Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

Transkrypt

1 Komsa Egzamnacyna dla Aktuaruszy LXVIII Egzamn dla Aktuaruszy z 29 wrześna 14 r. Część I Matematyka fnansowa WERSJA TESTU A Imę nazwsko osoby egzamnowane:... Czas egzamnu: 0 mnut 1

2 1. W chwl T 0 frma ABC wyemtowała zapadaących w chwl T europeskch opc kupna O 1 A o cene wykonana K = 1 na nepłacącą dywdendy akcę A. W celu zabezpeczena przyszłych zobowązań, w chwl ems frma ABC zakupła c 0 (zakładamy całkowtą podzelność lczby akc) akc A, gdze c 0 było stałą dobraną w tak sposób, aby portfel zbudowany z opc O 1 A oraz akc A mał zerowy parametr greck delta. W chwl T 0 ems opc kupna O 1 A : stopa wolna od ryzyka wynosła r = 5%, zmenność cen akc A wynosła σ = 9%, cena wykonana K wynosła K = 1, cena akc A wynosła S T0 A = 0 W chwl T frma ABC ponowne zbadała deltę swoego portfela ustalła, że przy aktualnych warunkach rynkowych pownna posadać c 1 akc A (tak, aby portfel ponowne mał zerowy parametr greck delta). W chwl T 0 + 1: stopa wolna od ryzyka wynosła r = 4%, zmenność cen akc A wynosła σ = 8%, cena akc A wynosła S A T0 +1 = 6. Przymuąc, że ceny wszystkch opc wyznaczane są w oparcu o model Blacka-Scholesa (bez żadnych dodatkowych narzutów) proszę wyznaczyć wartość c 0 S A T0 + (c 1 c 0 ) A S T0 +1 (proszę podać nablższą wartość): A) 5 B) 5 C) 530 D) 540 E) 550 2

3 2. Frma ABC chce ocenć ryzyko zwązane z nwestycą przy użycu edne ze standardowych mar ryzyka. W celu oszacowana ryzyka wybrana została mara expected shortfall (ES α ) zdefnowana ako: ES α = 1 α {E(X 1 X x α ) + x α (α P(X x α ))}, gdze X est zmenną losową określaącą różncę pomędzy kaptałem na końcu nwestyc, a kaptałem zanwestowanym, x α = nf{x R: P(X x α ) α} est kwantylem rzędu α rozkładu zmenne losowe X, funkca 1 X xα przymue wartość 1, gdy spełnony est warunek X x α 0 w przecwnym przypadku. Frma ABC zakłada zanwestowane w chwl 0 kwoty PLN 1 mln na 3 lata. Do wyceny frma przymue założene, że w cągu każdego roku nwestyc kaptał z początku roku może urosnąć o 2% z prawdopodobeństwem 80% bądź zmaleć o 4.3% z prawdopodobeństwem %. Przy takch założenach ES 15% wynos (proszę podać nablższą wartość): A) B) C) D) E) 000 3

4 3. Na przetargu zaoferowano bony skarbowe z 13-tygodnowym termnem wykupu o łączne wartośc nomnalne PLN mln. Złożone zostały następuące oferty zakupu: PLN 5 mln przy cene PLN 98. za PLN 0.00 nomnału, PLN 4 mln przy cene PLN za PLN 0.00 nomnału, PLN 3 mln przy cene PLN za PLN 0.00 nomnału. PLN 2 mln przy cene PLN za PLN 0.00 nomnału. Oferty były rozpatrywane realzowane w kolenośc począwszy od nabardze korzystne dla oferenta, aż do wyczerpana dostępnego wolumenu oferowanych bonów (t. w przypadku braku możlwośc realzac pełne oferty realzowana była e część aż do wyczerpana dostępnego wolumenu oferowanych bonów). Średna stopa dyskontowa dla sprzedanych na przetargu bonów (przy zastosowanu konwenc ACT, gdze ACT oznacza faktyczną lczbę dn w okrese) wynosła 360 (proszę podać nablższą wartość): A) 5.48% B) 5.58% C) 5.68% D) 5.78% E) 5.88% 4

5 4. Duraton renty a wynos 5., a renty (Ia) wynos Przy tych założenach duraton renty (Da) wynos (proszę podać nablższą wartość): A) 1.39 B) 3.72 C) 7.09 D) 8.00 E)

6 5. Wadomo, że w chwl 0 cena oblgac zerokuponowe zapadaące w chwl T > 0 wynos: P(0, T) = exp( 0.1T). Wadomo ponadto, że krzywa stóp spot ma postać R(0, s) = 0.1, dla 0 s < 1. Następne, dla s 1 z prawdopodobeństwem q > 0 opsue ą funkca R(1, s) = f(s), zaś z prawdopodobeństwem 1 q opsue ą funkca R(1, s) = 0.1 f(s), dla pewne ustalone funkc f(s) > 0, dla s > 1. Wedząc, że f(2) = oraz, że rynek ne dopuszcza arbtrażu wyznaczyć wartość f(4) (proszę podać nablższą odpowedź): A) 0 B) C) D) 1 E) + 6

7 6. Funkca ntensywnośc oprocentowana rachunku w chwl t dla kwoty zanwestowane w chwl s, 0 s t, wynos δ(s, t) = (1 + 2s + t) 1. Rozważmy następuące stratege nwestycyne realzowane w horyzonce czasu [0,2]: kwota K(0) nwestowana est w chwl 0 utrzymywana na rachunku do chwl 2, kwota K(0) nwestowana est w chwl 0, następne w chwl 1 wypłacana est e zakumulowana wartość, która natychmast est renwestowana na tym samym rachunku (zgodne z zadaną ntensywnoścą oprocentowana). Nech K 1 (2) K 2 (2) oznaczaą zakumulowane na tym rachunku na konec nwestyc kwoty dla perwsze druge z wymenonych strateg odpowedno. Stosunek tych kwot, tzn. K 1 (2)/K 2 (2) wynos (proszę podać nablższą odpowedź): A) 0.8 B) 0.9 C) 1.0 D) 1.1 E) 1.2 7

8 7. Kredyt hpoteczny o wartośc K est spłacany przez okres lat ratam płatnym na końcu każdego roku. Oprocentowane kredytu wynos. Zaraz po zapłacenu raty kredytoborca wystąpł do banku o zmanę sposobu dalszego spłacana kredytu. Ustalone zostało, że: kredytoborca wpłac nezwłoczne kwotę o wartośc P, pozostałe zadłużene będze spłacać przez następne lat ratam, płatnym na końcu każdego roku, przy czym każda rata, począwszy od druge, będze mnesza od poprzedne o stałą kwotę c. Bank zgodzł sę na tę zmanę pod warunkem, że wysokość nowych rat zostane ustalona na takm pozome, że cąg płatnośc uwzględnaący uż dokonane wpłaty (włączne z kwotą ednorazową) oraz przyszłe raty, stanowć będze spłatę tego kredytu przy założenu, że oprocentowane od początku spłat było wększe od perwotne ustalonego wynosło ( > ). Proszę wskazać, który z ponższych wzorów wyraża wartość perwsze raty, po zmane sposobu spłacana kredytu. K (1 ) c( s A) a ) ( P (1 ) K s ) (1 ) K (1 ) a c ( s B) a ) a a (1 ( P a ) K s ) (1 ) K (1 ) c( s C) a ) ( P (1 ) K s ) (1 ) K (1 ) c( s D) a ) ( P (1 ) K s ) (1 ) K (1 ) a c ( s E) a ) a a (1 ( P a ) K s ) (1 ) 8

9 8. Zasady spłaty kredytu, oprocentowanego na pozome 6%, są następuące: okres spłaty wynos lat, raty są płatne na końcu każdego roku, raty płatne na końcu lat neparzystych maą ednakową wartość, raty płatne na końcu lat parzystych równeż maą ednakową wartość. Wedząc, że odsetk zapłacone w 6 race wynosą , a spłata kaptału dokonana w 15 race est równa , proszę oblczyć wartość udzelonego kredytu. Proszę podać nablższą wartość. A) B) C) D) E)

10 k1 (1,5 ) 9. Renta weczysta wypłaca na końcu roku k kwotę, gdze k = 1, 2, 3, 2k 1 Dla ake wartośc czynnka dyskontuącego wartość obecna te renty wynos 1.15? Proszę podać nablższą wartość. A) 0.56 B) 0.57 C) 0.58 D) 0.59 E) 0.60

11 . Wypłata śwadczena z tytułu ubezpeczena na życe może być dokonana w forme renty pewne letne, płatne na końcu każdego roku w kwoce , przy zastosowanu stopy technczne na pozome 3%. Zakład ubezpeczeń proponue benefcentow, który wybrał śwadczene w forme powyższe renty, wypłatę tego śwadczena w neco odmenne forme. Zgodne z propozycą środk należne benefcentow zostaną umeszczone na konce oszczędnoścowym o zmenne stope oprocentowana, która wynos w perwszych 12 latach 3.5%, a w pozostałych 8 latach 4%. Wypłaty śwadczeń z konta będą odbywały sę na końcu każdego roku, po dolczenu odsetek należnych za ostatn rok. Kwota wypłaty na końcu roku n będze równa race renty o następuące charakterystyce: renta o równych ratach, płatnych na końcu każdego roku, począwszy od końca roku n do końca roku, wartość obecna renty w chwl wypłaty perwsze raty, oblczona przy zastosowanu stopy procentowe 3%, est równa aktualne wartośc środków zgromadzonych na konce, po dolczenu odsetek za ostatn rok. Zakładaąc, że wypłaty śwadczeń będą dokonywane w sposób zaproponowany przez zakład ubezpeczeń, proszę oblczyć wartość śwadczena wypłacanego na końcu 15 roku. Proszę podać nablższą wartość. A) 13 0 B) 13 0 C) D) E)

12 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) z

13 Egzamn dla Aktuaruszy z 29 wrześna 14 r. Matematyka fnansowa Arkusz odpowedz * Imę nazwsko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadane nr Odpowedź Punktaca 1 C 2 B 3 D 4 B 5 B 6 E 7 D 8 B 9 E A * Ocenane są wyłączne odpowedz umeszczone w Arkuszu odpowedz. Wypełna Komsa Egzamnacyna. 13