AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ

Transkrypt

1 WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ

2 Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta υx ( ) dl( xξ) 4 3 V x ξ Prostolnowa nć wrowa dl de, x ξ ( x ) e ye x x y dl( x ξ) y dex ex y de z x ξ ( x) y 3/2

3 Ze wzoru Bota-Savarta wynka, że AERODYNAMICS I gdze 2 1 υ( x, y,) 2 y 4 [( x ) y ] x y d e y s ( x) y s d ds ds d / y y (1 s ) y 2 x y s [( ) ] 1 x 1 y 1 x1 x2 y ( x ) y ( x ) y z 2 x y 1 x y Przypadek 1 ndukcja neskończonej nc wrowej (równoważny punktowemu worow potencjalnemu w 2D) x x υ( xy,,) lm e z e y ( x ) y ( x ) y 2y z

4 Przypadek 2 ndukcja pół-neskończonej ln wrowej [, ) x x x υ( xy,,) lm e z e y x y ( x ) y y x y z Prędkość ndukowana w płaszczyźne prostopadłej do ln wrowej w punktach na płaszczyźne x zadana jest wzorem υ(, y,) e 4 y z

5 Opływ skrzydła o skończonej rozpętośc cechy fzyczne

6 Teora ln nośnej Przepływ wokół skrzydła jest modelowany jako superpozycja strumena jednorodnego pola prędkośc ndukowanego przez płaską powerzchnę wrową udającą ślad wrowy za skrzydłem. Powerzchna wrowa jest utkana z kontnuum ln wrowych zamocowanych do tzw. ln nośnej zwązanej ze skrzydłem. Zmenna wzdłuż rozpętośc gęstość tych ln przekłada sę na cągły nejednorodny rozkład cyrkulacj.

7 Powerzchna wrowa ndukuje prędkość w całej przestrzen wokół płata. Idea metody ln nośnej polega na wyznaczenu rozkładu prędkośc ndukowanej wzdłuż tej ln (przednej krawędz powerzchn wrowej). Zakłada sę następne, że całkowtą słę aerodynamczną można wyznaczyć sumując (de facto całkując) udzały od poszczególnych przekrojów skrzydła (profl), przy czym każdy przekrój pracuje w lokalnych warunkach przepływu wynkających z lokalnej wartośc prędkośc ndukowanej prędkośc strumena jednorodnego V. Zgodne ze wzorem Bota-Savarta, nfntezymalny udzał pół-neskończonej ln wrowej wychodzącej z ln nośnej w punkce (, y,) do prędkośc ndukowanej w punkce (, y,) to ( y) dy dw 4 ( y y) Całkowta prędkość ndukowana w tym punkce jest zatem równa wy ( ) b/2 1 ( y) dy 4 y y b/2

8 Wskutek nejednorodnego rozkładu cyrkulacj wzdłuż rozpętośc skrzydła, efektywny kąt natarca dla poszczególnych profl skrzydła jest funkcją współrzędnej y - vde obrazek. Kerunek napływu wdzany przez profl skrzydła dla y y jest obrócony w kerunku zgodne zegarowym o kąt ndukowany równy ( y ) atan[ w( y ) V ] Dla małych wartośc prędkośc ndukowanej możemy napsać wzór ( y ) b/2 wy ( ) 1 ( y) dy V 4V y y b/2

9 Różncę pomędzy geometrycznym kątem natarca a kątem ndukowanym nazywamy efektywnym kątem natarca (na ogół jest on funkcją współrzędnej y ) : eff Dla małych kątów natarca można przyjąć, że lokalny współczynnk sły nośnej jest proporcjonalny do efektywnego kąta natarca c ( y ) a [ ( y ) ( y )] eff gdze a oznacza nachylene charakterystyk sły nośnej dla proflu skrzydła, a to kąt natarca odpowadający zerowej sle nośnej. Jeżel wykorzystamy teorę cenkego proflu to a 2. Jeśl ma mejsce skręcene aerodynamczne /lub geometryczne skrzydła to na ogół - ( y ).

10 Zgodne z teorą przepływu potencjalnego, lnowa gęstość sły nośnej rozwnętej na skrzydle może być oblczona we wzoru Kutty-Żukowskego ( y ) V c ( y ) c( y ) V ( y ) gdze cy ( ) to długość cęcwy proflu skrzydła dla y y. Wynka stąd, że lokalny współczynnk sły nośnej jest równy c 2 ( y) ( y) V c( y ) Przyjmując (zgodne z teorą cenkego proflu), że a 2 efektywnego kąta natarca może być zatem wyrażona wzorem, lokalna wartość eff ( y ) ( y ) ( y ) V ( c y)

11 Wreszce, suma efektywnego kąta natarca eff ( y) kąta ndukowanego ( y) to geometryczny kąt natarca proflu skrzydła w przekroju y y. Z uwag na ewentualne skręcene geometryczne skrzydła kąt ten może być zmenny wzdłuż rozpętośc, tj. ( y ). Powyższy fakt prowadz przy wykorzystanu wcześnejszych zwązków co podstawowego równana różnczkowo-całkowego teor ln nośnej b/2 ( y) 1 ( y) dy ( y) ( y) V c( y ) 4V y y b/2 Newadomą w tym równanu jest rozkład cyrkulacj ( y). Po wyznaczenu tego rozkładu, słę nośną wyznaczamy ze wzoru b/2 b/2 ( y) dy V ( y) dy b/2 b/2

12 Współczynnk sły nośnej na skrzydle C b/2 2 q S V S b/2 ( y) dy W wynku ndukcj śladu wrowego efektywny kąt napływu w poszczególnych przekrojach skrzydła uległ zmane w tak sposób, że pojawa sę składowa sły aerodynamcznej na kerunek strumena nezaburzonego. Składowa ta nos nazwę oporu ndukowanego. Przyjmując, że kąt ndukowany jest newelk, gęstość lnowa sły oporu ndukowanego wyraża sę wzorem D sn Całkowty opór ndukowany skrzydła wyraża sę zatem następującą całką b/2 b/2 D ( y) ( y) dy V ( y) ( y) dy b/2 b/2

13 Defnujemy równeż współczynnk oporu ndukowanego b/2 D C 2 D ( y) ( ) y dy q S V S b/2

14 Elptyczny rozkład cyrkulacj Rozważmy ważny przypadek szczególny rozkładu curkulacj wzdłuż rozpętośc skrzydła, a manowce nech czyl ( y) 1 2y 2 b ( y) V 1 Mamy 2y 2 b 4 y ( y) b 1 4 y / b Stąd, prędkość ndukowana wyraża sę wzorem wy ( ) b/2 b/2 1 ( y) dy ydy 2 4 y 2 2 b/2 y b b/2 ( y y) 14 y / b

15 Zastosujemy zamanę zmennych AERODYNAMICS I y bcos, dy bsn d Wówczas, wykorzystując jeden z warantów całk Glauerta (vde Wykład nr 3), otrzymujemy w( ) cos d 2 b cos cos 2b WNIOSEK: dla elptycznego rozkładu cyrkulacj prędkość ndukowana jest stała wzdłuż rozpętośc skrzydła. Kat ndukowany, równeż stały, to w V 2bV Sła nośna odpowadająca elptycznemu rozkładow cyrkulacj to: b/ b 1 2 sn 4 b/2 V y b dy V d V b

16 Maksymalna wartość cyrkulacj zwązana jest z słą nośną wzorem Z drugej strony Zatem kąt ndukowany można wyrazć wzorem 4 Vb V SC 2V SC b 2V SC 1 SC bv b bv b Wprowadźmy welkość zwaną wydłużenem skrzydła wzorem b 2. S

17 Kąt ndukowany dla rozkładu elptycznego wyraża sę teraz prostym wzorem C Oblczmy dalej współczynnk oporu ndukowanego b/2 2 b 2 b b C 2V SC ( ) sn b/2 2 CD y dy d V S V S V S V S b Po oczywstych uproszczenach otrzymujemy ważną formułę C D C2

18 Załóżmy brak skręcena geometrycznego aerodynamcznego. Wówczas kąty ne zmenają sę wzdłuż rozpętośc skrzydła. Pokazalśmy, że dla elptycznego rozkładu cyrkulacj kąt ndukowany jest równeż stały. Wynka stąd, że efektywny kąt natarca eff jest w każdym przekroju skrzydła ten sam, a w konsekwencj stały jest równeż lokalny współczynnk sły nośnej c a( eff ). Poneważ to cy ( ) ( y) c q c( y) ( y) cq 2 ( y) cv ( y) WNIOSEK: Cęcwa skrzydła (bez skręceń) o elptycznym rozkładze cyrkulacj zmena sę wzdłuż rozpętośc wg tej samej reguły co cyrkulacja. Zatem skrzydło to ma elptyczny obrys!

19 Wg teor ln nośnej skrzydło o obryse elptycznym charakteryzuje sę elptycznym rozkładem cyrkulacj (obcążena)

20 Ogólny rozkład obcażena W celu określena parametrów opływu skrzydła w przypadku ogólnym posłużymy sę ponowne zamaną współrzędnych y 1 2 bcos, [, ] Ops rozkładu elptycznego przyjmuje szczególne prostą formę Naturalnym uogólnenem jest formuła Potrzebna będze pochodna ( ) 1cos sn 2 ( ) 2V b An snn n1 d d d d dy d dy dy 2V b nan cosn n1

21 Podstawowe równane teor ln nośnej przyjmuje postać 2b 1 cosn ( ) ( ) A snn na d n n c( ) n1 n1 cos cos Jak wdać, ponowne pojawła sę całka Glauerta cosn sn n d cos cos sn Równane teor ln nośnej upraszcza sę do postac 2b 1 ( ) ( ) sn An n nan c( ) n1 n1 sn lub - po obcęcu szeregów do sum skończonych - do 2b 1 ( ) ( ) sn snn snn N N An n nan c( ) n1 n1 sn

22 Standardowe postepowane polega na zażądanu, aby powyższe równane było spełnone w N różnych punktach, m [, ], m 1,.., N. Take podejśce nazywamy metodą kolokacyjną. Otrzymany w ten sposób układ lnowy rozwązujemy względem newadomym współczynnków { A1, A2,..., A N} np. metodą elmnacj Gaussa. Po wyznaczenu współczynnków funkcja ( ) jest już znana (w przyblżenu) możemy przejść do oblczana współczynnków aerodynamcznych. Mamy b/2 2 N 2 2b C ( y) dy An snn sn d V S S b/2 n1 Ma mejsce własność ortogonalnośc 2, n 1 sn n snd, n 1 wobec czego 2 C A b 1 A S 1

23 Wdzmy, że współczynnk sły nośnej jest zdetermnowany wyłączne przez perwszy współczynnk szeregu opsującego rozkład cyrkulacj! Oblczene oporu ndukowanego jest bardzej złożone. Mamy b/2 2 N 2 2b CD ( y) ( ) ( )sn sn y dy An n d V S S b/2 n1 Potrzebujemy wyrażena określającego zależność kąta ndukowanego współrzędnej, a manowce od b/2 N N y dy n snn nan d na n b/2 n1 n1 1 ( ) 1 cos 4V y y cos cos sn Formuła dla współczynnka oporu ndukowanego może być zapsana następująco

24 D AERODYNAMICS I 2 N N 2b snk sn k n sn S k1 sn n1 2 N C ka A n d 2b S ka A snk snn d k n kn, 1 Ponowne, wykorzystując własność ortogonalnośc modów snusowych Fourera sn k sn n d 1 2, k m, k m sprowadzamy wzór dla współczynnka oporu ndukowanego do postac 2 2b A CD na na A na A n S 2 N N N N ( 1 ) 1 1 n n n n 2 n1 n1 n2 n2 A1

25 Możemy napsać zwęźle gdze C D AERODYNAMICS I 2 2 C C (1 ) e A, 1 e (1 ) N 2 n n 2 n2 A 1 Welkość e nazywamy parametrem efektywnośc aerodynamcznej Oswalda. Zauważmy, że, zatem C D sk. elptyczne C D nne czyl skrzydło elptyczne ma (teoretyczne) najnższy opór ndukowany!

26 Skrzydła trapezodalne łatwej skonstruować, a ch własnośc są zblżone do elptycznych jeśl tylko zbeżność (and. taper rato), czyl stosunek ckonc c jest właścwa. Okazuje sę, że w szerokm zakrese wydłużeń ( 4 1), najmnejsze wartośc parametru uzyskwane są dla wartośc ckonc c ok..3. Znaczene mają równeż nne aspekty, w szczególnośc jak przebega oderwane przy dużych katach natarca, a także przebeg momentu gnącego.

27 : Postace obszarów oderwana na skrzydłach o różnych obrysach. P: Rozkład obcążena wzdłuż rozpętośc skrzydła (tylko A 1 A 3 są nezerowe) oraz zależność parametru Oswalda od momenty gnącego (z Understandng Aerodynamcs D. Mcean, Wley 213).

28 Wpływ skończonego wydłużena na charakterystykę sły nośnej Skończone wydłużene powoduje ne tylko pojawene sę oporu ndukowanego, ale równeż zmena nachylene lnowej częśc charakterystyk C C ( ). Oznaczmy: dc a - nachylene charakterystyk sły nośnej dla proflu skrzydła ( ) d dc a - nachylene charakterystyk sły nośnej dla skrzydła 3D ( ) d Ta sama wartość współczynnka sły nośnej osągana jest przy wększej wartośc geometrycznego kata natarca!

29 Mamy C a ( ) const Zatem dla skrzydła elptycznego czyl C C ( a ) const dc a d a 1 a Dla skrzydeł o obrusach nnych nż elptyczny możemy napsać zależność a a 1 ( a )(1 ) Parametr korygujący przyjmuje typowo wartośc w przedzale [.5,.25]. Jego wartość może być wyrażona przez współczynnk rozkładu cyrkulacj { A1, A2,..., A N}.