Praktyczna umiejętność opracowywania wyników, teoria niepewności pomiaru

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Praktyczna umiejętność opracowywania wyników, teoria niepewności pomiaru"

Transkrypt

1 Praktycza umejętość opracowywaa wyków, teora epewośc pomaru Dostępa lteratura: 1. Wyrażae Nepewośc Pomaru, Przewodk, Warszawa, Główy Urząd Mar, H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa A. Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str A. Zęba, Pracowa Fzycza, WFTJ, Skrypt Uczelay SU 164, Kraków Pomar Pomar welkośc fzyczej polega a porówau jej z welkoścą fzyczą tego samego typu, którą przyjęto za jedość. POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH BEZPOŚREDNIE wartość daej welkośc jest określaa wprost za pomocą przyrządu, merzącego tę właśe welkość. Przykładowo: wymary cała moża merzyć bezpośredo za pomocą ljk, suwmark, śruby mkrometryczej; masę cała za pomocą wag; atężee prądu za pomocą amperomerza, td. tp. POŚREDNIE wartość badaej welkośc określa sę a podstawe rezultatów bezpośredch pomarów ej welkośc fzyczej, które z badaą welkoścą są zwązae określoą zależoścą fukcjoalą. Przykładowo: średą gęstość cała moża oblczyć a podstawe bezpośredch pomarów masy objętośc tego cała; w przypadku, gdy zamy z bezpośredego pomaru atężee prądu w przewodku oraz apęce a jego końcach, jego opór elektryczy moża wyzaczyć w oparcu o prawo Ohma. Błędem pomaru azywamy rozbeżość mędzy wykem pomaru a rzeczywstą wartoścą merzoej welkośc. Źródłem rozbeżośc medzy wartoścą merzoą a rzeczywstą (prawdzwą) są edoskoałośc: - osoby wykoującej pomar - przyrządów pomarowych - obektów merzoych. Gdy udoskoalamy dośwadczee maleją rozbeżośc maleje błąd pomaru. str. 1

2 . Nepewość a błąd pomaru, podzał błędów wartość prawdzwa - rzeczywsta wartość merzoej welkośc, która zazwyczaj pozostaje ezaa; błąd pomaru - odstępstwo wyku pomaru od wartośc prawdzwej, której a ogół e zamy; wartość średa - estymator stosowaa jako przyblżee wartośc rzeczywstej za pomocą estymatora, którym zwykle jest średa, o le zjawsko jest opsywae rozkładem Gaussa lub pokrewym (w ych przypadkach sprawy wymagają głębszej aalzy) błąd maksymaly - wartość maksymalego odstępstwa wyku pomaru od welkośc poprawej, gwaratowaa przez zastosowae określoej metody pomarowej: p. merk merzy apęce z błędem maksymalym 1 mv, co ozacza, że wartość prawdzwa od pokazywaej przez merk może sę różć co ajwyżej o ±1 mv; BŁĄD błąd systematyczy (metodyczy, aparaturowy) przy welokrotych pomarach jedej tej samej welkośc pozostaje stały lub zmea sę według określoej reguły. Jest to błąd ajczęścej wykający z zastosowaej metody pomaru, zwykle zmeający wyk pomaru "w jeda stroę". Źródłem błędu systematyczego są: skale merków, euśwadomoy wpływ czyków zewętrzych a wartośc welkośc merzoej (p. lepkość), ewłaścwy sposób odczytu lub pomaru, przyblżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczaa welkośc złożoej; błąd przypadkowy (statystyczy) błąd pomaru wykający z ogółu wpływów środowska, których często e moża zdetyfkować czy wyelmować, p. właścwośc zastosowaego przyrządu pomarowego ych przyczy; Aby wartość błędu statystyczego charakteryzowała faktycze przebeg pomaru, mus być oa wększa ż błąd maksymaly. Iym słowy, pomar mus dawać róże wyk jeśl każdy pomar daje w gracach błędu maksymalego te sam wyk, e ma sesu stosowae aalzy statystyczej, szczegóły zjawska są przed am ukryte przez bezwładość układu pomarowego, podobe zwększae lczby pomarów e popraw sytuacj. Zwykle jako wartość błędu statystyczego przyjmuje sę odchylee stadardowe, co jest uzasadoe wyłącze, jeśl wyk pomarów mają statystyczy rozkład ormaly (Gaussa) lub y, możlwy do zastosowaa (p. rozkład Studeta); błąd gruby (admarowy) pomyłka: ma mejsce, gdy któryś z wyków pomaru odbega zacze od pozostałych, możemy przypuszczać, że zaszło jakeś zdarzee, które spowodowało zaburzea eksperymetu. Wyk take często są odrzucae podczas aalzy statystyczej. Błędy grube wykają ajczęścej z jakegoś poważego przeoczea, pomyłk p. złego odczytaa skal merka, z pomylea mejsca zapsu przecka podczas przetwarzaa pomarów, zmerzee e tego obektu tp. odchylee stadardowe estymator przyblżający wartość błędu statystyczego adekwaty w przypadku odpowedej lczośc próby pomarowej (p. odchylee stadardowe dla rozkładu Gaussa moża a ogół stosować, o le lczość próby jest wększa lub rówa 10) str.

3 według: Potr Jaśkewcz, Paweł Zaberowsk, Adrzej Kubaczyk. Poltechka Warszawska, Wydzał Fzyk, Laboratorum Fzyk I P, ZASADY OPRACOWYWANIA WYNIKÓW POMIARÓW BŁĄD błąd bezwzględy wartość błędu lczoa adekwatą do daej sytuacj metodą (jako błąd maksymaly lub jako błąd statystyczy) x x, x 0 gdze x - wartość zmerzoa x 0 - wartość rzeczywsta błąd względy wartość błędu podaa jako ułamek lub procet merzoej welkośc x. W ektórych przypadkach dzałae przyrządu x 0 pomarowego (p. pomar eerg elektryczej) wymusza take określee błędu maksymalego, to zaczy, dla tych metod pomaru błąd maksymaly pomaru jest podaway jako błąd względy. Błąd względy charakteryzuje użytą metodę pomaru, a w mejszym stopu sam wyk pomaru 3. Prawdłowy zaps wyków pojęce cyfr zaczących: Cyfram zaczącym są cyfry od 1 do 9 oraz zero, jeżel zero: (I) zajduje sę mędzy dwema cyfram, które zeram e są (p. 1.03) (II) zajduje sę a dowolym mejscu po cyfrze e będącej zerem w lczbe przedstawoej w postac lczby ecałkowtej (p..30) Przykładowo: lczba , czyl 1000 ma jedą cyfrę zaczącą (1). Gdybyśmy chcel zazaczyć, że ma oa trzy cyfry zaczące, ależałoby zapsać ją w postac Z tego względu wyk będący ułamkem dzesętym ależy zapsywać w postac lczby możoej przez 10 w odpowedej potędze, p = Wartość błędu zapsujemy z dokładoścą do dwóch cyfr zaczących. Należy pamętać, że błąd zaokrąglamy ZAWSZE W GÓRĘ! str. 3

4 Wartość ajbardzej prawdopodobą (a przykład średą) zapsujemy z dokładoścą wyzaczoą przez poprawy zaps wartośc błędu: ostata cyfra zacząca wyku mus zajdować sę a tym samym mejscu dzesętym, co w błędze. Wartość ajbardzej prawdopodobą zaokrągla sę zgode ze stadardowym metodam zaokrąglaa (ostatą cyfrę zaczącą pozostawamy bez zma, jeśl koleja, pomęta ma wartość mejszą ż 5, lub zwększamy o 1, jeśl stojąca po ej cyfra pomęta ma wartość wększą lub rówą 5). Przykłady: 1) r = 1.163cm Δr = cm prawdłowy zaps pomaru powe meć postać: r = 1.17 ± [cm] ) U =.1431V ΔU = V wówczas zapsujemy: U =.14 ± 0.10 [V] 3) m = 86573g Δm = 1000g w takm przypadku zaps powe wyglądać astępująco: m = ± 1000 [g] lub m = (8.66 ± 0.10) 10 4 g lub m = 86.6 ± 1.0 [kg] 4) t = s Δt = 0.81s pamętając o tym, że wartość błędu zaokrąglamy zawsze do góry zaps przyjme postać: t = 3.09 ± 0.9 [s] 5) x = 4.831m Δx = 10m w tym przypadku błąd jest wększy ż wartość ajbardzej prawdopodoba. Jeśl spotykamy sę z taką sytuacją, wówczas przyjmujemy, że wartość ajbardzej prawdopodoba wyos zero. x = 0 ± 10 [m] 4. Nepewość pomaru Nepewość pomaru jest parametrem zwązaym z rezultatem pomaru. Charakteryzuje rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. Nepewość u (ag. ucertaty) posada wymar, tak sam jak welkość merzoa. Symbolka: u lub x) lub stężee NaCl). Nepewość względa u r (x) to stosuek epewośc (bezwzględej) do welkośc merzoej może być wyrażoa w % (bezwymarowa): x) u r ( x) x str. 4

5 typy ocey epewośc TYP A Dotyczy sytuacj gdy epewośc przypadkowe są duże w porówau z systematyczym. Koecza jest odpowedo duża lczba powtórzeń pomaru. Do tego typu zalczają sę metody wykorzystujące statystyczą aalzę ser pomarów ma zastosowae do błędów przypadkowych. W wększośc dośwadczeń stwerdza sę, że rozkład częstośc występowaa epewośc przypadkowych moża opsać fukcją (x) w postac: 1 ( x x 0) ( x) exp gdze x 0 jest wartoścą ajbardzej prawdopodobą (p. średa arytmetycza), jest odchyleem stadardowym, jest waracją rozkładu Fukcja rozkładu (x), wyrażoa wzorem opsuje rozkład ormaly, zway rozkładem Gaussa. w przedzale x 0 x x0 zawera sę 68,% (/3) w przedzale x x x zawera sę 95,4% x x0 w przedzale x 3 zawera sę 99,7% wszystkch wyków Fukcja (x) zależy od dwóch parametrów x 0, a także speła waruek ormalzacyjy: ( x) dx 1 Waruek te wyka z właścwośc fukcj określa, że prawdopodobeństwo zalezea dowolego wyku pomaru x w przedzale od - do + jest rówe pewośc, czyl 1. TYP B Bazuje a aukowym osądze badacza względem wszystkch formacj o pomarze źródłach jego epewośc. Typ B stosoway jest, gdy statystycza aalza jest emożlwa. Może odosć sę do błędu systematyczego lub do jedego wyku pomaru (epewość maksymala). O welkość epewośc systematyczej decydują dwe składowe: 1) użyty w pomarach przyrząd jego klasa, dzałka elemetara, dokładość odczytu oraz ) obserwator epewość eksperymetatora zwązaa z czyoścam pomarowym. Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykającej ze skończoej dokładośc przyrządu. W przypadku epewośc systematyczych zawsze zakładamy, że przyczyk pochodzące od przyrządów obserwatora e kompesują sę, ale dodają do sebe z jedakowym zakam. Wobec tego całkowta epewość systematycza pomaru może być wyrażoa w postac sumy: x d x k x ox ex gdze deksy określają odpowede przyczyk od epewośc pomaru (d dzałka elemetara, k klasa przyrządu, o odczyt, e eksperymetator). Wyzaczoa w te sposób sumarycza epewość x azywa sę maksymalą epewoścą systematyczą. Należy ją terpretować jako połowę szerokośc przedzału od x-x do x+x, który a pewo zawera wartość rzeczywstą. Dla prostokątego rozkładu fukcj (x), epewość stadardowa x) zwązaa jest z maksymalą epewoścą systematyczą x, oszacowaą metodą typu B, wzorem (3): x x) 3 Przykład Wykoao pomary atężea prądu płyącego przez uzwojee busol styczych. Pomary próbe wykazały ezaczy rozrzut wyków: I 1 I I 3 0,80 A. Ozacza to przewagę epewośc systematyczych pomaru ad epewoścam przypadkowym. Użyty amperomerz był klasy 0,5 o zakrese 1 A ajmejszej dzałce 0,01 A. Według ocey eksperymetatora wahaa wskazówk meścły sę w gracach jedej dzałk. Sumarycza maksymala epewość systematycza pomary wyos l=0,005a+0,01a+0,005a=0,0 A. Względa epewość systematycza pomaru: 1 [%]=3%, a wyk końcowy zapsujemy w postac: I=(0,800,0) A lub I=0,80() A. Nepewość stadardowa średej jest rówa: ( x x) x) ( 1) Pomar o wększym charakteryzuje sę wększym rozrzutem wyków wokół wartośc średej czyl mejszą precyzją. Przykład Wykoao 10 pomarów długośc śruby przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao astępujące wyk: 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Zgode ze wzorem 1 x x wartość średa długośc l 35, 69 mm, atomast epewość 1 stadardowa l) ma wartość l)=0,053 mm. str. 5

6 Kryterum odrzucaa błędów grubych (3) str. 6

7 Nepewość welkośc złożoej prawo przeoszea epewośc dy y) x) dx metoda różczk zupełej Dla welkośc złożoej y f ( x1, x,... x) gdy epewośc maksymale x1, x,... x są małe w porówau z wartoścam zmeych x 1 x,... x epewość maksymalą welkośc y wylczamy praw rachuku różczkowego: y y y y x1 x... x x x x 1 Metodę różczk zupełej stosujemy w przypadku, kedy epewośc maksymale przewyższają epewośc przypadkowe, lub kedy mamy jedye jede wyk e mamy możlwośc powtarzaa pomarów. Nepewość stadardową welkośc złożoej y f x, x,... x ) oblczamy z tzw. prawa przeoszea ( 1 epewośc jako sumę geometryczą różczek cząstkowych: y y y uc ( y) ux1 ux... ux x1 x x uc ( y) ucr ( y) y Przykład Wykoao 10 pomarów długośc wałka stalowego przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao wyk 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Wartość średa wyos l 35, 69 mm; l)=0,053 mm gdze ( l l). Wyzaczamy l) ( 1) objętość wałka. Jego średcę merzoo 0 razy uzyskao wyk d 4,89() mm oraz d =0,4%. Objętość wyzaczamy z wzoru: ( d) V l 669, 93 mm 3. Nepewość 4 stadardowa będze rówa: u c ( V ) V d) d V l) l 3 30, , ,57 6mm V d l d) d ,93 670(6) mm (670 6) mm ; V =0,9% l) Pochoda logarytmcza Jeżel jakaś zależość fukcyja daa jest wzorem: f x = ax 1 m x bx k l 3 x 4 po zlogarytmowau obustroym otrzymujemy: l f x = l ax 1 m x bx k = l(ab 1 x m l 1 x x k 3 x l 4 ) = 3 x 4 = l a + l b 1 + l x m 1 + l x + l x k 3 + l x l 4 = = l a + ( l b) + m l x 1 + l x + ( k l x 3 ) + ( l l x 4 ), poeważ: l a b = l a + l b l a b = b l a, bo: l a b = l a a a a a = l a + l a + l a + l a + + l a = b l a Lczymy pochodą z logarytmu fukcj f(x): d l f d f = 1 f f skoro a b są stałym, to powyższa pochoda będze rówa: f f = f x x 1 + f x 1 x + f x x 3 + f x 3 x 4 4 Poszczególe pochode cząstkowe są rówe: f = m 1 x x 1 x 1 = m x 1 1 f = k 1 x x 3 x 3 = k x 3 ; 3 x 3 x 1 ; f = 1 x x x = x x f = l 1 x x 4 x 4 = l x 4 4 x 4 W takm przypadku epewość względa wartośc f będze wyosła: f f = m x 1 + x + k x 3 + l x x 1 x x 3 x Przykład: R = U I U = ( )V I = ( )A Nepewość oporu oblczoa metodą różczk zupełej: R = R R U + U I I = 1 I U + U I I = V 0.5V A A = 1.3Ω A Oblczamy epewość względą oporu metodą pochodej logarytmczej: ΔR R = ΔU U + ΔI I = = Wartość oporu wyos 18.5 Zatem epewość wyzaczea oporu ΔR wyese: = 1.3Ω str. 7

8 5. Metoda ajmejszych kwadratów Jeśl mamy pukty dośwadczale, które powy spełać zależość lową mamy wyzaczyć rówae prostej metodą ajmejszych kwadratów, wówczas szukamy takej prostej, od której odległośc wartośc eksperymetalych (w szczególośc kwadraty tych odległośc) będą ajmejsze. Szukamy zatem mmum fukcj będącej sumą kwadratów odległośc wartośc puktów eksperymetalych od tejże prostej: S( a, b) [ y 1 ( ax b)] m Ta fukcja ma mmum wtedy, gdy jej pochode cząstkowe po obu zmeych (a b) są rówe zeru: S 0, S 0 a b Lczymy pochodą fukcj S względem a b: S a = y (ax + b) x = 0 S b = y (ax + b) = 0 Mamy zatem układ rówań: y (ax + b) x = x y a x b x = 0 y (ax + b) = y a x b = 0 a x 1 a x 1 b x 1 b y 1 x y 1 Rozwązujemy go metodą wyzaczków: x y x y a = x = x y x y x x x x str. 8

9 b = x x y x y x x x = x y x y x x x Nepewośc pomarowe parametrów prostej wyoszą: y ( ax b) a), ) ( x ) 1 ( x 1 1 x 1 b) a) 6. Wykres Wykres jest grafczym przedstaweem wyków pomarów ależy sporządzać go w oparcu o astępujące zasady: 1. Ose a wykrese powy być opsae (jedostk, welkośc, możk). Zakres os powe być tak dobray, by pukty dośwadczale zajmowały możlwe całą przestrzeń przezaczoą a wykres 3. Pukty pomarowe powy być czytele zazaczoe róże zaczk dla różych pomarów (jeśl sporządzamy wykres porówawczy), zazaczamy wartośc błędów (epewośc) w postac wąsów w pozome poe. NIE ŁĄCZYMY PUNKTÓW EKSPERYMENTALNYCH LINIĄ ŁAMANĄ! 4. Jeśl zamy zależość teoretyczą, bądź potrafmy ją dopasować do uzyskaych wyków eksperymetalych wykreślamy krzywą (lub prostą) a tle aesoych wcześej puktów. Przykłady prawdłowo wykoaych wykresów wykoaych w programe Org będących prezetacją daych uzyskaych a zajęcach w laboratorum: str. 9

10 PODSUMOWANIE Każdy pomar laboratoryjy jest obarczoy epewoścą pomarową, którą eksperymetator mus określć zgode z pewym zasadam. Należy pamętać o zapsywau błędów maksymalych (dokładośc urządzeń merczych używaych w eksperymetach suwmarka, ljka, amperomerz tp.) W perwszej kolejośc ależy przeaalzować źródła błędów, pamętając, aby wyelmować wyk obarczoe błędem grubym (zacze odbegające od pozostałych daych z takm błędam moża spotkać sę w ćwczeu (jeśl przeoczy sę kroplę) lub w ćwczeu 3 (jeśl umke uwadze położee węzła fal akustyczej). W laboratorum studeckm błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe, te ostate ogrywają dużą rolę p. w ćwczeu 9, gdy merzy sę grubość płytk w różych mejscach za pomocą dokładego przyrządu (śruby mkrometryczej). Welokrote powtarzae pomarów, gdy domuje błąd systematyczy, e ma sesu. W takm przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomarów w tych samych warukach w celu sprawdzea powtarzalośc. str. 10

11 Gdy błąd przypadkowy domuje w eksperymece, ależy sprawdzć czy rozkład wyków może być opsay fukcją Gaussa czy też ależy spodzewać sę ego rozkładu. W tym celu dokoujemy welokrotego (p. 100 razy) pomaru w tych samych warukach, oblczamy średą warację rozkładu, rysujemy hstogram, etc. (a aszych zajęcach laboratoryjych e ma czasu a tak dokłade pomary ale musmy przyajmej klkakrote powtórzyć pomar) Jako marę epewośc stosujemy raczej epewość stadardową w przypadku, gdy błąd przypadkowy przewyższa błąd systematyczy lub epewość maksymalą, w przecwym przypadku. W przypadku welkośc złożoej, stosujemy prawo przeoszea błędu (w przypadku, gdy mamy do czyea z epewoścam przypadkowym) lub metodę różczk zupełej (w przypadku epewośc maksymalych lub meszaych). Ważym elemetem sprawozdaa z przebegu eksperymetu ( to e tylko w laboratorum studeckm) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgode z dobrym zasadam, pamętając o jedozaczym opse: jeżel zae są podstawy teoretycze badaego zjawska, a wykrese zameszczamy krzywą teoretyczą (la cągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (doberamy odpowede symbole aosmy epewośc eksperymetale). Ne łączymy lą łamaą puktów eksperymetalych. Możemy wcześej dokoać dopasowaa parametrów przebegu teoretyczego w oparcu o zae metody ftowaa. Zawsze, gdy to możlwe, dokoujemy learyzacj daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l(x), lub logy vs. logx, lub y vs. 1/x tp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresj lowej. str. 11

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements-Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)

Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements-Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO) Mędzyarodowa Norma Ocey Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets-Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU http://physcs.st./gov/ucertaty Wyrażae Nepewośc Pomaru.

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

WSTĘP DO TEORII POMIARÓW Sps treśc POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...8 Ocea epewośc pomarowej typu A...8

Bardziej szczegółowo

METROLOGIA. Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki

METROLOGIA. Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki METROLOGIA Dr ż. Elgusz PAWŁOWSKI Poltechka Lubelska Wydzał Elektrotechk Iformatyk Prezetacja do wykładu dla EINS Zjazd 4, wykład r 7, 8 Prawo autorske Nejsze materały podlegają ochroe zgode z Ustawą o

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU Fzyka cała stałeo WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 1. Ops teoretyczy do ćwczea zameszczoy jest a stroe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomaroweo

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu

Bardziej szczegółowo

Średnia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.

Średnia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem. Statystyka Statystyka jest auką, która zajmuje sę zberaem daych ch aalzą. Praca statystyka polega główe a zebrau dużej lośc daych opsujących jakeś zjawsko ch aalze terpretacj. Ne będzemy zajmować sę oczywśce

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ Ćwczee 56 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ 56.. Wadomośc ogóle Rozpatrzmy wąską skolmowaą wązkę prome γ o atężeu I 0, padającą a płytkę substacj o grubośc x (rys. 56.). Natężee promeowaa

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów Definicje

Analiza niepewności pomiarów Definicje Teora pomarów Aalza epewośc pomarów Defce Dr hab. ż. Paweł Mada www.pmada.zt.ed.pl Podstawowa defca Nepewość pomar to parametr zwązay z wykem pomar, charakteryzący rozrzt wartośc, który w zasadoy sposób

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie informatyki w chemii

Zastosowanie informatyki w chemii Projekt p. Wzmocee potecjału dydaktyczego UMK w Toruu w dzedzach matematyczo-przyrodczych realzoway w ramach Poddzałaa 4.. Programu Operacyjego Kaptał Ludzk Zastosowae formatyk w chem Potr Szczepańsk UMK

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwzee r 4 Temat: Wyzazee współzyka załamaa ezy refraktometrem Abbego.. Wprowadzee Śwatło, przy przejśu przez graę dwóh ośrodków, zmea swój

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version  WIII/1 Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza

Bardziej szczegółowo

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą. Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2 Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Matematyczne metody opracowywania wyników

Matematyczne metody opracowywania wyników Matematycze metody opracowywaa wyów Statystya rachue epewośc Paweł Ża Wydzał Odlewctwa AGH Katedra Iżyer Procesów Odlewczych Kraów, gruda 00 Opracowae rzywej stygęca 3 4 5 6 7 Formuły a przyblżae pochodej

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary. Statystyka opsowa Roma Syak Statystyka opsowa Stawa sę pytaa: pytae co? poprzedza pytae jak?. Najperw potrzeba jest mara, potem moża badać zmay tej mary. Potrzebe są mary zborcze, charakteryzujące zborowośc

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Męzaroowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gue to Epresso of Ucertat Measuremets Męzaroowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st.gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewok.

Bardziej szczegółowo

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i. c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo