METROLOGIA. Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki
|
|
- Franciszek Sobczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METROLOGIA Dr ż. Elgusz PAWŁOWSKI Poltechka Lubelska Wydzał Elektrotechk Iformatyk Prezetacja do wykładu dla EINS Zjazd 4, wykład r 7, 8
2 Prawo autorske Nejsze materały podlegają ochroe zgode z Ustawą o prawe autorskm prawach pokrewych (Dz.U. 994 r 24 poz. 83 z późejszym zmaam). Materał te udostępam do celów dydaktyczych jako materały pomoccze do wykładu z przedmotu Metrologa prowadzoego dla studetów Wydzału Elektrotechk Iformatyk Poltechk Lubelskej. Mogą z ch róweż korzystać e osoby zateresowae metrologą. Do tego celu materały te moża bez oaczeń przeglądać, drukować kopować wyłącze w całośc. Wykorzystywae tych materałów bez zgody autora w y sposób do ych celów ż te, do których zostały udostępoe, jest zabrooe. W szczególośc edopuszczale jest: usuwae azwska autora, edytowae treśc, kopowae fragmetów wykorzystywae w całośc lub w częśc do własych publkacj. Zjazd 4, wykład 7, 8 2
3 Uwag dydaktycze Nejsza prezetacja staow tylko wyłącze materały pomoccze do wykładu z przedmotu Metrologa prowadzoego dla studetów Wydzału Elektrotechk Iformatyk Poltechk Lubelskej. Udostępee studetom tej prezetacj e zwala ch z koeczośc sporządzaa własych otatek z wykładów a też e zastępuje samodzelego studowaa obowązujących podręczków. Tym samym zawartość ejszej prezetacj w szczególośc e może być traktowaa jako zakres materału obowązujący a egzame. Na egzame obowązujący jest zakres materału faktycze wyłożoy podczas wykładu oraz zawarty w odpowadających mu fragmetach podręczków podaych w wykaze lteratury do wykładu. Zjazd 4, wykład 7, 8 3
4 Tematyka wykładu Elmacja błędów ubych Opracowywae wyków metodą ajmejszych kwadratów Błędy w pomarach pośredch Nepewość pomaru w pomarach pośredch Zjazd 4, wykład 7, 8 4
5 Elmacja błędów ubych Błąd uby (błąd admery, pomyłka) epoprawego wykoaa pomaru. Możlwe przyczyy błędów ubych (przykładowe): - użyce uszkodzoego, esprawego przyrządu, błąd wykający z - błęde odczytae wskazaa (p. pomyloy zakres przyrządu), -źle połączoy układ pomarowy, - sle zakłócee tp. Wyk pomarów obarczoe błędem ubym e powy być brae pod uwagę, ależy je usuwać ze zboru daych. Możlwość taką daje statystycza obróbka wyków pomarów. Zjazd 4, wykład 7, 8 5
6 Elmacja błędów ubych aaloga strzelecka Błąd systematyczy decyduje o dokładośc Błąd przypadkowy decyduje o precyzj Pomary obarczoe błędem ubym ależy usuwać ze zboru daych Zjazd 4, wykład 7, 8 6
7 Elmacja błędów ubych rozkład ormaly Cetrale Twerdzee Gracze uzasada stosowae do aalzy daych eksperymetalych właścwośc rozkładu ormalego. Fukcja gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego: f ( ) ep σ 2π ( µ ) 2 2σ 2 Dla rozkładu ormalego, prawdopodobeństwo tego, że wartość zmeej losowej zajdze sę w przedzale: Z tego przedzału korzystamy w praktyce ajczęścej od µ - σ do µ + σ jest rówe 68,26 %, od µ - 2σ do µ + 2σ jest rówe 95,46 %, od µ - 3σ do µ + 3σ jest rówe 99,74 %. Zjazd 4, wykład 7, 8 7
8 Elmacja błędów ubych przedzał 3 sgmowy ( µ 3σ < < µ + 3σ ) 99.74% Pr Wosek: ależy wyzaczyć (estymować) parametry rozkładu a podstawe daych z eksperymetu pomarowego wyzaczyć przedzał trzy sgmowy. Zjazd 4, wykład 7, 8 8
9 Elmacja błędów ubych estymatory µ σ Najlepszym estymatorem wartośc oczekwaej µ dla populacj, wyzaczaym a podstawe - elemetowej próby, 2,..., jest wartośćśreda : Najlepszym estymatorem odchylea stadardowego σ populacj jest odchylee stadardowe z próby s: dla s ( ) ( ) 2 Zjazd 4, wykład 7, 8 9
10 Elmacja błędów ubych przedzał 3 s ( 3s < < + 3s) 99.74% Pr Wosek: mej ż 3 pomary a 000 wykoaych może leżeć poza przedzałem o szerokośc ± 3s wokół wartośc średej! W praktyce możemy węc take wyk odrzucć jako obarczoe błędem ubym. Zjazd 4, wykład 7, 8 0
11 Kolejość postępowaa: lub (wygodej): Elmacja błędów ubych postępowae -wykoujemy serę pomarów, otrzymujemy wyk, 2,..., -oblczamy wartość średą (estymujemy wartość oczekwaą µ), -oblczamy odchylee stadardowe z próby s (estymujemy σ), -oblczamy ace przedzału ± 3s (trzy sgma), -sprawdzamy, czy wszystke wyk meszczą sę w przedzale: 3 s < < + 3s < 3 s, czyl : 3s > 0 -odrzucamy wyk które e meszczą sę w przedzale ± 3s, -powtarzamy procedurę od początku, aż wszystke wyk będą sę meścły w przedzale ± 3s. Zjazd 4, wykład 7, 8
12 Elmacja błędów ubych przykład Ecel wykoujemy serę p. 3 pomarów, zapsujemy wyk, 2,... 3 do tabel Oblczamy wartość średą Zjazd 4, wykład 7, 8 2
13 Elmacja błędów ubych przykład c.d. oblczamy odchylee stadardowe z próby s oblczamy 3s Zjazd 4, wykład 7, 8 3
14 Elmacja błędów ubych przykład c.d. Oblczamy Oblczamy 3s odrzucamy wyk który e meśc sę w przedzale ± 3s, Zjazd 4, wykład 7, 8 4
15 Elmacja błędów ubych przykład c.d. Poowe oblczamy Poowe oblczamy 3 s Poowe sprawdzamy, wszystke wyk meszczą sę w przedzale ± 3s, Zjazd 4, wykład 7, 8 5
16 Opracowywae wyków metodą ajmejszych kwadratów Metoda ajmejszych kwadratów (ag. LMS Least Mea Squares) umożlwa aaltycze wyzaczee współczyków fukcj aproksymującej dae dośwadczale, zapewając uzyskae mmum sumy kwadratów błędów tej aproksymacj. Zastosowae: wyzaczamy dośwadczale zależość fukcyją pomędzy dwoma welkoścam yf() wykoując serę pomarów współrzędych puktów (, y )... (, y )... (, y ) reprezetujących poszukwaą zależość. W praktyce ajczęstszym przypadkem jest wyzaczae współczyków l prostej ya+b. Zjazd 4, wykład 7, 8 6
17 Aproksymacja lą prostą w warukach dealych W warukach dealych (brak błędów) wszystke wyk leżą a l prostej ya+b. Do wyzaczea współczyków a b tej l prostej wystarczą wybrae dowole dwa pukty pomarowe! Zjazd 4, wykład 7, 8 7
18 Aproksymacja lą prostą w warukach dealych W warukach dealych dwa pukty pomarowe (, y ), ( 2, y 2 ), umożlwają ułożee układu dwóch rówań: y y 2 a a 2 + b + b Odejmujemy rówaa od sebe wyzaczamy a astępe b. Rozwązaem układu dwóch rówań są współczyk a b l prostej aproksymującej pukty pomarowe: a b y y 2 2 y a Zjazd 4, wykład 7, 8 8
19 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa Metoda acągętej c (metoda a oko ) W rzeczywstych pomarach występują błędy, co uemożlwa przeprowadzee l prostej przez wszystke pukty pomarowe. Moża przeprowadzć lę leżącą ajblżej wszystkch puktów metodą a oko z jej dwóch puktów wyzaczyć a b. Zjazd 4, wykład 7, 8 9 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa
20 Problemy w Metodze acągętej c W metodze acągętej c problemem jest jedozacze wykreślee ajlepszej prostej aproksymującej, gdyż brak jest jedozaczego kryterum. Każdy eksperymetator wykreśl z tych samych daych ą prostą! Zjazd 4, wykład 7, 8 20
21 Zasada metody ajmejszych kwadratów Metoda ajmejszych kwadratów jest jedozacza. Na podstawe puktów pomarowych (, y )... (, y )... (, y ) umożlwa wyzaczee współczyków a b fukcj ya+b aproksymującej dae dośwadczale, zapewając uzyskae mmum sumy kwadratów błędów tej aproksymacj. Zjazd 4, wykład 7, 8 2
22 Oblczea metodą ajmejszych kwadratów Błąd aproksymacj -tym pukce (, y ) wyos: y ( a b) y' y + Oblczamy sumę kwadratów błędów dla wszystkch puktów: 2 [ ( )] 2 y a + b Otrzymalśmy fukcję dwóch zmeych a, b ze współczykam (, y ) będącym wykam pomarów. Szukamy a b dla których występuje mmum tej fukcj: 2 m Zjazd 4, wykład 7, 8 22
23 Zjazd 4, wykład 7, 8 23 Oblczea metodą ajmejszych kwadratów Otrzymay układ dwóch rówań ależy rozwązać względem a b. Wyzaczae mmum fukcj polega a przyrówau do zera pochodych cząstkowych względem a b: 0 b 0 a 2 2
24 Zjazd 4, wykład 7, 8 24 Końcowe wzory dla metody ajmejszych kwadratów Po przekształceach otrzymujemy wzory a oblczee a b : a y b 2 2 a y y Wosek: współczyk a b są jedozacze określoe przez współrzęde puktów pomarowych (, y )... (, y )... (, y ).
25 Przykładowe zastosowae metody ajmejszych kwadratów Skalowae trasformatora powetrzego do pomaru wartośc maksymalej prądu magesującego I ma w aparace Epstea. E2 Tr śr 4 f M D I ma Trasformator powetrzy jest przetworkem maksymalej wartośc prądu I ma a wartość średą apęca dukowaego E 2śr. Zjazd 4, wykład 7, 8 25
26 Wyzaczae charakterystyk trasformatora powetrzego Zadae polega a wykoau ser pomarów I ma E 2śr, wyzaczeu lowej charakterystyk przetwarzaa trasformatora powetrzego oblczeu jego dukcyjośc wzajemej M D. U 2śr R + 2Tr R a + Ima 4f RV 4f RV 2Tr M D Zjazd 4, wykład 7, 8 26
27 Ecel -wyzaczae charakterystyk Wyk ser pomarów I ma U 2śr wprowadzamy do arkusza Ecel geerujemy wykres. Zjazd 4, wykład 7, 8 27
28 Ecel la tredu Do wykresu dodajemy lę tredu, wyberamy typ tredu lowy. Zjazd 4, wykład 7, 8 28
29 Ecel la tredu Formatujemy lę tredu, zazaczamy wyśwetlae rówaa. Zjazd 4, wykład 7, 8 29
30 Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Ecel la tredu Z rówaa l tredu odczytujemy współczyk prostej aproksymującej. Zjazd 4, wykład 7, 8 30 Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!!
31 Ecel Pomoc do hasła la tredu Z rówaa l tredu odczytujemy współczyk prostej aproksymującej. Zjazd 4, wykład 7, 8 3
32 Metoda ajmejszych kwadratów dla ych fukcj Problem: jak zastosować metodę ajmejszych kwadratów do charakterystyk yf() o kształce ym ż la prosta? Możlwe rozwązae: przekształcć zależość yf() tak, aby sprowadzć ją do rówaa l prostej. Przykład: rozdzał strat w żelaze metodą częstotlwoścową za pomocą aparatu Epstea. Zjazd 4, wykład 7, 8 32
33 Przykład - rozdzał strat metodą częstotlwoścową Straty w żelaze P Fe są sumą strat hsterezowych P h strat wroprądowych P w. Metoda częstotlwoścowa rozdzału strat wykorzystuje fakt, że straty hsterezowe P h są wprost proporcjoale do częstotlwośc f, a straty wroprądowe P w zależą od kwadratu częstotlwośc f 2 : P Fe Ph + Pw k f + k2 f 2 Rówe powyższe dzelmy obustroe przez częstotlwość f, otrzymujemy lową fukcję częstotlwośc: P Fe k k f + 2 f Zjazd 4, wykład 7, 8 33
34 Przykład - rozdzał strat metodą częstotlwoścową c.d. Sporządzamy wykres P Fe / f w fukcj częstotlwośc f astępe aproksymujemy go lą prostą metodą ajmejszych kwadratów. Odczytujemy współczyk k b, k 2 a. Oblczamy straty: P h k f P w k 2 f f Zjazd 4, wykład 7, 8 34
35 Ecel - rozdzał strat metodą częstotlwoścową Zjazd 4, wykład 7, 8 35
36 Pomary pośrede rówae pomaru Pomar pośred polega a oblczeu wartośc welkośc merzoej y a podstawe wyzaczoych w pomarach bezpośredch wartośc welkośc, : (... ) y f, 2,... Rówae powyższe azywamy rówaem pomaru, a fukcję f azywamy fukcją pomarową. Rówae pomaru jest matematyczym modelem pomaru. Zjazd 4, wykład 7, 8 36
37 Pomary pośrede model pomaru Problem: jak błędy welkośc merzoych bezpośredo przeoszą sę a welkość y merzoą pośredo? Zjazd 4, wykład 7, 8 37
38 Pomary pośrede błędy Wosek: ależy błędy welkośc merzoych bezpośredo przelczyć a błąd y welkośc merzoej pośredo. Zjazd 4, wykład 7, 8 38
39 Błędy w pomarach pośredch Przykład dla fukcj jedej zmeej y f ( + ) f ( ) W praktyce błędy w pomarach pośredch wyzaczamy metodą wykorzystującą pojęce różczk zupełej fukcj. Zjazd 4, wykład 7, 8 39
40 Błędy w pomarach pośredch podstawy matematycze Różczką zupełą fukcj welu zmeych yf (, ) azywamy sumę postac: f f f y Iterpretacja geometrycza dla fukcj jedej zmeej yf (): y df d df tgα d f, przy czym: gdze kąt α jest achyleem styczej do fukcj yf () Zjazd 4, wykład 7, 8 40
41 Podstawy matematycze różczka zupeła y df d df d tgα Zjazd 4, wykład 7, 8 4
42 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa Błędy w pomarach pośredch dwa przypadk Wyzaczae błędów systematyczych w pomarach pośredch ma mejsce w sytuacj, gdy zamy błędy systematycze welkośc, zmerzoych bezpośredo chcemy wyzaczyć błąd systematyczy welkośc merzoej pośredo, p. w celu wyzaczea poprawk. Wyzaczae błędów aczych w pomarach pośredch ma mejsce w sytuacj, gdy zamy błędy acze welkośc, zmerzoych bezpośredo (p. z klasy merków) chcemy wyzaczyć błąd aczy welkośc merzoej pośredo. Zjazd 4, wykład 7, 8 42 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa
43 Błędy systematycze w pomarach pośredch Błąd systematyczy w pomarach pośredch lczymy metodą różczk zupełej a podstawe błędów systematyczych welkośc zmerzoych bezpośredo, z uwzględeem zaków pochodej zaków błędów: f S y S gdze: S y jest błędem systematyczym w pomarze pośredm, f są pochodym cząstkowym fukcj pomarowej, S są błędam systematyczym w pomarach bezpośredch. Zjazd 4, wykład 7, 8 43
44 Błędy acze w pomarach pośredch Błąd aczy w pomarach pośredch lczymy metodą różczk zupełej a podstawe błędów aczych welkośc zmerzoych bezpośredo, bez uwzględaa zaków (sumując moduły przewdujemy ajbardzej ekorzysty przypadek): f y y f gdze: jest błędem aczym w pomarze pośredm, są pochodym cząstkowym fukcj pomarowej, są błędam aczym w pomarach bezpośredch. Zjazd 4, wykład 7, 8 44
45 Błędy acze w pomarach pośredch - przykład Oblczmy błąd aczy w pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R w czase t. Rówae pomaru ma postać: Pochode cząstkowe: A I 2I Rt R A 2 I Błąd aczy pomaru eerg A : A I 2 Rt t t Zak możea zbęde, tylko dla zwększea czytelośc lczea pochodej A 2 I R A 2IRt I + I 2 t R + I 2 R t Zjazd 4, wykład 7, 8 45
46 Błędy acze względe w pomarach pośredch przykład Zazwyczaj ostatecze lczymy błąd aczy względy. Przy pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R będze mał o ma postać: Po przekształceach otrzymamy: δ A A A 2 I A Rt δ A 2 I I + R R + t t Czyl: δ A 2δ I + δ R + δ t Zjazd 4, wykład 7, 8 46
47 Błędy acze względe w pomarach pośredch ogóle Uogólając, moża wykazać, że jeśl rówae pomaru jest w postac loczyu potęg welkośc merzoych (bardzo częsty przypadek) : y k a a 2 a a 4 to błąd aczy pomaru pośredego moża polczyć jako: δ y a δ + a δ + a δ a δ Zjazd 4, wykład 7, 8 47
48 Przykład c.d. pomar eerg A aczej Przy pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R w czase t rówae pomaru ma postać: A 2 I R t A węc możemy od razu zapsać wzór końcowy a względy błąd pomaru pośredego: δ A 2 δ I + δ R + δ t czyl: δ A 2δ I + δ R + δ t Zjazd 4, wykład 7, 8 48
49 Błędy acze w pomarach pośredch - aczej Sumując moduły błędów, bez uwzględaa zaków, przewdujemy ajbardzej ekorzysty przypadek otrzymujemy zawyżoe wartośc. Bardzej reale wyk otrzymujemy stosując sumowae geometrycze (perwastek z sumy kwadratów): y f 2 Zjazd 4, wykład 7, 8 49
50 Wyzaczae epewośc w pomarach pośredch Przy pomarze pośredm welkośc y wyzaczaej a podstawe wartośc welkośc, otrzymaych w pomarach bezpośredch, według rówaa pomaru: (... ) y f, 2,... oblczamy epewość pomaru modyfkując wyzaczae epewośc łączej (całkowtej) u c w kroku trzecm. Zjazd 4, wykład 7, 8 50
51 Wyzaczae epewośc w 5 krokach - przypomee Procedura wyzaczaa epewośc zawera sę w 5 krokach:. wyzaczae epewośc u metodą typu A, 2. wyzaczae epewośc u j metodą typu B, 3. wyzaczae epewośc łączej u c, 4. wyzaczae epewośc rozszerzoej U, 5. zaokrąglae wyków oblczeń podawae wyku końcowego. Zjazd 4, wykład 7, 8 5
52 Krok 3 - wyzaczae epewośc łączej u c W kroku trzecm wyzaczaa jest epewośc łącza (całkowta) u c według metody perwastek z sumy kwadratów : u c f 2 u 2 ( ) jeśl welkośc e są ze sobą skorelowae (są od sebe ezależe). Jeśl welkośc są ze sobą skorelowae to ależy w sumowau uwzględć odpowede kowaracje. Zjazd 4, wykład 7, 8 52
53 Zjazd 4, wykład 7, 8 53 Krok 3 uwzględee kowaracj Kowarację u( j ) lczymy według wzoru: ( ) ( ) + + j j j c u f f u f u Jeśl welkośc są ze sobą skorelowae to ależy w sumowau uwzględć odpowede kowaracje u( j ): ( ) ( ) ( ) ( ) k j jk k j u
54 Podsumowae.Statystycza obróbka ser wyków umożlwa elmację błędów ubych 2.Aproksymacja daych eksperymetalych metodą acągętej c e jest jedozacza 3.Jedozaczą aproksymację zapewa metoda ajmejszych kwadratów 4.Najczęścej stosujemy metodę ajmejszych kwadratów do aproksymacj lą prostą 5.Metodę ajmejszych kwadratów wykorzystuje proam Ecel do wyzaczaa l tredu 6.Błędy epewośc w pomarach pośredch wyzacza sę metodą różczk zupełej a podstawe rówaa pomaru Zjazd 4, wykład 7, 8 54
55 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Zjazd 4, wykład 7, 8 55
Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Marzec 07 PODRĘCZNIKI Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 999
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INSTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 2016
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 06 CEL ĆWICZEŃ. Obserwacja zjawsk efektów fzyczych. Doskoalee umejętośc
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD NAJPROSTSZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Michał Januszczyk Zakład Fizyki Medycznej, Wydział Fizyki UAM
PRZEGLĄD NAJPROTZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Mchał Jauszczyk Zakład Fzyk Medyczej, Wydzał Fzyk UAM. Każdy zbór cał lub zjawsk fzyczych ma wele cech merzalych mogących staowć zasadę klasyfkacj..
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoZastosowanie metody najmniejszych kwadratów do pomiaru częstotliwości średniej sygnałów o małej stromości zboczy w obecności zakłóceń
Zasosowae meody ajmejszych kwadraów do pomaru częsolwośc średej sygałów o małej sromośc zboczy w obecośc zakłóceń Elgusz PAWŁOWSKI, Darusz ŚWISULSKI Podsawowe meody pomaru częsolwośc Zlczae okresów w zadaym
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU
Fzyka cała stałeo WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 1. Ops teoretyczy do ćwczea zameszczoy jest a stroe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomaroweo
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoPraktyczna umiejętność opracowywania wyników, teoria niepewności pomiaru
Praktycza umejętość opracowywaa wyków, teora epewośc pomaru Dostępa lteratura: 1. http://physcs.st/gov/ucertaty. Wyrażae Nepewośc Pomaru, Przewodk, Warszawa, Główy Urząd Mar, 1999 3. H. Szydłowsk, Pracowa
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ
Ćwczee 56 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ 56.. Wadomośc ogóle Rozpatrzmy wąską skolmowaą wązkę prome γ o atężeu I 0, padającą a płytkę substacj o grubośc x (rys. 56.). Natężee promeowaa
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru. Andrzej Kubiaczyk Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 0 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoAnaliza danych pomiarowych
Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII POMIARÓW
Sps treśc POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...8 Ocea epewośc pomarowej typu A...8
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoKALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA
KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoCentralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych
Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów Definicje
Teora pomarów Aalza epewośc pomarów Defce Dr hab. ż. Paweł Mada www.pmada.zt.ed.pl Podstawowa defca Nepewość pomar to parametr zwązay z wykem pomar, charakteryzący rozrzt wartośc, który w zasadoy sposób
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej
Rachek prawdopodobeńswa saysyka maemaycza Esymacja przedzałowa paramerów srkralych zborowośc geeralej Częso zachodz syacja, że koecze jes zbadae ogół poplacj pod pewym kąem p. średa oce z pewego przedmo.
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoMiędzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements-Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)
Mędzyarodowa Norma Ocey Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets-Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU http://physcs.st./gov/ucertaty Wyrażae Nepewośc Pomaru.
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoEstymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.
Botatytyka, 018/019 dla Fzyk Medyczej, tuda magterke etymacja etymacja średej puktowa przedzał ufośc średej rozkładu ormalego etymacja puktowa przedzałowa waracj rozkładu ormalego etymacja parametrów rozkładu
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.
Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoProjekt 3 Analiza masowa
Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoOznaczanie tiosiarczanu metodą miareczkowania kulometrycznego
Ozaczae tosarczau metodą mareczkowaa kulometryczego Metoda: Mareczkowae kulometrycze Cel ćwczea: Celem ćwczea jest kulometrycze ozaczee tosarczau. Odczyk KH PO 4, roztwór maoway o stężeu c = /5 M Na HPO
Bardziej szczegółowoLaboratorium z Biomechatroniki Ćwiczenie 3 Wyznaczanie położenia środka masy ciała człowieka za pomocą dźwigni jednostronnej
Wydzał: Mechaczy Techologczy Keruek: Grupa dzekańska: Semestr: perwszy Dzeń laboratorum: Godza: Laboratorum z Bomechatrok Ćwczee 3 Wyzaczae położea środka masy cała człoweka za pomocą dźwg jedostroej 1.
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych przedziały ufności
07-- Probablstyka statystyka Statystycza aalza daych przedzały ufośc Wykład 7 dr ż. Barbara Swatowska Wstęp Podstawowe cele aalzy zborów daych Uogóloy ops poszczególych cech/zeych statystyka opsowa; aalza
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH
Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska
Bardziej szczegółowo