Funkcje wielu zmiennych
|
|
- Andrzej Adamczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) okre±lamy wzorem: (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ) okre±lamy wzorem: (x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje (x, y), (x, y) nazywamy pochodnymi cz stkowymi pierwszego rz du funkcji f w zbiorze D y Uwaga 2 Pochodna cz stkowa (x, y) jest pochodn funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa Analogicznie mo»na interpretowa pochodn cz stkow (x, y) : d (x, y) = d x [f(x, y) y=const)]; d (x, y) = y d y [f(x, y) x=const)] Zatem obliczanie pochodnych cz stkowych mo»na wykonywa z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania Pami taj c,»e przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem x (symbol (x, y) lub f x (x, y)) nale»y uwa»a y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem y (symbol (x, y) y lub f y (x, y)) nale»y uwa»a x za staªa Denicja 3 (ró»niczkowalno± funkcji w punkcie) Niech istniej pochodne cz stkowe (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ) Wówczas mówimy,»e funkcja f(x, y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x 0, y 0 ), gdy: lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) (x 0, y 0 )(x x 0 ) (x y 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Denicja 4 (ró»niczka funkcji trzech zmiennych) Niech funkcja f ma pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) Ró»niczk funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) nazywamy wyra»enie: df(x 0, y 0, z 0 ) def = (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) (1) Fakt 5 (zastosowanie ró»niczki do oblicze«przybli»onych) Niech funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) Wówczas f df co oznacza : f(x, y, z) f(x 0, y 0, z 0 ) + df(x 0, y 0, z 0 ) (2) 1
2 Fakt 6 (zastosowanie ró»niczki do szacowania bª dów pomiarów) Niech funkcja z = f(x, y, w) opisuje zale»no± pomi dzy wielko±ciami x, y, w, z, pochodne cz stkowe pierwszego rz du funkcji f s ci gªe Ponadto warto± x x 0 jest bezwzgl dnym bª dem pomiaru warto±ci x (odpowiednio y y 0, w w 0 to bª dy bezwzgl dne warto±ci y i w) Wówczas maksymalny bª d bezwzgl dny szacujemy nast puj co: z x x 0 + y y y 0 + z w w 0 (3) Fakt 7 (równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji) Niech funkcja z = f(x, y) ma ci gle pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0 ) Wówczas dowolny [ wektor normalny] pªaszczyzny stycznej do funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) jest postaci n = (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ), 1, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) wyra»a si wzorem: ( z z 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 (4) Denicja 8 Pochodnymi cz stkowymi rz du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) oznaczamy symbolami 2 f, 2 f, 2 f, 2 f nazywamy pochodne cz stkowe jej pochodnych cz stkowych, 2 y y y 2 y tzn = ( ), 2 y = ( ), y y = ( ), y y = ( ) 2 y y U»ywamy nast puj cych oznacze«: 2 = f xx, y = f xy, y = f yx, y 2 = f yy Denicja 9 (pochodna kierunkowa) Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Wówczas pochodn kierunkow funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) [v] = [v 1, v 2 ] okre±lamy wzorem: v (x 0, y 0 ) def f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) = lim t 0 + t Denicja 10 Gradientem funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor: [ gradf(x 0, y 0 ) def = (x 0, y 0 ), ] y (x 0, y 0 ) Twierdzenie 11 Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du, to: v (x 0, y 0 ) = gradf(x 0, y 0 ) v = (x 0, y 0 )v 1 + y (x 0, y 0 )v 2 2
3 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Denicja 12 Mówimy,»e funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum (minimum) lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu (x 0, y 0 ) takie,»e dla ka»dego punktu (x, y) O speªniona jest nierówno± : ( ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) (5) Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi Twierdzenie 13 (warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych) Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej pochodne cz stkowe pierwszego rz du (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ) to obie w tym punkcie s równe zeru, tzn zachodzi: (x 0, y 0 ) = 0, y (x 0, y 0 ) = 0 (6) Twierdzenie 14 Niech wyznacznik pochodnych cz stkowych drugiego rz du funkcji f, w punkcie (x 0, y 0 ) tzw wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez = 2 : (x 2 = 2 0, y 0 ) 2 f (x y 0, y 0 ) 2 f (x y 0, y 0 ) 2 f (x y 2 0, y 0 ) Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz stkowe rz du drugiego na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz obie pochodne cz stkowe pierwszego rz du w tym punkcie s równe zeru (x 0, y 0 ) = 0, y (x 0, y 0 ) = 0 Wówczas: a) je±li 2 > 0 oraz 1 = 2 f 2 (x 0, y 0 ) > 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne; b) je±li 2 > 0 oraz 1 < 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne; c) je»eli 2 < 0, to w punkcie(x 0, y 0 ) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego d) je»eli 2 = 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ) przeprowadzamy innymi metodami Algorytm wyznaczania ekstremów funkcji dwóch zmiennych: 1 wyznaczamy dziedzin funkcji f; 2 obliczamy pochodne cz stkowe pierwszego rz du; { 3 wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, tzn rozwi zujemy ukªad równa«(x 0, y 0 ) = 0, (x y 0, y 0 ) = 0, oznaczmy je przez (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) -wybieramy tylko te które nale» do dziedziny; 3
4 4 w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan 2 oraz warto± 1 ; 5 sprawdzamy, który z punktów a) d) Twierdzenia 14 zachodzi Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkni tym: 1 Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn trz obszaru otwartego; 2 Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstrema warunkowe W tym celu skªadamy funkcj dwóch zmiennych z funkcj okre±laj c brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli na sum cz ±ci, które mo»na opisa równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)) 3 Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto± najmniejsz i najwi ksz w tym obszarze domkni tym 4
5 Zadania na wiczenia 1 Wyznacz dziedziny naturalne funkcji: (a) f(x, y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x, y, z) = x 5 y 10 x 3 ln z + y 2 e x ; (c) f(x, y) = x2 sin x+y 3 1 ; (d) f(x, y) = ln(4x + yx); x 2 +y 2 9 (e) f(x, y) = arcsin x; (f) f(x, y) = 2x y 2 y 2 2 Na podstawie denicji oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji w punkcie (0, 0) : (a) f(x, y) = { x 2 + y 2 dla xy = 0 0 dla xy 0; ; (b) f(x, y) = 3 x 3 y 3 3 Oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania): (a) f(x, y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x, y, z) = x 5 y 10 x 3 sin z + y 2 e z ; (c) f(x, y) = x y ; (d) f(x, y) = (ln x) sin y ; (e) f(x, y, z) = (2x + 3z) yz ; (f) f(x, y, z) = xy z ; (g) f(x, y) = ln sin(x 2y); (h) f(x, y) = (1 + xy) y ; (i) f(x, y) = ye x+xy ; (j) f(x, y) = ln(x + x 2 + y 2 ); (k) f(x, y) = (x + y) ln 2 (1 x y); (l) f(x, y) = x ln y (m) f(x, y) = e 3x arctg(xy); (n) f(x, y) = arcsin 5+2xy ln x ; x 2 y 2 x 2 +y 2 ; (o) f(x, y) = (xy 2 + 1) arctg 2 (y x); (p) f(x, y, z) = xy(4x + 3z) yz ; 4 Oblicz pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji: (a) f(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ); (b) f(x, y) = arctg x+y ; 1 xy (c) f(x, y) = sin xy; (d) f(x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y); (e) f(x, y, z) = e xyz ; (f) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 5 Wyka»,»e: (a) funkcja z(x, y) = x ln y z speªnia równanie x + y z = z ; x y 2 (b) funkcja u(x, y) = x y speªnia równanie x u + 1 u = 2u; y ln x y (c) funkcja w(x, y, z) = ln(x 3 + y 3 + z 3 3xyz) speªnia równanie w + w + w = 3 y z 6 Zbadaj ró»niczkowalno± { funkcji f(x, y) w punkcie (0, 0) : y 3 x 3 dla (x, y) (0, 0) x (a) f(x, y) = 2 +2y 2 0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f(x, y) = 3 xy x+y+z 7 Napisz ró»niczk zupeªn podanych funkcji: x (a) f(x, y) = ; (b) f(x, y) = ln tg(x + y); x 2 +y2 (c) f(x, y) = ln x 2 + y 2 ; w (x 0, y 0 ) = ( 4, 3) (d) f(x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y); (e) f(x, y, z) = (xy) z ; (f) f(x, y) = cos x2 +y 2 x 3 +y 3 8 Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2, P 0 = (0, 1, z 0 ); (b) f(x, y) = sin x + cos(x + y), P 0 = ( π, π, z 6 6 0); (c) f(x, y) = x2 2 y2, P 0 = (2, 1, z 0 ); (d) f(x, y) = y ln(2 + x 2 y y 2 ), P 0 = (2, 1, z 0 ) 5
6 9 Korzystaj c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«: (a) 1, 07 3,97 ; (b) 1, , 01 2 ; (c) arctg 1,02 ; (d) ln(0, 0, , 99 3 ); (e) sin 29 o sin 46 o, zakªadaj c,»e π = 3142; (f) (sin 2 1, e 0,015 ) 5 ; (g) cos 2, 36 arctan 0, ,05 1,03 ; (h) , Dany jest sto»ek o wysoko±ci h = 10 cm oraz promieniu podstawy R = 5cm Jak zmieni si obj to± sto»ka, gdy wysoko± wzro±nie o 2 mm a promie«zmaleje o 2 mm? 11 Promie«podstawy sto»ka wynosi R = 10, 2 ± 0, 2cm, a tworz ca l = 44, 6 ± 0, 1 cm Znajd¹ obj to± sto»ka, oraz okre±l jaki popeªniamy maksymalny bª d bezwzgl dny oraz wzgl dny przy obliczaniu tej obj to±ci 12 Okre±l maksymalny bª d wzgl dny jaki po popeªnimy obliczaj c opór przewodnika ze wzoru R = E, gdzie napi cie na ko«cach przewodnika wynosi E = 100±2V, a nat»enie I = 10±0, 1A I 13 Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie: (a) f(x, y) = 5x 2 y 3xy 3 + y 4, (x 0, y 0 ) = (1, 2); (b) f(x, y) = sin (π ) x 2 + y 2 (x 0, y 0 ) = (3, 4); (c) f(x, y, z) = xy3 z 2 (x 0, y 0, z 0 ) = ( 2, 1, 3) 14 Oblicz pochodn kierunkow podanej funkcji w punkcie (x 0, y 0 ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k t jaki tworzy wektor v z osi Ox): (a) f(x, y) = y 2 + ln(xy), (x 0, y 0 ) = (2, 1), v = [1, 1] (b) f(x, y) = x 2 y, (x 0, y 0 ) = (5, 1), w kierunku punktu (x 1, y 1 ) = ( 1, 2); (c) f(x, y) = ln(e x + e y ), (x 0, y 0 ) = (1, 1), α = 45 o ; (d) f(x, y) = 3x 4 + xy + y 3, (x 0, y 0 ) = (1, 2), α = 135 o ; (e) f(x, y) = xy, (x 0, y 0 ) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu 15 Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych: (a) f(x, y) = (x 2) 2 + 2y 2 ; (b) f(x, y) = x 4 + 4xy 2y 2 ; (c) f(x, y) = 4x 2 y + 24xy + y y 6; (d) f(x, y) = x 4 +y 4 2x 2 +4xy 2y 2 ; (e) f(x, y) = x 2 + y 2 2x 4 xy 2y + 8; (f) f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ); (g) f(x, y) = xy , x, y > 0; (h) f(x, y) = ln(y + 2x) 3x x y 2y3 ; (i) f(x, y) = 2 x y + 5 ; (j) f(x, y) = e (x2 +y 2 +2x) ; (k) f(x, y) = x 2 + y 2 2 ln x 18 ln y, x, y > 0; 16 Wyznacz najwi ksz warto± funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 24 ln(x + y) w trójk cie domkni tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 2, x + y = 8 17 Wyznacz najwi ksz warto± funkcji f(x, y) = x 2 y w obszarze domkni tym ograniczonym krzywymi y = e 2x, y = e x, y = e x 2 18 Z dªugiego prostok tnego pªata blachy o szeroko±ci 42cm nale»y skonstruowa otwart od góry rynn o przekroju trapezu równoramiennego Jak szeroko± powinno mie dno rynny oraz pod jakim k tem b d wygi te ramiona przekroju, aby rynna mogªa pomie±ci jak najwi ksza ilo± wody? 3 6
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoRóniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoMatematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych
Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = 3 2 5 2. z = sin(2 + 2 ) 2 + 2 3. z = arcsin(2 + 2 ) 2 + 2 4. z = 5. z = ln 2 2 + 2 4 2 ( ) 2 +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych, ekstrema lokalne
Aktualizacja 11 grudnia 2018 1 AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do II kolokwium Ekstrema funkcji wielu zmiennych, ekstrema lokalne Standardowe typy zada«: Wyznaczanie punktów krytycznych
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowo1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1.1 Wzór Taylora Niech O R N zbiór otwarty. Niech f : O R funkcja klasy C r (tzn. ró»niczkowalna r razy i r te pochodne s ci gªe). Niech x, x 0 O, h = x x 0,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoMatematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowox = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )
*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowo