Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,

Transkrypt

1 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie drgania, które wywołują przemieszczenia w x, t prostopadłe do osi Rozpatrzmy nieskończenie mały wycinek pręta o długości dx, charakteryzujący się gęstością iniową [kg /m] (rys. 14.1). dm=μ dx x y,w dx Rys Eement dx beki Wszystkie wiekości fizyczne i geometryczne q, M, T, r, ω są funkcjami położenia i czasu f x,t, zaeżą od współrzędnej anaizowanego punktu i od chwii czasu. Ponieważ wycinek pręta dx posiada masę dm, to podczas ruchu działa na niego siła bezwładności: r x, t = dm 2 w x, t t 2 Po wycięciu eementu dx z konstrukcji działają na niego siły: q(x,t) T(x,t) T x, t T x, t dx r(x,t) Rys Siły działające na eement dx Zapisując równanie równowagi Y =0 otrzymujemy: T x, t T x, t T x, t dx q x, t dx r x, t =0 Da pręta nieobciążonego (q(x,t)=0) przy anaizie drgań swobodnych mamy: T x, t dx r x, t =0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

2 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 2 a po podstawieniach wyrażeń na siłę bezwładności i masę: T x, t dx dm 2 w t =0 2 T x, t dx dx 2 w t =0 2 Da pręta zginanego wzgędem zmiennej x obowiązuje zaeżność łącząca krzywiznę beki z momentem zginającym: EJ 2 w 2 = M Po dwukrotnym zróżniczkowaniu po zmiennej x otrzymujemy: EJ 4 w x, t = 4 M = T Wykorzystując zaeżność na pochodną siły tnącej w równaniu równowagi mamy: Upraszczając zapis: EJ 4 w x, t 2 w x, t =0 4 t 2 EJ IV =0 (14.1) Naeży zwrócić uwagę, wzgędem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t, I pochodne po współrzędnej przestrzennej x. Wprowadzamy do zapisu rozdział zmiennych. Przemieszczenie jest ioczynem funkcji W zaeżnej tyko od przestrzeni i funkcji T zaeżnej tyko od czasu: Pochodne iczymy po odpowiednich zmiennych: w x, t =W x T t (14.2) EJ d 4 W x T t d 2 T t W x =0 d x 4 d t 2 Po podzieeniu przez wyrażenie W x T t otrzymujemy sumę: d 4 W x d 2 T t EJ d x 4 d t 2 =0 W x T t (14.3) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

3 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 3 Aby równanie było spełnione, wyrażenia muszą być sobie równe, ecz z przeciwnym znakiem. Da rozwiązań różnych od zera każdy z członów przedstawia pewną skaarną wartość 2. EJ d 4 W x d x 4 = W x d 2 T t d t 2 = 2 T t Następnie możemy rozwiązać oba równania niezaeżnie, najpierw da zmiennej t, a potem x. d 2 T t d t 2 = 2 d 2 T t 2 T t =0 T t d t 2 Postępując anaogicznie jak przy anaizie ruchu punktu materianego, po wstawieniu w równaniu (12.8) za funkcję q t przemieszczenie T t otrzymujemy rozwiązanie: T t =C 1 sin t C 2 cos t= C sin t Stałe równania C i możemy wyznaczyć z warunków początkowych (czas). Wprowadzając podstawienie d 4 W x EJ d x 4 = 2 d 4 W x 2 W x =0 W x d x 4 EJ 4 = 2 EJ (14.4) otrzymujemy d 4 W x d x 4 4 W x =0 (14.5) Rozwiązaniem, całką ogóną równania różniczkowego (14.5) jest wieomian: W x =A sin x B cos x C sinh x D cosh x (14.6) A, B, C i D to wiekości stałe niezaeżne od czasu, które możemy wyznaczyć z warunków brzegowych (przestrzeń). Daej będziemy poszukiwać rozwiązań da konkretnych beek różniących się sposobem podparcia Beka swobodnie podparta Zastanówmy się jak będą wygądały drgania własne pręta, rozpatrując przypadek beki swobodnie podpartej (rys. 14.3). Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

4 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 4 EJ [Nm²] μ [kg/m] Rys Beka swobodnie podparta W układzie przedstawionym na rys przemieszczenia i momenty zginające nad podporami powinny być równe zero: 1) W x=0 =0 2) M x=0 =W II 0 =0 3) W x= =0 4) M x= =W II =0 Rozwiązaniem ogónym jest wieomian: którego druga pochodna wynosi: W x =A sin x B cos x C sinh x D cosh x W II x = 2 A sin x 2 B cos x 2 C sinh x 2 D cosh x 1) 2) 3) 4) Z warunków brzegowych otrzymujemy równania: B D=0 B D=0 A sin B cos C sinh D cosh =0 2 A sin 2 B cos 2 C sinh 2 D cosh =0 A sin B cos C sinh D cosh =0 Z warunku 1) i 2) otrzymujemy wprost: co wykorzystujemy w równaniach 3) i 4): Sumowanie równań prowadzi do stałej: D=0 B=0 { A sin C sinh =0 A sin C sinh =0 C=0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

5 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 5 a ich odjęcie, do zaeżności: 2 A sin =0 Równanie jest spełnione, gdy A=0 ub sin =0. Funkcja sin x ma miejsca zerowe da x=k, czyi: a współczynnik: Ponieważ przyjęiśmy podstawienie: =k = k 4 = 2 EJ to: Wobec tego: 2 = 4 EJ 2 = k 4 4 EJ 4 = k 2 2 EJ 2 Możemy wnioskować, że beka będzie miała nieograniczoną iość częstości drgań własnych (k jest iczbą naturaną). Linia ugięcie będzie miała postać sinusoidy (rys. 14.4). W k x =A k sin k x k = 1 k = 2 k = 3 Rys Postacie drgań własnych beki wonopodpartej da różnych wartości k Natomiast przemieszczenia będą się zmieniały w czasie według funkcji: w x, t = k=1 sin k x C 1 k sin k t C 2 k cos k t Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

6 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY Beka obustronnie utwierdzona Spróbujmy przeanaizować drgania własne beki o innym schemacie statycznym. EJ [Nm²] μ [kg/m] Rys Beka obustronnie utwierdzona Da układu przedstawionego na rys możemy zapisać następujące warunki brzegowe: 1) W 0 =0 2) 0 = 3) W =0 4) = dw 0 =0 dx dw =0 dx Funkcję rozwiązującą przyjmujemy jak w Jej pierwsza pochodna wynosi: Po podstawieniu otrzymujemy: 1) 2) 3) 4) czyi: W I x = A cos x B sin x C cosh x D sinh x B D=0 A C=0 A C=0 A sin B cos C sinh D cosh =0 A cos B sin C cosh D sinh =0 A cos B sin C cosh D sinh =0 Układ równań jednorodnych rozwiązujemy przez przyrównanie wyznacznika det W do zera. Aby uprościć rozwinięcie wyznacznika sprowadźmy układ do dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Z dwóch pierwszych równań wiemy, że: B= D A= C Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

7 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 7 podstawmy powyższe do równań 3) i 4) { C sin D cos C sinh D cosh =0 C cos D sin C cosh D sinh =0 Po przekształceniach mamy: Zatem wyznacznik tego układu to: { C sinh sin D cosh cos =0 C cosh cos D sinh sin =0 sinh sin det W = cosh cos cosh cos sinh sin det W = sin 2 sinh 2 cosh cos 2 = sin 2 sinh 2 cosh 2 2 cos cosh cos 2 Korzystając ze związków: po uproszczeniach otrzymujemy sin 2 cos 2 =1 cosh 2 sinh 2 =1 Rozwiązaniem są wartości (miejsca zerowe). det W =cosh cos 1=0 = 2 k 1 2 gdzie k jest iczbą naturaną. Podstawiając w miejsce k koejne wartości k=1,2,3,... otrzymujemy: 1 = 4,712 2 = 7,853 3 = 10,996 Częstości drgań własnych wyznaczymy ze wzoru: Linię ugięcia opisuje wzór: = i 2 EJ Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

8 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 8 W k x =A k sin k sinh k [ sin k x sinh k x sin k sinh k cos k x cosh k x cos k cosh k ] k = 1 k = 2 k = 3 Rys Postacie drgań własnych beki obustronnie utwierdzonej w zaeżności od k Postępując anaogicznie możemy wyznaczyć na podstawie warunków brzegowych postacie drgań własnych prętów o różnych schematach statycznych. Wyniki obiczeń oraz schematyczne rysunki beek zestawiono w tabei Tabea Postacie drgań własnych prętów Schemat statyczny EJ μ Postać drgań własnych W k x =A k sin k x EJ EJ EJ μ μ μ W k x =A k sin k sinh k [ sin k x sinh k x sin k sinh k cos k x cosh k x cos k cosh k ] W k x =A k sin k sinh k [ sin k x sinh k x sin k sinh k cos k x cosh k x cos k cosh k ] W k x =A k sin k [ sin k x sin k sinh k x sinh k ] Wzory transformacyjne da pręta zginanego (drgania poprzeczne) Zakładamy, że beka charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy. Gdy zaczyna drgać pojawiają się siły bezwładności jako dodatkowe obciążenie układu. Rozwiązując równanie różniczkowe równowagi drgającego pręta otrzymaiśmy całkę ogóną: W x =A sin x B cos x C sinh x D cosh x x = A cos B sin C cosh D sinh Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

9 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 9 Znając warunki brzegowe da dowonego pręta o dowonym schemacie statycznym możemy wyznaczyć funkcję przywęzłowego momentu zginającego ub siły poprzecznej, (wzory transformacyjne metody przemieszczeń) w zaeżności od węzłowych przemieszczeń. Rozwiązań szczegónych poszukamy da konkretnych modei pręta Pręt obustronnie utwierdzony Da pręta obustronnie utwierdzonego możemy zapisać następujące warunki brzegowe: i φ i =1 φ k =1 EJ μ k x v i v k w Rys Pręt obustronnie utwierdzony 1) W 0 =v i 2) 0 = i 3) W =v k 4) = k Warto zauważyć, że przy wyznaczaniu częstości drgań własnych (probem własny) przyjmowaiśmy jednorodne (zerowe) warunki brzegowe. Teraz musimy narzucić wartości przemieszczeń węzłowych aby uzaeżnić od nich siły wewnętrzne. Wyznaczmy M ik i, k, v i, v k. Uwzgędniając powyższe warunki w rozwiązaniu ogónym otrzymujemy układ równań niejednorodnych: 1) skąd: A sin 0 B cos 0 C sinh 0 D cosh 0=v i 2) skąd: 3) 4) B D=v i A cos 0 B sin 0 C cosh 0 D sinh 0= i A C= i A sin B cos C sinh D cosh =v k A cos B sin C cosh D sinh = k Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

10 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 10 {B D=vi A C= i A sin B cos C sinh D cosh =v k A cos B sin C cosh D sinh = k W rozważanym przykładzie na podstawie warunków brzegowych wyznaczono wartości stałych: A= [ sin cosh sinh cos v i sin sinh v k cos cosh sin sinh 1 i cosh cos k 2 1 cos cosh ] B= sinh sin cosh cos 1 v i cos cosh v k sin cosh sinh cos i sinh sin k 2 1 cos cosh C= sin cosh sinh cos v i sin sinh v k sin sinh cos cosh 1 i cosh cos k 2 1 cos cosh D= 1 sinh sin cosh cos v i cosh cos v k sinh cos sin cosh i sin sinh k 2 1 cos cosh = Po wyznaczeniu stałych A, B, C i D możemy zapisać wzory na siły wewnętrzne wykorzystując zaeżności różniczkowe: i daej: M = EJ 2 w 2 T = M M = EJ 2 A sin x 2 B cos x 2 C sinh x 2 D cosh x T = EJ 3 A cos x 3 B sin x 3 C cosh x 3 D sinh x Po podstawieniu stałych i przekształceniach można uzyskać ostateczne wzory wiążące siły wewnętrzne z wiekościami ampitud przemieszczeń przywęzłowych: M x=0 =M ik = EJ [ c s r v k i k t v i ] M x= =M ki = EJ [ s c t v k i k r v i ] T x=0 =T ik = EJ [ t r m v k 2 i k n v i ] T x= =T ki = EJ [ r t m v i 2 i k n v k ] Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

11 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 11 We wzorach transformacyjnych zastosowano pewne współczynniki w ceu uproszczenia zapisu, które oznaczają: cosh sin sinh cos c = M s = sinh sin M r = 2 cosh cos M t = 2 sinh sin M m = 3 sinh cos cosh sin M n = 3 sinh sin M = M =M =1 cosh cos Postępując anaogicznie możemy zapisać podobne wzory da beek o innych schematach statycznych Pręt jednostronnie utwierdzony i podparty przegubowo i EJ μ φ k =1 k x v i v k w Rys Pręt jednostronnie utwierdzony i podparty przegubowo Warunki brzegowe: 1) W 0 =v i 2) M 0 =0 W II 0 =0 3) W =v k 4) = k pozwaają sformułować układ równań, z którego wyznaczymy stałe. Następnie zapisujemy wzory transformacyjne: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

12 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 12 M ik =0 M ki = EJ [ c k t v k r v i T ik = EJ 2 [ T ki = EJ 2 [ w których poszczegóne symboe oznaczają: ] ] ] r k n v k m v i t k p v i n v k c =2 sinh sin M t = 2 cosh sin cos sinh M r = 2 sinh sin M n = 3 cosh cos M m = 3 1 cosh cos M p =2 3 sinh cos M = M = M =cosh sin cos sinh Wspornik Jest to układ statycznie wyznaczany. Tradycyjne wzory transformacyjne nie istnieją, gdyż przemieszczenia v i i φ i nie wywołują sił przywęzłowych. Inaczej jest w probemach dynamicznych. x i φ k =1 k v k y, w Rys Wspornik Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

13 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 13 Da wspornika zapiszemy: 1) W 0 =v k 2) 0 = k 3) M =0 W II =0 4) T =0 W III =0 W tym przypadku możemy okreśić wzory przy podporze k: gdzie: M ki = EJ [ c k t v k ] T ki = EJ [ t 2 k m v k ] c = sinh cos cosh sin M t = 2 sinh sin M cosh sin sinh cos m = M M = M =1 cosh cos = Beka wonopodparta Podobnie jak w mamy do czynienia z układem wyznaczanym. i u k EJ v i v k Rys Beka wonopodparta Na podporach momenty są zerowe, a przemieszczenia narzucone. 1) W 0 =v i 2) M 0 =0 W II 0 =0 3) W =v k Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

14 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14 4) M =0 W II =0 Wzory możemy wyprowadzić tyko na siły poprzeczne ( M ik =M ki =0 ). gdzie: T ik = EJ 2 [ n v k m v i ] T ki = EJ 2 [ m v k n v i ] m = 3 [ctgh tg ] 2 n = 3 [cosec cosech ] 2 Wyjaśnijmy jeszcze symboe cosec (cosecans) i cosech (cosecans hiperboiczny): cosec = 1 sin cosech = 1 sinh Ortogonaność układu drgającego Zagadnienie ortogonaności udowodnimy rozpatrując dwie dowone postacie drgań własnych i oraz j. Da każdej z nich wyznacza się oddzienie częstości drgań i ampitudy przemieszczeń z równań różniczkowych: Tabea Dwie przykładowe postacie drgań Postać drgań i W i, i Postać drgań j W j, j EJ i IV i 2 W i =0 EJ j IV j 2 W j =0 EJ i IV = i 2 W i EJ j IV = j 2 W j Da beki zginanej obciążonej równomiernie q x zapiszemy równanie różniczkowe równowagi: EJ IV x =q x Da rozpatrywanych postaci drgań własnych i oraz j układu możemy zapisać: q i x = 2 i W i x Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

15 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 15 q j x = i 2 W j x Warunek ortogonaności udowodnimy posiłkując się treścią twierdzenia Bettiego (o wzajemności prac): Jeżei na ustrój sprężysty działają dwa niezaeżne od siebie układy obciążeń, spełniające warunki równowagi, to praca obciążeń jednego układu wykonana na przemieszczeniach wywołanych działaniem drugiego układu równa się pracy obciążeń drugiego układu wykonanej na przemieszczeniach wywołanych działaniem pierwszego układu obciążeń. Na jego mocy zapiszemy: 0 q i x W j x dx= q j x W i x dx (14.7) 0 Podstawiając równania różniczkowe równowagi do wyrażeń podcałkowych otrzymujemy: 0 2 i W i x W j x dx 2 j W j x W i x dx=0 0 Po przekształceniu: i 2 0 Możiwe są dwa przypadki rozwiązania: 1) Da i= j i 2 j 2 =0, 2) Da i j W i x W j x dx=0. 0 W i x W j x dx 2 j W j x W i x dx=0 0 2 i 2 j W i x W j x dx=0 (14.8) 0 Drugie rozwiązanie jest warunkiem ortogonaności dowonych funkcji. Zostało udowodnione, że dwie różne postacie drgań własnych układu są ortogonane Drgania podłużne pręta pryzmatycznego Z drganiami podłużnymi mamy do czynienia, gdy przemieszczenia odbywają się wzdłuż osi pręta. Rozpatrzmy nieskończenie mały wycinek pręta o długości dx, charakteryzujący się gęstością iniową = A (A powierzchnia przekroju, ρ gęstość objętościowa [kg /m 3 ] ) (rys ). Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

16 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 16 p(x,t) p(x,t) A,ρ x N(x,t) r(x,t) dx u(x,t) dx N x, t N x, t Rys Eement dx beki Wszystkie wartości sił p, N, r, są funkcjami położenia i czasu f x,t. Opór ruchu, czyi siła bezwładności wynosi: r x, t = dm 2 u x, t t 2 Masę wycinka wyznaczamy mnożąc jego objętość przez gęstość: dm=a dx Zapisując równanie równowagi X =0 otrzymujemy: N x, t N x, t N x, t dx p x, t dx A dx 2 u x,t =0 t 2 Da przypadku drgań swobodnych ( p x,t =0 ) mamy: N x, t dx A dx 2 u x, t =0 (14.9) t 2 Wiedząc, że stan naprężeń wywołany działaniem siły podłużnej okreśa związek fizyczny: zapisujemy równanie faowe: gdzie: N = x A= x E A= u x EA (14.10) c 2 2 u x, t 2 u x, t =0 (14.11) 2 t 2 c 2 = E = EA (14.12) Podobnie jak w przypadku drgań poprzecznych wprowadzamy do zapisu rozdział zmiennych. Przemieszczenie jest ioczynem funkcji U zaeżnej tyko od przestrzeni i funkcji T zaeżnej tyko od czasu: u x, t =U x T t Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

17 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 17 Pochodne iczymy po odpowiednich zmiennych: c 2 d 2 U x T t d 2 T t U x =0 d x 2 d t 2 Po podzieeniu przez wyrażenie U x T t otrzymujemy różnicę: EA d 2 U x d x 2 U x d 2 T t d t 2 =0 T t Aby równanie było spełnione, wyrażenia muszą być sobie równe. Da rozwiązań różnych od zera każdy z członów przedstawia pewną skaarną wartość 2. EA d 2 U x d x 2 = U x d 2 T t d t 2 = 2 T t Następnie możemy rozwiązać oba równania niezaeżnie, najpierw da zmiennej x, a potem t. c 2 d 2 U x d x 2 d 2 T t d t 2 U x =0 T t d 2 T t d t 2 = 2 c 2 d 2 U x 2 U x =0 T t d x 2 Dzieąc obustronnie równanie przez c 2 otrzymujemy: d 2 U x d x 2 2 U x =0 (14.13) 2 c Wprowadzając podstawienie 2 c 2 =k 2 (14.14) otrzymujemy Rozwiązaniem, całką ogóną równania różniczkowego jest wieomian: d 2 U x d x 2 k 2 U x =0 (14.15) U x =A sin k x B cos k x (14.16) A i B to wiekości stałe niezaeżne od czasu, które możemy wyznaczyć z warunków brzegowych (przestrzeń). Wracając do równania faowego Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

18 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 18 wykonujemy podstawienie EA d 2 U x d x 2 U x T t d 2 T t d t 2 =0 d 2 U x EA d x 2 = 2 d 2 T t 2 T t =0 U x d t 2 Dzieąc obustronnie równanie przez 1 otrzymujemy: Rozwiązaniem, całką ogóną równania różniczkowego jest wieomian: d 2 T t d t 2 2 T t =0 (14.17) T t =C sin t D cos t (14.18) Stałe równania C i D możemy wyznaczyć z warunków początkowych (czas). Pręt doznaje przemieszczeń, które nazywamy drganiami własnymi (bez udziału siły wymuszającej) według funkcji: x ct u x, t = 1 1 [ f x ct f x ct ] 2 2 c x ct g d Funkcja ta opisuje rozchodzenie się fai, przemieszczenia w nieskończonym pręcie. W dowonej chwii t impus fai rozejdzie się w obie strony pręta z prędkością c Drgania własne pręta ściskanego Wyznaczmy częstotiwość drgań własnych w pręcie ściskanym. N N Rys Pręt ściskany Zapiszmy warunki brzegowe, przemieszczenia poziome są równe zeru: Przyjmujemy rozwiązania ogóne u 0 =0 u =0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

19 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 19 z czego otrzymujemy układ równań: I odpowiadający mu wyznacznik u x =A sin k x B cos k x { B=0 A sin k B cos k=0 W = 0 1 sin k cos k Wyznacznik tego układu równań musi być równy zeru det W =0, a zatem otrzymujemy: sin k =0 Funkcja sin x ma miejsca zerowe da x=n, czyi: k =n Wtedy współczynnik: k= n Ponieważ przyjęiśmy podstawienie: oraz 2 c 2 =k 2 c= E to =k c = n E Możemy wnioskować, że beka będzie miała nieograniczoną iość częstości drgań własnych (n jest iczbą naturaną). Postacie drgań opisuje funkcja: U x =A sin n x Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

20 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY Wzory transformacyjne da pręta ściskanego W oparciu o warunki brzegowe możemy zapisać wartości sił podłużnych da pręta ściskanego. N u i u k N i k u 0 =u i u =u k Przyjmujemy rozwiązania ogóne Ponadto ze związków fizycznych mamy: u x =A sin k x B cos k x N x = x A= x E A= d u x d x EA Po rozwiązaniu układu równań powstałego z warunków brzegowych wyznaczamy stałe A i B. Po ich podstawieniu do rozwiązania ogónego obiczamy pochodną przemieszczenia. Wykorzystując ją w równaniu fizycznym znajdujemy funkcje siły normanej. gdzie: N ik = f u i, u k =N 0 = EA [a u k b u i ] N ik = f u i, u k =N = EA [b u k a u i ] a = cosec b = ctg = EA Drgania skrętne pręta pryzmatycznego W ceu wyprowadzenia równania ruchu pręta przyjmijmy następujące założenia: drgania są harmoniczne (okresowe, periodyczne, czyi powtarzające się w reguarnych odstępach czasowych), układ jest ideany (tzn. brak jakiegokowiek tłumienia ruchu), przemieszczenia pręta są małe w porónaniu z wymiarami układu, Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

21 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 21 rozpatrujemy ciągły, iniowy rozkład masy w pręcie, pomijamy skrócenia bądź wydłużenia pręta, zakładamy ponadto, że przekrój pręta nie uega odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie deformacji zachowuje swój pierwotny kształt. Obciążenia jak i siły wewnętrzne będą w postaci momentów działających w płaszczyznach prostopadłych do osi pręta. p(x,t) Μ(x,t) r(x,t) Μ(x,t) + Μ(x,t) dx x 0 dx y Rys Wycięty myśowo eement dx rozpatrywanego pręta wraz z działającymi na niego siłami Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem równania ruchu pręta wywołanego działaniem dowonych sił skrętnych. Dokonajmy na wstępie myśowego wycięcia eementu z nieskończenie długiego pręta (rys ). Z sumy momentów wzgędem środka ciężkości O możemy zapisać: gdzie: M 0 =0 (14.19) M x, t M x, t M x, t dx p x, t dx r x, t =0 (14.20) M x, t dx p x, t dx r x, t =0 (14.21) r(x,t) - jest siłą oporu ruchu, wynikającą z drgań pręta (siłą bezwładności) i wynosi: r x, t = J 0 x, t = J 0 2 x, t t 2 (14.22) J0 biegunowy moment bezwładności wzgędem środka ciężkości przekroju wynosi: J 0 =J x J y (14.23 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

22 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 22 φ(x,t) - kąt skręcania w płaszczyźnie przekroju, μ - gęstość masy rozpatrywanego eementu na powierzchni jego przekroju poprzecznego: = dm A = dv A = A dx =dx (14.24) A Znak - we wzorze (14.22), wynika z faktu przeciwnego zwrotu siły bezwładności do kierunku ruchu ją wywołującego. Po uwzgędnieniu we wzorze (14.21) zaeżności (14.22) i (14.24), otrzymamy: M x, t dx p x, t dx J 0 dx 2 x, t =0 /: dx t 2 M x, t p x, t J 0 2 x, t =0 (14.25) t 2 Na podstawie definicji momentu skręcającego oraz po uwzgędnieniu faktu, że rozpatrywany pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, możemy zapisać: gdzie: γ jednostkowy kąt skręcania równy: M x, t =G J s x, t (14.26) x, t x,t = (14.27) Js moment bezwładności na skręcanie równy: da pręta o przekroju kołowym ub pierścieniowym: J s =J 0 (14.28) da pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego o boku 2π: J s = a4 3 5 (14.29) da pręta o przekroju w kształcie prostokąta o bokach b i h (h>b): J s 1 4 h 3 b4 0,63 0,052 b (14.30) h/b G moduł Kirchhoffa (ścinania, odkształcenia postaciowego) równy: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

23 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 23 G= E 2 1 (14.31) Po uwzgędnieniu zaeżności (14.27) we wzorze (14.26), oraz po zróżniczkowaniu uzyskanego w ten sposób wyrażenia wzgędem zmiennej x otrzymamy: x,t M x, t =G J s M x, t =G J s 2 x, t (14.32) 2 Następnie po podstawieniu wyrażenia (14.32) do wzoru (14.25) otrzymamy następujące równanie: gdzie: J m - biegunowy moment masy, równy: G J s 2 x, t J 2 m 2 x, t = p x, t (14.33) t 2 J m =J 0 (14.34) Równanie (14.33) to równanie różniczkowe ruchu (tzw. równanie faowe) nieograniczonego pręta o iniowym rozkładzie masy, gdy ruch ten spowodowany jest działaniem dowonych, wymuszonych drgań skrętnych. Gdy mamy do czynienia z drganiami swobodnymi (bez żadnych wymuszeń) wzór (14.33) przyjmuje następującą postać: p x, t =0 G J s 2 x, t J 2 m 2 x, t =0 (14.35) t 2 Zauważmy, że jeżei mamy do czynienia z prętem o przekroju kołowym ub pierścieniowym (J s = J 0), to równanie faowe drgań własnych (14.35) przyjmie postać anaogiczną jak da drgań podłużnych: c 2 2 x, t 2 x, t =0 (14.36) 2 t 2 Przy czym zmienia się interpretacja stałej c: c 2 = G (14.37) Znajdźmy rozwiązanie ogóne (całkę ogóną) równania różniczkowego (14.35). Rozwiążmy to równanie anaogicznie jak da drgań podłużnych metodą rozdzieenia zmiennych. Załóżmy, że istnieje taka funkcja φ (x,t), która składa się z ioczynu dwóch funkcji, zaeżnych tyko i wyłącznie od jednej zmiennej, innej każda tzn. od czasu t (funkcja czasu T(t)), oraz od przestrzeni x (funkcja przestrzeni Φ (x)): Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater

24 Część DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 24 Po uporządkowaniu otrzymujemy x,t =T t x G J s 2 x T t J 2 m 2 T t x =0 /: T t x J t 2 m G J s 2 x J m 2 x = 2 T t t 2 T t (14.38) Aby ewa strona tego równania (funkcja przestrzenna) była równa prawej (funkcji czasu), w danym punkcie czasoprzestrzeni, obie funkcje muszą osiągać w tym punkcie jakąś wartość stałą (skaar). Wartość tą oznaczmy przez ω 2. G J s 2 x J m 2 x = 2 T t t 2 (14.39) = 2 T t W ten sposób uzyskaiśmy następujący układ równań: { 2 T t 2 T t =0 t 2 2 x 2 x =0 2 (14.40) gdzie: 2 = 2 J m G J s (14.41) Po rozwiązaniu układu równań (14.40) dostaniemy: T t =C 1 sin t C 2 cos t x =A sin x B cos x (14.42) Stąd rozwiązanie ogóne (całka ogóna) przyjmie postać: x, t =T t x =[C 1 sin t C 2 cos t ] [ A sin x B cos x ] (14.43) Na podstawie powyższego ogónego rozwiązania równania różniczkowego (całki ogónej), postępując anaogicznie jak przy drganiach podłużnych, otrzymamy rozwiązanie szczegóne. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak A., Wdowska A. AmaMater