zbiór liczb wymiernych nie speªnia zasady istnienia kresów Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych, czyli uªamków postaci p/q; p Z, q N. Dla zbiorów A = { p Q; p > 0, p 2 2 < 0 } i B = { p Q; p > 0, p 2 2 > 0 } mamy U(A) = B oraz L(B) = A. Stwierdzenie. Zbiór U(A) nie ma elementu najmniejszego, za± L(B) nie ma elementu najwi kszego. () 5 pa¹dziernika / 1

26 Kresy Fakty (1) Je±li niepusty zbiór jest ograniczony z góry, to zbiór A := {a R; a A} jest ograniczony z doªu i inf( A) = sup A. (2) Je±li A, B R s niepuste, A B, zbiór B jest ograniczony z góry (z doªu), to A jest ograniczony z góry (z doªu), oraz sup A sup B(inf B inf A). (3) Suma A B niepustych zbiorów ograniczonych z góry (z doªu) jest zbiorem ograniczonym z góry ( z doªu) oraz sup(a B) = max{sup A, sup B}. (4) Niech A, B R b d niepuste i ograniczone z góry oraz A + B := {a + b; a A, b B}. Wtedy sup(a + B) = sup A + sup B. Pytanie: A jak jest np. z cz ±ci wspóln? () 5 pa¹dziernika / 1

27 Konsekwencje zasady istnienia kresów Zbiór liczb naturalnych Niech N oznacza rodzin podzbiorów A R o nast puj cych wªasno±ciach: 1 1 A; 2 je±li n A, to n + 1 A. Denicja N := A N A Twierdzenie (Zasada indukcji zupeªnej) Je±li zbiór A jest elementem rodziny N oraz A N, to A = N. () 5 pa¹dziernika / 1

28 Konsekwencje zasady istnienia kresów Zbiór liczb naturalnych Twierdzenie (Zasada indukcji) Niech W oznacza form zdaniow o zakresie N (czyli dla dowolnej liczby n N, W (n) jest zdaniem logicznym). Je±li (a) zdanie W (1) jest prawdziwe; (b) dla dowolnej liczby n N z prawdziwo±ci zdania W (n) wynika prawdziwo± zdania W (n + 1), to zdanie W (n) jest prawdziwe dla dowolnej liczby n N. Twierdzenie Zbiór N nie jest ograniczony z góry. Wniosek inf { } 1 n ; n N = 0 () 5 pa¹dziernika / 1

29 Twierdzenie (Nierówno± Bernoulliego) Dla dowolnej liczby α R, je±li α 1, to dla ka»dego n N (1 + α) n 1 + nα. Dowód indukcyjny. wiczenia. Prosz udowodni,»e dla dowolnego n N a) 2 n > n, b) n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2), 3 c) n 3 = ( n) 2. () 5 pa¹dziernika / 1

30 Konsekwencje zasady istnienia kresów Zbiór liczb caªkowitych mo»emy okre±li jako Z := N N. Twierdzenie (Zasada Archimedesa) Je»eli x, y R i x > 0, to istnieje n Z takie,»e n x y < (n + 1) x. Dowód: Przypu± my,»e p x y dla ka»dego p Z. Wtedy y jest ograniczeniem górnym zboru A = {p x; p Z}. Niech z = sup A. Poniewa» z x < z, wi c liczba z x nie jest ograniczeniem górnym A, czyli istnieje p Z takie,»e p z > z x. Czyli (p + 1) x > z, co przeczy denicji kresu. Zatem istnieje liczba p Z taka,»e y < p x. Analogicznie z denicji kresu dolnego istneje q Z takie,»e q x y. Spo±ród par (q, q + 1), (q + 1, q + 2),..., (p 1, p) wybieramy par (n, n + 1). () 5 pa¹dziernika / 1

31 Konsekwencje zasady istnienia kresów Zbiór liczb caªkowitych mo»emy okre±li jako Z := N N. Twierdzenie (Zasada Archimedesa) Je»eli x, y R i x > 0, to istnieje n Z takie,»e n x y < (n + 1) x. Dowód: Przypu± my,»e p x y dla ka»dego p Z. Wtedy y jest ograniczeniem górnym zboru A = {p x; p Z}. Niech z = sup A. Poniewa» z x < z, wi c liczba z x nie jest ograniczeniem górnym A, czyli istnieje p Z takie,»e p z > z x. Czyli (p + 1) x > z, co przeczy denicji kresu. Zatem istnieje liczba p Z taka,»e y < p x. Analogicznie z denicji kresu dolnego istneje q Z takie,»e q x y. Spo±ród par (q, q + 1), (q + 1, q + 2),..., (p 1, p) wybieramy par (n, n + 1). () 5 pa¹dziernika / 1