PRZYKŁAD: Wyznaczyć siłę krytyczną dla pręta obciążonego dwiema siłami, jak na rysunku. w k

Transkrypt

1 ZYKŁAD: Wyznaczyć siłę rytyczną dla pręta ociążonego diema siłami, ja na rysunu. (c) A K c B, a m,. ónania rónoagi A c c / () Y () X H ( c ) (3). ónanie ugięć przedziale BK ( ) (4) ( ) () (6) (7) E I - cała szczególna rónania niejednorodnego C (8) s C C (9) - cała ogólna rónania niejednorodnego - arune rzegoy stąd ró. () przyiera postać: () ( ) Asin B cos ( ) B () () ( ) Asin

2 3. ónanie ugięć przedziale AK ( ) ( c ) ( ) ( c ) (3) (4) () ( c ) (6) - cała szczególna rónania niejednorodnego s C (7) C (8) c - cała ogólna rónania niejednorodnego - arune rzegoy stąd ró. (9) przyiera postać: (9) c ( ) C sin D cos ( ) D () ( ) C sin () c Stałe A i C oraz nieznany parametr roziązania należy yznaczyć z arunó zszycia: ( a) Asin a a () ( ) C sin (3) c a (4) ( ) ( ) Zna - ró. (4) ynia znastępujących relacji: α 8 α α tan α tanα tanα tan () (6) A K B α α styczna

3 Z ró. () i () otrzymujemy: A a c sin a (7) Z ró. (3) i () otrzymujemy: C c sin c (8) Wyrażenia (7) i (8) należy podstaić do arunu zszycia (4); otrzymamy óczas: Acos a C cos (9) c cos a a c cos c c c (3) sin a sin c c a po dalszych przeształceniach a c c c c cot a cot (3) c c a c c c c cot a cot (3) c c Uzględniając ró. (6), a ponadto relacje: a m ; a ( m) (33) ró. (3)otrzymuje postać: c ( ) c ( mc) cot a c ( m) cot c ( m) (34) c c c [ ( c)( m) ] c mc ( m c) cot( m ) cot ( c) c (3) Wyonajmy następujące podstaienie: (36) o uzględnieniu ró. (7), siła rytyczna yraża się rónaniem: r (37) gdzie jest pieriastiem rónania (3), zapisanego ostatecznie postaci: ( c) E I mc c m c (38) tan c [ ] ( m ) ( c) tan ( c)( m) ónanie (38) zostało roziązane przy pomocy programu ATHCAD dla różnych artości m i c. Algorytm, ydru z programu oraz uzysane ynii poazano na następnych stronach. NIESTETY WYNIKI NIEDOSTĘNE SĄ DA STUDENTÓW Z OWODÓW OCZYWISTYCH 3

4 ODEJŚCIE ENEGETYCZNE d d s c a m d d. Energia potencjalna pręta zginanego poprzecznie We zorze na energię potencjalną pręta, dla tórego ociążenie zenętrzne reduuje się przeroju poprzecznym do siły podłużnej N, momentu zginającego i siły poprzecznej Q, człony ziązane z N i Q są pomijalnie małe stosunu do członu ziązanego z (szczegóły przyładach oliczenioych dotyczących energii sprężystej). Energia potencjalna ma zatem postać: U ( ) d Ziąze momentu zginającego i ugięcia jest następujący: o staieniu () do () otrzymujemy:. raca sił zenętrznych U ( ) E I ± () ( )d Siły i c pracują na poziomych przemieszczeniach yniających z ruchu podpory przesunej. rzemieszczenie podpory λ jest róne różnicy między początoą długością eli i rzutem zarzyionej osi eli po ugięciu na ierune początoy. () (3) λ (4) Uzględniając, że długość ugiętej osi eli musi ynosić, otrzymujemy: d λ d s d () gdzie d oznacza długość rzutu rzyolinioego odcina ds na poziom. Z t. itagorasa ynia relacja: ( d s) ( d ) ( d ) gdzie d oznacza przyrost ugięcia na odcinu d. Z poyższych rónań otrzymujemy następujące relacje: (6) ( d ) ( d ) d ( ) d s (7) ( ) d λ d (8) 4

5 Funcję ystępującą pod pieriastiem można rozpisać szereg potęgoy, orzystając z rozinięcia: 3 p p p p... (9) 8 6 a stąd: ( ) ( 4 ) ( 6 ) ( )... () 8 6 Korzystając z założenia o małych pochodnych przemieszczeń, z rónania () otrzymujemy: () ( ) ( ) Ostatecznie przemieszczenie poziome praego ońca eli, na tórym pracują siły ścisające, ynosi: 3. etoda itza d λ ( ) d () λ ( ) d Stosując metodę itza należy przyjąć funcję ształtu, opisującą ugięcie osi eli, przy czym funcja ta poinna ja najdoładniej odpoiadać arunom inematycznym (ugięcia, ąty) i statycznym (momenty, siły poprzeczne). rzyjmijmy funcję ształtu postaci ielomianoej: ochodne tej funcji ynoszą: Waruni rzegoe mają postać: ( ) A 3 4 ( ) A B C D F (3) (4) 3 ( ) B C 3D 4F ( ) C 6D F () (6) (7) ( ) ( ) C (8) 3 ( ) B D F (9) ( ) ( ) 6D F () Z rónań () i (9) otrzymujemy odpoiednio: D F Funcja ugięć i jej pochodne mają postaci: ( ) F ( ) 3 3 ( ) F ( 6 4 ) 3 B F () () (3) ( ) F ( ) (4)

6 Energia potencjalna zginania, opisana rónaniem () ynosi: U 4 3 [ F ( ) ] d 7F ( )d () 7 U F (6) 3 raca sił ścisających na przemieszczeniach poziomych, może yć zapisana postaci: d c d z z (7) z λ cλ Całi ystępujące (7) oliczymy yorzystując rónanie (3): 3 3 [ F ( 6 4 )] d J d (8) J F ( )d (9) J F 4 8 (3) 7 Całi ystępujące rónaniu (7) ynoszą: z d 7 7 F (3) z c d cf 4 8 (3) 7 z F K (33) K c ( m) 4( m) ( m) ( m) 8( m) ( m) 7 (34) Ostatecznie praca sił zenętrznych ynosi: 7 7 z F K 7 Funcjonał całoitej energii potencjalnej (funcjonał agrange a) ma postć: Π U z (3) Π 7 7 F F 7 K 3 7 Funcjonał ten jest zależny od nieznanej stałej F. Waruniem osiągania przez niego minimum jest spełnienie relacji: Π F 7. 4 r (. 486 K ) (36) 6