Praktyczna umiejętność opracowywania wyników, teoria niepewności pomiaru
|
|
- Emilia Łukasik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Praktycza umejętość opracowywaa wyków, teora epewośc pomaru Dostępa lteratura: 1. Wyrażae Nepewośc Pomaru, Przewodk, Warszawa, Główy Urząd Mar, H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa A. Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str A. Zęba, Pracowa Fzycza, WFTJ, Skrypt Uczelay SU 164, Kraków Pomar Pomar welkośc fzyczej polega a porówau jej z welkoścą fzyczą tego samego typu, którą przyjęto za jedość. POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH BEZPOŚREDNIE wartość daej welkośc jest określaa wprost za pomocą przyrządu, merzącego tę właśe welkość. Przykładowo: wymary cała moża merzyć bezpośredo za pomocą ljk, suwmark, śruby mkrometryczej; masę cała za pomocą wag; atężee prądu za pomocą amperomerza, td. tp. POŚREDNIE wartość badaej welkośc określa sę a podstawe rezultatów bezpośredch pomarów ej welkośc fzyczej, które z badaą welkoścą są zwązae określoą zależoścą fukcjoalą. Przykładowo: średą gęstość cała moża oblczyć a podstawe bezpośredch pomarów masy objętośc tego cała; w przypadku, gdy zamy z bezpośredego pomaru atężee prądu w przewodku oraz apęce a jego końcach, jego opór elektryczy moża wyzaczyć w oparcu o prawo Ohma. Błędem pomaru azywamy rozbeżość mędzy wykem pomaru a rzeczywstą wartoścą merzoej welkośc. Źródłem rozbeżośc medzy wartoścą merzoą a rzeczywstą (prawdzwą) są edoskoałośc: - osoby wykoującej pomar - przyrządów pomarowych - obektów merzoych. Gdy udoskoalamy dośwadczee maleją rozbeżośc maleje błąd pomaru. str. 1
2 . Nepewość a błąd pomaru, podzał błędów wartość prawdzwa - rzeczywsta wartość merzoej welkośc, która zazwyczaj pozostaje ezaa; błąd pomaru - odstępstwo wyku pomaru od wartośc prawdzwej, której a ogół e zamy; wartość średa - estymator stosowaa jako przyblżee wartośc rzeczywstej za pomocą estymatora, którym zwykle jest średa, o le zjawsko jest opsywae rozkładem Gaussa lub pokrewym (w ych przypadkach sprawy wymagają głębszej aalzy) błąd maksymaly - wartość maksymalego odstępstwa wyku pomaru od welkośc poprawej, gwaratowaa przez zastosowae określoej metody pomarowej: p. merk merzy apęce z błędem maksymalym 1 mv, co ozacza, że wartość prawdzwa od pokazywaej przez merk może sę różć co ajwyżej o ±1 mv; BŁĄD błąd systematyczy (metodyczy, aparaturowy) przy welokrotych pomarach jedej tej samej welkośc pozostaje stały lub zmea sę według określoej reguły. Jest to błąd ajczęścej wykający z zastosowaej metody pomaru, zwykle zmeający wyk pomaru "w jeda stroę". Źródłem błędu systematyczego są: skale merków, euśwadomoy wpływ czyków zewętrzych a wartośc welkośc merzoej (p. lepkość), ewłaścwy sposób odczytu lub pomaru, przyblżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczaa welkośc złożoej; błąd przypadkowy (statystyczy) błąd pomaru wykający z ogółu wpływów środowska, których często e moża zdetyfkować czy wyelmować, p. właścwośc zastosowaego przyrządu pomarowego ych przyczy; Aby wartość błędu statystyczego charakteryzowała faktycze przebeg pomaru, mus być oa wększa ż błąd maksymaly. Iym słowy, pomar mus dawać róże wyk jeśl każdy pomar daje w gracach błędu maksymalego te sam wyk, e ma sesu stosowae aalzy statystyczej, szczegóły zjawska są przed am ukryte przez bezwładość układu pomarowego, podobe zwększae lczby pomarów e popraw sytuacj. Zwykle jako wartość błędu statystyczego przyjmuje sę odchylee stadardowe, co jest uzasadoe wyłącze, jeśl wyk pomarów mają statystyczy rozkład ormaly (Gaussa) lub y, możlwy do zastosowaa (p. rozkład Studeta); błąd gruby (admarowy) pomyłka: ma mejsce, gdy któryś z wyków pomaru odbega zacze od pozostałych, możemy przypuszczać, że zaszło jakeś zdarzee, które spowodowało zaburzea eksperymetu. Wyk take często są odrzucae podczas aalzy statystyczej. Błędy grube wykają ajczęścej z jakegoś poważego przeoczea, pomyłk p. złego odczytaa skal merka, z pomylea mejsca zapsu przecka podczas przetwarzaa pomarów, zmerzee e tego obektu tp. odchylee stadardowe estymator przyblżający wartość błędu statystyczego adekwaty w przypadku odpowedej lczośc próby pomarowej (p. odchylee stadardowe dla rozkładu Gaussa moża a ogół stosować, o le lczość próby jest wększa lub rówa 10) str.
3 według: Potr Jaśkewcz, Paweł Zaberowsk, Adrzej Kubaczyk. Poltechka Warszawska, Wydzał Fzyk, Laboratorum Fzyk I P, ZASADY OPRACOWYWANIA WYNIKÓW POMIARÓW BŁĄD błąd bezwzględy wartość błędu lczoa adekwatą do daej sytuacj metodą (jako błąd maksymaly lub jako błąd statystyczy) x x, x 0 gdze x - wartość zmerzoa x 0 - wartość rzeczywsta błąd względy wartość błędu podaa jako ułamek lub procet merzoej welkośc x. W ektórych przypadkach dzałae przyrządu x 0 pomarowego (p. pomar eerg elektryczej) wymusza take określee błędu maksymalego, to zaczy, dla tych metod pomaru błąd maksymaly pomaru jest podaway jako błąd względy. Błąd względy charakteryzuje użytą metodę pomaru, a w mejszym stopu sam wyk pomaru 3. Prawdłowy zaps wyków pojęce cyfr zaczących: Cyfram zaczącym są cyfry od 1 do 9 oraz zero, jeżel zero: (I) zajduje sę mędzy dwema cyfram, które zeram e są (p. 1.03) (II) zajduje sę a dowolym mejscu po cyfrze e będącej zerem w lczbe przedstawoej w postac lczby ecałkowtej (p..30) Przykładowo: lczba , czyl 1000 ma jedą cyfrę zaczącą (1). Gdybyśmy chcel zazaczyć, że ma oa trzy cyfry zaczące, ależałoby zapsać ją w postac Z tego względu wyk będący ułamkem dzesętym ależy zapsywać w postac lczby możoej przez 10 w odpowedej potędze, p = Wartość błędu zapsujemy z dokładoścą do dwóch cyfr zaczących. Należy pamętać, że błąd zaokrąglamy ZAWSZE W GÓRĘ! str. 3
4 Wartość ajbardzej prawdopodobą (a przykład średą) zapsujemy z dokładoścą wyzaczoą przez poprawy zaps wartośc błędu: ostata cyfra zacząca wyku mus zajdować sę a tym samym mejscu dzesętym, co w błędze. Wartość ajbardzej prawdopodobą zaokrągla sę zgode ze stadardowym metodam zaokrąglaa (ostatą cyfrę zaczącą pozostawamy bez zma, jeśl koleja, pomęta ma wartość mejszą ż 5, lub zwększamy o 1, jeśl stojąca po ej cyfra pomęta ma wartość wększą lub rówą 5). Przykłady: 1) r = 1.163cm Δr = cm prawdłowy zaps pomaru powe meć postać: r = 1.17 ± [cm] ) U =.1431V ΔU = V wówczas zapsujemy: U =.14 ± 0.10 [V] 3) m = 86573g Δm = 1000g w takm przypadku zaps powe wyglądać astępująco: m = ± 1000 [g] lub m = (8.66 ± 0.10) 10 4 g lub m = 86.6 ± 1.0 [kg] 4) t = s Δt = 0.81s pamętając o tym, że wartość błędu zaokrąglamy zawsze do góry zaps przyjme postać: t = 3.09 ± 0.9 [s] 5) x = 4.831m Δx = 10m w tym przypadku błąd jest wększy ż wartość ajbardzej prawdopodoba. Jeśl spotykamy sę z taką sytuacją, wówczas przyjmujemy, że wartość ajbardzej prawdopodoba wyos zero. x = 0 ± 10 [m] 4. Nepewość pomaru Nepewość pomaru jest parametrem zwązaym z rezultatem pomaru. Charakteryzuje rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. Nepewość u (ag. ucertaty) posada wymar, tak sam jak welkość merzoa. Symbolka: u lub x) lub stężee NaCl). Nepewość względa u r (x) to stosuek epewośc (bezwzględej) do welkośc merzoej może być wyrażoa w % (bezwymarowa): x) u r ( x) x str. 4
5 typy ocey epewośc TYP A Dotyczy sytuacj gdy epewośc przypadkowe są duże w porówau z systematyczym. Koecza jest odpowedo duża lczba powtórzeń pomaru. Do tego typu zalczają sę metody wykorzystujące statystyczą aalzę ser pomarów ma zastosowae do błędów przypadkowych. W wększośc dośwadczeń stwerdza sę, że rozkład częstośc występowaa epewośc przypadkowych moża opsać fukcją (x) w postac: 1 ( x x 0) ( x) exp gdze x 0 jest wartoścą ajbardzej prawdopodobą (p. średa arytmetycza), jest odchyleem stadardowym, jest waracją rozkładu Fukcja rozkładu (x), wyrażoa wzorem opsuje rozkład ormaly, zway rozkładem Gaussa. w przedzale x 0 x x0 zawera sę 68,% (/3) w przedzale x x x zawera sę 95,4% x x0 w przedzale x 3 zawera sę 99,7% wszystkch wyków Fukcja (x) zależy od dwóch parametrów x 0, a także speła waruek ormalzacyjy: ( x) dx 1 Waruek te wyka z właścwośc fukcj określa, że prawdopodobeństwo zalezea dowolego wyku pomaru x w przedzale od - do + jest rówe pewośc, czyl 1. TYP B Bazuje a aukowym osądze badacza względem wszystkch formacj o pomarze źródłach jego epewośc. Typ B stosoway jest, gdy statystycza aalza jest emożlwa. Może odosć sę do błędu systematyczego lub do jedego wyku pomaru (epewość maksymala). O welkość epewośc systematyczej decydują dwe składowe: 1) użyty w pomarach przyrząd jego klasa, dzałka elemetara, dokładość odczytu oraz ) obserwator epewość eksperymetatora zwązaa z czyoścam pomarowym. Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykającej ze skończoej dokładośc przyrządu. W przypadku epewośc systematyczych zawsze zakładamy, że przyczyk pochodzące od przyrządów obserwatora e kompesują sę, ale dodają do sebe z jedakowym zakam. Wobec tego całkowta epewość systematycza pomaru może być wyrażoa w postac sumy: x d x k x ox ex gdze deksy określają odpowede przyczyk od epewośc pomaru (d dzałka elemetara, k klasa przyrządu, o odczyt, e eksperymetator). Wyzaczoa w te sposób sumarycza epewość x azywa sę maksymalą epewoścą systematyczą. Należy ją terpretować jako połowę szerokośc przedzału od x-x do x+x, który a pewo zawera wartość rzeczywstą. Dla prostokątego rozkładu fukcj (x), epewość stadardowa x) zwązaa jest z maksymalą epewoścą systematyczą x, oszacowaą metodą typu B, wzorem (3): x x) 3 Przykład Wykoao pomary atężea prądu płyącego przez uzwojee busol styczych. Pomary próbe wykazały ezaczy rozrzut wyków: I 1 I I 3 0,80 A. Ozacza to przewagę epewośc systematyczych pomaru ad epewoścam przypadkowym. Użyty amperomerz był klasy 0,5 o zakrese 1 A ajmejszej dzałce 0,01 A. Według ocey eksperymetatora wahaa wskazówk meścły sę w gracach jedej dzałk. Sumarycza maksymala epewość systematycza pomary wyos l=0,005a+0,01a+0,005a=0,0 A. Względa epewość systematycza pomaru: 1 [%]=3%, a wyk końcowy zapsujemy w postac: I=(0,800,0) A lub I=0,80() A. Nepewość stadardowa średej jest rówa: ( x x) x) ( 1) Pomar o wększym charakteryzuje sę wększym rozrzutem wyków wokół wartośc średej czyl mejszą precyzją. Przykład Wykoao 10 pomarów długośc śruby przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao astępujące wyk: 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Zgode ze wzorem 1 x x wartość średa długośc l 35, 69 mm, atomast epewość 1 stadardowa l) ma wartość l)=0,053 mm. str. 5
6 Kryterum odrzucaa błędów grubych (3) str. 6
7 Nepewość welkośc złożoej prawo przeoszea epewośc dy y) x) dx metoda różczk zupełej Dla welkośc złożoej y f ( x1, x,... x) gdy epewośc maksymale x1, x,... x są małe w porówau z wartoścam zmeych x 1 x,... x epewość maksymalą welkośc y wylczamy praw rachuku różczkowego: y y y y x1 x... x x x x 1 Metodę różczk zupełej stosujemy w przypadku, kedy epewośc maksymale przewyższają epewośc przypadkowe, lub kedy mamy jedye jede wyk e mamy możlwośc powtarzaa pomarów. Nepewość stadardową welkośc złożoej y f x, x,... x ) oblczamy z tzw. prawa przeoszea ( 1 epewośc jako sumę geometryczą różczek cząstkowych: y y y uc ( y) ux1 ux... ux x1 x x uc ( y) ucr ( y) y Przykład Wykoao 10 pomarów długośc wałka stalowego przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao wyk 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Wartość średa wyos l 35, 69 mm; l)=0,053 mm gdze ( l l). Wyzaczamy l) ( 1) objętość wałka. Jego średcę merzoo 0 razy uzyskao wyk d 4,89() mm oraz d =0,4%. Objętość wyzaczamy z wzoru: ( d) V l 669, 93 mm 3. Nepewość 4 stadardowa będze rówa: u c ( V ) V d) d V l) l 3 30, , ,57 6mm V d l d) d ,93 670(6) mm (670 6) mm ; V =0,9% l) Pochoda logarytmcza Jeżel jakaś zależość fukcyja daa jest wzorem: f x = ax 1 m x bx k l 3 x 4 po zlogarytmowau obustroym otrzymujemy: l f x = l ax 1 m x bx k = l(ab 1 x m l 1 x x k 3 x l 4 ) = 3 x 4 = l a + l b 1 + l x m 1 + l x + l x k 3 + l x l 4 = = l a + ( l b) + m l x 1 + l x + ( k l x 3 ) + ( l l x 4 ), poeważ: l a b = l a + l b l a b = b l a, bo: l a b = l a a a a a = l a + l a + l a + l a + + l a = b l a Lczymy pochodą z logarytmu fukcj f(x): d l f d f = 1 f f skoro a b są stałym, to powyższa pochoda będze rówa: f f = f x x 1 + f x 1 x + f x x 3 + f x 3 x 4 4 Poszczególe pochode cząstkowe są rówe: f = m 1 x x 1 x 1 = m x 1 1 f = k 1 x x 3 x 3 = k x 3 ; 3 x 3 x 1 ; f = 1 x x x = x x f = l 1 x x 4 x 4 = l x 4 4 x 4 W takm przypadku epewość względa wartośc f będze wyosła: f f = m x 1 + x + k x 3 + l x x 1 x x 3 x Przykład: R = U I U = ( )V I = ( )A Nepewość oporu oblczoa metodą różczk zupełej: R = R R U + U I I = 1 I U + U I I = V 0.5V A A = 1.3Ω A Oblczamy epewość względą oporu metodą pochodej logarytmczej: ΔR R = ΔU U + ΔI I = = Wartość oporu wyos 18.5 Zatem epewość wyzaczea oporu ΔR wyese: = 1.3Ω str. 7
8 5. Metoda ajmejszych kwadratów Jeśl mamy pukty dośwadczale, które powy spełać zależość lową mamy wyzaczyć rówae prostej metodą ajmejszych kwadratów, wówczas szukamy takej prostej, od której odległośc wartośc eksperymetalych (w szczególośc kwadraty tych odległośc) będą ajmejsze. Szukamy zatem mmum fukcj będącej sumą kwadratów odległośc wartośc puktów eksperymetalych od tejże prostej: S( a, b) [ y 1 ( ax b)] m Ta fukcja ma mmum wtedy, gdy jej pochode cząstkowe po obu zmeych (a b) są rówe zeru: S 0, S 0 a b Lczymy pochodą fukcj S względem a b: S a = y (ax + b) x = 0 S b = y (ax + b) = 0 Mamy zatem układ rówań: y (ax + b) x = x y a x b x = 0 y (ax + b) = y a x b = 0 a x 1 a x 1 b x 1 b y 1 x y 1 Rozwązujemy go metodą wyzaczków: x y x y a = x = x y x y x x x x str. 8
9 b = x x y x y x x x = x y x y x x x Nepewośc pomarowe parametrów prostej wyoszą: y ( ax b) a), ) ( x ) 1 ( x 1 1 x 1 b) a) 6. Wykres Wykres jest grafczym przedstaweem wyków pomarów ależy sporządzać go w oparcu o astępujące zasady: 1. Ose a wykrese powy być opsae (jedostk, welkośc, możk). Zakres os powe być tak dobray, by pukty dośwadczale zajmowały możlwe całą przestrzeń przezaczoą a wykres 3. Pukty pomarowe powy być czytele zazaczoe róże zaczk dla różych pomarów (jeśl sporządzamy wykres porówawczy), zazaczamy wartośc błędów (epewośc) w postac wąsów w pozome poe. NIE ŁĄCZYMY PUNKTÓW EKSPERYMENTALNYCH LINIĄ ŁAMANĄ! 4. Jeśl zamy zależość teoretyczą, bądź potrafmy ją dopasować do uzyskaych wyków eksperymetalych wykreślamy krzywą (lub prostą) a tle aesoych wcześej puktów. Przykłady prawdłowo wykoaych wykresów wykoaych w programe Org będących prezetacją daych uzyskaych a zajęcach w laboratorum: str. 9
10 PODSUMOWANIE Każdy pomar laboratoryjy jest obarczoy epewoścą pomarową, którą eksperymetator mus określć zgode z pewym zasadam. Należy pamętać o zapsywau błędów maksymalych (dokładośc urządzeń merczych używaych w eksperymetach suwmarka, ljka, amperomerz tp.) W perwszej kolejośc ależy przeaalzować źródła błędów, pamętając, aby wyelmować wyk obarczoe błędem grubym (zacze odbegające od pozostałych daych z takm błędam moża spotkać sę w ćwczeu (jeśl przeoczy sę kroplę) lub w ćwczeu 3 (jeśl umke uwadze położee węzła fal akustyczej). W laboratorum studeckm błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe, te ostate ogrywają dużą rolę p. w ćwczeu 9, gdy merzy sę grubość płytk w różych mejscach za pomocą dokładego przyrządu (śruby mkrometryczej). Welokrote powtarzae pomarów, gdy domuje błąd systematyczy, e ma sesu. W takm przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomarów w tych samych warukach w celu sprawdzea powtarzalośc. str. 10
11 Gdy błąd przypadkowy domuje w eksperymece, ależy sprawdzć czy rozkład wyków może być opsay fukcją Gaussa czy też ależy spodzewać sę ego rozkładu. W tym celu dokoujemy welokrotego (p. 100 razy) pomaru w tych samych warukach, oblczamy średą warację rozkładu, rysujemy hstogram, etc. (a aszych zajęcach laboratoryjych e ma czasu a tak dokłade pomary ale musmy przyajmej klkakrote powtórzyć pomar) Jako marę epewośc stosujemy raczej epewość stadardową w przypadku, gdy błąd przypadkowy przewyższa błąd systematyczy lub epewość maksymalą, w przecwym przypadku. W przypadku welkośc złożoej, stosujemy prawo przeoszea błędu (w przypadku, gdy mamy do czyea z epewoścam przypadkowym) lub metodę różczk zupełej (w przypadku epewośc maksymalych lub meszaych). Ważym elemetem sprawozdaa z przebegu eksperymetu ( to e tylko w laboratorum studeckm) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgode z dobrym zasadam, pamętając o jedozaczym opse: jeżel zae są podstawy teoretycze badaego zjawska, a wykrese zameszczamy krzywą teoretyczą (la cągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (doberamy odpowede symbole aosmy epewośc eksperymetale). Ne łączymy lą łamaą puktów eksperymetalych. Możemy wcześej dokoać dopasowaa parametrów przebegu teoretyczego w oparcu o zae metody ftowaa. Zawsze, gdy to możlwe, dokoujemy learyzacj daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l(x), lub logy vs. logx, lub y vs. 1/x tp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresj lowej. str. 11
Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoMiędzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements-Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)
Mędzyarodowa Norma Ocey Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets-Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU http://physcs.st./gov/ucertaty Wyrażae Nepewośc Pomaru.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Marzec 07 PODRĘCZNIKI Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 999
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INSTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 2016
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 06 CEL ĆWICZEŃ. Obserwacja zjawsk efektów fzyczych. Doskoalee umejętośc
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD NAJPROSTSZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Michał Januszczyk Zakład Fizyki Medycznej, Wydział Fizyki UAM
PRZEGLĄD NAJPROTZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Mchał Jauszczyk Zakład Fzyk Medyczej, Wydzał Fzyk UAM. Każdy zbór cał lub zjawsk fzyczych ma wele cech merzalych mogących staowć zasadę klasyfkacj..
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru. Andrzej Kubiaczyk Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 0 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoKALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA
KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoAnaliza danych pomiarowych
Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoMETROLOGIA. Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki
METROLOGIA Dr ż. Elgusz PAWŁOWSKI Poltechka Lubelska Wydzał Elektrotechk Iformatyk Prezetacja do wykładu dla EINS Zjazd 4, wykład r 7, 8 Prawo autorske Nejsze materały podlegają ochroe zgode z Ustawą o
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII POMIARÓW
Sps treśc POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...8 Ocea epewośc pomarowej typu A...8
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoZe względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU
Fzyka cała stałeo WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 1. Ops teoretyczy do ćwczea zameszczoy jest a stroe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomaroweo
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoWykłady z fizyki FIZYKA II
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI Istytt Matematyk Fzyk Katedra Fzyk Wykłady z fzyk FIZYKA II dr Barbara Klmesz Poltechka Opolska Opole Uversty of Techology www.po.opole.pl
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoŚrednia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.
Statystyka Statystyka jest auką, która zajmuje sę zberaem daych ch aalzą. Praca statystyka polega główe a zebrau dużej lośc daych opsujących jakeś zjawsko ch aalze terpretacj. Ne będzemy zajmować sę oczywśce
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoGEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE
GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ
Ćwczee 56 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ 56.. Wadomośc ogóle Rozpatrzmy wąską skolmowaą wązkę prome γ o atężeu I 0, padającą a płytkę substacj o grubośc x (rys. 56.). Natężee promeowaa
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów Definicje
Teora pomarów Aalza epewośc pomarów Defce Dr hab. ż. Paweł Mada www.pmada.zt.ed.pl Podstawowa defca Nepewość pomar to parametr zwązay z wykem pomar, charakteryzący rozrzt wartośc, który w zasadoy sposób
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowoMETODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
Bardziej szczegółowoZastosowanie informatyki w chemii
Projekt p. Wzmocee potecjału dydaktyczego UMK w Toruu w dzedzach matematyczo-przyrodczych realzoway w ramach Poddzałaa 4.. Programu Operacyjego Kaptał Ludzk Zastosowae formatyk w chem Potr Szczepańsk UMK
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE
LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwzee r 4 Temat: Wyzazee współzyka załamaa ezy refraktometrem Abbego.. Wprowadzee Śwatło, przy przejśu przez graę dwóh ośrodków, zmea swój
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowoLekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoTeoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru
Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowo± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1
Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoPrzestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach
dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,
Bardziej szczegółowo