TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH"

Monika Piekarska
8 lat temu
Przeglądów:

1 1 Olga Kopac, Adam Łodygows, Wojcech Pawłows, Mchał Płotowa, Krystof Tymber Konsultacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Ponań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWI 7 ACH TWIERDZENIE BETTIEGO (o wajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statycne wynacalny lub newynacalny, ale o nepodatnych podporach pry brau naprężeń termcnych, dała uład sł momentów suponych. Obcążena te rodelć można, w sposób dowolny, na dwe grupy, tórych jedną nawemy uładem sł P a drugą uładem sł P (pre sły roumeć należy arówno sły uogólnone). Sytuacja perwsa A: Najperw pryładamy słę P, a następne słę P. Obaśnena: Punt - estaw puntów poddany obserwacjom, P - uład sł (moment, sła supona td.) dałających na punt, jn - premescene puntu j wywołane prycyną w pt n, jn - premescene puntu j wywołane jednostową prycyną w pt n, Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

naprężeń termcnych, dała uład sł momentów suponych.

2 2 Najperw pryładamy grupę sł P a następne do tego stanu wprowadamy grupę sł P. Praca sł ewnętrnych w sytuacj A: A A = 1 2 Pv = P P + P P + P (6.1) Sytuacja druga B: Najperw pryładamy słę P, a następne słę P Sły pryładamy podobne ja w poprednm wypadu tą różncą, że najperw pryładamy grupę sł P, a następne do tego stanu wprowadamy grupę sł P. Praca sł ewnętrnych od sytuacj B: B = P P + P P + P (6.2) lna A=lna B Zgodne asadą superpoycj ora fatem, że wartość pracy ne ależy od hstor (olejnośc dałana prycyn) obcążeń można apsać: A P = B = P (6.3) Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

następne do tego stanu wprowadamy grupę sł P. Praca sł ewnętrnych od sytuacj B: B = P P + P P + P (6.

3 3 Twerdene: Jeżel na ustrój sprężysty dałają dwa neależne ułady obcążeń, spełnające równana równowag to: uład sł P wyonuje na premescenach wywołanych uładem sł P taą samą pracę ja sły P na premescenach spowodowanych uładem sł P. TWIERDZENIE MAXWEA (o wajemnośc premesceń) Ropatrmy dowolny uład statycne wynacalny lub newynacalny. Załóżmy obcążena: Perwsy typ obcążena: Nech na uład dała sła jednostowa P =1, serowana w erunu presunęca δ. Drug typ obcążena: Na uład dała sła jednostowa P =1, serowana w erunu presunęca δ. Załóżmy, że podpory ne osadają, a temperatura ne mena sę, ta że mamy do cynena wyłącne naprężenam wywołanym obcążenem ewnętrnym. Mędy presunęcam δ δ achod scególny wąe. Pryłąd 1: φ Do danej bel pryładamy jednostowe obcążena; w punce jednostową słę P =1 a w punce jednostowy moment M =1. orystając wyżej predstawonego twerdena Bettego można apsać ależność: P = M ϕ (6.4) Warto auważyć, że ąt obrotu na tórym pracuje moment to nc nnego ja. Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

Załóżmy obcążena: Perwsy typ obcążena: Nech na uład dała sła jednostowa P =1, serowana w erunu presunęca δ. Drug typ obcążena: Na uład dała sła jednostowa P =1, serowana w erunu presunęca δ.

4 4 Pryjmując, że ułady sł obcążających są jednostowe, premescena apsujemy następująco: = δ ϕ = = δ (6.5) Wyorystując powyżse ałożena otrymamy: P = M δ = δ (6.6) Pryład 2: Do ratowncy pryłożono słę jednostową w punce 1, tóra wywołała premescene w punce 2. Następne do tej samej ratowncy pryłożono słę jednostową w punce 2, tóra wywołała premescene puntu 1. Zgodne powyżsym twerdenem premescena puntu 1 2 są sobe równe. u Twerdene: Premescene uogólnone δ odpowadające -tej sle uogólnonej wywołane dałanem jednostowej sły uogólnonej P =1 jest równe premescenu δ odpowadającemu -tej sle uogólnonej wywołanemu dałanem jednostowej sły uogólnonej P. Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

Następne do tej samej ratowncy pryłożono słę jednostową w punce 2, tóra wywołała premescene puntu 1. Zgodne powyżsym twerdenem premescena puntu 1 2 są sobe równe.

5 5 TWIERDZENIE RAYEIGHA (o wajemnośc reacj) Cało odstałcalne predstawone na rysunu: u u Załadamy ogólny prypade onstrucj statycne newynacalnej. Prypuśćmy wymusene nematycne u po erunu podpory (rys 1). Następne ałożymy wymusene nematycne u po erunu podpory (rys 2). Premescena podpór pryjmjmy a jednostowe. Zgodne twerdenem Bettego można apsać pracę perwsego uładu : R ( I ) ( II ) ( I ) ( II ) u + R' + R' + R 0 = R 0 + R' + R' + R u (6.7) Premescena można pryjąć jao jednostowe: u u (6.8) Podstawając pryjęte premescena do woru (6.7) otrymamy: R 1 = R 1 r = r (6.9) Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

Premescena podpór pryjmjmy a jednostowe.

6 6 Zgodne pryjętą onwencją reacje od jednostowych premesceń apsujemy małą lterą podobne ja premescena od jednostowych reacj. Twerdene: Reacja uogólnona r odpowadająca -temu premescenu uogólnonemu a wywołana jednostowym premescenem u =1 -tego węu, równa jest uogólnonej reacj r odpowadającej u-temu premescenu uogólnonemu w wywołanej jednostowym premescenem u -tego węu. TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI PRZEMIESZCZEŃ REAKCJI Nech na dowolny uład ramowy statycne wynacalny lub newynacalny, pry brau naprężeń termcnych, dała najperw uład sł P. Zapsemy pracę tego uładu jao () 1. Następne ałóżmy podatność jednej podpór np. ąta obrotu apsmy jego pracę jao () 2. H M H B V V B ( I ) = V 0 + H 0 + M + V 0 + H 0 + P B B (6.10) H M H B Poltechna Ponańsa V V B Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

w wywołanej jednostowym premescenem u -tego węu.

7 7 ( II ) = B B V 0 + H 0 + M 0 + V 0 + H 0 (6.11) Zgodne asadą superpoycj ora fatem, że wartość pracy ne ależy od olejnośc dałań prycyn praca jednego uładu drugego są sobe równe: M ( I ) = ( II ) + P (6.11) = 0 Pryjmujemy, że sła premescene są jednostowe: P (6.12) Wyorystując ależnośc (6.11) (6.12) otrymujemy: M m r = 0 = δ = δ (6.13) Twerdene: Jeżel na ustrój sprężysty w punce dała uład sł P =1 wywołuje w punce reacje neależne od tego jeśl uogólnone premescene podpory -tej towarysy pojawene sę w punce premescena δ to rut reacj r na erune premescena jest równy rutow premescena na erune uogólnonej sły P precwnym naem. Poltechna Ponańsa Kopac, Łodygows, Pawłows, Płotowa, Tymber

11) = 0 Pryjmujemy, że sła premescene są jednostowe: P (6.12) Wyorystując ależnośc (6.11) (6.12) otrymujemy: M m r 1 + 1 = 0 = δ = δ (6.

Podobne dokumenty

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych