WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

Transkrypt

1 Sps treśc POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...8 Ocea epewośc pomarowej typu A...8 Ocea epewośc pomarowej typu B...15 Nepewość stadardowa pomarów pośredch...17 Nepewość rozszerzoa...1 Dokładość metody zerowej mostkowej - przykład...3 ROZKŁAD STATYSTYCZNY MAXWELLA...5 WSTĘP DO TEORII POMIARÓW POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY Pomar jest podstawowym źródłem formacj w fzyce. Pomarem azywa sę czyośc dośwadczale mające a celu wyzaczee wartośc badaej welkośc fzyczej. Istotą każdego pomaru jest porówae wartośc merzoej z wzorcem mary tej welkośc przyjętym za jedostkę (p. pomar długośc w m, km tp.). Wyk pomaru mus zatem składać sę z dwóch częśc: wartośc lczbowej, określającej le razy merzoa welkość jest wększa lub mejsza od przyjętego wzorca oraz rodzaju jedostk. Pomary welkośc fzyczych dzelmy a bezpośrede pośrede. Pomary bezpośrede polegają wprost a porówau daej welkośc z odpowedą marą wzorcową, wyk pomaru otrzymuje sę bezpośredo bez wykoywaa jakchkolwek oblczeń. W pomarach pośredch wartość badaej welkośc jest wyzaczaa a podstawe pomarów bezpośredch ych welkośc fzyczych, które są z ą powązae zaym prawem fzyczym, czyl występuje koeczość wylczea wartośc welkośc merzoej y a podstawe bezpośredch pomarów ych welkośc x 1, x,..., x zwązaych z ą zaą zależoścą fukcyją y f x, x, x,..., x ). ( 1 3

2 W trakce pomaru gdy e moża bezwzględe dokłade wyzaczyć rzeczywstej wartośc merzoej welkośc, uzyskaa wartość lczbowa zawsze róż sę od przewdywań teor. W odeseu do przyczy tej rozbeżośc używa sę termu błąd pomaru. W tym zastosowau pojęce błąd pomaru występuje w zaczeu jakoścowym, atomast w zaczeu loścowym błąd pomarowy ozacza różcę pomędzy wykem pomaru a rzeczywstą wartoścą. Błąd bezwzględy defujemy jako różcę wyku pomaru x wartośc rzeczywstej x R : x x (1) a błąd względy jako stosuek błędu bezwzględego do wartośc rzeczywstej: x R x x x R x x R 1 () Należy podkreślć, że pojęce wartośc rzeczywstej jest czysto teoretycze, gdyż praktycze e jest zaa. Z tego względu operowae wartoścą błędu jest utrudoe. Uwzględając przyczyy powstawaa błędów występujących podczas wykoywaa pomarów moża wyróżć astępujące trzy kategore: błędy grube, błędy systematycze błędy przypadkowe. Błędy grube powstają a skutek eumejętośc użyca daego przyrządu, pomyłek przy odczytywau zapse wyków, agłej zmay waruków pomaru tp. Dla błędów grubych różca mędzy wykem pomaru wartoścą rzeczywstą jest a ogół bardzo duża. Dla ser pomarów wyk obarczoe błędem grubym są łatwe do wykryca usuęca. Na wykresach merzoych lub wyzaczaych welkośc pukty pomarowe e obarczoe błędam grubym układają sę zgode z prawdłowoścą występująca w teor badaego zjawska, atomast wyk obarczoe tym błędem odbegają zacze od pozostałych. Błędy grube elmuje sę poprzez: wychwytywae ch w czase wykoywaa dośwadczeń powtarzae odpowedch pomarów (uwaga słusza, gdy eksperymetator posada dośwadczee w przeprowadzau pomarów),

3 wychwytywae ch w czase opracowywaa wyków, pojedycze podejrzae przypadk ależy elmować, w przypadku pewej lczby błędych daych w ser ależy poszukać przyczy atury systematyczej. Pomary są obarczoe błędam systematyczym, gdy przy powtarzau pomarów dla ser pomarowej występuje różca mędzy wartoścam zmerzoym a wartoścą rzeczywstą podlegająca pewej prawdłowośc, atomast rozrzut wyków poszczególych pomarów jest ewelk lub w ogóle e występuje. Błędy systematycze wykają z: mało dokładego ustawea eksperymetu (p. euwzględee sły wyporu powetrza przy dokładym ważeu), wad urządzeń pomarowych (p. waga dźwgowa z przesuętym puktem zaweszea, czasomerz wskazówkowy ze środkem skal e pokrywającym sę z osą wskazówek, źle wyskalowae przyrządy), ze stau zewętrzych waruków pomaru (zbyt wysoka temperatura w pomeszczeu), edoskoałośc eksperymetatora (błąd paralaksy w trakce odczytu wskaźków aalogowych). Obece błąd systematyczy moża w pewych wypadkach traktować jako zjawsko przypadkowe, gdyż e zamy zazwyczaj jego welkośc zaku. W tym ujęcu wykoując pomar daym przyrządem dyspoujemy tylko jedą realzacją zmeej losowej. Losową próbkę moża jedak uzyskać, jeżel pomary zostaą wykoae przy użycu zboru przyrządów o tej samej dokładośc. Postępując w te sposób moża uzyskać dośwadczaly rozkład prawdopodobeństwa dla błędu uważaego za systematyczy. Wykające z tego kosekwecje matematycze zostaą przedstawoe przy omawau epewośc pomaru. Występowae błędów przypadkowych objawa sę jako rozrzut wyków pomaru wokół wartośc rzeczywstej. Wyk każdego kolejego pomaru jest y. O tym jaka jest szasa uzyskaa wyków wększych lub mejszych od x 0 decyduje rodzaj rozkładu statystyczego (p. Gaussa, prostokąty, jedostajy), któremu te wyk podlegają. Błędy przypadkowe wykają z różych przypadkowych e dających sę uwzględć

4 czyków. W fzyce klasyczej, gdze wększość zjawsk jest opsywaa przez prawa determstycze, przyczyą statystyczego rozrzutu wyków pomaru mogą być: edokładość przypadkowość dzałaa ludzkch zmysłów (eksperymetator każdy kolejy pomar wykoa eco aczej), fluktuacj waruków pomaru (wlgotość, temperatura, cśee, zużyce elemetów borących udzał w dośwadczeu), eokreślee samej merzoej welkośc fzyczej, szumy (elektromagetycze, termcze) geerowae w samym układze pomarowym oraz zakłócea zewętrze. W ogólośc przyczyy występowaa błędów podczas pomarów wykają z: edoskoałośc eksperymetatora, edoskoałośc przyrządów pomarowych, edoskoałośc metod pomarowych, edoskoałośc merzoych obektów, a aalza ch prowadz do astępujących wosków: błędy grube ależy całkowce wyelmować odpowedo starae przeprowadzając pomary uważe aalzując wyk (wyk pomaru e powe być obarczoy ch wpływem), błędy systematycze mogą być korygowae a etape wyboru metody pomarowej aalzy wyków pomarów, ch grace powy być wyraźe określoe, błędów przypadkowych ze względu a ch losowy (przypadkowy) charakter e moża całkowce ukąć a skorygować, ale moża mmalzować ch wpływ a wyk końcowy.

5 METODY POMIAROWE Metoda pomarowa to zastosoway podczas pomaru sposób porówaa wartośc merzoej z wzorcem mary tej welkośc. Isteje wele metod pomarowych różących sę sposobem postępowaa zastosowaym arzędzam. Uwzględając sposób postępowaa podczas pomaru rodzaj zastosowaych arzędz pomarowych, z czym wąże sę zwykle osągala dokładość wyku, rozróża sę metody bezpośredego odczytu metody porówawcze. Wśród metod porówawczych moża wyróżć astępujące rodzaje: metodę różcową, metodę przez podstawee metody zerowe. W metodze bezpośredego odczytu, zwaej też metodą odchyleową, wartość welkośc merzoej zostaje określoa a podstawe odchylea wskazówk lub ego wskazaa (p. cyfrowego) arzędza pomarowego. Podczas pomaru wzorzec welkośc merzoej e występuje bezpośredo, atomast przy produkcj arzędza pomarowego cały szereg wartośc wzorcowych został wykorzystay do odpowedego wykoaa podzałk (wzorcowae podzałk). Metoda ta jest ajprostsza, ajłatwejsza w zastosowau, daje atychmastowe wyk, ale przy wykorzystau aalogowych arzędz pomarowych jest stosukowo mało dokłada. Dokładość metody zacze zwększyła sę z chwlą zastosowaa bardzo dokładych przyrządów cyfrowych. Nedokładość pomaru wykoywaego tą metodą wyka główe z stea dopuszczalego błędu systematyczego arzędza pomarowego określoego jego klasą dokładośc. Metoda różcowa jest metodą porówawczą, w której w układze pomarowym występuje wzorzec welkośc o wartośc zblżoej do wartośc merzoej (p. jedowartoścowy wzorzec eastawaly). W tym przypadku bezpośredo merzy sę różcę obu wartośc, a wyk pomaru określa sę astępująco: x xw x, gdze: x W wartość wzorcowa, x zmerzoa bezpośredo różca z uwzględeem jej zaku.

6 Poeważ wartość wzorcowa jest zwykle określoa z pomjale małym błędem, błąd pomaru wartośc x wyka z edokładośc bezpośredego pomaru różcy x. Metoda pomarowa przez podstawee jest metodą porówaa bezpośredego. W układze pomarowym zajduje sę wzorzec welkośc merzoej o wartoścach astawaych w szerokch gracach. Podczas pomaru wartość merzoą x zastępuje sę wartoścą wzorcową x W dobraą w tak sposób, aby skutk (p. odchylea wskazówk merka) wywoływae przez obe wartośc były take same, z czego wyka zależość: x x W. Metoda przez podstawee jest metodą bardzo dokładą, poeważ praktycze elmuje błędy wprowadzae przez układ porówaa. Po welokrotym powtórzeu pomaru oblczeu wartośc średej (zmmalzowau błędów przypadkowych) błąd wyku pomaru jest praktycze rówy błędow dopuszczalemu dla wzorca. Metody pomarowe zerowe są ajdokładejszym metodam porówaa bezpośredego. Porówae wartośc merzoej z wartoścą wzorcową (lub z zespołem wartośc wzorcowych) odbywa sę za pomocą układu pomarowego, w którym przez zmaę parametrów elemetów składowych doprowadza sę do zaku (do zera) apęca lub prądu w kotrolowaej gałęz układu. Czyość doprowadzaa do zaku apęca lub prądu azywa sę rówoważeem układu, a wskaźk służący do zaobserwowaa tego stau (p. galwaometr) azywa sę wskaźkem rówowag. Dokładość zerowych metod pomaru jest bardzo duża, zależy od dokładośc wykoaa zastosowaych w układze wzorców oraz od czułośc wskaźka rówowag. Zastosowae bardzo dokładych wzorców oraz zastosowae wskaźka rówowag o wysokej czułośc ogracza błędy systematycze metody do wartośc pomjalych wobec błędów przypadkowych. Podczas dokładych pomarów wykouje sę zwykle serę pomarów statystyczą aalzę wyków pomaru.

7 Rozróżamy zerowe metody mostkowe oraz zerowe metody kompesacyje. Metody mostkowe stosuje sę ajczęścej do dokładych pomarów takch parametrów jak rezystacja, pojemość dukcyjość w układach z prądem stały lub przemey. Metody kompesacyje służą zwykle do pomaru apęca lub do pośredego pomaru ych welkośc przetworzoych uprzedo a apęce. W metodze kompesacyjej ezaą wartość apęca merzoego U porówuje sę z astawaą dokłade zaą wartoścą wzorcową U W, wytworzoą za pomocą kompesatora. Układ pomarowy doprowadza sę do rówowag przez zmaę wartośc U W, a w chwl rówowag zachodz rówość: U UW. Szczególe ważą zaletą metod kompesacyjych jest to, że w chwl zrówoważea układu przez baday obekt e płye prąd, zatem e występuje błąd systematyczy metody, wykający ze spadku apęca a rezystacj wewętrzej obektu badaego. NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA Z stoty atury pomaru wyka zatem, że e moża gdy ezależe od metody pomarowej, bezwzględe dokłade wyzaczyć rzeczywstej wartośc welkośc fzyczej, czyl dokoać pomaru absolute dokładego. Pomary mogą być wykoywae tylko ze skończoą dokładoścą. Poeważ e jest zaa gdy rzeczywsta wartość merzoej welkośc posługwae sę pojęcem błędu pomaru, zdefowaym jako różca pomędzy wykem pomaru a wartoścą rzeczywstą, jest ewygode. Podawae tylko wyku pomaru jest jedak ewystarczające, opracowae wyków pomaru powo zawerać także oceę ch warygodośc, czyl epewość pomaru. Take podejśce jest zgode z zaleceam Mędzyarodowej Normy Ocey Nepewośc Pomaru [1], uzgodoej w 1995 r. przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 roku []. Nepewość pomaru jest ogóle zdefowaa jako parametr zwązay z rezultatem pomaru, charakteryzujący rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób

8 przypsać merzoej wartośc. Pojęcem jakoścowym zwązaym z termem epewość jest dokładość. Pomarem dokładejszym jest pomar o mejszej epewośc. Marą epewośc pomarowej jest epewość stadardowa, która może być szacowaa a dwa sposoby: ocea typu A wyka ze statystyczej aalzy ser rówoważych eskorelowaych obserwacj welkośc x podlegającej błędow przypadkowemu, ocea typu B wyka z aukowego osądu eksperymetatora, borącego pod uwagę wszystke posadae formacje o pomarze źródłach jego epewośc. Stosowaa jest w przypadku emożośc przeprowadzea statystyczej aalzy ser pomarów p. dla błędu systematyczego. Jako symbol epewośc stadardowej przyjęto ozaczee u (od agelskego słowa ucertaty), które może być zapsae a trzy sposoby: u epewość stadardowa dowolej welkośc u(x) epewość stadardowa welkośc x wyrażoej symbolem u(długość wahadła) epewość welkośc wyrażoej słowe. Nepewość względa jest defowaa jako stosuek epewośc stadardowej do welkośc merzoej: x u u r x (W.3) x Wymar epewośc stadardowej u(x) jest tak sam jak wymar welkośc merzoej, atomast epewość względa jest welkoścą bezwymarową, co umożlwa porówywae za jej pomocą epewośc welkośc fzyczych posadających róży wymar. Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch Ocea epewośc pomarowej typu A Ocea epewośc pomarowej typu A dotyczy określea epewośc dla pomarów obarczoych błędam przypadkowym. Z jedego pomaru e moża woskować o jego

9 dokładośc. Dlatego koecze jest wykoae ser bezpośredch pomarów welkośc fzyczej x, poprzez welokrote, ezależe powtórzee rozpatrywaego pomaru. Wyk w ser będą różć sę losowo, ozaczmy je x 1, x, x 3,... x, gdze jest loścą powtórzeń pomaru w ser. Wyk moża traktować jako realzacj zmeej losowej o wartośc oczekwaej x o (utożsamaej z wartoścą rzeczywstą) oraz odchyleu stadardowym stosować stadardowe rezultaty teor błędów. Wartość rzeczywsta jest ezaa, ale w wększośc przypadków dla ser pomarów ajlepszym oszacowaem merzoej wartośc jest średa arytmetycza: 1 x x 1 (W.4) Jest to podstawowe twerdzee teor pomarów tzw. perwszy postulat Gaussa. Wyka oo z faktu rówośc prawdopodobeństw zawyżea jak zażea welkośc merzoej. Tym samym błędy powy kompesować sę. Przy skończoej lośc pomarów w ser może jedak wystąpć erówomere rozłożee wyków wokół wartośc rzeczywstej. Tym samym wartość średa x jest jedye blska welkośc rzeczywstej x R, ale jej e rówa. Zblżee to jest tym lepsze m dłuższa jest sera pomarowa. Rówość x xr występuje tylko dla eskończee dużych ser pomarów, praktycze emożlwej do wykoaa. W ser wyk pomarów rozkładają sę wokół wartośc średej w tzw. krzywą Gaussa. Aby sę o tym przekoać ależy zakres pomarowy podzelć a przedzały o rówej szerokośc x oblczyć, le pomarów z ser meśc sę w każdym z ch (rys. 1). Oczywśce zwększając moża zmejszyć szerokośc poszczególych przedzałów rozkładu, ale adal zostae zachoway jego dyskrety charakter. Obweda dzwoowa poprowadzoa po środkach przedzałów (patrz rys. 1) jest pewym wydealzowaem, pokazuje wygląd rozkładu ormalego, gdyby był fukcją cągłą (dla ). Taka postać łatwej poddaje sę aalze matematyczej dlatego jest często stosowaa, ale e ależy zapomać, że realy rozkład ormaly ma strukturę zarstą. Cągły rozkład Gaussa jest astępującą fukcją matematyczą: P x 1 xx e (W.5)

10 gdze parametr, zway w statystyce odchyleem stadardowym, określa rozkład wyków pomarów wokół wartośc średej. Kształt krzywej Gaussa, zwaej róweż krzywą dzwoową, bardzo sle zależy od wartośc odchylea stadardowego. Na rys. pokazao przebeg krzywej Gaussa dla klku różych wartośc odchylea stadardowego. Dla małych odchyleń stadardowych krzywa jest bardzo stroma odchylea od wartośc oczekwaej są bardzo małe. Im wększe odchylee stadardowe tym krzywa jest bardzej płaska. Zauważmy, że a krzywej Gaussa moża wyróżć obszary o przecwe skerowaej krzywźe. W okolcy maksmum krzywa jest wypukła, a daleko poza maksmum wklęsła. Obszary o przecwej krzywźe są oddzeloe puktam przegęca, odpowadają m a os odcętych pukty x x. Poeważ rozkład Gaussa opsuje zjawsko probablstycze moża określć jedye prawdopodobeństwo zalezea sę dowolego wyku pomaru x ( = 1,, 3...) w określoym przedzale wartośc x, x A B. I tak: w przedzale x, x meśc sę 68,6% wyków z ser, w przedzale x, x meśc sę 95,45% wyków z ser, w przedzale x 3, x 3 meśc sę 99,73% wyków z ser. Prawdopodobeństwo, że day wyk pomaru z ser pomarowej zajdze sę w przedzale x, x wyos zatem 0,683. Prawdopodobeństwo, z jakm w zadaym przedzale zajdze sę dowoly pomar z ser os azwę pozomu ufośc, a przedzał przedzału ufośc.

11 Rys. 1. Rozkład pomarów w ser wokół wartośc średej x jest rozkładem Gaussa. Rys.. Przebeg krzywej cągłego rozkładu ormalego w zależośc od odchylea stadardowego. Im wększe jest odchylee stadardowe, tym krzywa jest szersza bardzej spłaszczoa.

12 Rys. 3. Iterpretacja grafcza przedzałów ufośc pozomów ufośc p oraz współzależość mędzy m. W terpretacj grafczej prawdopodobeństwu zalezea wyku pomaru w odpowedm przedzale odpowada pole pod krzywą Gaussa odcęte tym przedzałem przy założeu, że pole pod całą krzywą rówa sę jede (rys. 3a, 3b).

13 Aalza kształtu krzywej Gaussa prowadz do wosku, że wybór przedzału x, x jako określającego rozrzut wyków pomarów wokół wartośc średej jest ajbardzej optymaly, co wyka z faktu, że jest o wyzaczoy przez pukty przegęca krzywej. Sztucze zmejszee przedzału ufośc do x d, x d (rys. 3c) prowadz do zaczego obżea pozomu ufośc (o pole pod krzywą Gaussa odcęte przedzałam x, x d, x, x d, które jest duże, bo a tych odckach krzywa Gaussa jest wypukła). Podesee pozomu ufośc (rys. 3d) jest możlwe tylko przez zacze poszerzee przedzału ufośc do x c, x c, gdyż pola pod krzywą w przedzałach oddaloych od średej x dalej ż o woszą mały wkład do pozomu ufośc (krzywa Gaussa a tych obszarach jest wklęsła). Odchylee stadardowe w teor pomarów przyjmuje sę za marę rozrzutu wyków pomaru defuje są jako epewość stadardową pojedyczego pomaru, którą oblcza sę przy pomocy wyrażea: u x 1 1 x x (W.6) Występujący w wyrażeu czyk 1 moża uzasadć faktem, że poeważ część formacj zawartej w ser x 1,x,x 3,... x została wykorzystaa do określea wartośc średej x, uśredae zwązae z odchyleem stadardowym astępuje z mejszą lczbą puktów swobody stąd dzelee przez 1 zamast przez. Natomast dla wartośc średej x uzawaej za wyk ser pomarów jako epewość stadardową przyjmuje sę odchylee stadardowe wartośc średej wyos oa: x u x x 1 1 x x ux (W.7)

14 Wartość epewośc stadardowej wartośc średej jest razy mejsza od epewośc stadardowej pojedyczego pomaru. Wartośc epewośc stadardowych u x lub u x, choć wyzaczoe przy pomocy jedozaczych wzorów są rówe prawdzwym wartoścom odchylea stadardowego odchylea stadardowego średej tylko w gracy dla eskończoej lośc pomarów. Dla skończoej lczby pomarów epewość pomaru jest określoa ze skończoą dokładoścą. Przyjmuje sę, że dla wyzaczea epewośc stadardowej jako odchylea stadardowego ależy wykoać 510 pomarów, co pozwala a oceę epewośc pojedyczego pomaru rzędu 030%. Wykoywae zbyt dużej lczby pomarów e jest opłacale, poeważ dokładość wyzaczea epewośc dość powol zwększa sę ze wzrostem lośc pomarów. Reasumując wykoae ser pomarów umożlwa: oszacowae epewośc spowodowaych błędam przypadkowym, zwększee dokładość epewośc. Wykoae ewelkej lczby lub 3 pomarów moża przyjąć jako sprawdza powtarzalośc, za wyk pomaru ależy wówczas przyjąć średą, a dla ocey epewośc pomaru stosować oceę typu B. Trzeba zdecydowae sle podkreślć, że same parametry rozkładu ( x, σ ) e dają pełej formacj statystyczej. Taką formacją jest jedye wykres rozkładu w postac dyskretej (tzw. hstogram) lub w postac cągłej. Pukty eksperymetale otrzymaego hstogramu ejedokrote zacze odbegają od teoretyczej krzywej Gaussa, poeważ N e jest wystarczająco duże. W ćwczeu w celu ułatwea otrzymaa docelowej cągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Smpsoa umożlwającą przelczee puktów eksperymetalych P(x ) a pukty położoe blżej docelowej krzywej P S (x ) w zwązku z tym ułatwające jej zalezee. Zależość Smpsoa ma postać: P x ), 5 P( x ) P( x ) P( x ) (1.1) S( 0 1 1

15 jest właścwoścą krzywej Gaussa określającą współzależość trzech sąsedch puktów pomarowych. Parametry rozkładu ormalego moża wyzaczyć astępującym sposobam: średa x : a baze wzoru (W.4); z wykresu rozkładu ormalego - jako mejsce położea jego maksmum; odchylee stadardowe σ : a baze wzoru (W.6); z wykresu rozkładu ormalego określając położee puktów przegęć. Ocea epewośc pomarowej typu B Ocea epewośc pomarowej typu B jest stosowaa, gdy statystycza aalza ser pomarów e jest możlwa. Taka sytuacja zachodz dla błędu systematyczego lub dla błędu przypadkowego, gdy dostępych jest tylko klka rezultatów pomaru. Co ma mejsce, gdy ze względów eksperymetalych e ma możlwośc powtórzea dośwadczea. Ocea epewośc typu B opera sę a aukowym osądze eksperymetatora, możlwe obektywym, wykorzystującym wszystke formacje o pomarze źródłach jego epewośc. W tym celu może o wykorzystać mędzy ym: dośwadczee wedzę a temat przyrządów obektów merzoych, formacje produceta przyrządów (p. klasę przyrządów, dzałkę elemetarą), dae z poprzedch pomarów, epewośc przypsae daym zaczerpętym z lteratury. Ocea epewośc typu B polega a oszacowau epewośc maksymalej, ozaczaej symbolem (duża delta), czyl ajwększej jaka może wystąpć w daym pomarze. Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykających ze skończoej dokładośc przyrządów. Aktuale prawe wszystke używae przyrządy pomarowe to proste przyrządy mechacze lub elektrocze merk cyfrowe. Dla prostych przyrządów mechaczych, do których moża zalczyć ljkę, termometr, śrubę mkrometryczą, jako epewość maksymalą przyjmuje sę dzałkę elemetarą

16 przyrządu, p. oszacowaa epewość maksymala pomaru temperatury przy pomocy typowego termometru wyos o Δ t 1 C. W elektroczych przyrządach cyfrowych wartość odpowadająca zmae ostatej cyfry, zwaa dzałką elemetarą, określa rozdzelczość przyrządu. Nepewość maksymala zazwyczaj jest klkakrote wększa od dzałk elemetarej. Podawaa jest przez produceta przyrządu ajczęścej zależy od welkośc merzoej x oraz zakresu z, a którym dokouje sę pomaru wyzaczaa jest z zależośc: c x c z. x 1 Jeśl za pomocą woltomerza, dla którego podae przez produceta wartośc c 1 c wyoszą odpowedo: c 1 =0,% c =0,1% zmerzoo apęce o wartośc U = 98,5 V a zakrese z = 150 V, to epewość maksymala tego pomaru jest rówa 0,35 V. Na końcowy wyk oszacowaa epewośc oprócz dokładośc przyrządów składa sę róweż dokładość samego eksperymetatora. Własą epewość odczytu, czy edoskoałość zmysłów, szczególe trudo jest oceć. Podczas pomaru czasu przy pomocy stopera ależy uwzględć szybkość reakcj fzjologczej podczas jego włączaa wyłączaa, która może być rzędu 0, s lub mejsza. Moża ją oszacować próbując klkukrote zatrzymać stoper a określoej pozycj. Łącza epewość pomaru czasu jest dwukrote wększa, poeważ edokładośc włączaa wyłączaa stopera sumują sę. W wyku takej aalzy może sę okazać, że w celu zwększea dokładośc pomaru użyce precyzyjejszego stopera jest bezcelowe. Lepszym rozwązaem będze zastosowae elektroczego pomaru czasu z użycem fotokomórk. Jak wyka z określea epewośc maksymalej, jeśl e występują żade dodatkowe formacje, wyk pomaru powe wystąpć z jedakowym prawdopodobeństwem w przedzale x. Dla rozkładu jedostajego, który występuje w tym przypadku jako odchylee stadardowe przyjmuje sę połowę szerokośc rozkładu podzeloą przez 3. Zgode z zaleceam ormy [1] zaleca sę epewość stadardową wyrazć poprzez epewość maksymalą za pomocą wzoru: u x x 3 (W.8)

17 Gdy występują oba typy epewośc zarówo statystyczy rozrzut wykający z błędów przypadkowych jak epewość wykająca z dokładośc przyrządów obe są tego samego rzędu, to żada z ch e może być pomęta. W tym przypadku całkowta epewość stadardową wyraża sę wzorem: u x 3 x x (W.9) Nepewość stadardowa pomarów pośredch Wele welkośc fzyczych e moża wyzaczyć jako wyk pomaru bezpośredego. Take welkośc są zwązae z k ym welkoścam fzyczym x 1, x,...x k wyzaczaym z pomarów bezpośredch odpowedą zależoścą fukcyją: y f x x,..., 1, Po przeprowadzeu pomarów zae są wyk x 1, x,..., stadardowe u, u,..., x 1 x x k x k u merzoych welkośc x 1, x,...x k. (W.10) x k epewośc Jako wyk pomaru welkośc y przyjmuje sę welkość y wyzaczoą z zależośc: y y f x1, x,..., Wartość y obarczoa jest pewą skończoą epewoścą epewośc stadardowe welkośc merzoych bezpośredo Nepewość xk (W.11) u c y, a która przeoszą sę u, u,.., x 1 x u. u c y os azwę epewośc złożoej (od agelskego termu combed ucertaty), a sposoby jej oblczaa to prawo przeoszea epewośc lub prawo propagacj epewośc. W przypadku pomarów bezpośredch eskorelowaych tz. gdy każdą z welkośc x 1, x,...x k wyzacza sę ezależe, bezwzględą epewość złożoą szacuje sę przy pomocy astępującego wzoru: u c y x1 y x y xk x k u c y welkośc y y ux ux... ux ux 1 (W.1) k k 1 y x

18 Pochode cząstkowe y x oblcza sę różczkując zwązek y f x x,..., 1, x k względem zmeej x traktując pozostałe zmee jak stałe. Prawo przeoszea epewośc przyjmuje przejrzystą wygodą do praktyczych oblczeń postać, gdy zamast epewośc złożoej bezwzględej zostae wyzaczoa epewość złożoa względa y u c, r : y uc uc, r y (W.13) y W tym celu wyrażee (W.1) dzelmy obustroe przez y, a astępe wyrażea wewątrz awasów po prawej stroe rówośc możymy dzelmy przez x k, co prowadz do postac: u c k y y x ux y 1 x y x (W.14) Nepewość złożoą względą moża zatem wyrazć jako sumę geometryczą epewośc względych u x x welkośc merzoych bezpośredo pomożoych przez bezwymarowe wag w w postac w y x x y, czyl y k x uc, r w ur (W.15) 1 Jeśl zależość fukcyja pomędzy welkoścam x 1, x,...x k wyrażoa jest w postac potęgowo loczyowej typu: 1 y C x x... x k 1 k (W.16) to wag y x w są odpowedo rówe: x y

19 w y x x y 1 k C x1 x... x... xk x (W.17) 1 C x1 x czyl epewość złożoa względa welkośc y wyraża sę zależoścą: x k... x... xk uc, r y u c y y k ur 1 x k u x 1 x (W.18) W szczególym przypadku jeśl welkość y wyraża sę zależoścą loczyowo - lorazową welkośc x 1, x,...x k, przy oblczau wag otrzymuje sę jako wyk jedość. W tym przypadku złożoa epewość względa jest sumą geometryczą względych epewośc welkośc x : u c r k c, r y u x 1, (W.19) Wartośc wag dla ajczęścej spotykaych fukcj zebrae są w poższej tabel, gdze symbol C ozacza e tylko stałą, ale róweż pozostałą cześć wzoru fukcyjego e zawerającą zmeej x, czyl staowącą czyk stały przy oblczau odpowedej pochodej cząstkowej. typ zależośc fukcyjej y y Cx ax y Ce waga w y x ax C lax 1/ lax x y Otrzymae zgode z prawem przeoszea epewośc wyrażee (W.1) wążące epewość złożoą x k u c y welkośc y z epewoścam stadardowym u, x 1 u,.., u welkośc x 1, x,...x k merzoych bezpośredo jest słusze zarówo w przypadku x

20 wyzaczea epewośc epewośc typu A jak ocey typu B. u, u,.., x 1 x u z zastosowaem metody ocey Jeżel bezpośrede pomary welkośc x 1, x,...x k pozwalają jedye a zastosowae metody ocey epewośc typu B, czyl wyzaczee epewośc maksymalych x 1, x k x,... x k, wówczas uwzględając jedostajy rozkład merzoych welkośc w przedzałach x x ależy zgode z wyrażeem (W.8) oblczyć epewośc stadardowe pomarów bezpośredch jako: u x x 3 (W.0) W tym przypadku wyrażee opsujące epewość złożoą sprowadza sę do postac: u c y 1 3 y x x y x x y... x xk 1 k k 1 y x x (W.1) a dla zależośc potęgowo loczyowej (W.16) epewość złożoa względa uc, r y u c y y 1 3 k x 1 x (W.) Prawdłowo przeprowadzoy rachuek błędów, automatycze odpowada a pytaa: które welkośc fzycze x ależy zmerzyć z wększą dokładoścą dla uzyskaa zmejszea epewość pomarowej welkośc wykowej y; która epewość stadardowa bezwzględa u x wos ajwększy wkład do polczoej epewośc złożoej u c, r y Otrzymae wosk z aalzy błędów są waże pouczające, pozwalają a ewetuale efektywejsze powtórzee dośwadczea.

21 Nepewość rozszerzoa Nepewośc stadardowa u x epewość złożoa y u c wyzaczają przedzały domkęte, take że prawdopodobeństwo zalezea wartośc rzeczywstej pomaru odpowedo w przedzale od x ux do x ux lub od y u y do y u y c c wyos 0,683. Nepewośc te są marą dokładośc pomarów umożlwają porówywae dokładośc różych metod pomarowych. Aby wycągać wosk o zgodośc wyku pomaru z ym wykam Mędzyarodowa Norma Nepewośc Pomarów [1] wprowadza pojęce epewośc rozszerzoej (z języka agelskego expaded ucertaty), ozaczaej Nepewość rozszerzoą wybera sę tak, aby w przedzale U x U x., zwaym przedzałem objęca zajdowała sę przeważająca wększość wyków pomaru, potrzeba do określoych zastosowań. Wartość epewośc rozszerzoej U x jest loczyem epewośc stadardowej bezwymarowego współczyka rozszerzea k: U x k u x (W.3) Tak zdefoway przedzał objęca moża utożsamać z przedzałem ufośc, a prawdopodobeństwo objęca z pozomem ufośc. Przykładowe pozomy ufośc dla klku ajczęścej stosowaych współczyków k podaje poższa tabela: Tabela 1. Pozomy ufośc dla wybraych współczyków rozszerzea k. współczyk rozszerzea k pozom ufośc 1 0,683 1,8 0,8 1,65 0,9 0,954,33 0,98 3 0,997 W przypadku ocey typu B dla epewośc stadardowej przedzał objęca e ma ścsłej terpretacj statystyczej. W zgodze z mędzyarodową praktyką do oblczea epewośc rozszerzoej przyjmuje sę wówczas domyśle wartość k=, wartośc e

22 ż mogą być stosowae tylko w wyku decyzj uprawoego eksperta powy wykać z ustaloych udokumetowaych wymagań [3]. Typowe zastosowaa epewośc rozszerzoej to woskowae o zgodośc uzyskaego wyku z wartoścą dokładą: teoretyczą (określoą przy pomocy teor) lub tabelaryczą p. stałą przyrody, wyzaczoą w wyku pomarów, ale aktuale zaą z bardzo dużą dokładoścą. Porówae wartośc zmerzoej x z wartoścą dokładą x 0 polega a porówau różcy x0 x z epewoścą rozszerzoą U x. Jeśl spełoy jest waruek: x x 0 U x (W.4) to wartość zmerzoą uzajemy za zgodą z wartoścą dokładą. Aby określć, czy wyk dwóch ezależych pomarów tej samej welkośc x 1 x są rówe w gracach epewośc pomaru, ależy porówać różcę tych wyków z epewoścą rozszerzoą tej różcy. Jeśl epewośc stadardowe pomarów są rówe odpowedo u u x 1 x stadardowa różcy jest rówa sume geometryczej a epewość rozszerzoa: U u, to zgode z prawem przeoszea błędów epewość u, x 1 x x ux u 1 1 x x x k ux u 1 1 x u : Wyk obu pomarów moża uzać za zgode, jeżel x x U x x. 1 1 x (W.5) (W.6)

23 Dokładość metody zerowej mostkowej - przykład Z zasada budowy rówoważea mostka Wheatstoe a jest zgoda z rysukem przedstawoym pożej, gdze l l l3 to całkowta długość drutu. Ramę AC odpowada merzoej rezystacj R X, zaś ramę AD wzorcowej rezystacj zatyczkowej R 4. Welkośc rezystacj R R 3 (odck drutu ślzgowego) zależą od położea suwaka reochordu. Przy przesuwau jego suwaka zmeają sę welkośc rezystacj R R 3, a w zwązku z tym ch stosuek. Pomar ezaej rezystacj sprowadza sę do zalezea takego położea suwaka reochordu, przy którym przez galwaometr e płye prąd. Powyższa operacja os azwę rówoważea mostka. W rzeczywstych układach dodatkowo staluje sę komutator służący do zamay mejscam rezystacj włączoych w ramoa mostka bez przełączaa przewodów. Stosowae komutatora jest wskazae z tego powodu, że drut reochordu e bywa całkowce jedorody wzdłuż całej długośc dlatego stosuek R / R 3 e jest dokłade rówy stosukow l /l 3. Obwód zaslay jest prądem stałym. Zastosujemy teraz rachuek epewośc do wyzaczea ajlepszego puktu pomaru. Mmo braku zajomośc wartośc merzoych ch epewośc będze moża wyzaczyć jak przeprowadzć ćwczee, by rezultaty były obarczoe jak ajmejszą epewoścą. Wartość tej epewośc będze moża wyzaczyć po wykoau ćwczea. W przypadku, gdy opork R, R 3 są odckam drutu ślzgowym, waruek rówowag mostka ma postać:

24 gdyż: l S R l l R X R4 R4 (P.1) l3 l l l. (P.) S 3 R3 gdze: l l l3 całkowta długość drutu, opór właścwy drutu, S powerzcha przekroju drutu. Rozpatrzmy zależość (P.1), z której metodą pośredą określamy wartość ezaej rezystacj R X. Merzymy l z epewoścą maksymalą l. Wartość l oraz R 4 zostały zmerzoe ze zacze wększą precyzją. Załóżmy, że ch epewośc maksymale wyoszą odpowedo l oraz R4. Wówczas epewość złożoa bezwzględa wyzaczaej rezystacj wyese (patrz wzór W.1): u c R X 1 3 R l X l R X l l R R X 4 R 4 (P.3) Przy pomęcu wkładów od błędu l oraz R4 jako zacze mejsze od wkładu pochodzącego od l powyższy wzór przyjmuje postać: a epewość względa: u c, r u R c 1 l l (P.4) 3 ( l l ) RX R4 X uc RX 1 l l (P.5) R 3 l ( l l ) X Nepewość względa osąga mmum dla takej wartośc l, przy której maowk powyższego wyrażea osąga maksmum. Łatwo zauważyć, że waruek te ma mejsce dla l l, czyl w sytuacj, gdy l l3 (tz. R = R 3 ). Wówczas spełoy jest waruek R X = R 4. Dla tej szczególej sytuacj epewość względą wyzaczaej rezystacj możemy wyrazć epewoścą względą zmerzea długośc l : l uc, r RX (P.6) 3 l Wzór powyższy możemy stosować, gdy R X mało róż sę od R 4, czyl gdy l jest blske l. Poszukwaą wartość epewośc będze moża wyzaczyć po wykoau ćwczea ze wzoru (P.6) gdy suwak reochordu zajduje sę blsko połowy długośc drutu ślzgowego.

25 ROZKŁAD STATYSTYCZNY MAXWELLA W mechace klasyczej pełej formacj o cząsteczce dostarczają fukcje położea oraz prędkośc. Zazwyczaj moża je zapsać w postac f r v RrV v,. Aalogczej formacj w ramach termodyamk (opsu statystyczego) dostarczają fukcje rozkładu prawdopodobeństwa zalezea w gaze cząsteczk, która: ma prędkość z przedzału V V dv,, zajduje sę w pewym obszarze (p. a wysokośc z przedzału h h dh, ). Sta gazu możemy też opsać podając jego temperaturę, cśee, zajmowaą objętość, masę lub lość mol. Perwsze dwa parametry zwązae są z prędkoścam z jakm poruszają sę cząsteczk gazu. Z drugej stroy zajomość tych parametrów e pozwala jeszcze określć z jakm kokretym prędkoścam poruszają sę poszczególe cząsteczk gazu. Cząsteczk gazu poruszają sę chaotycze, co ozacza, że wszystke keruk ruchu są jedakowo prawdopodobe. Wartośc prędkośc cząsteczek są róże obejmują szerok przedzał wartośc. Gdyby wszystke cząstk mały taką samą prędkość, to sytuacja taka e mogłaby trwać długo poeważ w gaze dochodz do zderzeń. Zakładając awet, że są to tylko zderzea sprężyste jedakowych cząsteczek, e są to tylko zderzea cetrale. Zderzea ecetrale zmeają wektory prędkośc cząsteczek (wartośc keruk). Fukcja rozkładu Maxwella-Boltzmaa określa lczbę dn cząstek których prędkośc zawarte są w przedzale V, V dv, a położea w przedzale r r dr, dla przypadku klasyczego (ekwatowego) układu cząstek (p. gazu jedoatomowego lub gazu cząsteczkowego) będącego w rówowadze termodyamczej. Po uśredeu prędkośc z rozkładu Maxwella-Boltzmaa uzyskuje sę rozkład Boltzmaa fukcję rozkładu lośc cząsteczek w wyróżoym obszarze. Po scałkowau współrzędych przestrzeych z rozkładu Maxwella-Boltzmaa uzyskuje sę rozkład Maxwella fukcje rozkładu prędkośc cząsteczek. Rozkład Maxwella prędkośc cząsteczek gazu doskoałego

26 James Clerk Maxwell ( ), szkock fzyk matematyk, perwszy rozwązał zagadee ajbardzej prawdopodobego rozkładu prędkośc welkej lczby cząstek gazu doskoałego: gdze: N V 4N 0 m kt 3/ V mv exp kt N V dv jest lczbą cząstek w próbce gazu mających prędkośc z przedzału V, V dv, (1) T jest temperaturą bezwzględą, k jest stała Boltzmaa, m jest masą cząsteczk, N0 jest całkowtą lczbą cząsteczek w próbce 0 V N 0 N dv. Charakter rozkładu Maxwella (1), przedstawoy jest a rys.1 dla przypadku, którego tu e wyprowadzamy, a obejmującego mloa cząsteczek podzeloych a sto przedzałów prędkośc. Możemy tam wskazać: prędkość ajbardzej prawdopodobą V p odpowadającą maksmum fukcj (przedzał umer 4 zawerający cząsteczek), prędkość średą V śr dla której steje taka sama lczba cząsteczek poruszających sę szybcej jak wolej od ej (przedzały od 1 do 6 zawerają cząsteczek, a przedzały od 1 do 7 zawerają cząsteczek). lczba cząsteczek przedzały prędkosc (v, v+dv)

27 Rys.1. Charakter rozkładu Maxwella lczba cząstek dla kolejych zakresów prędkośc. Prędkośc V p V śr, zależe od temperatury, moża wyzaczyć z (1). Prędkość ajbardzej prawdopodobą wyzaczamy szukając maksmum fukcj z waruku zerowaa perwszej pochodej, w wyku otrzymujemy: V N dv V N dv 4N 0 4N 0 m kt m kt 3/ 3/ V mv exp kt dv mv V exp V kt mv exp kt mv kt zerowae sę pochodej jest możlwe tylko wtedy, gdy zeruje sę wyrażee w awase kwadratowym czyl: (a) (b) mv V exp V kt mv mv exp kt kt mv exp kt mv V kt 0 Zerowae sę wyrażea w awase kwadratowym gwaratuje stee maksmum fukcj (dla V=0 mamy mmum) stąd prędkość ajbardzej prawdopodoba to (c) kt kt V p 1, 41 (3) m m Prędkość średą wyzaczamy całkując (sumując) prędkośc wszystkch cząsteczek dzeląc otrzymaą prędkość przez lczbę cząsteczek, w wyku otrzymujemy: N 0 0 N V dv 3/ m mv 4N 0 V exp dv kt 0 kt (4a) stąd 1 kt 4 m 3/ 0 V mv exp kt dv (4b) chcąc skorzystać ze wzoru a całkę eozaczoą typu x ax 0 exp exp dx a ax ax 1 ależy zmeć zmee. Nowa zmea jej różczka y V, dy dv e zmeają grac całkowaa, stąd rówae (4b) przyjmuje postać

28 3/ 1 kt m dy y exp y 4 m 0 kt po powroce do perwotych zmeych upraszczając rówae kt 4 m Ostatecze prędkość średa wyos m exp V kt m kt m V kt 3/ 1 m mv m exp V 1 8kT kt kt 1 (4c) (4d) (4e) 8kT V 1, 59 m kt m (5) Wzór barometryczy Załóżmy, że N cząstek wypeła aczye o wysokośc H polu podstawy S. Cząstk te wywerają cśee a ścak aczya cała zajdujące sę wewątrz, które jest wyższe u podstawy aczya a ższe a górze ph ph dh zwązaa z wysokoścą wyos dp ph dh ph. Różca cśeń. Przez (h) ozaczamy kocetracja cząstek (lość przypadającą a elemet objętośc). Ilość cząstek w aczyu a pewej wysokośc to dq mg h Sdh Rówae stau gazu doskoałego dn hsdh, ch masa to dm dnm mhsdh, a ch cężar. Cząstk te wywerają cśee gdze: lczba mol gazu, R stała gazowa. dq dp mghdh (6) S pv RT (7) W stałej objętośc ( HS ) różczka wyrażea (7) podstawoa do (6) daje RTd mghdh (8)

29 skąd obustroe całkując wyzaczając (h) mamy d mg dh (9) RT mg l h h C (10) RT mg mg mg exp (11) RT RT RT h h C expc exp h C' exp h Wartość stałej C' zajdzemy z waruku, że wszystkch cząstek w aczyu jest N stąd N h d SC' H 0 exp mg RT Nmg C' SRT 1 exp hdh SC' mgh RT RT mg 1 exp mgh RT Ostatecze wyrażee (9) przedstawa zależość średej kocetracj gazu a wysokośc h w polu grawtacyjym przyjmuje postać h mg SRT1 exp mgh RT N exp Zależość ta może też być wyrażoa poprzez cśee paujące a wysokośc h p h p 0 exp mg RT h mg RT h (1) (13) (14) (15) Ilość kulek wyrzucaych z komory pozostałych w komorze W układze laboratoryjym oprócz wyzaczaa rozkładu barometryczego cśea kulek możemy też wyzaczać lość kulek, które opuścła komorę przez otwór lub pozostała w komorze. Szybkość ubywaa kulek z komory jest proporcjoala do ch

30 d lośc zależy od umejscowea oraz welkośc otworu. Jeżel przez dt ozaczymy szybkość ubywaa kulek a przez c lość kulek która wylecała przez otwór (c pewa stała) to welkośc te muszą być rówe: d c 0 (16) dt przeosząc człoy a dwe stroy rówaa grupując człoy z lczą kulek po jedej stroe d cdt (17) Całkując obustroe od czasu początkowego do końca trwaa dośwadczea w dzedze lośc zaczyamy od 0 kulek a dochodzmy do kulek w komorze 0 d c t 0 dt (18) Rozwązaam tych całek jest wyrażee l t 0 ct z którego wyzaczamy lość kulek pozostałą w komorze po czase t t exp ct (19) 0 (0) Aalogcze moża wyzaczyć lość kulek, która wypadła przez otwór, a która jest dopełeem do lośc kulek z którą rozpoczęlśmy dośwadczee t 1 exp ct 0 (1) Wyrażea (0) (1) opsują wele zagadeń w fzyce p. rozpad zotopów, stygęce ceczy, ładowae rozładowae kodesatora.