Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements-Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)
|
|
- Małgorzata Kruk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mędzyarodowa Norma Ocey Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets-Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Wyrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk. Warszawa, Główy Urząd Mar 1999 H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa 1999 A.Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str A.Zęba, Pracowa Fzycza WFTJ, Skrypt Uczelay SU 164, Kraków 00 1 POMIAR Pomary w laboratorum moża podzelć a pomary welkośc: prostych złożoych Przykład 1: Pomar długośc c przymarem metrowym, pomar okresu drgań wahadła pomary welkośc prostych pomary bezpośrede Wyzaczae przyspeszea zemskego a podstawe wzoru l T g - pomar welkośc złożoej 1
2 W trakce pomaru uzyskujemy wartośc różące sę od przewdywań teor. Źródłem rozbeżośc mędzy teorą eksperymetem są edoskoałośc: -osoby wykoującej pomar, -przyrządów pomarowych, -obektów merzoych Gdy dośwadczee staje sę doskoalsze, rozbeżośc te maleją. Maleje błąd pomaru, epewość pomaru. 3 Wyk pomaru jest zawsze obarczoy błędem po przeprowadzeu odpowedej aalzy błędów podajemy go w jedej z astępujących postac: g F (98 3) 10 C 9,866(8)m/ s Przykład : Załóżmy, że przy wyzaczau rówoważka elektrochemczego pewego perwastka uzyskalśmy astępujące lczby: k=0, g/c Jak podać wyk? Δk=0, g/c 3 cyfry zaczące cyfry ezaczące Odp. k= (0, ,00004) g/c lub k= 0,00110(4) g/c 4
3 Nepewość a błąd pomaru Błąd bezwzględy pojedyczego pomaru: 0 (1) wartość zmerzoa, 0 wartość rzeczywsta Błąd względy: 0 () Uwaga: wartośc rzeczywśce welkośc merzoej zazwyczaj e są zae 5 Nepewość Welkośc określoe wzoram (1) () są pojedyczą realzacją zmeej losowej e wchodzą do teor epewośc. W praktyce e zamy wartośc rzeczywstych welkośc merzoych szacujemy epewośc pomarowe wykające ze statystyczych praw rozrzutu pomarów. Nepewość pomaru jest zwązaym z rezultatem pomaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. 6 3
4 Nepewość u (ag. ucertaty) posada wymar, tak sam jak welkość merzoa Symbolka: u lub u() lub u(stężee NaCl) Nepewość względa u r () to stosuek epewośc (bezwzględej) do welkośc merzoej: u( ) u r ( ) Nepewość względa jest welkoścą bezwymarową może być wyrażoa w % 7 Nepewość Isteją dwe mary epewośc pomaru: epewość stadardowa u() epewość maksymala Δ 0 -Δ 0 +Δ 0 0 -u() 0 +u() 8 4
5 Nepewość stadardowa Jest marą dokładośc pomaru ajpowszechej stosowaą uzawaą obece za podstawową. 1. Rezultat pomaru jest zmeą losową, której rozrzut wokół wartośc średej charakteryzuje parametr zway odchyleem stadardowym lm. Dokładej wartośc odchylea stadardowego e zamy. Nepewość stadardowa jest jego ezbyt dokładym oszacowaem (estymatorem, oceą). 9 Nepewość maksymala W tym przypadku staramy sę określć przedzał 0 - Δ < < 0 + Δ w którym meszczą sę wszystke wyk pomaru, aktuale wykoae przyszłe. Jest marą determstyczmą, gdyż zakłada, że moża określć przedzał welkośc merzoej, w którym a pewo zajdze sę welkość rzeczywsta. Zaleca sę obece epewość maksymalą specyfkowaą przez produceta zameać a epewość stadardową wg wzoru: u()
6 Podzał błędów Wyk pomarów podlegają pewym prawdłowoścom, tzw. rozkładom typowym dla zmeej losowej. Z tego względu błędy dzelmy a: Błędy grube (pomyłk), które ależy elmować Błędy systematycze, które moża ograczyć udoskoalając pomar Błędy przypadkowe, które podlegają prawom statystyk rachuku prawdopodobeństwa, wykają z welu losowych przyczyków e dają sęwyelmować 11 Krzywe rozkładu błędu Φ() () Φ() 0 =15 = =5 0 0 = błąd systematyczy błąd przypadkowyrozkład Gaussa 1 6
7 Błędy grube: Są wykem pomyłk eksperymetatora p. przy odczytywau wartośc merzoych, przy przelczau jedostek etc., eprawdłowego stosowaa przyrządu pomarowego, poważego euśwadomoego uszkodzea przyrządu pomarowego, zastosowaa eodpowedej metody pomaru lub ewłaścwych wzorów teoretyczych do opracowaa wyków. Fakt zastea błędu grubego ależy sobe jak ajszybcej uśwadomć a wyk obarczoy takm błędem wykluczyć z dalszych aalz. Jeśl to możlwe, pomar powtórzyć. 13 Błędy systematycze zawsze w te sam sposób wpływają a wyk pomarów wykoaych za pomocą tej samej metody aparatury pomarowej. Mmala wartość błędu systematyczego jest określoa dokładoścą stosowaego przyrządu (lub klasą w przypadku aalogowych merków elektryczych). Wprowadza sę pojęce dzałk elemetarej czyl wartość ajmejszej dzałk (odległość mędzy sąsedm kreskam a skal przyrządu lub ułamek tej odległośc określoy klasą przyrządu), która określa dokładość odczytu. 14 7
8 Źródłem błędu systematyczego są: skale merków (p. ewłaścwe ustawee zera ), euśwadomoy wpływ czyków zewętrzych (temperatura, wlgotość) a wartość welkośc merzoej, ewłaścwy sposób odczytu (błąd paralaksy) lub pomaru, przyblżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczea welkośc złożoej. Błędy systematycze czasam moża ograczyć wprowadzając poprawk, p. r F 6 v(1,4 ) R 15 Błędy przypadkowe: występują zawsze w eksperymece, lecz ujawają sę gdy welokrote dokoujemy pomaru przyrządem, którego dokładość jest bardzo duża a błędy systematycze wykające z ych przyczy są bardzo małe. Wykają oe z własośc obektu merzoego (p. wahaa średcy drutu a całej jego długośc), własośc przyrządu pomarowego (p. wskazaa przyrządu zależą od przypadkowych drgań budyku, fluktuacj cśea czy temperatury, docsku dla suwmark), lub mają podłoże fzjologcze (refleks eksperymetatora, subektywość ocey maksmum atężea dźwęku czy rówomerośc ośwetlea poszczególych częśc pola wdzea) 16 8
9 Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą eksperymetow, awet jeśl e błędy zostaą wyelmowae. W przecweństwe do błędu systematyczego, ch wpływ a wyk ostateczy pomaru moża ścśle określć. 17 Zadae domowe-1 W pewym eksperymece wyzaczao przyspeszee zemske g merząc okres T długość L c wahadła matematyczego. Długość c L zmeao w pewym zakrese otrzymao astępujące rezultaty: Nr pomaru L (m) T (s) 1 0,6 1,4 1,5 1,9 3,0,6 4,6,9 5 3,5 3,4 Jede z wyków wyraźe odbega od pozostałych? O czym to śwadczy? 18 9
10 Typy ocey epewośc wg owej Normy Typ A Metody wykorzystujące statystyczą aalzę ser pomarów: wymaga odpowedo dużej lczby powtórzeń pomaru ma zastosowae do błędów przypadkowych Typ B Opera sę a aukowym osądze eksperymetatora wykorzystującym wszystke formacje o pomarze źródłach jego epewośc stosuje sę gdy statystycza aalza e jest możlwa dla błędu systematyczego lub dla jedego wyku pomaru19 TYP A 0 10
11 Przykład 3 : Sera wyków (próba) 1,,. obarczoych epewoścą przypadkową jest duża gdy 30< 100. W próbe takej wyk sę powtarzają: k jest lczbą pomarów, w których wystąpł wyk k, k / jest częstoścą występowaa wyku k k k / 5, 1 0,011 5,3 1 0,011 5,4 0,01 5,5 4 0,043 5,6 7 0,075 5,7 10 0,106 5,8 14 0,149 5,9 16 0,170 6,0 13 0,138 6,1 1 0,18 6, 6 0,064 6,3 4 0,043 6,4 3 0,03 6,5 1 0,011 Suma 94 1 Opracowae ser pomarów bezpośredch dużej próby Średa arytmetycza k Hstogram =5,9 6 4 Odchylee stadardowe 0 5, 5,4 5,6 5,8 6,0 6, 6,4 k σ=0, u( ) 1 11
12 Φ() Rozkład ormaly Gaussa Gęstość prawdopodobeństwa wystąpea welkośc lub jej błędu podlega rozkładow Gaussa ( ) 1 ep ( 0 ) 0 jest wartoścą ajbardzej prawdopodobą może być ą średa arytmetycza, jest odchyleem stadardowym, jest waracją rozkładu Nepewość stadardowa średej u( ) ( 1) 3 Rozkład ormaly Gaussa 68.% pow. σ 95.4 % 99.7 % W przedzale 0 - < < 0 + zawera sę 68. % (/3), w przedzale 0 - < < 0 + zawera sę 95.4 % w przedzale 0-3 < < 0 +3 zawera sę 99.7 % wszystkch wyków 4 1
13 Rozkład ormaly Gaussa 3 () 0 =15 = = Pomar o wększym σ charakteryzuje sę wększym rozrzutem wyków wokół wartośc średej a zatem mejszą precyzją 5 Zadae domowe- Klkakrote, w tych samych warukach przeprowadzoo pomar apęca U R a rezystorze używając do tego merka cyfrowego. Otrzymao astępujące rezultaty:,31v;,35v;,6v;,v;,30v;,7v;,9v;,33v;,5v;,9v z dokładoścą 0,01V. a) Określ wartość oczekwaą U R a podstawe średej z tych wyków. b) Jaką wartość epewośc systematyczej moża przypsać tym wykom. c) Zakładając, że fluktuacje wyków mają charakter statystyczy, wyzacz epewość przypadkową jako odchylee stadardowe. d) Gdybyśmy wedzel, że rzeczywsta wartość U R wyos,3v co moglbyśmy powedzeć o charakterze błędów w tym dośwadczeu. 6 13
14 TYP B 7 Dla ocey typu B wykorzystać moża m..: dae z pomarów poprzedch, dośwadczee wedzę a temat przyrządów obektów merzoych, formacje produceta przyrządów, epewośc przypsae daym zaczerpętym z lteratury Gdy formacja o pomarze źródle jego epewośc jest dobra, dokładość ocey typu B jest porówywala z dokładoścą ocey typu A. 8 14
15 y Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykającej ze skończoej dokładośc przyrządu. Przykład 4: Ocea epewośc typu B dla pomaru długośc wahadła. Długość wahadła merzymy przymarem mlmetrowym uzyskując wartość L=140 mm. Przyjmujemy epewość rówą dzałce elemetarej (dzałka skal 1mm). A zatem u(l)=1 mm, u r (L)=u(L)/L=1/140, błąd procetowy 0,7% 9 NIEPEWNOŚĆ WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ PRAWO PRZENOSZENIA BŁĘDU u(y) fukcja y = f() stycza dy/d u(y) dy u() d 40 0 u()
16 Metoda różczk zupełej Dla welkośc złożoej y=f( 1,,... ) gdy epewośc maksymale 1,,... są małe w porówau z wartoścam zmeych 1,,... epewość maksymalą welkośc y wylczamy z praw rachuku różczkowego: y y y y (3) 31 Prawo przeoszea epewośc Nepewość stadardową welkośc złożoej y=f( 1,,... ) oblczamy z tzw. prawa przeoszea epewośc jako sumę geometryczą różczek cząstkowych u y c( y) u( 1 ) u( )... u( 1 y y ) u cr ( y) uc( y) y 3 16
17 Przykład 5 Z pomarów U I wylczamy R U / I Nepewośc maksymala oporu (wg. wzoru 3) R R U U R I I R 1 U I R I U I epewość bezwzględa epewość względa R 1 U U I I R U I R U I I Na wartośc U I mają wpływ dokładośc przyrządów. 33 Dla merków aalogowych korzystamy z klasy dokładośc przyrządu klasa zakres U 100 Dla merków cyfrowych epewość jest ajczęścej podawaa w strukcj obsług jako zależa od welkośc merzoej zakresu pomarowego z c1 cz p. multmetr c 1 =0.%, c =0.1% przy pomarze oporu R=10 k a zakrese z = 0 k da epewość R=0.04 k, tj. rówowartość 4 dzałek elemetarych 34 17
18 Dawej uważao, że marą błędu systematyczego może być tylko epewość maksymala. Nowa Norma traktuje błąd systematyczy jako zjawsko przypadkowe, gdyż e zamy a pror jego welkośc zaku. Norma zaleca stosowae epewośc stadardowej u. A zatem dla przykładu omawaego: u( R) R 3 35 Zadae domowe-3 W pewym eksperymece wyzaczoo przyspeszee zemske g merząc okres T długość L odpowedego wahadła matematyczego. Wyzaczoa długość wahadła wyos m. Nezależe określoa epewość względa pomaru okresu wahadła wyos 0,06%, tj. u(t) 4 u r (T) 6 10 T Oblczyć względą epewość pomarową przyspeszea zemskego lub epewość procetową zakładając, że epewośc pomarowe L T są ezależe mają charakter przypadkowy
19 Zasady rysowaa wykresów Czy te wykres jest arysoway zgode z zasadam? 1. Należy wyraźe zazaczyć pukty eksperymetale!!! Trzeba aeść błąd pomaru
20 3. Dobrać zakresy os współrzędych odpowedo do zakresu zmeośc daych pomarowych!!! Właścwe opsać ose współrzędych dobrać skalę, tak aby łatwo moża było odczytać wartośc zmerzoe co jest a osach??? 40 0
21 cm cm 5. Ne łączyć puktów eksperymetalych lą łamaą!!! Jeśl zay jest przebeg teoretyczy to dokoać dopasowaa teor do dośwadczea (przeprowadzć ftowae) T [K] Zadbać o aspekt estetyczy wykresu (ops, zamkęce ramką, tp.) dae eksperymetale dopasowae T [K] 4 1
22 cm Wykres 1 Rezystywosc probk B w fukcj temperatury T dae eksperymetale dopasowae T [K] 43 Metoda ajmejszych kwadratów Regresja lowa S y a b m 44
23 3 45 Waruek mmum fukcj dwu zmeych: 0 0 b S a S Otrzymuje sę układ rówań lowych dla ewadomych a b y b a y b a Rozwązując te układ rówań otrzymuje sę wyrażea a a b W y y b W y y a 46 Z praw statystyk moża wyprowadzć wyrażea a odchylea stadardowe obu parametrów prostej: W a u b u W S a u ) ( ) ( ) (
24 l (U/U o ) NapeceU(V) Learyzacja daych eksperymetalych 1,0 0,8 0,6 U(t) =Uoep (-t/ 0,4 0, 0, czas t (ms) 47 Dopasowae prostej wykoujemy po przekształceu daych do postac l(u/u o )=-t/τ 0 eksperymet ft z =17, ms czas t (s) 48 4
25 Zadae domowe-4 W pewym eksperymece wyzaczao pewą welkość fzyczą będącą achyleem prostej y() = b + a. Uzyskae wyk pomarów zestawoo w poższej tabel: (K) y (μm) (K) y (μm) (K) y (μm) 0,8 70, 110 3, ,0 110, , , 130,8 10 4, 160 1, , , , , , Zadae domowe-4 (cd) Narysuj wykres y() (bez pomocy programów ftujących), zazaczając pukty eksperymetale prowadząc trzy le proste: a) lę, która wydaje sę ajlepej przechodzć przez pukty eksperymetale b) lę, który ma ajwększe (ale cągle rozsąde) achylee c) lę, która ma ajmejsze możlwe achylee Wykorzystaj wyzaczoe achylea prostych ch przecęca z osam do określea epewośc wyzaczaych welkośc a b. Jest to tzw. metoda grafcza. 50 5
26 Zadae domowe-4 (cd) Następe użyj metody regresj lowej, aby dopasować lę prostą do zależośc y(). Wykorzystaj podae a wykładze wzory. Na podstawe dopasowaych parametrów achylea epewośc achylea prostej określ współczyk a oraz jego epewość. Zastaów sę czy metoda grafcza daje rówe dobre rezultaty jak metoda regresj lowej. Jake są korzyśc wady stosowaa każdej z tych metod? 51 PODSUMOWANIE Każdy pomar w laboratorum jest obarczoy epewoścą pomarową, którą eksperymetator mus określć zgode z pewym zasadam. W perwszej kolejośc ależy przeaalzować źródła błędów, pamętając, aby wyelmować wyk obarczoe błędem grubym. W laboratorum studeckm błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe. Welokrote powtarzae pomarów, gdy domuje błąd systematyczy, e ma sesu. W takm przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomarów w tych samych warukach w celu sprawdzea powtarzalośc. 5 6
27 Gdy błąd przypadkowy domuje w eksperymece, ależy sprawdzć czy rozkład wyków może być opsay fukcją Gaussa czy też ależy spodzewać sę ego rozkładu. W tym celu dokoujemy welokrotego (p. 100 razy) pomaru w tych samych warukach, oblczamy średą warację rozkładu, rysujemy hstogram, etc.) Jako marę epewośc stosujemy raczej epewość stadardową, rzadzej epewość maksymalą. W przypadku welkośc złożoej, stosujemy prawo przeoszea błędu. Staramy sę przeprowadzć aalzę epewośc welkośc złożoej tak, aby uzyskać formacje dotyczące wag przyczyków, jake woszą do całkowtej epewośc pomary poszczególych welkośc prostych. W tym celu ależy aalzować epewośc względe. 53 Ważym elemetem sprawozdaa z przebegu eksperymetu ( to e tylko w laboratorum studeckm) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgode z dobrym zasadam, pamętając o jedozaczym opse. Jeżel zae są podstawy teoretycze badaego zjawska, a wykrese zameszczamy krzywą teoretyczą (la cągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (doberamy odpowede symbole aosmy epewośc eksperymetale). Możemy wcześej dokoać dopasowaa parametrów przebegu teoretyczego w oparcu o zae metody ftowaa Zawsze, gdy to możlwe, dokoujemy learyzacj daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l (), lub log y vs. log, lub y vs. 1/ tp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresj lowej 54 7
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoPraktyczna umiejętność opracowywania wyników, teoria niepewności pomiaru
Praktycza umejętość opracowywaa wyków, teora epewośc pomaru Dostępa lteratura: 1. http://physcs.st/gov/ucertaty. Wyrażae Nepewośc Pomaru, Przewodk, Warszawa, Główy Urząd Mar, 1999 3. H. Szydłowsk, Pracowa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INSTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 2016
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 06 CEL ĆWICZEŃ. Obserwacja zjawsk efektów fzyczych. Doskoalee umejętośc
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Marzec 07 PODRĘCZNIKI Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 999
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD NAJPROSTSZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Michał Januszczyk Zakład Fizyki Medycznej, Wydział Fizyki UAM
PRZEGLĄD NAJPROTZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Mchał Jauszczyk Zakład Fzyk Medyczej, Wydzał Fzyk UAM. Każdy zbór cał lub zjawsk fzyczych ma wele cech merzalych mogących staowć zasadę klasyfkacj..
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru. Andrzej Kubiaczyk Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 0 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoAnaliza danych pomiarowych
Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Męzaroowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gue to Epresso of Ucertat Measuremets Męzaroowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st.gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewok.
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII POMIARÓW
Sps treśc POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...8 Ocea epewośc pomarowej typu A...8
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU
Fzyka cała stałeo WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 1. Ops teoretyczy do ćwczea zameszczoy jest a stroe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomaroweo
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
Bardziej szczegółowoKALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA
KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędznarodowa Norma Ocen Nepewnośc Pomaru(Gude to Epresson of Uncertant n Measurements - Mędznarodowa Organzacja Normalzacjna ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.nst./gov/uncertant POMIARU Wrażane Nepewnośc
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoMETROLOGIA. Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki
METROLOGIA Dr ż. Elgusz PAWŁOWSKI Poltechka Lubelska Wydzał Elektrotechk Iformatyk Prezetacja do wykładu dla EINS Zjazd 4, wykład r 7, 8 Prawo autorske Nejsze materały podlegają ochroe zgode z Ustawą o
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoZe względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowoRachunek niepewności pomiaru opracowanie danych pomiarowych
Rachunek nepewnośc pomaru opracowane danych pomarowych Mędzynarodowa Norma Oceny Nepewnośc Pomaru (Gude to Epresson of Uncertanty n Measurements - Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna ISO) http://physcs.nst./gov/uncertanty
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoŚrednia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.
Statystyka Statystyka jest auką, która zajmuje sę zberaem daych ch aalzą. Praca statystyka polega główe a zebrau dużej lośc daych opsujących jakeś zjawsko ch aalze terpretacj. Ne będzemy zajmować sę oczywśce
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoCentralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych
Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoWykłady z fizyki FIZYKA II
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI Istytt Matematyk Fzyk Katedra Fzyk Wykłady z fzyk FIZYKA II dr Barbara Klmesz Poltechka Opolska Opole Uversty of Techology www.po.opole.pl
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Męzaroowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gue to Epresso of Ucertat Measuremets Męzaroowa Orgazacja Normalzacja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st.gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewok.
Bardziej szczegółowoZastosowanie informatyki w chemii
Projekt p. Wzmocee potecjału dydaktyczego UMK w Toruu w dzedzach matematyczo-przyrodczych realzoway w ramach Poddzałaa 4.. Programu Operacyjego Kaptał Ludzk Zastosowae formatyk w chem Potr Szczepańsk UMK
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1
Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.
Bardziej szczegółowoLekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ
Ćwczee 56 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ 56.. Wadomośc ogóle Rozpatrzmy wąską skolmowaą wązkę prome γ o atężeu I 0, padającą a płytkę substacj o grubośc x (rys. 56.). Natężee promeowaa
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów Definicje
Teora pomarów Aalza epewośc pomarów Defce Dr hab. ż. Paweł Mada www.pmada.zt.ed.pl Podstawowa defca Nepewość pomar to parametr zwązay z wykem pomar, charakteryzący rozrzt wartośc, który w zasadoy sposób
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowoWALIDACJA METOD BADAŃ STOSOWANYCH W LOTOS LAB
Data 3//03 Nr wyd troa z Nr egz Nr wydaa troa Data wprowadzea zmay Zmaa Opracował Podps prawdzł Podps Zatwerdzł Podps Kamńsk Cudowsk Marjańsk Data 3//03 Nr wyd troa z Nr egz. Cel Celem ejszej strukcj jest
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
Bardziej szczegółowo