Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1"

Transkrypt

1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna Do rozwiązania zadania metodą przemieszczeń przyjmujemy układ podstawowy z zablokowanymi przemieszczeniami węzłów q z = const. P z [m] z Rys. 6.. Układ podstawowy oraz związany z nim układ równań kanonicznych {r z r z r z r P= r z r z r z r P = r z r z r z r P = (6.) Do wyznaczenia współczynników r ik i r ip potrzebne nam będą wykresy momentów w stanach jednostkowych:

2 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA z = r 5 5 r r Rys. 6.. Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany obrotem z = r r r z = 5 Rys. 6.. Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany obrotem z = W stanie z = trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch kinematyczny. ψ ψ ψ z = [m] Rys Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = ψ Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów:

3 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA = = 5= = 5 = = = = Korzystając z wyznaczonych kątów obrotu cięciw prętów obliczamy wartości przywęzłowych momentów zginających, powstałych od jednostkowego przesuwu po kierunku z z M z =M = [ ] = z M z =M = 5 [ ] = 5 z M z =M = [ ] = z M z =M = 5 [ 5 ] = 6 5 i nanosimy je na wykres:,5 5 r 6 5,5 5 r 6 5 r,5 z =,5 Rys Wykres momentów w układzie podstawowym wywołany przesuwem z = Na podstawie powyższych wykresów, z równowagi węzłów ramy, możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach zmiennych z i z: r = 5 = 9 (6.) 5 r = 5 5 =8 5 (6.) r =r = (6.) 5

4 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r = 5 r = = (6.5) = (6.6) 5 Korzystając z równania pracy wirtualnej, wyznaczamy wartości pozostałych współczynników macierzy sztywności (reakcje po kierunku z ): r = r = 59 (6.7) 5 r 5 5 = r = (6.8) r = Następnie wyznaczamy reakcje wywołane obciążeniem zewnętrznym. r = (6.9) 5 5 q W = q l r P 5 q r P P r P Rys Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego Z równowagi węzłów i otrzymamy wartości współczynników: r P = 5 q (6.) r P = 5 q (6.) Z równań łańcucha kinematycznego wyznaczamy wielkości przemieszczeń pod siłą P i siłą W wypadkową z obciążenia ciągłego. Wykorzystujemy wartości kątów ψ wyznaczone dla z =.

5 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 δ W ψ ψ ψ α z = [m] Rys Przemieszczenia pod siłami skupionymi wywołane jednostkowym przesuwem z = δ P ψ = P P = W,= W cos W = 5 6 Z równania pracy wirtualnej wyznaczamy wartość współczynnika r P: r P 5 5 q q P q l = P W r P =P 5 q (6.) 6 Po wyznaczeniu wartości wszystkich współczynników wstawiamy je do układu równań kanonicznych (6.). {9 5 z 5 z z 5 q= 5 z 8 5 z 5 z 5 q= z 5 z 59 5 z P 5 6 q = Przyjmijmy, że działająca siła skupiona P = 5 kn i obciążenie ciągłe q = 8 kn/m i dalsze obliczenia wykonamy na wartościach liczbowych obciążenia. Układ równań kanonicznych po podzieleniu przez, przyjmie wówczas postać: 6,667 {,8 z, z, z=, z,6 z,86 z = 6,667, z,86 z,96 z = 8, (6.) Po rozwiązaniu układu równań (6.) otrzymamy:

6 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 { z=,5796 z =,877 z =,57 (6.) Teraz, korzystając z wzorów transformacyjnych, możemy wyznaczyć rzeczywiste wartości przywęzłowych momentów zginających. M = [,5796 ],57 =,89 knm M = [,5796 ],57 =,5 knm M = 5 [ ],5796,877,57 5 8=,5 knm M = 5 [ ],5796,877,57 5 8=,5 knm M = [,877 ],57 =, knm M = [,877 ],57 =,6 knm M = 5 [ 5 ],877,57 =,6 knm M = 5 [ 5 ],877,57 =,79 knm Rzeczywisty wykres momentów będzie wyglądał następująco:,89,5,79,5 M P (n) [knm],6,,6 Rys Wykres momentów zginających w układzie statycznie niewyznaczalnym

7 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 Zadanie Wyznaczyć wartości współczynników rik i rit dla ramy obciążonej równomiernie rozłożoną temperaturą t (rys. 6.). t 6 [m] Rys. 6.. Rama obciążona termicznie Ponieważ podpora ślizgowa w węźle nie jest pod kątem prostym do osi pręta, nie możemy wykorzystać wzorów transformacyjnych dla pręta z podporą ślizgową. Rama wymaga dodatkowego zablokowania przesuwu w tym węźle. Do wyznaczenia współczynników r ik macierzy sztywności, oraz współczynników r it wywołanych działaniem temperatury t, przyjmujemy układ podstawowy ramę z zablokowanymi przemieszczeniami (rys. 6.). z z t z 6 [m] Rys. 6.. Układ podstawowy W celu wyznaczenia współczynników r ik tworzymy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych. Najpierw wywołany obrotem z = : r 5 z = r 5 r Rys. 6.. Stan z =

8 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 Do wyznaczenia współczynników związanych z przesuwami posłużą nam łańcuchy kinematyczne zapisane oddzielnie dla z i z. W układzie z zablokowanym przesuwem z dokonujemy przemieszczenia z =. ψ ψ z = 6 [m] Rys. 6.. Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = = Zauważmy, że jeżeli węzeł ma unieruchomiony przesuw poziomy, równanie łańcucha w poziomie możemy rozpocząć od tego węzła: = = Natomiast przemieszczenie pionowe w węźle jest nieznane, dlatego: 6 = = 8 Następnie możemy obliczyć wartości momentów przywęzłowych podstawiając otrzymane wielkości do wzorów transformacyjnych: z M = 6 8 = 6 z M = 5 [ ] = z M z =M z =M z =M = Obliczone wartości nanosimy na wykres (rys. 6.). W ten sposób otrzymaliśmy wykres w układzie podstawowym od pierwszego przesuwu (z = ).

9 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 6 r r z = r Rys. 6.. Stan z = Analogicznie tworzymy łańcuch kinematyczny od przesuwu z = (przesuw z jest zablokowany). z = ψ ψ ψ 6 [m] Rys Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha wyznaczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = = Tym razem unieruchomiony jest węzeł. = = 6 = = Następnie możemy obliczyć wartości momentów przywęzłowych od jednostkowego przesuwu: z M z =M = 5 = z M = [ ] = 8 z M = 5 = z M z =M = Obliczone wartości tworzą wykres momentów zginających w stanie z =.

10 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA z = r r 8 r Teraz wyznaczamy wartości współczynników r ik: Rys Stan z = reakcje związane z obrotem z wyznaczamy z równowagi węzła r = 5 = (6.5) r = (6.6) 6 r = 8 = 7 (6.7) reakcje związane z przesuwem z obliczamy z równania pracy wirtualnej wykorzystując kąty ψ z rysunku 6.5: r 8 = r = 7 (6.8) reakcje związane z przesuwem z uzyskujemy także z równania pracy wirtualnej, ale po podstawieniu kątów ψ związanych z tym kierunkiem (rys. 6.): r 5 5 = r = 7 (6.9) r 6 = r = 7 (6.) r = r = (6.) 6

11 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r 6 8 = r = 9 (6.) 6 r 8 8 = r = 7 (6.) W dalszej kolejności wyznaczamy współczynniki rit, które są reakcjami powstającymi w układzie podstawowym, ogrzanym równomiernie temperaturą t (rys. 6.7). W tym celu należy stworzyć wykres momentów w konstrukcji odkształconej na skutek działania temperatury. r T r T t r T 6 [m] Rys Stan T (równomierne ogrzanie temperaturą t ) W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów, wywołanych działaniem temperatury t, tworzymy łańcuch kinematyczny, uwzględniający wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji: t t t t = =,75 t t t t t t 6 t t t = =,5 t t t t t t t 6 t t t t t = =,75 t t t Dysponując kątami ik możemy wyznaczyć wartości momentów zginających: t M t =M = 5 [,75 t t ]=,9 t t t M = [,75 t t ]=,75 t t t M =,5 t t =,5 t t a następnie narysować ich wykres. Jest to wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t (rys. 6.8).

12 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA,9 α t t r T r T,75 α t t r T,9 α t t,5 α t t Rys Wykres momentów od równomiernego ogrzania w układzie podstawowym Teraz możemy wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu ramy w układzie podstawowym: z równowagi węzła r T =,9,75 t t =,75 t t (6.) z równania pracy wirtualnej reakcje po kierunku przesuwu i, biorąc odpowiednie grupy kątów ψ (rys. 6. i rys. 6.5): r T,9 t t,9 t t,75 t t 8,5 t t = r T = 6 t t (6.5) r T,9 t t,9 t t,75 t t,5 t t = r T = t t (6.6) Wartości (6.5) do (6.6) są poszukiwanymi w zadaniu wielkościami. Aby wyznaczyć wykres momentów w układzie rzeczywistym (niewyznaczalnym) należałoby rozwiązać układ równań kanonicznych. Zadanie Dla belki o zadanych parametrach (rys. 6.9) wyznaczyć wartości współczynników rik i rip. q J J [m] Rys Belka statycznie niewyznaczalna o zmiennej sztywności

13 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Przyjmujemy układ podstawowy metody przemieszczeń. Połączenie różnych sztywności traktujemy jako dodatkowy węzeł wewnętrzny, którego swobodę przemieszczeń musimy zablokować. Układ jest zatem trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny. z z q J J z [m] Rys. 6.. Układ podstawowy W pierwszej kolejności wyznaczymy współczynniki macierzy sztywności r ik. Obliczamy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych: z = r r z = r r 8 J 8 r J J J r 8 Rys. 6.. Stan z = Rys. 6.. Stan z = Do narysowania wykresu momentów związanych z przesuwem, podobnie jak w poprzednich przykładach, posłużymy się łańcuchem kinematycznym (rys. 6.). J J ψ ψ ψ z = [m] Rys. 6.. Kąty obrotu cięciw prętów wywołane jednostkowym przesuwem z = Z równań łańcucha obliczamy wartości kątów obrotu cięciw prętów: = =

14 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA = = = = i na ich podstawie wyznaczamy wartości przywęzłowych momentów zginających powstałych od jednostkowego przesuwu: z M z =M = = z M z =M = [ ] = z M z =M = Na koniec rysujemy wykres momentów wywołanych jednostkowym przesuwem z = : r r J r z = J Rys. 6.. Stan z = Z powyższych wykresów, zapisując równania równowagi w węzłach, możemy wyznaczyć wartości współczynników: r = 8 = (6.7) r = 8 8 =6 (6.8) r =r = (6.9) r = = (6.) r = (6.) Pozostałe współczynniki wyznaczymy wykorzystując równanie pracy wirtualnej: r =

15 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 r = (6.) r 8 = r = (6.) r 8 8 = r = (6.) Współczynniki rip znajdziemy tworząc wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym: r P r P q W q J J r P Rys Stan P Z równowagi węzłów i otrzymamy wartości współczynników rp i rp: r P = (6.5) r P = q (6.6) Aby wyznaczyć ostatni ze współczynników, potrzebna nam będzie wartość przemieszczenia pod siłą wypadkową z obciążenia ciągłego W = q l (w środku rozpiętości przęsła -). Wykorzystamy w tym celu równanie łańcucha kinematycznego, zapisanego od węzła do punktu przyłożenia wypadkowej: W,5= W W = Wartość współczynnika r P wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: r P q q q = r P = (6.7)

16 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Zadanie Korzystając z możliwych uproszczeń rozwiązać ramę z rys = const. P P [m] Rys Rama statycznie niewyznaczalna Schemat jest antysymetryczny. Dla porównania, rozwiązując zadaną ramę bez zastosowania uproszczeń SKN =, natomiast wykorzystując antysymetrię SKN takiego układu redukuje się o jeden stopień i wynosi SKN =. Przyjmijmy zatem układ podstawowy metody przemieszczeń (rys. 6.7) ograniczony do połowy ramy i zastosujmy antysymetrię rozwiązania. Pręty na osi symetrii mają sztywność zmniejszoną o połowę. P z z z Rys Układ podstawowy [m] Związany z układem podstawowym, układ równań kanonicznych ogranicza się do trzech równań: {r z r z r z r P= r z r z r z r P = r z r z r z r P = (6.8) W celu wyznaczenia współczynników r ik tworzymy wykresy momentów w poszczególnych stanach jednostkowych:

17 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 5 r 5 r r r r 8 r Rys Stan z = Rys Stan z = Aby wyznaczyć wartości współczynników związanych z przesuwem po kierunku trzecim, tworzymy łańcuch kinematyczny. ψ ψ ψ ψ z = [m] Narzucając jednostkowy przesuw po kierunku trzecim, zapisujemy równania łańcucha kinematycznego. = = = = 6 = = = = Dysponując kątami obrotu cięciw prętów, wyznaczamy wartości przywęzłowych momentów zginających: z M z =M = 5 [ ] = z M z =M = 6 = 9 z M z =M = =

18 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 z M = [ ] = z M = i rysujemy wykres momentów wywołanych jednostkowym przesuwem z = 9 r r r 9 Rys. 6.. Stan z = Na podstawie wykresów jednostkowych (rys. 6.8, rys. 6.9, rys. 6.) możemy wyznaczyć wartości współczynników r ik: z równowagi w węzłach z równania pracy wirtualnej r = 5 = 9 (6.9) 5 r = 8 9 = (6.) r =r = (6.) r = 9 = (6.) 6 r = 9 5 = (6.) 8 r = r = 577 (6.) 5 r = r = (6.5) 6

19 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 r 6 8 = r = 5 (6.6) 8 W dalszej kolejności wyznaczamy składniki wektora wyrazów wolnych, zależne od obciążenia zewnętrznego, w naszym przypadku od siły skupionej P. P r P r P r P Rys. 6.. Stan P Wprost z wykresu (rys. 6.) odczytujemy: r P = (6.7) r P = (6.8) Następnie z łańcucha kinematycznego wyznaczamy wielkość przemieszczenia po kierunku działania siły P: = P P = Z równania pracy wirtualnej wyznaczamy wartość współczynnika r P: r P P P = r P =P (6.9) Po wyznaczeniu współczynników rik i rip, wstawiamy je do układu równań kanonicznych i wyznaczamy wartości rzeczywistych przemieszczeń: {9 5 z z 6 z = z 9 z 5 8 z = 6 z 5 8 z z P= (6.5) Zakładając, że rama wykonana jest ze stalowych kształtowników I, których sztywność wynosi = 66 knm, natomiast działająca siła skupiona P = 5 kn, możemy wyznaczyć wartości szukanych przemieszczeń.

20 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA {566,8 z z,875 z= z 9,75 z 6,875 z =,875 z 6,875 z,5 z = 5 (6.5) Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy: {z=,99 [ rad ] z =,65 [rad ] z =,887 [m] (6.5) Znając wartości przemieszczeń węzłów, wykorzystując wzory transformacyjne, możemy wyznaczyć rzeczywiste wartości przywęzłowych momentów zginających. M = 5 [,99,887 ] ] M = 5 [,99,887 = 7,9 knm =,8 knm M = [,99,65 6,887 ] =,8 knm M = [,99,65 6,887 ] =6,8 knm M = M = M = [,65,887 ] = 7,77 knm M = [,65,887 ] =,96 knm [,65,887 ] =,9 knm Jako, że rozwiązując ramę skorzystaliśmy z uproszczenia, rozwiązaliśmy połowę ramy, całkowity wykres momentów będzie antysymetryczny względem osi symetrii układu (rys. 6.). 67,8,8 6,8,9 55,5,8 7,9 7,9 [knm] Rys. 6.. Wykres momentów zginających w układzie niewyznaczalnym

21 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 5 Dla belek o zadanej geometrii i obciążeniu (rys. 6. a) i b)) wyznaczyć linie wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. a) M = const. x [m] b) P = const. x [m] Rys. 6.. Belki obciążone poruszającymi się a) momentem, b) siłą a) Wyznaczymy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od poruszającego się momentu skupionego. Przyjmujemy układ podstawowy: M z x [m] Rys. 6.. Układ podstawowy oraz warunki zapewniające zgodność statyczną z układem początkowym. Ponieważ belka ta jest jednokrotnie kinematycznie niewyznaczalna (SKN =), będzie to tylko jedno równanie: r =r z x r P x = (6.5) Do wyznaczenia współczynnika r potrzebny nam będzie wykres momentów w stanie z = : r Rys Stan z =

22 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zapisując równanie równowagi momentów w węźle otrzymamy wartość r: r = = (6.5) Do wyznaczenia współczynnika r P(x) potrzebny nam będzie wykres momentów od obciążenia zewnętrznego. Ponieważ tutaj obciążeniem zewnętrznym jest poruszający się moment, stan P rozdzielimy na dwa przypadki: x, - moment M porusza się po przęśle -: M r P (x) x [m] Rys Stan P ( x, ) Aby znaleźć wykres momentów na przęśle - wykorzystamy metodę sił. Za niewiadomą X przyjmiemy pionową reakcję w podporze. M r (x) P X (x) x [m] Zauważmy, że reakcja rp(x) jest w tym przypadku momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania: M : r P x = M X x (6.55) X x P x = (6.56) Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: x M X (x) x M x M - x M P (x) Rys Stan X = Rys Stan P

23 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: = M M dx= =6 P x = M M x P dx= [ x x M ] x M = [ x M ] x = = M 8 x (6.57) (6.58) a następnie obliczyć niewiadomą X(x): X x = P = M x 6 8 = 8 M x 6 (6.59) Podstawiając wartość nadliczbowej reakcji X(x) do równania (6.55) możemy wyznaczyć wartość rp(x): r P x = 8 M x 6 M = M 6 x (6.6) Otrzymane współczynniki (6.5 i 6.6) podstawiamy do równania kanonicznego (6.5) i wyznaczymy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od momentu zginającego znajdującego się na przęśle -. M z x = r x P = r x 6 (6.6) po uproszczeniu: lw M =z x = M 6 x = M 8 x 6 (6.6) x,8 - moment M porusza się po przęśle -: r P (x) M x [m] Rys. 6.. Stan P ( x, 8 ) Podobnie jak poprzednio, do dalszych obliczeń wykorzystamy metodę sił i twierdzenie Wereszczagina-Mohra, z tą różnicą, że teraz utwierdzenie jest na lewym końcu pręta, a przegub na prawym:

24 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA r P (x) M x X (x) [m] Reakcja rp(x) jest momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x = M X x (6.6) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania (6.56). Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: a) x - x -x X (x) M b) M x M M P (x) Rys. 6.. Stan a) X =, b) P Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy obliczyć współczynniki = M M dx= =6 (6.6) P x = M M x P dx= [ x M ] x = M x 8 x (6.65) a następnie wyznaczyć niewiadomą X (x): X x = P x = M x 8 x 6 = 8 M 8 x x (6.66) Podstawiając wartość nadliczbowej reakcji X (x) do równania (6.6) możemy wyznaczyć wartość r P(x): r P x = M 8 x x M =M x x (6.67) Znając współczynniki równania kanonicznego (6.5) wyznaczamy linię wpływu kąta obrotu przy podporze od momentu zginającego znajdującego się na przęśle -.

25 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 z x = r P x r = M x x (6.68) i dalej lw M =z x = M x x = M 8 x x (6.69) Na podstawie równań (6.6) i (6.69) możemy narysować linię wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. Zauważmy, że ze względu na antysymetrię obciążenia (moment M działa na obu przęsłach z różnymi znakami) i antysymetrię wyniku (kąt φ), w efekcie otrzymujemy wynik symetryczny, widoczny na wykresie M mnożnik 8 Rys. 6.. Linia wpływu LW φ (M) b) Ten przykład różni się od poprzedniego jedynie rodzajem obciążenia, a jak wiemy układ podstawowy i macierz sztywności nie zależą od obciążenia, dlatego tutaj posłużymy się tym samym układem podstawowym i macierzą sztywności. Różny będzie jedynie stan P i jemu przyjrzymy się dokładniej. Podobnie jak poprzednio podzielimy belkę na dwie części i rozpatrzymy je osobno: x, - siła porusza się po przęśle -: P r P (x) x [m] Rys. 6.. Stan P ( x, ) Aby znaleźć wykres momentów na przęśle - wykorzystamy metodę sił. Za niewiadomą X (x) przyjmiemy pionową reakcję w podporze. P r P (x) X (x) x [m]

26 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Reakcja rp(x) jest w tym przypadku również momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x =P x X x (6.7) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania kanonicznego (6.56). Do obliczenia współczynników δ i δ P(x) posłużą nam wykresy w poszczególnych stanach: x x X (x) M P x -x P( - x) M P (x) Rys. 6.. Stan X = Rys Stan P Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: P x = M M x P dx= = M M dx= =6 [ x P x x ] = a następnie obliczyć niewiadomą X (x) z równania (6.56). X x = P x = P [ x ] x 6 6 (6.7) P [ x ] x 6 (6.7) = P 6 [ x x 6 ] (6.7) Znając wartość nadliczbowej reakcji X (x) możemy wyznaczyć wartość r P(x) z równania (6.7): r P x =P x P 6 [ x x 6 ] =P [ x 6 x x 6 ] (6.7) Linię wpływu kąta obrotu przy podporze od siły skupionej znajdującej się na przęśle - wyznaczamy z wzoru (6.5). z P[ x = r x x P = r 6 x ] x 6 (6.75) lw P =z x = P 6 x x = P 6 x 8 x (6.76)

27 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 x,8 - siła porusza się po przęśle -: r P (x) P x [m] Rys Stan P ( x, 8 ) Podobnie jak poprzednio, do dalszych obliczeń wykorzystamy metodę sił i twierdzenie Wereszczagina-Mohra, z tą różnicą, że teraz utwierdzenie jest na lewym końcu pręta, a przegub na prawym: r P (x) P x X (x) [m] Reakcja r P(x) jest w tym przypadku momentem w utwierdzeniu w węźle, zatem wyznaczymy ją zapisując równanie sumy momentów względem węzła : M : r P x = P x X x (6.77) Niewiadomą X (x) wyznaczymy z równania (6.56), którego współczynniki δ i δ P(x) obliczymy na podstawie wykresów momentów w poszczególnych stanach: x -x P x P - x X (x) Rys Stan X = Korzystając z twierdzenia Wereszczagina-Mohra możemy napisać: M x Rys Stan P M P (x) P x = M M x P dx= = M M dx= =6 [ x P x x ] = a następnie obliczyć niewiadomą X (x) z równania kanonicznego (6.56). (6.78) P [ x] x 6 (6.79)

28 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 X x = P x = P [ x 6 x] 6 = P 6 [ 6 x x ] (6.8) Znając wartość nadliczbowej reakcji X (x) możemy wyznaczyć wartość r P(x) z równania (6.77): r P x = P x P 6 [ 6 x x ] =P [ 8 x x x ] (6.8) Linię wpływu kąta obrotu przy podporze od siły skupionej znajdującej się na przęśle - wyznaczamy z wzoru (6.5). z P [ x = r x P 8 x x ] x = r (6.8) I dalej lw P =z x = P [ x 8 x x] = P 8 [ x x x ] (6.8) Na podstawie równań (6.76) i (6.8) możemy narysować linię wpływu kąta obrotu przekroju przy podporze środkowej. Tym razem, ze względu na symetryczne obciążenie i antysymetryczny wynik (kąt φ), otrzymamy ostatecznie wykres antysymetryczny mnożnik P Rys Linia wpływu LW φ (P) Zadanie 6 Wyznaczyć wartości momentów przywęzłowych Mik i Mki dla belki sprężyście podpartej wywołanych obrotem podpory w węźle i (rys. 6.5). φ i i k χ χ l Rys Belka statycznie niewyznaczalna sprężyście podparta

29 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 Zadanie rozwiążemy korzystając z zasady superpozycji. M ik =M ik ' M ik ' ' i ', k ' (6.8) M ki =M ki ' M ki ' ' i ', k ' (6.85) Momenty Mik' i Mki' wyznaczone są dla belki o podporach niepodatnych i wynoszą: M ik '= l i (6.86) M ki '= l i (6.87) Wyznaczając wartości dodatkowych momentów spowodowanych obecnością podpór sprężystych, należy uwzględnić kąty obrotu φi' i φk' podpór podatnych M ik ' '= l i ' k ' (6.88) M ki ' '= l i ' k ' (6.89) które są zależne od wartości momentów węzłowych i sztywności podpór i : i '= M ik (6.9) k '= M ki (6.9) Po zsumowaniu (6.86) i (6.88) oraz (6.87) i (6.89), zgodnie z zasadą superpozycji, otrzymamy: M ik = l i l i ' k ' (6.9) M ki = l i l i ' k ' (6.9) Żeby wyznaczyć zależność pomiędzy Mik i Mki dodajemy do siebie równania (6.9) i (6.9) M ik M ki = l i l i ' k ' l i l i ' k ' = M ik = M ki (6.9) Powróćmy teraz do zależności na M ik (6.9), gdzie za φ i' i φ k' wstawiamy (6.9) i (6.9) M ik = l i l M ik M ki (6.95)

30 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Następnie dokonujemy podstawienia K '= l K '= l które prowadzi do następującej postaci wzoru na M ik M ik = l i M ik K M ki K Po przekształceniach oraz podstawieniu zależności (6.9) otrzymujemy ogólny wzór M ik M ik K M ki K = l i M ik K K = l i M ik K K K K K K = l i M ik = l i K K K K K K (6.96) Na podstawie (6.9) możemy zapisać M ki = M ik = l i K K K K K K (6.97) Jeżeli przyjmiemy założenia, że i = K =K =K dostajemy szczególne, prostsze postacie wzorów (6.96) i (6.97) M ik = l M ki = l K K K K

31 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 7 Wyznaczyć wartość siły krytycznej P = P kr oraz wzory transformacyjne dla belki obciążonej siłami ściskającymi (rys. 6.5). P i k P χ l Rys Belka statycznie niewyznaczalna Dla wyznaczenia siły krytycznej zapiszmy najpierw warunki brzegowe obejmujące przemieszczenia i siły (warunki kinematyczne i statyczne). w x= = w x=l = x= = i ' M x=l = (6.98) Warunki te są zerowe poza warunkiem na kąt obrotu podpory i (φ i'), jest różny od zera z uwagi na podatności podpory i '= M ik (6.99) Przypomnijmy postacie znanych już równań (9.5), (9.6) i (9.7), spełniających równanie różniczkowe w x =C C x C sin x C cos x (6.) x = dw x =C dx C cos x C sin x (6.) M x = d w dx = [ C sin x C cos x] (6.) Na podstawie zależności (6.) możemy wyznaczyć wartość przywęzłowego momentu M ik, M ik =M x= = [ C sin C cos ] M ik =M x= = C którą następnie podstawiamy do (6.99) i '= C (6.)

32 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Teraz możemy utworzyć układ równań opisujący warunki brzegowe {C C C sin C cos = C C = C C l C sin l C cos l= C C cos C sin = C C C C = [ C sin l C cos l ]= Zauważmy, że jest to układ równań jednorodnych. Zatem nietrywialne rozwiązanie występuje jedynie, gdy wyznacznik tego układu jest równy zeru. Zanim jednak zapiszemy ten wyznacznik, dla uproszenia obliczeń zmniejszymy liczbę niewiadomych do dwóch. Z pierwszego równania otrzymujemy zależność: C = C i wprowadzamy ją do pozostałych trzech równań { C C l C sin l C cos l= C C C = C sin l C cos l= Przekształcając ostatnie równania otrzymujemy C = C tg l co po podstawieniu do pozostałych dwóch równań {C tg l C l C sin l C tg l cos l= C C C tg l = doprowadziło do układu {C l C sin l sin l tg l = C C tg l = Rozwiązanie uzyskamy po przyrównaniu wyznacznika do zera l tg l det W =det = tg l Po rozwinięciu dostaliśmy równanie, w którym jedyną niewiadomą jest λ

33 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Jak pamiętamy, wzór opisujący współczynnik λ ma postać tg l l tg l= (6.) = N Na jego podstawie możemy wyznaczyć siłę krytyczną: P kr =N = (6.5) Wartość λ należałoby wyznaczyć z równania (6.). Niestety uzyskanie analitycznej postaci rozwiązania tego równania jest niemożliwe, ponieważ równanie to jest przestępne. Przybliżone rozwiązanie otrzymamy stosując metody numeryczne. Przejdźmy teraz do wyznaczenia wzorów transformacyjnych dla tej belki. Należy rozwiązać układ niejednorodnych równań. Zadanie polega na znalezieniu relacji pomiędzy węzłowymi przemieszczeniami, a siłami przywęzłowymi. Wyznacza się je z warunków brzegowych. W tym przypadku trzy z czterech warunków są niezerowe: w x= =v i w x=l =v k x= = i i ' M x=l = (6.6) Analogicznie do poprzedniego przypadku w warunku na kąt obrotu podpory i należy uwzględnić jeszcze dodatkowy obrót podpory φ i', który wynika z jej podatnego zamocowania. i '= M ik Tak jak poprzednio wyznaczyliśmy wartość M ik i φ i' M ik =M x= = C i '= C Tworzymy układ równań, {C C C sin C cos =vi C C l C sin l C cos l=v k C C cos C sin C = i [ C sin l C cos l ]= (6.7)

34 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA {C C =vi C C l C sin l C cos l=v k C C = i C C sin l C cos l= z którego dalej wyznacza się wartości stałych C, C, C, C. Znając te wartości można znaleźć wzory transformacyjne: M ik = C (6.8) M ki = (6.9) T ik =T ki = N C (6.) Zadanie 8 Obliczyć częstość kołową drgań własnych ω dla ramy z rys. 6.5: m =m m =m [m] Rys Zadana rama Metoda pierwsza rozwiązanie z użyciem współczynników podatności δ ik W zagadnieniu obliczania częstości drgań własnych, układów dyskretnych o wielu stopniach swobody, w którym korzystamy ze współczynników podatności, posługujemy się następującym równaniem: gdzie: w i(t) to przemieszczenie punktu i, iloczyn m j w j t jest siłą bezwładności działającą po kierunku j, n w i t = m j w j t ' ij (6.) δ'ij oznacza przemieszczenie po kierunku i wywołane jednostkową siłą po kierunku j. j= Analizowany układ ma jeden stopień swobody dynamicznej (i =, j = ).

35 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 m m w Rozwiązanie równania różniczkowego (6.) przewidujemy w postaci funkcji w t =A sin t, której druga pochodna wynosi: w t = A sin t. Zatem równanie (6.) przyjmie postać: A sin t = [ m m A sin t ] ' (6.) Po przekształceniach otrzymujemy: = (6.) m m ' Widać zatem, że aby wyznaczyć częstość drgań własnych przy zadanych masach, musimy znaleźć przemieszczenie po kierunku działania siły bezwładności od jednostkowego obciążenia. P = δ ' W tym celu rozwiążmy ramę metodą sił przyjmując układ podstawowy jak na rys.6.5. X X X Rys Układ podstawowy Warunki kinematycznej zgodności układu podstawowego metody sił z rzeczywistą konstrukcją zapewni układ równań kanonicznych: { X X X P= X X X P = X X X P = (6.) którego współczynniki obliczymy na podstawie wykresów jednostkowych.

36 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 Wykres momentów od działania siły X = : Wykres momentów od działania siły X = : 8 Rys Stan X = X X Rys Stan X = Wykres momentów od działania siły X = : X Rys Stan X = Współczynniki układu równań kanonicznych metody sił są następujące: = [ ] =656 = [ 8 ] = 9 = [ 8 ] = = [ ] =5 = [ ± ] = = [ ]=

37 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 7 Stan P: P = Rys Stan P Wyrazy wolne układu równań wynoszą: P = [ 8 ] = 6 P = [ ] = P = [ ] = 8 Po wyznaczeniu współczynników układu równań kanonicznych wyznaczamy wartości nadliczbowych reakcji. Po rozwiązaniu układu równań otrzymamy: {656 X 9 X X 6 = 9 X 5 X X = X X X 8= {X =,5 X =, X =,77= (6.5) Wykres momentów zginających w zadanej ramie niewyznaczalnej od obciążenia P = jest następujący: 8 8 Rys Wykres momentów od obciążenia jednostkowego

38 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 8 W celu wyznaczenia współczynnika δ ', (czyli przemieszczenia w kierunku pionowym od siły jedynkowej działającej w kierunku pionowym), dokonujemy całkowania funkcji ciągłych obrazujących przebieg momentów od stanu P = w układzie statycznie wyznaczalnym (wykres na rys. 6.57) i przebieg momentów od obciążenia P = w układzie statycznie niewyznaczalnym (wykres na rys. 6.58). Całkowanie dokonujemy wykorzystując twierdzenie Wereszczagina Mohra. ' = [,5 ] 8 = 6 Podstawiając otrzymaną wartość do równania (6.) otrzymujemy wartość częstości kołowej drgań własnych: = 6 m = 6 m =,6 m (6.6) Metoda druga rozwiązanie z użyciem współczynników sztywności r ik Częstości drgań własnych można obliczyć także za pomocą współczynników sztywności. Rozwiązanie obiema metodami zestawiono celowo, by pokazać, że w niektórych zadaniach częstości drgań układów statycznie niewyznaczalnych łatwiej jest rozwiązać stosując współczynniki sztywności. Rozwiązanie zadania sformułowanego przez sztywność rozpoczynamy od przyjęcia układu podstawowego metody przemieszczeń: φ = constans φ u Rys Układ podstawowy metody przemieszczeń Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń jest następujący: {r r r u R P= r r r u R P = r r r u R P = (6.7) W celu wyznaczenia współczynników rij należy znaleźć wartości momentów w poszczególnych stanach jednostkowych.

39 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 9 stan, φ =,5 Rys Stan φ = Na podstawie wykresu momentów od stanu pierwszego możemy z równowagi węzłów wyznaczyć współczynniki r i r, które wynoszą: r r Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = 7 r = stan, φ =,5 Rys Stan φ = Na podstawie wykresu momentów od stanu drugiego z równowagi węzłów możemy wyznaczyć współczynniki r i r, które wynoszą: r r Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = r =7

40 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA stan, u =. Kąty obrotu cięciw prętów wyznaczone zostały z łańcucha kinematycznego i mają następujące wartości: = = = u = Rys Stan u = Na podstawie wykresu momentów od stanu trzeciego z równowagi węzłów możemy wyznaczyć współczynniki r = r i r = r, które wynoszą: 8 r r 8 Rys Wyznaczenie współczynników z równowagi węzłów i r = 8 r = 8 Współczynnik r wyznaczymy z równania pracy wirtualnej: r 8 8 = r = 8 Pozostały do wyznaczenia wyrazy wolne układu równań kanonicznych metody przemieszczeń. R P -mu R P -mu R P Rys Stan P

41 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Należy jednak zauważyć, że jak ma to miejsce w naszym zadaniu, masa jest skupiona dokładnie w punkcie. Nie ma zatem sił bezwładności od ruchu obrotowego (J = ), a co za tym idzie: R P = J = R P = J = Niezerowa natomiast pozostaje wartość trzeciej reakcji: R P = m m u Podstawmy zatem uzyskane współczynniki do układu równań: {7 8 u = 7 8 u = u m u = (6.8) Jeżeli dodamy do siebie dwa pierwsze równania z powyższego układu równań, to otrzymamy, że = (6.9) Jeśli podstawimy to równanie do drugiego równania układu, otrzymamy zależność między φ a u: Podstawiając (6.9 i 6.) do równania trzeciego układu otrzymamy: = 9 u (6.) 8 9 u 8 9 u 8 u m ü = (6.) Przyjmując, że u = A sin t oraz ü = A sin t otrzymujemy: 66 A sin t m A sin t = 6 m A sin t = Odrzucając rozwiązanie trywialne (A = lub ω = ) mamy 6 m = = 6 m =,6 m (6.) Jak widać taka samą wartość częstości drgań własnych uzyskano mniejszym nakładem pracy wykorzystując współczynniki sztywności.

42 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie 9 Dla belki o ciągłym rozkładzie masy obliczyć częstość kołową drgań własnych ω oraz wzory transformacyjne Mik, Mki, Tik, Tki. i k l Rys Belka o ciągłym rozkładzie masy Przeanalizujmy najpierw drgania własne belki. W układzie przedstawionym na rys kąty obrotu podpór, siła poprzeczna przy podporze i oraz przemieszczenie pionowe podpory k powinny być równe zero: {T x= = x= = W x=l = x=l = {W ' ' ' x= = W ' x= = W x=l = W ' x=l = (6.) Przyjmując funkcję rozwiązującą w postaci wielomianu obliczamy pochodne po x: W x =A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.) W ' x = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.5) W ' ' x = M = A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.6) W ' ' ' x = T = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.7) Na tej podstawie rozpisujemy warunki brzegowe (6.), otrzymując układ równań jednorodnych { A cos B sin C cosh D sinh = A cos B sin C cosh D sinh = A sin l B cos l C sinh l D cosh l= A cos l B sin l C cosh l D sinh l= { A C= A C= A sin l B cos l C sinh l D cosh l= A cos l B sin l C cosh l D sinh l= Z pierwszych dwóch równań wprost wynika, że A=C= Rozwiązanie dwóch pozostałych równań jednorodnych

43 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA { B cos l D cosh l= B sin l D sinh l= jest niezerowe (nietrywialne) gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy zero: cos l cosh l W = (6.8) sin l sinh l det W = (6.9) cos l sinh l sin l cosh l= cos l cosh l tgh l tg l= (6.) Z powyższego równania (6.) powinniśmy wyliczyć nieskończenie wiele pierwiastków α (funkcje trygonometryczne są okresowe). W funkcji rozwiązującej (6.) współczynnik α zależy od rozkładu masy μ = (6.) Po przekształceniu możemy wyznaczyć wartość ω = (6.) Przejdźmy teraz do wyznaczenia wzorów transformacyjnych. Tak jak poprzednio zapisujemy warunki brzegowe (6.). Jednak tym razem poszukujemy wartości sił przywęzłowych w zależności od węzłowych przemieszczeń. Wobec tego przemieszczenia węzłowe muszą być określone: {T x= = x= = i W x=l =v k x=l = k {W ' ' ' x= = W ' x= = i (6.) W x=l =v k W ' x=l = k { A cos x B sin x C cosh x D sinh x= A cos B sin C cosh D sinh = i A sin l B cos l C sinh l D cosh l=v k A cos l B sin l C cosh l D sinh l= k Po podstawieniu (6.), (6.5) i (6.7) otrzymujemy: { A C= A C= i A sin l B cos l C sinh l D cosh l=v k A cos l B sin l C cosh l D sinh l= k

44 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA Po wyznaczeniu stałych A, B, C i D możemy zapisać wzory na siły wewnętrzne wykorzystujące zależności różniczkowe (6.6) i (6.7): czyli: M = W ' ' T = M x = W ' ' ' M = A sin x B cos x C sinh x D cosh x (6.) T = A cos x B sin x C cosh x D sinh x (6.5) Otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych M ik =M x= = B D (6.6) M ki =M x=l = A sin l B cos l C sinh l D cosh l (6.7) T ik =T x= = A C = (6.8) T ki =T x=l = A cos l B sin l C cosh l D sinh l (6.9) Zadanie Wyznaczyć częstość kołową drgań własnych ω dla ramy o ciągłym rozkładzie masy (rys. 6.68). Rys Zadana rama Do rozwiązania tego problemu posłużymy się wzorami transformacyjnymi dotyczącymi drgań prętów o ciągłym rozkładzie masy. Wzory transformacyjne wiążą siły przywęzłowe z przemieszczeniami. W danym zadaniu należy uwzględnić zarówno drgania poprzeczne jak i podłużne obu prętów. Punktem wiążącym oba pręty jest węzeł, którego równowaga musi zostać zachowana: [m] N T T M M N Rys Równowaga węzła

45 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 5 Dla węzła nr musi zachodzić: { M = Y = X = (6.) Po rozpisaniu: {M M = N T = T N = (6.) Kolejne wartości sił wewnętrznych określają wzory transformacyjne: dla drgań poprzecznych: dla drgań podłużnych: M = [ c s r v t v ] (6.) M = [ c ' ' s' ' r ' ' v t ' ' v ] (6.) T = 6 [ t r n v m v ] (6.) T = 6 [ t ' ' r ' ' n' ' v m' ' v ] (6.5) N = EA [ a u b u ] (6.6) N = EA [ b' u a ' u ] (6.7) Po uwzględnieniu warunków brzegowych (podpory i nie przemieszczają się), czyli przyjęciu, że: φ = v = u = φ = v = u =, z układu (6.) otrzymujemy: { EA 6 [ t m v ] EA b' ' u = [ c t v ] [ c ' ' t ' ' v ] = b u 6 [ t ' ' m' ' v ] = (6.8) gdzie:

46 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6 '= = l= = cosh sin sinh cos c ' ' =c = cosh cos t ' ' =t = sin sinh cosh cos m' ' =m = sinh cos cosh sin cosh cos (6.9) (6.5) (6.5) (6.5) '= =l EA = EA (6.5) b' ' =b = cot (6.5) Należy zauważyć, że wartości współczynników c, t, m, b są takie same dla obu prętów, ponieważ pręty te mają taką samą długość, przekrój i sztywność. Po przekształceniach otrzymujemy układ równań jednorodnych. { c,5 t v = b u t,5 m v = b u t,5 m v = (6.55) Warunkiem otrzymania rozwiązania tego układu równań jest zerowanie się wyznacznika następującej macierzy: c,5 t b t,5 (6.56) A=[ b t,5 m ] Przyrównanie wyznacznika macierzy A do zera prowadzi do uzyskania równania zależnego od częstości drgań własnych ω (gdyż wielkości λ oraz η są funkcjami ω). Zatem rozwiązanie równania det A = doprowadzi do uzyskania wartości szukanych częstości drgań własnych. Z uwagi na rozbudowaną postać współczynników b, c, m, t obliczenia najlepiej przeprowadzić w sposób numeryczny.

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS

Bardziej szczegółowo

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy

Bardziej szczegółowo

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH 5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3 16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 1 16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 16.1. METODA SIŁ 16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych Z rozważań poprzedniego rozdziału wynika, że istnieje

Bardziej szczegółowo

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1 Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych

Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją ..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od wyznaczenia wartość momentów zginających wywołanych działaniem siły 20[kN]. Rys. 2

Rys. 1. Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od wyznaczenia wartość momentów zginających wywołanych działaniem siły 20[kN]. Rys. 2 Dynaika Drgania wyuszone nietłuione - Raa /9 Dynaika Drgania wyuszone nietłuione Raa Wyznaczyć siły kinetyczne działające na raę jak na rysunku, obciążoną zienna haronicznie siłą P o. Przyjąć następujące

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku.. rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Linie wpływu reakcji i sił wewnętrznych w belkach gerbera. Obciążanie linii wpływu. dr inż. Hanna Weber

Wykład 6: Linie wpływu reakcji i sił wewnętrznych w belkach gerbera. Obciążanie linii wpływu. dr inż. Hanna Weber Wykład 6: Linie wpływu reakcji i sił wewnętrznych w belkach gerbera. Obciążanie linii wpływu. Zadanie. Dla przedstawionej belki wrysować linie wpływu momentów podporowych, sił wewnętrznych w zadanych przekrojach

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

BELKI GERBERA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie.

BELKI GERBERA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie. Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem n s = 0). Przykładowy schemat: A ELKI GERERA V V Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu: n s = R P 3 gdzie:

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH

OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH Sporządził: Bartosz Pregłowski Grupa : II Rok akadem: 2004/2005 OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II

Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II Dr inż. Jacek Dyczkowski Studia stacjonarne, KB, II stopień, rok I, semestr I 1 K. Kopuły Rys. K-1 [5] 2 Obciążenia i siły od ciężaru własnego kopuły, pokazanej na rys.

Bardziej szczegółowo