9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
|
|
- Wanda Łuczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 9.1. Wstęp Omówene zagadnena statecznośc sprężystej uładów prętowych naeży rozpocząć od przybżena probemu w sense fzycznym. Z utratą statecznośc mamy do czynena, gdy newea zmana przyczyny powoduje bardzo dużą zmanę sutu. Ideane sprężysty pręt przy pewnej wartośc sły ścsającej zmena w sposób nagły swą prostonową postać przyjmuje położene wygęte, czy pręt doznaje wyboczena (rys. 9.1). w Rys Postać wyboczena pod wpływem dzałana sły osowej W środu rozpętośc pręta będze występował moment jao sute dzałana sły ścsającej na pewnym mmośrodze, na ramenu równym wartośc ugęca tego pręta w. Odchodzmy od zasady zesztywnena, tóra załada, że cała przed, ja po odształcenu tratowane są ja bryły sztywne, zajmujące taże po obcążenu onfgurację perwotną. Utrata statecznośc nastąp po osągnęcu przez słę osową pewnej wartośc rytycznej, tórej towarzyszą dwa stany równowag odpowadające prostonowej ub rzywonowej os pręta. Oznacza to, że daszy wzrost obcążena może następować po dwóch śceżach równowag. Punt w tórym występuje rozdwojene śceż (stanu równowag) nazywamy puntem bfuracj. 9.. Wyznaczane sły rytycznej Anazę utraty statecznośc (wyboczena) uładów prętowych doonamy na przyładze dowonego pręta (rys. 9.), tóry jest dowone zamocowany obcążony dowonym słam. Do taego pręta przyładamy stałą słę normaną (ścsającą). q(x) x y,w Rys. 9.. Pręt dowone obcążony poddany dzałanu sły osowej
2 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH Pod wpływem dzałana sł uład doznaje pewnego odształcena. W stane odształconym wycnamy z uładu mały eement dx (rys 9.3) na tóry dzałają sły zarówno wewnętrzne ja zewnętrzne. q(x) M T φ M+dM +d dw T+dT dx Rys esończene mały eement poddany dzałanu sł wewnętrznych zewnętrznych Da eementu dx zapsujemy warun równowag: Y T q x dx T dt q x = dt dx (9.1) M M q x dx dx T dt dx M dm dw M q x dx T dx dt dx M dm dw pomjając wartośc małe wyższego rzędu oraz reduując wyrazy podobne otrzymujemy ostateczne: dm dx =T dw=t w' (9.) dx Poneważ sła normana ne ma zwązu z rzywzną pręta obowązuje zaeżność: d w = M x dx Po zróżnczowanu podstawenu wyrażena (9.) otrzymujemy równane różnczowe os odształconej: w III = dm dx = T wi (9.3) Koejne różnczowane podstawene zaeżnośc (9.1) daje: czy w IV w II =q x
3 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 3 d 4 w dx d w dx =q x Aby rozwązać równane różnczowe najperw zajmujemy sę całą ogóną rozwązana. Rozwązujemy przypade równana jednorodnego (załadamy q x ): gdze d 4 w dx d w (9.4) dx = Rozwązane można przyjąć w postac weomanu: a jego podstawe oreśmy równane ąta obrotu w x =C 0 C 1 x C sn x C 3 cos x (9.5) x =tg x = równane momentu zgnającego dw x =C dx 1 C cos x C 3 sn x (9.6) M x = d w dx = [ C sn x C 3 cos x] (9.7) Z warunu (9.3) wyznaczymy równane sły poprzecznej dm x T x = dw dx dx = [ 3 C cos x 3 C 3 sn x] [C 1 C cos x C 3 sn x]= = 3 [C cos x C 3 sn x ] [C cos x C 3 sn x ] C 1 = (9.8) =[C cos x C 3 sn x] C 1 = C 1 Stałe C trzeba wyznaczyć na podstawe warunów brzegowych. Dasze rozważana przeprowadzmy da prętów o zdefnowanych podporach. Przyład 1 Oreśene stanu równowag be wonopodpartej o jednorodnych warunach brzegowych (rys. 9.4) Rys Bea wonopodparta poddana dzałanu sły osowej
4 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 4 ajperw naeży oreść warun brzegowe, tóre posłużą do wyznaczena stałych ze wzorów (9.5), (9.6), (9.7), (9.8): da x = 0 da x = w w Korzystając z równana os odształconej w(x) otrzymujemy zaeżnośc: natomast ze wzoru (9.7) otrzymujemy zwąz: w x C 0 C 3 w x= C 0 C 1 C sn C 3 cos x C 3 x= [ C sn C 3 cos ] W ten sposób otrzymaśmy uład równań agebracznych jednorodnych z czterema newadomym C 0, C 1, C, C 3, da tórego netrywane rozwązane (trywane rozwązane to C 0 = C 1 = C = C 3 = 0) uzysamy, gdy wyznaczn uładu będze równy zero. Po zreduowanu równań perwszego trzecego (C 0 = C 3 = 0) { C C 1 sn C sn det W =det 0 sn Z przyrównana wyznaczna do zera otrzymujemy równane charaterystyczne, sn a z nego perwast, czy wartośc własne λ. Poneważ funcja sn x osąga zero da x = nπ to: =n = n (9.9) gdze n oreśa czbę naturaną. Z warunu (9.4) wemy, że: = (9.10) Wobec tego
5 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 5 = n = n (9.11) Wartośc własnych jest nesończene wee 1,,..., n z uwag na postać funcj sn x a ażdej odpowada jedna postać wyboczena. Rozważana bea może doznać wyboczena po przeroczenu przez słę osową wartośc rytycznej oreśonej wzorem (9.11). Przyład Wyznaczene sły rytycznej da be poddanej dzałanu sł osowych momentów M (rys. 9.5). M M δ Rys Bea wonopodparta poddana dzałanu momentów sły osowej Z równana pracy wrtuanej wyznaczamy wartość ugęca w środu rozpętośc be: = 1 8 M Funcję n ugęca wyrażoną przez zmenną bezwymarową: przyjmujemy w postac weomanu: gdze x = (9.1) w =C 0 C 1 C sn C 3 cos (9.13) = = (9.14) Oreśamy warun brzegowe da anazowanej be: da x = 0, da x =, =1 w 0 w' ' 0 = M 0
6 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 6 w 1 w' ' 1 = M 1 Wyorzystując wzory (9.5), (9.6), (9.7), (9.8) można wyznaczyć wartośc C0, C1, C, C3 z uładu równań: {w 0 =C 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0 w 1 =C 0 C 1 1 C sn 1 C 3 cos 1 w' ' 0 = C sn 0 C 3 cos 0 = M 0 w' ' 1 = C sn 1 C 3 cos 1 = M 1 tóry po uproszczenu przyjmuje postać: {C 0 C 3 C 0 C 1 C sn C 3 cos C 3 = M 0 = M C sn C 3 cos = M 1 = M Podstawając zaeżność (9.14) możemy z równana trzecego wyznaczyć wartość C 3: C 3 = M C 3 = M astępne na mocy równana perwszego wyczamy wartość C0: C 0 = C 3 = M Z równana czwartego czymy wartość C: C sn M cos = M C = M 1 cos sn a onec wyznaczam ostatną wartość C 1: M C M 1 1 cos sn sn M cos C 1 = M M M cos M cos C 1 Otrzymane wartośc pozwoą nam wyznaczyć ostateczne równane n ugęca: w = M 0 M 1 cos sn sn M cos = M [ 1 cos sn sn cos 1 ] ponadto podstawając przeształcone wyrażene (9.14) możemy zapsać równane n ugęca w eo
7 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 7 zmenonej postac: w = M [ 1 cos sn ] sn cos 1 (9.15) Wartość ugęca be da = 1 x= zaeży od parametru ν, zgodne z (9.15): w 1 = M [ 1 cos sn sn cos ] 1 = M [1 cos sn sn cos 1]= sn cos = M 1 cos sn cos cos cos = M 1 cos 1 cos cos cos = = M cos cos = M 1 cos cos Ostateczne wartość n ugęca be w połowe jej rozpętośc wynos: w 1 1 cos M = f = cos Da be ne obcążonej słą osową pownnśmy otrzymać wartość M 8. Poneważ: 1 cos m 0 cos = 1 8 (9.16) to f = M 8. Przyrównując przemeszczene wyboczenowe f(ν) (bea obcążona słą ) do przemeszczena w bece bez ścsana otrzymujemy funcję: F = f = M 1 cos cos 1 8 M 8 1 cos = cos (9.17)
8 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 8 Wyres powyższej funcj w zaeżnośc od weośc parametru ν przedstawono na rys F(ν) 1 π ν Rys Funcja porównawcza Funcja posada asymptotę da ν = π. Wobec tego wyboczene (duży wzrost przemeszczena bez zmany obcążena) nastąp gdy: Stąd sła rytyczna wynos: Da sły rozcągającej musmy zmenć zna sły osowej: = = (9.18) S r = = (9.19) = (9.0) Obczena przeprowadzamy anaogczne ja da sły ścsającej ub też stosując teorę czb zespoonych można wprost zastosować wzory transformacyjne wprowadzając w mejsce parametru ν parametr zastępczy, tóry wynos: gdze: Da zmennych zespoonych wprowadzamy funcje hperboczne, = (9.1) = 1 (9.) cos =cosh sn = snh (9.3) tórych pochodne wynoszą odpowedno: cosh '=snh snh '=cosh
9 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 9 Ja wemy funcje hperboczne (snh ν cosh ν) ne są funcjam oresowym, zatem ne stneje sła rytyczna da pręta rozcąganego. Da różnego typu bee, w zaeżnośc od sposobu podparca otrzymujemy różne wartośc sły rytycznej: bea obustronne utwerdzona (rys. 9.7): Rys Bea obustronne utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej bea jednostronne utwerdzona (rys. 9.8): S r = 0,5 (9.4) Rys Bea utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej bea utwerdzona z przegubem (rys. 9.9): S r = (9.5) Rys Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej S r = 0,7 (9.6) Mnożn, tóry występuje w manownu wyrażena na słę rytyczną nazywany jest współczynnem wyboczenowym μ Oreśene wzorów transformacyjnych da prętów poddanych dzałanu sły normanej Wzory transformacyjne metody przemeszczeń, podobne ja wartość sły rytycznej zaeżeć będą od sposobu podparca be. Ponżej przedstawono a przyładów różnego sposobu podparć:
10 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 10 Przyład 3 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be obustronne utwerdzonej (rys. 9.10). aeży rozwązać zadane nejednorodne. Wartośc przemeszczeń przywęzłowych przyjmujemy jao znane. Zwroty sł przemeszczeń przyjmujemy jao dodatne te, tóre są zaznaczone na rys φ φ v v Rys Bea obustronne utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej Zadane poega na znaezenu reacj pomędzy węzłowym przemeszczenam, a słam przywęzłowym (np.,, v, v ). Wyznacza sę je z warunów brzegowych, tóre w tym przypadu wszyste są nezerowe: w x =v w x= =v x = x= = Przyjmujemy funcję n ugęca w postac weomanu: w x =C 0 C 1 x C sn x C 3 cos x Daej orzystamy ze zwązów (9.5) (9.6), co prowadz do uładu równań nejednorodnych: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 v =C 0 C 1 C sn C 3 cos =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C =C 1 C cos C 3 sn Z powyższego uładu równań wyznaczamy wartośc C 0, C 1, C, C 3. Znając już wartośc stałych C j można w prosty sposób, ze zwązów (9.7) (9.8) dojść do wzorów transformacyjnych, tóre w ogónej postac można zapsać: =M 0 = ' ' ' (9.7) =M = ' ' ' (9.8) T =T =T 0 =T = ' ' (9.9)
11 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 11 Kąt obrotu cęcwy pręta jest zaeżny od przemeszczeń węzłowych: = v v Przyjmując oznaczena: = 1 f = tg (9.30) możemy zapsać współczynn α', β', γ', δ' w prostych postacach: '= tg tg f (9.31) '= sn sn f (9.3) '= ' '= tg f (9.33) '= 3 f (9.34) Można wyonać przejśce granczne jeże przyjmemy, to w prosty ecz bardzo pracochłonny sposób orzystając z reguły de 'Hosptaa możemy poczyć wartośc współczynnów: m ' =4 0 (9.35) = (9.36) m ' 0 m ' =m ' 0 0 m ' 0 m ' =4 =6 (9.37) 0 =1 (9.38) tóre porywają sę z wartoścam występującym we wzorach transformacyjnych pręta utwerdzonego bez sły osowej. Przyład 4 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be z przegubem (rys. 9.11). φ v v Rys Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej
12 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 Tym razem warun brzegowe obejmują przemeszczena sły (warun nematyczne statyczne): w x =v w x= =v x = M x= a podstawe wzorów (9.5), (9.6), (9.7) tworzymy uład równań: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 v =C 0 C 1 C sn C 3 cos =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C [ C sn C 3 cos ] z tórego wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. a ch podstawe ze wzorów (9.7) (9.8) tworzymy funcje: gdze: =M 0 = ' ' ' ' (9.39) =M (9.40) T =T =T 0 =T = ' ' ' ' (9.41) ' '= tg tg 3 ' '= tg (9.4) (9.43) = I tym razem przejśce granczne, gdy prowadz do poprawnych rezutatów. =m 0 tg m ' '=m 0 0 tg =H m 0 tg cos 1 cos 1 =m 0 tg cos tg sn =m sn 0 tg sn tg sn sn tg cos = 1 cos tg cos tg sn 4 = sn 4 cos tg 4 cos =m = 0 cos sn 4 tg sn 4 cos tg 4 cos =m 0 cos =[ = 6 ] =3 (9.44)
13 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 13 =m 0 m ' '=m tg =H m 6 cos 3 sn == H m sn 0 =m 0 6 cos 1 sn 6 cos cos 3 3 cos =m 1 cos cos = 6 cos 6 sn 6 sn 6 cos = cos =[ = 6 ] =3 (9.45) Przyład 5 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be o schemace ja na rys φ φ v Rys Bea utwerdzona z podporą śzgową na jednym ońcu poddana dzałanu sły osowo ścsającej Ta ja w poprzednm zadanu oreśamy warun brzegowe: w x =v T x= x = x= = W rzeczywstośc ugęce w punce będze równe zero, ne ma to jedna wpływu na wartośc momentów sł poprzecznych da danej be, gdyż wartość C 0 ne występuje we wzorze na T. Po rozpsanu powyższych warunów brzegowych otrzymujemy uład równań nejednorodnych: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 C 1 =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C =C 1 C cos C 3 sn Z powyższych równań wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. Poneważ we wzorze na M znajdują sę tyo wartośc C C 3, a z drugego równana brzegowego wemy, że C 1, zatem: C = Podstawamy powyższą zaeżność do ostatnego równana brzegowego:
14 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 14 przeształcamy je w następujący sposób: cos C 3 sn C 3 sn = cos Otrzymujemy szuaną wartość C3, tóra wynos: C 3 = 1 sn cos Podstawamy wartośc C C3, do równana na M, przy x = 0: M x = C sn 0 1 C 3 cos 0 = [ sn cos 1] M x = [ sn cos 1] Zaeżnośc oreśające poszczegóne współczynn: = = = = podstawamy do równana na M. Otrzymujemy wzór transformacyjny: = [ 1 sn cos 1] = tg sn Anaogczne postępujemy obczając wzór na. Ostateczne wzory transformacyjne da danej be możemy zapsać w następujący sposób: gdze: =M 0 = ' ' ' ' ' ' (9.46) =M = ' ' ' ' ' ' (9.47) T =T =T 0 =T (9.48) ' ' '= tg ' ' '= sn = (9.49) (9.50)
15 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 15 Jeże przyjmemy, możemy z reguły de 'Hosptaa poczyć wartośc współczynnów: m ' ' '=m 0 0 tg =H m 0 m ' ' '=m =m cos =1 1 0 cos 1 sn =H m 0 tóre są zgodne ze wzoram da be bez ścsana. (9.51) 1 cos = 1 (9.5) Przyład 6 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be ewostronne utwerdzonej (rys. 9.13). φ v Rys Bea utwerdzona poddana dzałanu sły osowo ścsającej Tym razem mamy dwa warun statyczne dwa nematyczne: w x =v M x= x = T x= W rzeczywstośc ugęce w punce podobne ja w poprzednm przypadu będze równe zero ta samo ne ma wpływu na wartość momentów sł poprzecznych da danej be. Podstawając powyższe zaeżnośc do znanych nam już wcześnej wzorów otrzymujemy oejno równana: {v=c 0 C 1 0 C sn 0 C 3 cos 0=C 0 C 3 [ C sn C 3 cos ] =C 1 C cos 0 C 3 sn 0=C 1 C C 1 Z uładu równań nejednorodnych wyznaczamy wartośc C0, C1, C, C3. Poneważ we wzorze na M znajdują sę tyo wartośc C C 3, a z ostatnego równana brzegowego wemy, że C 1 = 0, zatem: C = Podstawamy powyższą zaeżność do równana drugego:
16 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 16 [ sn C 3 cos ] oraz dzemy przez wyrażene przeształcamy: C 3 = sn cos Otrzymujemy szuaną wartość C3, tóra wynos: C 3 = tg Podstawamy wartośc C C3, do równana na M, przy x: =M x = C sn 0 C 3 cos 0 = tg Korzystając z zaeżnośc: = = = = otrzymujemy ostateczną postać wzoru transformacyjnego na moment: = tg = tg Ostateczne wzory transformacyjne da danej be możemy zapsać w następujący sposób: gdze: Jeże przyjmemy to: =M 0 = IV (9.53) =M (9.54) T =T =T 0 =T (9.55) IV = tg (9.56) = m IV (9.57) 0
17 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 17 Przemeszczene podpory ne powoduje powstana sł wewnętrznych. atomast we wspornu z słą osową występuje zgnane (sła poprzeczna jest zerowa). Przyład 7 Wyznaczyć wzory transformacyjne da be poddanej dzałanu sły rozcągającej (rys. 9.14). φ v Rys Bea z przegubem z utwerdzenem śzgowym poddana dzałanu sły osowo rozcągającej. W przypadu be poddanej dzałanu sły rozcągającej naeży rozwązać równane różnczowe: Zna - oznacza dzałane sły rozcągającej, ponadto: Całę ogóną w tym przypadu przyjmujemy w postac weomanu: a jego podstawe oreśmy równane ąta obrotu d 4 w dx d w (9.58) dx = (9.59) w x = C 0 C 1 x C snh x C 3 cosh x (9.60) x =tg x = równane momentu zgnającego równane sły poprzecznej Oreśamy warun brzegowe: dw x = C dx 1 C cosh x C 3 snh x (9.61) M x = d w dx = [ C snh x C 3 cosh x] (9.6) T x = dm x dw dx dx = C 1 (9.63)
18 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 18 w x =v T x= M x x= = Po rozpsanu powyższych warunów brzegowych otrzymujemy uład równań nejednorodnych, z tórych wyznaczymy wartośc C 0, C 1, C, C 3 : {v= C 0 C 1 0 C snh 0 C 3 cosh 0= C 0 C 3 C 1 [ C snh 0 C 3 cosh 0] = C 1 C cosh C 3 snh C 1 C 3 Ja wdać wszyste wartośc poza wartoścą C znajdującą sę we wzorze na M są równe zero, zatem: C = cosh Podstawamy wartość C do równana na, przy x = : =M x= = C snh = [ cosh snh ] = [ tgh ] Korzystając z zaeżnośc: C 3 cosh = [ cosh snh ] = = = = = otrzymujemy wzór transformacyjny: = [ tgh ] = tgh Zauważmy, że da be o dentycznym schemace statycznym, ae poddanej se ścsającej otrzymabyśmy następujący wzór transformacyjny: = tg Oznacza to, że możemy w prosty sposób zapsać wzory transformacyjne da pręta poddanego se rozcągającej, na podstawe wzorów otrzymanych da tego samego pręta, gdy dzała na nego sła ścsająca.
19 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 19 Aby otrzymywane wyrażene można było łatwo przeształcać, doprowadźmy równane różnczowe da pręta rozcąganego do postac dentycznej ja da pręta ścsanego. Wyonujemy podstawene a podstawe wyrażena otrzymujemy poneważ: = d 4 w dx d w dx d 4 w dx d w dx = Soro obydwa równana różnczowe maja taą samą postać, to rozwązana otrzymane da pręta ścsanego, są prawdzwe (przy odpowednm podstawenu) równeż da pręta rozcąganego. W tej sytuacj, aby uzysać odpowedną postać równań, naeży wyonać następujące podstawena: pamętając jednocześne, że = 1. = sn =sn = snh cos =cos =cosh Ostateczne wzory transformacyjne da danej be (rys.9.14) poddanej se rozcągającej możemy zapsać w następujący sposób: gdze: Jeże przyjmemy to: =M 0 (9.64) =M = ' ' ' ' (9.65) T =T =T 0 =T (9.66) ' ' ' '= tgh (9.67) = m ' ' ' ' (9.68) 0 co oznacza, że moment przywęzłowy M w bece ne obcążonej osowo wynos zero.
20 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH Ogóne wzory transformacyjne da prętów poddanych dzałanu sły normanej Wyznaczone dotychczas wzory transformacyjne można wyrazć w nnej forme: da pręta obustronne utwerdzonego (rys 9.15): φ φ v v Rys Bea obustronne utwerdzona Wzory transformacyjne mają postać (jest to nna postać wzorów transformacyjnych z przyładu 3): = c s r (9.69) Pomędzy współczynnam zachodz reacja: Wartośc współczynnów możemy wyznaczyć ze wzorów: przy ścsanu = s c r (9.70) r =s c (9.71) sn cos c s = 1 cos sn sn s s = 1 cos sn (9.7) (9.73) przy rozcąganu c r snh cosh = cosh 1 snh snh s r = cosh 1 snh (9.74) (9.75) Bez wzgędu na zna dzałającej sły osowej współczynn λ wynos
21 Część 9. STATECZOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 da pręta z przegubem (rys. 9.16): = φ v v Rys Bea utwerdzona z przegubem na jednym ońcu Wzory transformacyjne mają postać (jest to nna postać wzorów transformacyjnych z przyładu 4): = c (9.76) Wartość współczynna wyznaczamy w zaeżnośc od zwrotu sły osowej: przy ścsanu: c s = sn sn cos (9.77) przy rozcąganu: c r snh = snh cosh (9.78) Podobne ja poprzedno parametr λ ne zaeży od znau sły osowej = poneważ jej zna uwzgędnono w funcjach trygonometrycznych.
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ.. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ.. Wstęp Podstawowym narzędzem służącym do rozwązywana zadań metodą przemeszczeń są wzory transformacyjne.
Bardziej szczegółowoCzęść 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych
Bardziej szczegółowoStateczność układów ramowych
tateczność układów ramowych PRZYPONIENIE IŁ KRYTYCZN DL POJEDYNCZYCH PRĘTÓW tateczność ustrou tateczność ustrou est to zdoność ustrou do zachowana nezmennego położena (kształtu) ub nacze mówąc układ po
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 2 1. UKŁADY PRZESTRZENNE
Oga Kopacz, Adam Łodygows, Krzysztof Tymper, chał łotowa, Wojcech awłows Konsutacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI oznań / ECHANIKA BUDOWLI. UKŁADY RZESTRZENNE O przestrzennośc ne śwadczy tyo geometra
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoCzęść 2 4. RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI RAMY OBCIĄŻONE TERMICZNIE, OSIADANIEM PODPÓR ORAZ PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 4. 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI SZCZEGÓLNE 4.. Wpływ temperatury rzy obczanu uładów statyczne newyznaczanyc naeży
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego
5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze.
Bardziej szczegółowoFunkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy
etoy energetyczne rzykła Wyznaczyć współczynnk z - α z a przekroju prostokątnego który wzłuż os y ma wymar b wzłuż os Funkcja momentu statycznego ocętej częśc przekroju a prostokąta wyraża sę wzorem b
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 13
1 Oga Kopacz, Adam Łodygos, Krzysztof ymper, chał Płotoa, Wocech Pałos Konsutace nauoe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 00/00 ECHANIKA BUDOWLI 1 Ugęca bee drgaących. Wzory transformacyne bee o cągłym
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.3 Układ belkowo-kratowy.
rzykład. Układ bekowo-kratowy. Dany jest układ bekowo-kratowy, który składa sę z bek o stałej sztywnośc EJ częśc kratowej złożonej z prętów o stałej sztywnośc, obcążony jak na rysunku. Wyznaczyć przemeszczene
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.2. Rama wolnopodparta
rzykład ama wonopodparta oecene: Korzystając ze wzoru axwea-ohra wyznaczyć wektor przemeszczena w punkce w ponższym układze oszukwać będzemy składowych (ponowej pozomej) wektora przemeszczena punktu, poneważ
Bardziej szczegółowoMałe drgania wokół położenia równowagi.
ałe rgana woół położena równowag. ałe rgana Anazuemy ułay a tórych potencał Vqq,q,..,q posaa mnmum a oreśonych wartośc współrzęnych uogónonych q,, -czba stopn swoboy. ożemy ta przesaować te współrzęne
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH
1 Olga Kopac, Adam Łodygows, Wojcech Pawłows, Mchał Płotowa, Krystof Tymber Konsultacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Ponań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWI 7 ACH TWIERDZENIE BETTIEGO (o wajemnośc prac)
Bardziej szczegółowo5. MES w mechanice ośrodka ciągłego
. MES w mechance ośroda cągłego P.Pucńs. MES w mechance ośroda cągłego.. Stan równowag t S P x z y n ρb(x, y, z) u(x, y, z) P Wetor gęstośc sł masowych N/m 3 ρb ρ g Wetor gęstośc sł powerzchnowych N/m
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoANALIZA WYBOCZENIOWA RAM PŁASKICH I ICH MODELOWANIE W PROGRAMIE AUTODESK ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS
Budownctwo 1 Krzysztof Kubc ANAIZA WYBOCZENIOWA RAM ŁASKICH I ICH MODEOWANIE W ROGRAMIE AUTODESK ROBOT STRUCTURA ANAYSIS Wprowadzene Analtyczne wyznaczene sł ytycznych za pomocą metody przemeszczeń, nawet
Bardziej szczegółowoF - wypadkowa sił działających na cząstkę.
PRAWA ZACHOWAIA Podstawowe termny Cała tworzące uład mechanczny oddzałują mędzy sobą z całam nenależącym do uładu za omocą: Sł wewnętrznych Sł zewnętrznych - Sł dzałających na dane cało ze strony nnych
Bardziej szczegółowo2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI W metodze sł w celu przyjęca układu podstawowego należało odrzucć węzy nadlczbowe. O lczbe odrzuconych węzów decydował
Bardziej szczegółowoSŁAWOMIR WIAK (redakcja)
SŁAWOMIR WIAK (redacja Aademca Ofcyna Wydawncza EXIT Recenzenc: Prof. Janusz Turows Potechna Łódza Prof. Ewa Naperasa Juszcza Unversty Le Nord de France, LSEE, UA, Francja Autorzy rozdzałów: Prof. Potr
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.4. Belka ze skratowaniem
rzykład.. eka ze skratowane oecene: korzystając z etody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych w ponŝszej konstrukcj staowej. yznaczyć ugęce w punkce (w połowe rozpętośc bek). orównać wyznaczone ugęce ze
Bardziej szczegółowoobliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem - różniczka zupełna u i, j =1, 2, 3
TEORI STNU ODKSZTŁCENI. WEKTOR RZEMIESZCZENI x u r r ' ' x stan p defrmacj x stan przed defrmacją płżene pt. przed defrmacją ( r) ( x, x, x ) płżene pt. p defrmacj ( r ) ( x, x, x ) przemeszczene puntu
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoWrocław 2003 STATECZNOŚĆ. STATYKA 2 - projekt 1 zadanie 2
Wrocław 00 STATECZNOŚĆ STATYKA - projet zadanie . Treść zadania Dla ray o scheacie statyczny ja na rysunu poniżej należy : - Sprawdzić czy uład jest statycznie niezienny - Wyznaczyć siły osiowe w prętach
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 410. Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta. Długość* Szerokość Grubość C l, [m] a. , [mm] [m -1 ] Strzałka ugięcia,
Katedra Fzyk SGGW Nazwsko... Data... Nr na śce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Godzna... Ćwczene 410 Wyznaczane modułu ounga metodą zgnana pręta Pomary rozmarów pręta Rodzaj pręta Długość* Szerokość Grubość
Bardziej szczegółowoUTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym
Bardziej szczegółowoKORZYŚCI PŁYNĄCE ZE STOSOWANIA ZASADY PRAC WIRTUALNYCH NA PRZYKŁADZIE MECHANIKI OGÓLNEJ. 1. Wprowadzenie. 2. Więzy układu materialnego.
Górnctwo Geonżynera Rok 33 Zeszyt 3/ 2009 Maran Paluch* KORZYŚCI PŁYNĄCE ZE STOSOWNI ZSDY PRC WIRTULNYCH N PRZYKŁDZIE MECHNIKI OGÓLNEJ. Wprowadzene W pracy kerując sę dewzą Johna Zmana: Celem nauk jest
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoNależy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,
Część 2 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 1 14. 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie
Bardziej szczegółowoOGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII
WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D PRZY UŻYCIU PROGRMU EXCEL
Zeszyty robemowe Maszyny Eetryczne Nr /203 (98) 233 Andrze ałas BOBRME KOMEL, Katowce WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D RZY UŻYCIU ROGRMU EXCEL SOLVING STEADY STATE TEMERATURE
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoModel ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)
Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12
Bardziej szczegółowoEnergia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)
1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej
Bardziej szczegółowo4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 1 4. 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ Rozdzał ten pośwęcony et wyprowadzenu twerdzena o pracy wrtuane, edna wywód naeży poprzedzć wyaśnenem dwóch zagadneń: przemezczena
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.1. Wyznaczenie zmiany odległości między punktami ramy trójprzegubowej
Przykład Wyznaczene zmany odegłośc mędzy unktam ramy trójrzegubowej Poecene: Korzystając ze wzoru axwea-ohra wyznaczyć zmanę odegłośc mędzy unktam w onższym układze Przyjąć da wszystkch rętów EI = const
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoV. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoMoment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)
Moment sły (z ang. torque, nna nazwa moment obrotowy) Sły zmenają ruch translacyjny odpowednkem sły w ruchu obrotowym jest moment sły. Tak jak sła powoduje przyspeszene, tak moment sły powoduje przyspeszene
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowover ruch bryły
ver-25.10.11 ruch bryły ruch obrotowy najperw punkt materalny: m d v dt = F m r d v dt = r F d dt r p = r F d dt d v r v = r dt d r d v v= r dt dt def r p = J def r F = M moment pędu moment sły d J dt
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoPracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym
ĆWCZENE 3 Analza obwodów C przy wymszenach snsodalnych w stane stalonym 1. CE ĆWCZENA Celem ćwczena jest praktyczno-analtyczna ocena obwodów elektrycznych przy wymszenach snsodalne zmennych.. PODSAWY EOEYCZNE
Bardziej szczegółowoZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych różniczkowalność
Funcje weu zmennyc różnczowaność Zajmemy sę teraz różnczowanem funcj weu zmennyc. Zacznemy od pojęca pocodnej cząstowej, bo jest ono najważnejszym zarazem najprostszym z tyc, tórym przyjdze nam sę zająć.
Bardziej szczegółowo3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)
Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz
Bardziej szczegółowoXLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany
Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoParametry zmiennej losowej
Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE MEODY KLASYFIKACJI Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dude Wydzał Eletryczny Poltechna Częstochowsa FUNKCJE FISHEROWSKA DYSKRYMINACYJNE DYSKRYMINACJA I MASZYNA LINIOWA
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoPRZYKŁAD: Wyznaczyć siłę krytyczną dla pręta obciążonego dwiema siłami, jak na rysunku. w k
ZYKŁAD: Wyznaczyć siłę rytyczną dla pręta ociążonego diema siłami, ja na rysunu. (c) A K c B, a m,. ónania rónoagi A c c / () Y () X H ( c ) (3). ónanie ugięć przedziale BK ( ) (4) ( ) () (6) (7) E I -
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Bardziej szczegółowo- opór właściwy miedzi (patrz tabela 9.1), l długość nawiniętego na cewkę drutu miedzianego,
Zadana do rozdzału 9. Zad. 9.. Oblcz opór elektryczny cewk, składającej sę z n = 900 zwojów zolowanego drutu medzanego o średncy d = mm (w zolacj, mm) w temperaturze t = 60 o C. Wymary cewk przedstawono
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoIN YNIERIA BEZPIECZE STWA LABORATORIUM NR 6
IN YNIERIA BEZPIECZE STWA LABORATORIUM NR 6 WYBRANE ZAGADNIENIA Z TEORII LICZB 1. Wybrane zagadnena z teor lczb Do onstruowana systemów ryptografcznych u Ŝ ywa sę czę sto wyrafnowanego aparatu matematycznego,
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoĆw. 26. Wyznaczanie siły elektromotorycznej ogniwa na podstawie prawa Ohma dla obwodu zamkniętego
6 KATEDRA FZYK STOSOWANEJ PRACOWNA FZYK Ćw. 6. Wyznaczane sły eektromotorycznej ognwa na podstawe prawa Ohma da obwodu zamknętego Wprowadzene Prądem nazywamy uporządkowany ruch ładunku eektrycznego. Najczęścej
Bardziej szczegółowoAERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ
WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 6 CIĘŻARY SPRĘŻYSTE
Oga Koacz, Adam Łodygows, Wocech Pawłows, chał Płoowa, Krzyszof Tymer Konsuace nauowe: rof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 00/003 ECHAIKA BUDOWLI 6 CIĘŻARY SPRĘŻYSTE Wyznaczane rzemeszczeń z zasosowanem
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowor i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
Dynamka ruchu obrotowego bryły sztywnej Bryła sztywna - zbór punktów materalnych (neskończene welu), których wzajemne położene ne zmena sę po wpływem załających sł F wyp R C O r m R F wyp C Śroek masy
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoUdoskonalona metoda obliczania mocy traconej w tranzystorach wzmacniacza klasy AB
Julusz MDZELEWSK Wydzał Eletron Techn nformacyjnych, nstytut Radoeletron, oltechna Warszawsa do:0.599/48.05.09.36 dosonalona metoda oblczana mocy traconej w tranzystorach wzmacnacza lasy AB Streszczene.
Bardziej szczegółowoModel ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:
dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch
Bardziej szczegółowoWstępne przyjęcie wymiarów i głębokości posadowienia
MARCIN BRAS POSADOWIENIE SŁUPA 1 Dane do projektu: INSTYTUT GEOTECHNIKI Poltechnka Krakowska m. T. Koścuszk w Krakowe Wydzał Inżyner Środowska MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE P :=.0MN H := 10kN M :=
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIENIA DO WYKŁADÓW A-C
UZUPEŁNIENIA DO WYKŁADÓW A-C Objaśnienia: 1. Uzupełnienia sładają się z dwóch części właściwych uzupełnień do treści wyładowych, zwyle zawierających wyprowadzenia i nietóre definicje oraz Zadań i problemów.
Bardziej szczegółowoMETODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH
RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE DWUWYMIAROWYCH USTALONYCH ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA PRZY POMOCY ARKUSZA KALKULACYJNEGO
OZWIĄZYWAIE DWUWYMIAOWYCH USALOYCH ZAGADIEŃ PZEWODZEIA CIEPŁA PZY POMOCY AKUSZA KALKULACYJEGO OPIS MEODY Do rozwązana ustalonego pola temperatury wyorzystana est metoda blansów elementarnych. W metodze
Bardziej szczegółowo3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO
3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ
WPŁYW SIŁY JONOWEJ ROZTWORU N STŁĄ SZYKOŚI REKJI WSTĘP Rozpatrzmy reakcję przebegającą w roztworze mędzy jonam oraz : k + D (1) Gdy reakcja ta zachodz przez równowagę wstępną, w układze występuje produkt
Bardziej szczegółowo1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Bardziej szczegółowoModel IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak
Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORYJNA Temat ćwczena: BADANIE POPRAWNOŚCI OPISU STANU TERMICZNEGO POWIETRZA PRZEZ RÓWNANIE
Bardziej szczegółowo